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2025 高考物理一轮复习能力提升专题复习（23）机械振动.机械波
（一）简谐运动
1．【例题1】（单选）如图所示，质量均为m 的两物体A、B 用劲度系数为k
的轻质弹簧拴接，物体C 叠放在物体B 上，系统处于静止状态。现将C 瞬间取
走，物体A 恰好不离开地面。已知弹性势能的表达式为
，其中x 为弹
簧的形变量，重力加速度为g。以下说法正确的是（ ）
A．物体C 的质量为3mB．物体 B 运动到最高点时的加速度大小为3g
C．物体B 的最大速度大小为
D．物体B 上升的最大高度为
【答案】D【详解】A．C 物体叠加在B 物体上面静止时，由二力平衡
拿走C 物体后，B 物体在弹簧上做简谐运动，其在平衡位置时，弹簧压缩长度有
其振幅
当B 物体上升到最高点，此时弹簧拉伸长度最长，由于物体A 恰好不离开地面，由二力平衡
所以由振幅相
解得物体C 的质量为
故A 错误；B．B 物体在最高点受
重力和弹簧弹力，由于物体A 恰好不离开地面，故
所以由牛顿第二定律可得B 物体在最高点的
加速度为
故B 错误；D．物体B 上升的最大高度为
故D 正确；C．当B 物体经
过平衡位置的时候其速度最大，B 物体从最高点回落到平衡位置的过程中，B 物体与弹簧组成的系统机械
能守恒，则
解得物体B 的最大速度大小为
故C 错误。故选D。
2．【例题2】（多选）如图所示，倾角为
的光滑斜面固定在水平面
上，一根劲度系数为k 的轻质弹簧下端固定于斜面底部挡板处，弹簧上端
放一个质量为m 的小物块A，A 与弹簧间不拴接，开始时A 静止于P
点。另一质量也为m 的小物块B 从斜面上Q 点由静止释放，与A 发生正
碰后立即粘在一起成为组合体，组合体在以后的运动过程中恰好不离开弹
簧。已知弹簧的弹性势能与其形变量的关系为
，重力加速度为
g，弹簧始终未超出弹性限度。下列说法正确的是（ ）
A．弹簧的最大弹性势能为
B．组合体动能的最大值为
C．P、Q 两点间的距离为
D．P、Q 两点间的距离为
【答案】AD【详解】A．设O 为弹簧处于原长时其上端的位置，x 为碰撞前的形变量，则有
解得
当b 与a 成为组合体c 时，恰好不离开弹簧，所以c 最多运动至O 处。组合体c 做简谐振
动，其平衡位置满足
解得
所以弹簧的最大压缩量为
所以弹簧弹性势能的最大值为
故A 正确；B．设动能最大位置为
点，则从O
处到
处有
故B 错误；CD．组合体从O 运动至P 点时
即
解得
设碰撞前b 的速度
为
，由动量守恒可得
即
物体在斜面上的加速度为
所
故C 错误，D 正确。故选AD。
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3．【例题3】（多选）一振子沿x 轴做简谐运动，平衡位置位于坐标原点O，简谐运动的振幅为
A=0.2m。t=0 时刻振子的位移为0.1m，t=2s 时刻振子的位移为-0.1m，则振子做简谐运动的周期可能为（
）
A．0.8s
B．1.5s
C．2.4s
D．3s
【答案】AC【详解】振子的振动图像如图所示若在t=0 时刻振子的位移
为1cm，t=2s 时刻振子的位移为-1cm，（1）这段时间最短为
，由于
振动的周期性可知
可得
（n=0,1,2…）代入n 可得
（2）这段时间有可能为
，由于振动的周期性可知
可得
（n=0,1,2…）代入n 可
（3）这段时间有可能为
，由于振动的周期性可知
可得
（n=0,1,2…）代入n 可得
故选AC。
【例题4】（单选）一列简谐横波在某均匀介质中沿直线由质点a 向
质点b 传播，a、b 两质点的平衡位置相距0.5m，如图所示，图中实
线表示质点a 的振动图像，图中虚线表示b 质点的振动图像，则下列
说法中正确的是（ ）
A．质点a 的振动方程为
B．在0.1~0.15s 内，质点b 做加速度逐渐变大的加速运动
C．此波的传播速度可能为1.5m/s D．此波的传播速度可能为15m/s
【答案】A【详解】A．由题图知该波的周期和振幅分别为
则质点a 的振动方程为
故A 正确；B．在0.1~0.15s 内，质点b 向y 轴负方向运动，加速度增大，速度减
小，做加速度增大的减速运动，故B 错误；C．由质点a 的振动方程可知，当
时位移为
，而
对质点b，当
时，位移为
，结合波的周期性可知，波从a 传到b 的时间为
则波速为
由于
取整
数，所以速度不可能为
，故C 错误；D．由C 可知，速度不可能为
，故D 错误；故选A。
（二）波的图像和振动图像的综合应用
5．【例题5】（多选）一列简谐横波在t＝
s
时的波形图如图（a）所示，P、Q 是介质中的两
个质点。图（b）是质点Q 的振动图象。下列说
法正确的是（ ）
A．这列简谐横波的波速为36m/s，波的传播方
向沿x 轴负方向
2
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B．简谐横波从Q 点传播至P 点处的时间Δt＝
s
C．质点P 与质点Q 平衡位置的x 坐标相距
＝24cm D．质点Q 平衡位置的x 坐标
＝30cm
【答案】CD【详解】A．如图(b)所示可知
时质点Q 的振动方向向下，由图(a)所示波形图可知，波
沿x 轴负方向传播，速度为
A 错误；B．图(a)中P 点处于平衡位置，振动方
向向上，以后振动情况和Q 点相似，所以简谐横波从Q 传到P 所需时间为
B 错误；C．质点Q 与
质点P 水平方向相距
C 正确；D．设质点P、Q 的平衡位置坐标为
、
，由(a)图可知，当
时
所以
又因为
所以Q 的横坐标为
D 正确；故选CD。
6．【例题6】（多选）沿水平
放置的足够长弹性绳建立x 轴，
从左向右有M、O、N 三个质点
（N 点未画出），位于坐标原点
处的O 质点在外力作用下做简
谐振动，形成沿x 轴传播的简谐
横波。t=0 时刻波形如图甲所示，其中M 点再经过1s 时间（小于一个周期），位移仍与t=0 时相同，但振
动方向相反。N 点与M 点平衡位置距离小于一个波长，且振动方向总相反。（ ）
A．N 点平衡位置坐标为x=8cm
B．此简谐波在x 轴上的传播速度为4m/s
C．N 点振动图像如图乙所示
D．M 比N 先振动，且二者起振方向相反
【答案】AC【详解】由图可知，这列波的波长是
质点M 的平衡位置坐标是
位于坐标原点处的O 质点在外力作用下做简谐振动，形成沿x 轴传播的简谐横波，根据对称性可知，质
点M 与平衡位置坐标
的质点P 振动完全相同。由图可知，M 点再经过1s 时间（小于一个周期），
位移仍与t=0 时相同，但振动方向相反。说明波的周期是
AC．N 点与M 点振动方向总相反，说明
N 点与P 点振动方向总相反，说明N 点与P 点的平衡位置的距离是半个波长的奇数倍，N 点与M 点平衡
位置距离小于一个波长，可知N 点平衡位置坐标为
N 点振动方程为
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故AC 正确；B．此简谐波在x 轴上的传播速度为
故B 错误；D．M 离波源O 近，M 比N 先
振动，但二者起振方向都与波源起振方向相同，故D 错误；故选AC。
7．【例题7】（多选）一列简谐横波沿x
轴方向传播，在
时的波形如图甲所
示，M、N、P、Q 是介质中的四个质点，
已知N、Q 两质点平衡位置之间的距离为
16m，图乙为质点P 的振动图像。下列说法
正确的是（ ）
A．该波的波速为12m/s
B．该波沿x 轴正方向传播
C．质点P 的平衡位置位于
处
D．从
开始，质点Q 比质点P 早0.25s 回到平衡位置
【答案】AD【详解】A．根据三角函数相关知识可知，NQ 两质点平衡位置之间距离为
解得
根据乙图可知波的周期为
，因此波速为
故A 正确；
B．由图乙可知
时刻，质点
沿
轴负方向运动，根据同侧法可知，该波沿
轴负方向传播。故B
错误；C．由图乙可知，在
之后，质点
第一次位于波峰的时间为
，由此可知是由波峰为
时刻质点
所在波峰传播来的，所以有
解得
故C 错误；D．从
开始，质点Q 所经历的时间为
点左侧波形的第一个平衡位置处坐标
该振动状态第一次传播到
点所需时间为
则
即从
开始，质点Q 比质点P 早0.25s 回到平衡位置。故D 正确。故选AD。
8．【例题8】（单选）一列简谐横波在
时的波形图如图甲所示，m、n 是介
质中的两个质点，m 质点的平衡位置坐标为
x=0，波长
，图乙是质点n 的振动图
像，下列说法正确的是（ ）
A．波沿x 轴正方向传播 B．波速为
C．质点m 从
时开始，再经
回到平衡位置D．质点n 的平衡位置坐标为x=1.0m
【答案】C【详解】A．质点n 在
时沿y 轴正方向运动，结合图甲可知波沿x 轴负方向传播，故A 错
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误；B．由图乙知波的周期为T=4s 波速为
故B 错误；D．质点n 的振动方程为
质点n 在
时的位移为
设质点n 从
开始到第
一次位移为5cm 的时间为
，则
解得
由于m 质点在
的位移为5cm，故波从n 质
点传播到m 质点的时间为
因此m、n 两质点平衡位置的距离为
故质点n 的平衡位置坐标为x=0.5m 故D 错误；C．由于波沿x 轴负方向传播，由D 选项分析可知，质点
m 从
时开始第一次到波峰的时间为
再从波峰到平衡位置的时间为
，因此整个过程
时间为
故C 正确。故选C。
9．【例题9】（多选）如图甲所示，S 为与波源处于同一均匀介质中的点，其与两波源
、
的距离分
别是
、
，
、
间距离为
，波源
的振动图像如图乙所示；波源
振动频率
，其产生
的简谐横波在
时刻的图像如图丙所示，已知
、
均在
时刻开始振动，则（ ）
A．波源
的起振方向沿y 轴负方向B．质点S 为振动加强点
C．
时质点S 向y 轴负方向运动
D．在
时，
所在的平面内有2 处波峰与波峰相遇
【答案】BD【详解】A．结合波源
在
时波的图像丙图可
知，此时刚开始振动的质点x=2.5m 处的起振方向沿y 轴正方向，
质点与波源的起振方向相同，因此波源为
的起振方向沿y 轴正方
向，A 错误；B．根据波源
的振动图像图乙可知，波源
的起振
方向向上，又因为S 点到两波源的波程差为
S 点到两波源的波程差为波长的整数倍，且
两波源的起振方向相同，所以质点S 为振动加强点，故B 正确；C．在同一介质中，频率相同的两列机械
波，波速相同，波长相等，由图可知
则波速为
则P1波传到S 点的时间为
因为S 点为振动加强点，所以它的振动情况与波源P1的相同，当
，S 点已经振动了
0.4s，刚好为两个周期，所以它此时向y 轴正方向运动，故C 错误；D．在
时，波传至距离波源
6m 处，由起振方向可知，波峰分别位于距离波源5.5m、3.5m 和1.5m 处，以波源为圆心，波峰到波源的
距离为半径做圆，如图可知
所在的平面内有2 处波峰与波峰相遇，故D 正确。故选BD。
10．【例题10】（多选）如图甲所示，在
平面内有两个沿
轴方向做简谐运动的点波源
和
分别
位于
和
处，某时刻波源
在
轴上产生的波形图如图乙所示，波源
的振动图像如图丙所
示，由两波源所产生的简谐波波速均为
，质点
、
、
的平衡位置分别位于
、
、
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处。已知在
时，两波源均在平衡位置且振动方向相同，下列说法正确的是（ ）
A．两波源所产生的简谐波在叠加的区域内会发生稳定干涉B．
时，质点
向
轴正方向振动
C．在
内，质点
运动的总路程是
D．稳定后质点
振动的表达式为
【答案】ACD【详解】A．由图乙可知，波源
的波长
，可得波源
的频率为
由图丙可知波源
的频率
所以波源
和波源
的频率相同，两列波振动方向相同，相位
差固定，为相干波源，则两波源所产生的简谐波可发生干涉，故A 正确；
B．由图丙知，在
时，波源
在平衡位置且向
轴负方向运动，则在
时，波源
也在平衡位置
且向
轴负方向运动，由
可知，波源
的波长为
则可得
，
由此可知在
时，由于波源
和波源
所引起
处质点的振动都在平衡位置向
轴负方向运动，那么
在
，即经过
后由波源
和波源
所引起
处质点在平衡位置下方且向
轴负方
向运动，故B 错误；C．质点
到波源
的距离为
，质点
到波源
的距离为
，质点
到两波源的
距离差为
可知
点为振动减弱点，则
点的振幅为
在
内，质点经过了
，则质点
运动的总路程
故C 正确；D．质点
到两波
源的距离差为
，可知
点为振动加强点，则
点的振幅为
而
由题，在
时两波源均在平衡位置且向下振动，而
，
则可知在
时
质点在平衡位置且向上振动，相位为0，设
点质点的初相位为
，则当
时有
可得
稳定后质点
振动的表达式为
故D 正确。故选ACD。
（三）波的多解问题
11．【例题11】（多选）图示为一列沿x 轴传播的简谐横波，实
线为
时刻的波形图，虚线为
时的波形图，P、Q 两点
的平衡位置分别为
，
，下列判断正确的是（
）
A．波速可能为10m/sB．在
时，Q 点可能到达波峰位置
C．若Q 点振动方向沿y 轴负方向，则波的周期一定为0.8s
D．若P 点振动周期大于0.6s，在
时，P 点一定处于波谷
【答案】ABD【详解】AC．由题意可得，波长为
若波速为10m/s，则波的周期为
若沿
x 轴正方向传播，则周期
当
时，有
（不合题意，舍
去）同理，当沿x 轴负方向传播，则周期
n=0（符合题
意）即波速可能为10m/s，故A 正确；B．由上述分析可知，若波沿着x 轴正半轴传播，当t=0.5s 时由题
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意有传播的距离为
要使得Q 点达波峰位置，由题意有传播的距离与波
长的关系为
由几何知识可得，当n=5，m=4 时等式成立，即此时Q 点能
到达波峰位置；若波沿着x 轴负半轴传播，当t=0.5s 时由题意有传播的距离为
由题意及图有
当m=n=0 时成立，即此时Q 点能到达波峰位置，故在t=0.5s
时，Q 点可能到达波峰位置，故B 正确；C．由A 中分析可知，若Q 点振动方向沿y 轴负方向，波沿着x
轴负方向传播，则周期可能为0.8s，故C 错误；D．由上述分析可知，若P 点振动周期大于0.6s，则周期
可能为
在t=1.8s 时，若波沿着x 轴正方向传播，由题意有
此时P 点与
x=-2m 处的质点振动情况一样，处于波谷；在t=1.8s 时，若波沿着x 轴负方向传播，由题意有
此时P 点与x=6m 处的质点振动情况一样，处于波谷，故D 正确。故选ABD。
12．【例题12】（多选）一列周期为T、沿x 轴方向传播
的简谐横波在某时刻的部分波形如图所示。P，Q，M 为
波上三个质点，已知该时刻质点P、Q 坐标分别为（
，
），（
，
），质点M 纵坐标为2cm，且
质点M 正沿y 轴正方向振动。则（ ）
A．该波沿x 轴负方向传播 B．质点M 横坐标为20m
C．经过
，质点P 和质点Q 的位移相同
D．经过
，质点M 通过的路程为
【答案】AC【详解】A．由于该时刻质点M 正沿y 轴正方向振动，根据波形平移法可知，波沿x 轴负方
向传播，故A 正确；B．设此时波的波动方程为
对于P、Q 两点有
则有
，
解得
，
则有
则有
解得质点M 横坐标为
故B 错误；C．以该时刻为
时刻，设质点P 的振动方程为
则有
由于此时质点P 向下振动，则有
则经过
，质点
P 的位移为
设质点Q 的振动方程为
则有
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则有
则经过
，质点Q 的位移为
故C 正确；D．设此时质点M 的振动方程为
则有
由于此时质点M 向上振动，则有
则经过
，质点M 的位移为
则经过
，质点M 通过的路程为
故D 错误。故选AC。
13．【例题13】（多选）一列简谐横波沿x 轴传播，
在
时刻和
时刻的波形分别如图中实线和虚线
所示。关于这列波，下列说法正确的是（ ）
A．波长为6m B．周期可能为4.8s
C．
的质点在0~2s 内的路程一定为
D．若波沿x 轴负向传播，传播速度最小为3.5m/s
【答案】BD【详解】A．由图可知，x=0 处质点的位移
为
，所以可得
则
故A 错误；
BD．由图可知，如波向右传播，则x=0 处质点先从
处向下振动到负向最大位移处，再向上振动到
1cm 处，形成如图虚线波形，则振动的时间最少为
则
解得
（n=0，1，2，……）当n=0 时
此时波速为
（n=0，1，
2，……）同理可得，若波向左传播，形成如图虚线波形，则x=0 处质点振动的时间最少为
即
解得
（n=0，1，2，……）此时波速为
（n=0，1，2，……）当n=0 时，波速最小为
故BD 正确；C．由分析
知，由于波传播具有周期性，且传播具有方向性，所以
的质点在0~2s 内的路程不能确定，故C 错
误。故选BD。
14【例题14】（单选）如图，一列沿x 轴正方向传播的简
谐横波，振幅为2cm，波速为2m/s。在波的传播方向上两
质点a、b 的平衡位置相距0.4m（小于一个波长），当质点
a 在波峰位置时，质点b 在x 轴下方与x 轴相距1cm 的位
置。则下列不正确的是（ ）
A．从此时刻起经过0.5s，b 点可能在波谷位置
B．从此时刻起经过0.5s，b 点可能在波峰位置
C．此波的周期可能为0.6s D．此波的周期可能为1.2s
【答案】D【详解】根据题意，有两种可能
AC．第一种情况如图所示根据图像得
解得
周期为
再经0.5s，波向右移动的距离
为
波形向右移动1m，波峰在1m 处，如图所示
从图像可知，b 点在波谷处，AC 正确；BD．第二种情况，如图所示
根据图像得
解得
周
再经0.5s，波向右移动的距离
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为
波形向右移动0.4m，波峰在0.4m 处，如图所示
根据图像，b 点在波峰处，B 正确，D 错误。故选D。
15【例题15】（单选）如图所示，一列振幅为10cm 的简谐横波，其
传播方向上有两个质点P 和Q，两者的平衡位置相距3m。某时刻两
质点均在平衡位置且二者之间只有一个波谷，再经过0.3s，Q 第一次
到达波峰。则下列说法不正确的是（ ）
A．波长可能为2m B．周期可能为0.24s
C．波速可能为15 m/s D．0.3s 内质点P 的位移大小为10cm
【答案】B【详解】A．根据题意，P、Q 之间的波形图可能有如图所
示的几种情况当P、Q 之间有一个波谷两个波峰时，如图3，则有
解得
故A 正确，不符合题意；
B．根据波从图，由波的传播速度方向的不同，质点Q 第一次到达波
峰经历的时间可能为
或
解得
或
故
B 错误，符合题意；
C．图1、2、3、4 的波长分别为
当周期为
时，根据周期与波速之间的关
系
可得
，
，
当周期为
时，可得波速为
，
，
故C 正确，不符合题意；D．经过0.3s，当质点Q 到达波峰时，图1、2 中质点P
到达波峰，图3 中质点P 到达波谷，图4 中质点P 到达波谷，因此0.3s 内质点P 的位移大小为10cm，故
D 正确，不符合题意。故选B。
（四）波的叠加.干涉问题
16．【例题16】（多选）位于x=0.25m 的波
源P 从人t=0 时刻开始振动，形成的简谐横波
沿x 轴正负方向传播，在t=2.0s 时波源停止振
动，t=2.1s 时的部分波形如图所示，其中质点
a 的平衡位置xa=1.75m，质点b 的平衡位置
xb=-0.5m。下列说法正确的是（ ）
A．沿x 轴正方向传播的速度为0.75m/s
B．波源沿y 轴正方向起振
C．t=2.45s 时，质点a 沿y 轴负方向振动
D．在0 到2s 内，质点b 运动总路程是3m
【答案】BC【详解】A．由图可知，波的波长
由题意
可知0.1s 内波传播四分之一波长，可得
解得
波的波速
选项A 错误；B．作出t=2.0s 时的波形
如图根据同侧法可知，此时波源P 的振动方向向上，因
所以波源其正方向也向上，即波源沿y 轴正方向
起振，选项B 正确；
9
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C．波的波速
波源停止振动，到质点
停止振动的时间
即质点
还在继续振动，
到
经过时间
即
，结合图像可知质点a 位移为负且向
轴负方向运动，选项C 正确；D．波传到
点所需的
时间
在0 到2s 内，质点
振动的时间为
质点b 运动总路程
选项D 错误。故选BC。
17【例题17】（多选）一波源位于O 点，波源质点沿y 轴做不连续的简谐运动，振幅为
，形成沿x
轴正方向传播的波。某时刻波刚好传到P 点，平衡位置在
处的质点已经振动了
，O、P 间各
质点形成的波形如图所示，此时由波形可知（ ）
A．波源的最初起振方向沿y 轴正方向B．波在介质中传播的速度为
C．质点Q 此时已经通过的路程为
D．此波形是波源先振动
后停止振动
，接着再振动
形成的
E．从此时开始计时，再过
，质点P 的位移为
【答案】ABE【详解】A．波刚好传到P 点时，由同侧法，波向正方向传播，即P 点向上振动，即波源的
最初起振方向沿y 轴正方向，故A 正确；B．由题意可知波从
传播到
经过了0.2s，故波
速
故B 正确；C．由图可知不连续简谐运动的波从波源起振到传播到P 点过程中Q 点
已经振动了1 个周期，则通过路程为
故C 错误；D．由波形图可知，波源先振动
又停止振动了
再振动了
故D 错误；E．0.55s 内P 点
振动过的周期数为
即此时P 点应该位于波谷，即位移为
，故E 正确故选ABE。
18．【例题18】（多选）甲、乙两列简谐横波在同一均匀介质中传
播，波源位于x=0 处的甲波沿x 轴正方向传播，波源位于x=12m 处的
乙波沿x 轴负方向传播。t=0 时刻两列波的波形图如图所示。已知
甲、乙波速都为v=4m/s。下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙两列波不能发生稳定的干涉
B．两列波叠加后，x=3m 处为加强点
C．t=1.75s 时刻，x=6m 处的质点位移为1cm
D．在0~2s 时间内，x=5m 处的质点经过的路程为53cm
【答案】BD【详解】A．波速相同，根据 图像可知，波长均为
4m，根据
可知，频率相同，则甲、乙两列波能发生稳定
的干涉故A 错误；B．利用同侧法可知，甲波的波前的起振方向向上，乙波的波前的起振方向向下，由于
一切质点的起振方向均与波源的起振方向相同，则甲波的波源的起振方向向上，乙波的波源的起振方向
向下，可知两波源频率相等，振动步调相反，由于x=3m 处到两波源的间距差的关系为
间距差为半波长的奇数倍，可知，两列波叠加后，x=3m 处为加强点，故B
正确；C．x=6m 处到两波源的间距差的关系为
结合上述，可知两列波叠加后，x=3m 处
为减弱点，其振幅为5cm-4cm=1cm 根据0 时刻的波形图可知，甲乙两波的波前到x=6m 处的距离均为
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2m，波传播到该位置需要的时间
根据上述可以解得
由于
由于乙波的波源的起振方向向下，可知t=1.75s 时刻，x=6m 处的质点位移
为-1cm，故C 错误；D．由于x=5m 处到两波源的间距差的关系为
间距差为半波
长的奇数倍，可知，两列波叠加后，x=5m 处为加强点，两波在该点叠加后的振幅为5cm+4cm=9cm 乙波
传播到该位置的时间
甲波传播到该位置的时间
可知，在
0.75s 时间间隔内，质点以甲波的波形振动的时间为
上述时间内质点经过的路程
当两波在该点叠加后，由
此时间间隔内，甲乙的波形均传播到该
点，质点经过的路程
可知，在0~2s 时间内，x=5m 处的质点经过的路程为
45cm+8cm=53cm 故D 正确。故选BD。
19．【例题19】（多选）一振动片以频率f 做简谐振动时，固定在振动片
上的两根细杆同步周期性地触动水面上a、b 两点，a、b 两波源发出的波在
水面上形成稳定的干涉图样，c 是水面上的一点，a、b、c 间的距离均为l，
如图所示。已知a、b 两波源发出的波的波长为
，则（ ）
A．c 点为振动加强点 B．c 点为振动减弱点
C．在a、b 连线之间有四个振动减弱点
D．在a、c 连线之间有四个振动减弱点
【答案】AD【详解】AB．c 点到两波源的距离差为零，所以是振动加强点，A 正确，B 错误；
C．振动减弱点到两波源的距离差为半波长的奇数倍，即为
（n=1,2,3,……）a、b 连线上各点
到a、b 两波源的距离差的范围是0~l，所以从a 到ab 中点的距离上，振动减弱点有4 个，到两波源距离
差分别为
、
、
、
；同理，在ab 中点到b 的距离上，振动减弱点也有4 个，所以在a、b 连线
之间有8 个振动减弱点，C 错误；D．a、c 连线上从a 到c，各点到a、b 两波源的距离差从l 逐渐减小到
0，由C 项分析可知，振动减弱点有4 个，到两波源距离差分别为
、
、
、
，D 正确。故选
AD。
20．【例题20】（多选）如图所示，在均匀介质中，坐标系
位于水平
面内。
点处的波源从
时刻开始沿垂直于
水平面的轴做简谐运
动，其位移随时间变化关系
，产生的机械波在
平面内
传播。实线圆、虚线圆分别表示
时刻相邻的波峰和波谷，且此时刻平面内
只有一圈波谷，则下列正确的是（ ）
A．该机械波的传播速度为
B．
C．
时，
处质点的速度方向为轴正方向
D．
至
时间内，
处质点运动的路程为
【答案】ABD【详解】A．由题意可得，相邻的波峰和波谷距离为
，故
波的波长为
。根据简谐振动的位移时间变化关系可得
故机
械波的传播速度为
故A 正确；B．由图像可知，
距离
为一
个完整的波长，
时刻，
均在波峰，且平面内只有一个完整的波形，则
点此
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时第二次出现波峰，可知
故B 正确；C．由AB 选项中的计算结果可知机械波传播到
点
需要
则
时，
点已经振动了
个周期
机械波上的所有
点都在模仿
点的振动情况，因而如下图所示，
的位置在轴的负半轴，且速度方向沿轴负方向。
故C 错误；D．根据勾股定理可知
则传播到
点的时间为
则
至
时间内，
处质点只振动了
个周期
则
点处质点运动的路
程
故D 正确。故选ABD。
21【例题21】（单选）如图甲所示，在同一均匀介质中有两个振动完全相同的波源
、
，两波源相距
24cm，M、N 为介质中两波源连线的中垂线上的两个质点。已知波速为0.25m/s，两波源同时开始振动，
从波源振动开始计时，M 点的振动图像如图乙所示。当N 点开始振动后，在某一时刻在中垂线上M、N
是相邻的波峰，则（ ）
A．M、N 间的距离为5cm B．M、N 间的距离为7cm
C．M、N 连线的中点振动减弱
D．M、N 处于波峰时，两点连线的中点处于波谷
【答案】B【详解】AB．由乙图可知，波的周期为T=0.2s
所以两个波源产生的波的波长为
因经0.6s 波从波源传到M，所以
到M 的距离为
M、N 是相邻的波峰，所以它们到波源
（或
）的路程差为5cm，
到N 的距离为
则又由几何关系可知，M 到两波源连线中点的距离为9cm
N 到两波源连线中点
的距离为
所以M、N 间的距离为7cm，选项A 错误，B 正确；C．两波源连线
中垂线的到两波源和路程差都为0，所以都是振动加强的点，选项C 错误；D．M、N 两点连线的中点到
波源连线中点的距离为12.5cm，到波源
的距离为
而波谷到
的距离应为
17.5cm，所以M、N 两点连线的中点不是波谷，选项D 错误。故选B。
22．【例题22】（单选）图甲为超声波悬浮
仪，上方圆柱体发出超声波，下方圆柱体将接
收到的超声波信号反射回去。两列超声波信号
叠加后，会出现振幅几乎为零的点——节点，
小水珠能在节点处附近保持悬浮状态，图丙为
某时刻两列超声波的波形图，P、Q 为波源，
点M（-1.5，0）、点N（0.5，0）分别为两列
波的波前，已知声波传播的速度为340m/s。
则下列说法正确的是（ ）
A．该超声波悬浮仪所发出的超声波信号频率为340Hz
B．小水珠悬浮时，受到的声波压力为零
C．两列波充分叠加后，小水珠不可以悬浮在点M（-1.5，0）附近
D．经过t=1×10-4s，点M 沿x 轴正方向移动3.4cm
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【答案】C【详解】A．由图可知，超声波波长为1cm，而声波的传播速度为340m/s，所以超声波信号频
率为
故A 错误；B．小水珠悬浮时，受到的声波压力与重力平衡，所以声波
压力竖直向上，故B 错误；C．由于PQ 为两个波源，可知波源振动步调相反，M 点与两个波源的波程差
为2.5cm，即2.5 个波长，为振动加强点，不是节点，小水珠不能悬浮在此处，故C 正确；D．介质中的
各质点在平衡位置附近振动，而不会随波迁移，故D 错误。故选C。
（五）巩固练习
（1）简谐运动
23．（多选）一般简谐运动周期为
。其中
为振子质量，
为振动系统的回复力系数。如图，现有一弹簧振子，当把它水平放置
时，它可以作简谐振动。若把它竖直放置或放在固定的光滑斜面上做振
幅相同的自由振动，且周期分别为
，试判断下面哪种说法是正确
的（ ）
A．水平运动的弹簧振子在半个周期内弹力做功一定为零
B．水平运动的弹簧振子在半个周期内弹力做功不一定为零
C．竖直放置和放在光滑斜面上的两种情况下振子均做简谐振动，且
D．竖直放置和放在光滑斜面上的两种情况下振子均做简谐振动，且
【答案】AC【详解】AB．弹力做功的大小等于弹性势能的变化量；从某时刻起，在半个周期内，由于位
移大小具有对称性，所以弹力做功为0，故A 正确，B 错误；CD．物块竖直放置在弹簧下端时，设弹簧
的劲度系数为k，物块在平衡位置时弹簧伸长量为
，此时受力平衡，有
若物块运动至平衡位置
下方距平衡位置
处，取向下为正方向，此时物块受到的回复力
即物块受到
的回复力与距离平衡位置的位移成正比，方向与位移方向相反，所以该运动为简谐振动。物块在固定的
光滑斜面上运动时，设弹簧的劲度系数为k，物块在平衡位置时弹簧伸长量为
，此时受力平衡，有
若物块运动至平衡位置下方距平衡位置沿斜面方向
处，取沿斜面向下为正方向，此时物
块受到的回复力
即物块受到的回复力与距离平衡位置的位移成正比，方
向与位移方向相反，所以该运动为简谐振动。这两种情况，振动系统的回复力系数均为
。故
故C 正确、D 错误。故选AC。
24．（多选）如图所示，物体
与滑块
一起在光滑水平面上做简谐运
动，
、
之间无相对滑动，已知轻质弹簧的劲度系数为
，
、
的质
量分别为
和
，下列说法不正确的是（ ）
A．物体
所受的回复力大小跟位移大小之比为
B．把物体
与滑块
看成一个振子，其回复力大小跟位移大小之比为
C．滑块
的回复力是由弹簧的弹力提供
D．若
、
之间的最大静摩擦因数为
，则
、
间无相对滑动的最大振幅为
【答案】ACD【详解】A．设弹簧的形变量为
，根据牛顿第二定律得到整体的加速度为
对A
可见，作用在A 上的静摩擦力大小
，即回复力大小与位移大小之比为
，A 错误，符合题意；B．物体A 与滑块B（看成一个振子）的回复力大小满足
则回复力大小跟位移大小之比为
，B 正确，不符合题意；C．物体B 作简谐运动的回复力是弹簧的弹力
和A 对B 的静摩擦力的合力提供，C 错误，符合题意；D．据题知，物体间的最大摩擦力时，其振幅最
大，设为
，以整体为研究对象有
以物体A 为研究对象，有牛顿第二定律得
联立解得
D 错误，符合题意。故选ACD。
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25．（单选）如图所示，质量均为
的物块a、b 用劲度系数为
的
轻弹簧固定拴接，竖直静止在水平地面上。物块a 正上方有一个质量也为m 的物块c，
将c 由静止释放，与a 碰撞后立即粘在一起，碰撞时间极短，之后的运动过程中物块b
恰好没有脱离地面。忽略空气阻力，轻弹簧足够长且始终在弹性限度内，重力加速度g
取
，下列说法正确的是（ ）
A．碰后瞬间a、c 整体的加速度大小为
B．轻弹簧的最大弹力为
C．刚开始释放物块c 时，c 离a 的高度为
D．a、c 碰撞过程中损失的机械能为
【答案】C【详解】A．物块c 和a 碰撞前，弹簧是压缩状态，对a 受力分析，可得弹簧的弹力为
对碰后瞬间a、c 整体受力分析，由牛顿第二定律有
解得
故A 错误
B．物体b 恰好不脱离地面，所以a、c 整体向上到最高点时，弹簧是伸长状态，弹力大小为
a、c
整体向下运动到最低点时，弹簧是压缩状态，弹力设为
，碰后a、c 整体在竖直方向做简谐运动，最高
点、最低点的回复力大小相等，方向相反，则有
解得
最低点时，弹簧的弹力
最大，所以弹簧的最大弹力为
，故B 错误；C．设刚开始释放物块c 时，c 离a 的高度为h，则c 与a
碰前速度大小为
c 与a 碰撞时间极短，由动量守恒定律可得
解得碰后a、c 共同速度
大小为
从a、c 碰后瞬间到反弹至最高点的过程，a、c 整体上升的高度为
对a、c 整体由机械能守恒定律可得
解得
故C 正确；D．由能量守恒定律可知，c
与a 碰撞时损失的机械能为
解得
故D 错误。故选C。
26（单选）如图所示，为某物体做简谐运动的图像。下列
说
法中正确的是（ ）
A．该简谐运动的位移—时间关系为
B．物体在t = 0 时的位移为
C．物体在t = 0 时的速度为
D．物体在t = 0.4s 和t = 0.6s 时动量相同
【答案】C【详解】A．该简谐运动的位移—时间关系的表达式为x = －Asin（ωt＋φ）（cm）
由题图可知A = 4cm，T = 0.8s，
代入点（0.1，－4）可得
则该简谐运动的位移—时
间关系为
故A 错误；BC．由于
则当t
= 0 时
故B 错误、C 正确；D．由于x—t 图像的斜率代表速度，则由题图可知物体在t =
0.4s 和t = 0.6s 时速度方向相反，则物体在t = 0.4s 和t = 0.6s 时动量不同，故D 错误。故选C。
（2）波的图像和振动图像的综合应用
27．（多选）一列简谐横波沿x 轴正方向传播，
时的波形如图a 所示。在x 轴正方向，距离原点小
于一个波长的A 点，其振动图像如图b 所示。本题所涉及质点均已起振。下列说法正确的是（ ）
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A．平衡位置在
与
的质点具有相同的运动状态
B．
时，平衡位置在
处的质点加速度方向为沿y 轴正方向
C．A 点的平衡位置与原点的距离在0.5m 到1m 之间
D．
时，A 点的速度方向为沿y 轴负方向
【答案】ABD【详解】A. 根据波动图和振动图可读出波的波长
，周期为T=4s，故可得波速为
平衡位置在x=3m 与x=7m 的质点相差两个波长，则其振动情况完全相同，故A 正确；
B.根据
与
的时间差为
平衡位置x=2.0m 的质点再振动
的时间，正处于波
谷，故加速度方向沿y 轴正方向，故B 正确；C.根据A 质点的振动图可知，t=7.5s 时A 质点在正的最大位
移处，因周期为T=4s，则t=6.5s 时A 质点在平衡位置，t=5.5s 时A 质点在负的最大位移处，故t=6s 时A
正在负的位移位置向平衡位置振动，由t=6s 的波动图可知A 质点的平衡位置与原点的距离在0m 到0.5m
之间，故C 错误；D. 由振动图像可知，t=13s 时A 点正处于平衡位置和负最大位移之间向轴负方向运
动，故D 正确。故选ABD。
28．（单选）一列沿x 轴传播的简谐横波在
时的波形如图甲所示，P、Q 是介质中
的两个质点，P 的平衡位置
，Q 的平衡
位置
；图乙为质点P 的振动图像。下
列说法正确的是（ ）
A．这列波的传播速度大小为3
B．这列波的传播方向沿x 轴正方向
C．再经过1s，质点Q 沿x 轴负方向运动3m
D．
时，质点Q 离开平衡位置的位移为
【答案】A【详解】A．由图可知，波长为12m，周期为4s，则波的传播速度为
A 正确；B．
在
时，点P 向y 轴负方向运动，根据“上下坡法”，这列波的传播方向沿x 轴负方向，B 错误；C．
Q 点在平衡位置附近振动，不会沿传播方向运动，C 错误；D．Q 点振动滞后于P 点，滞后时间为
由
Q 点从平衡位置向y 轴负方向运动
时，即在t=2s 时的位移为
D 错误。故选
A。
29．（单选）一列简谐横波沿x 轴传播，在
t=0.125s 时的波形如图甲所示，M、N、P、Q 是
介质中的四个质点，已知N、Q 两质点平衡位置
之间的距离为16m。如图乙所示为质点P 的振动
图像。下列说法正确的是（ ）
A．该波的波速为240m/s
B．该波沿x 轴正方向传播
C．质点P 的平衡位置位于x=3m 处
D．从t=0.125s 开始，质点Q 比质点N 早
回到平衡位置
【答案】D【详解】A．设该波的波长为λ，根据三角函数知识可知，N、Q 两质点平衡位置间的距离为
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解得
由题图乙可知该波的周期为
，所以该波的波速为
故A 错误；B．由题图乙可知，t=0.125s 时刻，质点P 沿y 轴负方向运动，此时P 应位于波
传播方向波形的上坡，所以该波沿x 轴负方向传播，故B 错误；
C．由题图乙可知，在t=0.125s 之后，质点P 第一次位于波峰的时刻为t=0.25s，易知此波峰为t=0.125s 时
刻质点Q 所在处的波峰传播来的，所以有
解得
故C 错误；
D．从t=0.125s 开始，质点Q 第一次回到平衡位置所经历的时间为
图甲中，质点Q 左侧波形
的第一个平衡位置处坐标为
该振动状态第一次传播到质点N 所经历的时间为
则
即质点Q 比质点N 早
回到平衡位置，故D 正确。故选D。
30．如图甲所示，介质中振源O 的振动图象如图乙所示，与O 点在同一直线上有P、Q 两个质点，P 质
点距离O 点
，Q 质点距O 点
，振源振
动所形成的机械波在传播过程中两相邻波谷之间的距
离为
。求：
（1）①该波传播的速度v；
②从振源振动开始计时，P 质点第一次到达波谷时所
需要的时间t；
（2）①振源振动方程；
②P 质点第一次经过平衡位置向下运动时Q 质点的运动的路程s。
【答案】（1）①
；②
；（2）①
；②
【详解】（1）①设波速为v，波传到
P 点用时
，由题意可知
得
②根据波的传播规律，波第一次传到P 点
所花时间满足
则P 质点第一次到达波谷所需要的时间为
联立解得
（2）①由函数知识得振源振动方程为
②因为
而
满足
则Q 从开始振动经过的时间为
联立解得
故Q 通过的路程为
（3）对波形图的理解
31.（多选）如图所示，一列简谐横波沿x 轴传播，实线为
时的波形图，虚线为
时的波形图，波的传
播速度为
，P、Q 两质点的平衡位置在x 轴上，其坐
标分别为
、
。下列判断正确的是（ ）
A．P 点振动的周期为
B．波沿x 轴正方向传播
C．P 点的振动方程为
D．
时，P、Q 两点的速度相同
【答案】BD【详解】A．由图可知波长
，
则周期
选项A 错误；B．实线为
时的波
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形图，虚线为
时的波形图，则
则波对应向前传播
，所以波沿x 轴正方
向传播，选项B 正确；C．角速度
P 点的振动方程为
即
由图可知
时，P 的位移为0，则有
解得
所以P 点的振动方程为
选项C 错误；D．从
到
波向前传播
作出
时的波形如图：从
时的波动方程为
则
解得
则P、Q 两点关于平衡位置对称，又波
沿x 轴正方向传播，可判断P、Q 的速度方向均沿y 轴正方向，所以P、Q 两点的速度相同，选项D 正
确。故选BD。
32．（多选）一列简谐横波在某时刻的波形如图所示，该时刻质点P
的速度为v，经过1.0s 它的速度第一次与v 相同，再经过0.2s 它的速
度第二次与v 相同，则下列判断中正确的是（ ）
A．波沿x 轴正方向传播，波速为6m/s
B．波沿x 轴负方向传播，波速为5m/s
C．质点M 与质点Q 的位移大小总是相等、方向总是相反
D．从图示位置开始计时，在2.0s 时刻，质点P 的位移为20cm
【答案】BD【详解】AB．假设质点P 向上振动，此时有
此时相位为
，当速度和第一次相等时位移为
向上振动，则
此时相位为
，同理第三次经过速度相等时相位再次为
，则
，
与题干描述的第一次时间多第二次时间少不符，即该时刻质点P 的速
度为v，经过1.0s 它的速度第一次与v 相同，再经过0.2s 它的速度第二次与v 相同，可知，此时质点P 向
下振动，则该波的周期为T=1.0s+0.2s=1.2s 由题图读出波长λ=6m，则波速为
此时质点P 向下振动可知，图示时刻P 点运动方向沿y 轴负方向，则波沿x 轴负方向传播，故A 错误，B
正确；C．题图所示时刻，质点M 与质点Q 的位移大小相等、方向相反，但它们平衡位置之间的距离不
是半个波长的奇数倍，所以位移不是总是相反，故C 错误；D．该波的周期T=1.2s，从题图所示位置开始
计时，质点P 的振动方程为
cm 当t=2.0s
时，代入解得y=20cm 即从图示位置开始计时，在2.0s 时刻，质点P 的位移为20cm，故D 正确。故选
BD。
33．（多选）一列振幅为
的简谐横波向右传播，在其传播路径上每隔
选取一个质点，如图甲
所示，
时刻波恰传到质点1，质点1 立即开始向上振动，经过时间
，所选取的1~9 号质点间
第一次出现如图乙所示的波形，则下列判断正确的是（ ）
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A．该波的周期为0.4s，波速为4m/s B．
时刻，质点1 向下运动
C．
时刻，质点8 向上运动 D．
至
内，质点5 运动的时间只有0.4s
【答案】ABD【详解】A．
时刻质点1 从平衡位置开始向上振动，由图可知
时第一次出现如
图乙所示的波形，可知经过了0.6s 的时间，质点1 已经振动了1.5T，即
解得
波长为
则波速
选项A 正确；BC．由波形图可知，
时刻，质点1
向下运动，质点8 向下运动，选项B 正确，C 错误；D．振动从1 传到5 的时间为
则
至
内，质点5 运动的时间只有0.4s，选项D 正确。故选ABD。
34．（多选）某同学手握柔软绳子的一端上下抖动形成沿x 轴正方
向传播的简谐横波，波速为2 m/s。t=0 时刻的波形图如图所示，绳
上平衡位置在坐标原点的质点S 在t=0 时刻的位移
。下
列说法正确的是（ ）
A．该波的波长为0.6 m
B．该波的频率为2.5 Hz
C．t=2 s 时刻，质点S 向下运动
D．t=2 s 时刻，质点S 的速度为零
【答案】BC【详解】A．简谐横波一般式为
带
入图中数据
解得
，
故A 错误；B．周期
频率
故B 正确；CD．因为
所以t=2 s 时刻，质点S 的运动与t=0 时刻相同，由题
意知波沿x 轴正方向传播，结合图可知，t=0 时刻质点S 向下运动，速度不为零，故C 正确，D 错误。故
选BC。
35．（多选）图中实线和虚线分别是x 轴上传播的一列简谐横波在t＝0 和t＝0.03s 时刻的波形图，x＝
1.2m 处的质点在t＝0.03s 时向y 轴正方向运动，则(
)
A．该波的频率可能是125Hz
B．该波的波速可能是10m/s
C．t＝0 时x＝1.4m 处质点的加速度方向沿y 轴正方向
D．从t＝0 时起，平衡位置在0.9m 处的质点再经过
周期时的位移为-2.5cm
【答案】AD【详解】A．由题x=1.2m 处的质点在t=0.03s 时刻向y 轴正方向运动，可知波向右传播。
则时间
解得周期
，（n=0，1，2…）频率
，
（n=0，1，2…）当n=3 时f=125Hz 选项A 正确；B．波速的通项
，n=0，1，2……因为n 是整数，故v 不可能等于10m/s，选项B 错误；C．t=0 时x=1.4m 处质点位于x 轴
上方，加速度方向沿y 轴负方向，选项C 错误；D．从t＝0 时起，平衡位置在0.9m 处的质点从平衡位置
向下振动，振动方程为
当
时
选项D 正确。
故选AD。
36．（多选）如图所示，一列简谐横波沿x 轴负方向传
播，实线为
时刻的波形图，虚线为
时刻的波
形图，M 是
处的质点．则下列说法正确的是
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（ ）
A．这列波的波长是
B．
时刻，质点M 运动方向沿y 轴负方向
C．该简谐波的最小频率为
D．该简谐波的最小传播速度为
E．
时，质点M 位移可能为0
【答案】BDE【详解】A．由图可得该波波长为
，故A 错误；
B．由于波沿x 轴负方向传播，由“上坡下，下坡上”可知，M 点在
时刻运动方向沿y 轴负方向，故
B 正确；C．由条件可得
则周期
则最大周期为
时，即
则最小频率为
故C 错误；D．传播速度为
，则最小传播速度为
故D 正确；E．由
如
，则可得传播两个周期，则M 点位移可能为0，
故E 正确。故选BDE。
37．（多选）一简谐波的波源在O 点（x 轴上原点），从0 时刻起开始振
动，0.5s 后频率保持不变，在同一均匀介质中沿x 轴正方向传播，其振动
图象如图所示（0～0.5s 内振动未画出）。当
时波刚好传到
处，下列说法正确的是（ ）
A．波源起振方向向下
B．在
时，波刚好传播到
处
C．在
时，
处质点的振动方向向下
D．
与
处质点的振动情况始终相同
【答案】BC【详解】A．由于0～0.5s 振动情况未知，故无法判断波源的起振方向，A 错误；B．当
时波刚好传到
处，则波速
在
时，波刚好传播到
故B
正确C．由图可知，波的传播周期
波长
波源在0.5s 时的振动方向向下，此
时振动传播到
处的时间
则该处质点稳定振动的时间为
故质点的振动方向向下，故C 正确；D．由于0～0.5s 振动情况未知，故
与
处质点的振动情况无法判断，故D 错误。故选BC。
（4）波的多解问题
38．（多选）如图所示，是一列沿x 轴传播的简谐横波在t0时刻的波形
图，图中P 质点的位移为1cm，质点Q 的位置坐标x=4m，波的周期为
0.4s 则下列叙述正确的是（ ）
A．简谐横波的速度大小为3.2m/s
B．再过0.4s 质点Q 的路程为8cm
C．若这列简谐横波沿x 轴负方向传播，则P 点再过
s 回到平衡位置
D．若这列简谐横波沿x 轴正方向传播，则P 的振动方程为
【答案】BC【详解】A．简谐横波的速度大小为
故A 错误；B．再过0.4s，即过一
个周期，质点Q 的路程为4 个振幅，等于8cm，故B 正确；C．根据
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解得P 质点的平衡位置为
所以P 点回到平衡位置的时间为
故C 正确；D．若这列简谐横波沿x 轴正方向传播
解得
根据t0时刻的波形图，图中P 质点的位移为1cm
则P 的振动方程为
故D 错误。故选BC。
39．一列横波在t1=0 时刻、t2=0.5s 时刻波形分别如图中实线、虚线所示，求：
（1）若这列波向右传播，波速是多少；若这列波向左传
播，波速是多少；
（2）若波传播速度v=36m/s，判断波传播的方向；
（3）若t1=0 时刻的质点x=4m 振动方向沿−y 方向，从
t1=0 时刻算起，该质点第11 次到达y=5cm 所需时间。
【答案】（1）
（n=0，1，2，⋯），
（n=0，1，2，⋯）（2）向右；（3）
（n=0，1，2，⋯）
【详解】（1）由题图可知波长λ=8 m，当波向右传播时
（n=0，1，2，⋯）
解得
（n=0，1，2，⋯）由波速公式可
（n=0，1，2，⋯）
当波向左传播时
（n=0，1，2，⋯）解得
（n=0，1，2，⋯）
由波速公式可得
（n=0，1，2，⋯）（2）Δt 内波传播的距离为
因此波向右传播；（3） 若t1=0 时刻的质点x=4m，振动方向沿−y 方
向，可知波向左传播。从t1=0 时刻算起，x=4m 的质点其振动方程
当质点第1 次到达
y=5cm 历时
再历时5T2到达y=5cm ，10 次，所以
当波向左传播时
（n=0，1，2，⋯）解得
（n=0，1，2，⋯）解得
（n=0，1，2，⋯）
40．如图所示为沿x 轴传播的简谐横波，实线为
时的波形
图，经
时波形图为虚线所示。求：
（1）该波的波速为多少？
（2）若波速为
时，从
时重新开始计时，写出坐
标为
处的质点的振动方程。
【答案】（1）
（
，1，2，3…）或
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（
，1，2，3…）；（2）
【详解】（1）由图可知波的振幅为
、波长为
，
时坐标为
处的位移为
若波沿x 轴正方向传播，则
（
，1，2，3…）解得
（
，1，2，3…）波速
（
，1，2，3…）若波沿x 轴负方向传播，则
（
，1，2，3…）解得
（
，1，2，3…）波速为
（
，1，2，
3…）（2）结合（1）的解析可知，当波速为
时，波沿x 轴的负方向传播，
处的质点振动方
向沿y 轴的正向。周期为
则
处的振动方程为
开始计时时，
处的位移为
，解得
则开始计时时，
处的振动方程
（5）波的叠加.干涉问题
41．（多选）
m 和
m 处持续振动的两振源，在同一介质中形成沿x 轴正负两个方向相向
传播的、波速均为
m/s 的甲、乙两列波，
时刻波形如图所示。下列说法正确的是（ ）
A．两列波的起振方向相反 B．两列波在相遇区域内不会发生干涉现象
C．
s 时，位于
m 处的M 点的振动位移为
cm
D．
s 时，位于
m 处的N 点的振动方向沿y 轴负向
【答案】BD【详解】A．由波动图像分析可得，前面的点带动后面的点振动，所以两列波的起振方向相
同，故选项A 错误；B．根据
可得，由于波速一样，波长不一样，故频率不同，不能发生干涉现
象，故选项B 正确；C．
s 时，甲波的波谷恰好传到M 点，而乙波位于1.05m 的振动形式传到M
点，1.05m 质点的位移大于1cm，故叠加以后，M 点的振动位移不等于
cm，故选项C 错误；D．
s 时，波向传播方向前进了
甲向前传递了四个波形，乙波向前传递了2 个波形，故在
处，两列波都是向下振动，故位于
m 处的N 点的振动方向沿y 轴负向，故选项D 正确。故
选BD。
42．（多选）如图a 所示，在xOy 平面内有
和
两个波源分别位于
和
处，振动方
向与xoy 平面垂直并向周围空间传播，图像分别如图b、c 所示。
时刻同时开始振动，波速为
。若在xoy 平面内有一曲线，其方程为：
（单位：m），M 点为该曲线上的一点（未画
出），
，整个空间有均匀分布的介质。下列说法正确的是（ ）
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图a 图b 图c
A．（0.2m，0）处的质点开始振动方向沿z 轴正方向
B．两列波相遇后，在xoy 平面内第一象限曲线上共有5 个振动加强的质点
C．两列波相遇后，在oxy 平面内第一象限曲线上共有5 个振动减弱的质点
D．若
，从两列波在M 点相遇开始计时，M 点振动方程为
【答案】AD【详解】A．两列波波速相同，（0.2m，0）处距离
较近，
时刻
振动方向沿z 轴正方向，所以（0.2m，0）处的质点开始振动方
向沿z 轴正方向，故A 正确；B．由图知，周期T=0.2s 两列波波长均为
抛物线如图，
、
到第一象限抛物线上点的距离最大值达不到1.2m，所
以两波源到抛物线上点的波程差小于1.2m。若在xoy 平面内第一象限曲线
上的点振动加强，当抛物线上点的x 轴坐标在对称轴右侧时，则波程差
（n=1，2，3
）可知有2
个点符合条件，根据对称性，在对称轴左侧也有2 个点符合条件，所以两列波相遇后，在xoy 平面内第一
象限曲线上共有4 个振动加强的质点，故B 错误；
C．若在xoy 平面内第一象限曲线上的点振动减弱，当抛物线上点的x 轴坐标在对称轴右侧时，则波程差
（n=1，2，3
）可知有3 个点符合条件，根据
对称性，在对称轴左侧也有3 个点符合条件，所以两列波相遇后，在xoy 平面内第一象限曲线上共有6 个
振动加强的质点，故C 错误；D．两列波振幅均为A=20cm
时刻两列波振动方向相
反
则M 点为振动加强点，M 点振动方程
故D 正确。故选
AD。
43．（单选）如图所示波源
和
间距为
，起振方向相
同，频率均为
，两波源产生的简谐横波在均匀介质中朝
四
周各个方向传播且同时到达
点，已知
且
，
波速为
，判断以下选项正确的是（ ）
A．波源
比
先振动
B．
产生的波到达
时，
处质点正在靠近平衡位置
C．两列波完全叠加后线段
上振幅最小的点有3 个
D．两列波完全叠加后线段
上振幅最大的点有3 个
【答案】D【详解】A．根据几何关系可知
波在同种介质中的传播速度相同，
波源
比
提前振动的时间
A 错误；B．波的振动周期
产生的波到达
所需时间
因此
处质点正在远离平衡位置，B 错误；C．两列波叠加后在S1S2间形
成驻波，两个相邻的振动加强点间的距离为
，两个相邻的振动减弱点间的距离也为
，加强点与减
弱点间的最近距离为
，起振方向向上，两列波相遇点为振动加强点，由于波源
比
提前振动了
0.5s，因此两列波相遇点位置到S1的距离为
又由于波长
因
此到S1距离为0.25m，2.75m，5.25m，7.75m 点为振动减弱点，C 错误；D．P 点为振动加强点，到两波
源距离差为2m，到两波源距离再多出波长整数倍的点也为振动加强点，因此在S2P 上，到S1 、S2两波源
距离差为3.0m，8.0m 点也为振动加强点，D 正确。故选D。
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44．（单选）两波源分别位于坐标原点和x＝14m
处，t＝0 时刻两波源开始起振，t＝4s 时的波形图
如图所示，此时平衡位置在x＝4m 和x＝10m 的
P、Q 两质点刚开始振动，质点M 的平衡位置位于
x
＝7m 处，质点N 的平衡位置位于x＝6m 处，则
（ ）
A．t＝6s 时两列波相遇
B．从0 到10s 内质点N 通过的路程为2.4m
C．t＝7.5s 时质点M 的速度在增大
D．t＝10s 时质点N 的振动方向沿y 轴负方向
【答案】B【详解】A．由图可知两列波的波长均为
周期为T＝4s 则波速为
如图波相
遇，再运动的时间为
所以两列波相遇时
则两列波在7s 时相遇，故A 错
误；
B．开始计时后左右波两列波传到N 点时间差为2s，左边波引起N 点路程为
时两列波都传到N
点后N 点振动加强，振幅为2A，后2s 路程为1.6m，总路程2.4m。故B 正确；C．两列波同时传到M 点
且起振方向相反，因此M 点始终保持静止，故C 错误；D．左边的波传播的N 点的时间
右边
的波传播到N 点的时间
此后两列波在N 点振动加强，合振幅为0.8m，所以t＝10s 时质点
N 经过平衡位置向上运动故D 错误。故选B。【点睛】本题考查机械波的叠加内容。
45．（单选）如图，平衡位置位于原点O 的振源做简谐运动，其运动的
表达式为
。该振动激发一列沿x 轴正方向传播的简
谐波。某次振源的位置达到正向最大位移处时，坐标为（9，0）的P 点
恰好开始振动且OP 之间存在4 个波谷，从该时刻开始计时，下列说法正
确的是（ ）
A．P 点起振时沿y 轴正方向运动 B．该列简谐波的波速60m/s
C．t=1.2s 时，P 点的加速度沿y 轴负方向且最大
D．t=1.2s 时，坐标为（21，0）的Q 点（图中未画出）通过的路程为0.2m
【答案】D【详解】A．根据表达式可知，简谐波的振幅为0.05m，频率为5Hz，周期为0.2s，各个质点的
起振方向沿着y 轴负方向，A 错误；B．P 点恰好开始振动时，振源在最大位移处，可知OP 间的距离为
（n=0，1，2，……）
（n=0，1，2，……）根据公式
P 点开始振动
时，OP 之间存在4 个波谷，则
公式中n=3，代入得波速为v=12m/sB 错误；C．由于
t=1.2s=6TP 点经过平衡位置向y 轴负方向运动，加速度为0，C 错误；D．波经过1s 传到Q 点，t=1.2s 时
Q 点振动了0.2s，经过的路程为Δs=4A=0.2mD 正确。故选D。
46．（单选）如图所示，在a、b 两点存在两个相同的波源垂直于纸面做简谐运动，振
动方程均为
，所激发的横波在均匀介质中向四周传播。a、b、c 分别
为直角三角形的三个顶点，
．已知从a 点发出的波在
时到达b
点。下列说法正确的是（ ）
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A．在
时，由b 点发出的波恰好传至c 点B．c 点起振方向沿y 轴负方向
C．经过足够长时间后c 点振幅为
D．在
时，
中点位移大小为
【答案】D【详解】A．从a 点发出的波在t=1.5s 时到达b 点，可知波速为
由b 点发出的波
恰好传至c 点的时间
故A 错误；B．因为两波源的起振方向沿沿y 轴正向，a 点发出的波先
到c 点，所以c 点起振方向沿y 轴正向，故B 错误；C．两列波振动方程均为
（m），可知
两列波的周期和频率T=1sf=1Hz 两列波的波长为
两列波的周期和频率相同，所以产生干涉现
象；由几何关系可知
c 点到ab 两波源的路程差为
所以c 点为振
动减弱点，两波源振幅相同，所以经过足够长时间后c 点振幅为0，故C 错误；
D．根据几何关系，两波源到
中点的距离均为5cm，则
中点为振动加强点，在
时，两列波均
能传过
中点，所以在
时，
中点位移大小为
，故D 正确。故选D。
47．两列简谐横波分别沿x 轴正方向和
负方向传播，两波源分别位于x=-0.2m
和x=1.2m 处，两列波的波速均为
0.4m/s，波源的振幅均为
时
刻两列波的图像如图所示，此刻平衡位
置在x=0.2m 和x=0.8m 的P、Q 两质点
刚开始振动。
（1）写出x=-0.2m 处波源的振动方程；（2）x 轴上PQ 间振动加强点的横坐标；（3）求0~2.0s 内质点M
运动的路程s。
【答案】（1）
；（2）0.5m、0.7m、0.3 m；（3）40cm【详解】（1）由波形图可得
λ=0.4m 周期
角速度
x=-0.2m 处波源的振动方程y=Asin（ωt+π）解得y=4sin（2πt+π）cm
（2）设某振动加强点到波源1 的距离为x+0.2，则到波源2 的距离为1.2-x，加强点到两波源的路程差
△x=nλ=x+0.2-（1.2-x）当n=0，1，-1 时，振动加强点的坐标分别为0.5m、0.7m、0.3 m（3）两列波传播
到M 点的时间
其中x=0.3m 质点M 为振动加强点，0~2.0s 内，M 振动的时间
0~2.0s
内，M 运动的路程s=5×2A 解得s=40cm
48（单选）．如图甲所示，在xOy 平面内有两个沿y 轴方向做简谐运动的点波源
和
分别位于
和
处，某时刻波源
在x 轴上产生的波形图如图乙所示，波源
的振动图像如图丙所示，由两波源
所产生的简谐波波速均为
，质点a、b、p 的平衡位置分别位于
、
、
处。已
知在
时，两波源均在平衡位置且振动方向相同，下列说法正确的是（ ）
A．两波源所产生的简谐波不会发生干涉B．
时，质点a 向y 轴正方向振动
C．在
内，质点b 运动的总路程是
D．稳定后质点p 振动的表达式为
【答案】C【详解】A．由图乙可知，波源
的波长
，可得波源
的频率为
由图
丙可知波源
的频率
所以波源
和波源
的频率相同，两列波振动方向相同，相位差固
定，为相干波源，则两波源所产生的简谐波可发生干涉，故A 错误；B．由图丙知，在
时，波源
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在平衡位置且向y 轴负方向运动，则在
时，波源
也在平衡位置且向
轴负方向运动。
波源
的波长为
可得在
时，由于波源
和波源
所引起
处质点都在平衡位置向y
轴负方向运动；那么在
，即经过
后由波源
和波源
所引起
处质点在平衡
位置下方且向y 轴负方向运动，故B 错误；C．质点b 到波源
的距离为
，质点b 到波源
的距离为
，质点b 到两波源的距离差为
可知b 点为振动减弱点，则b 点的振幅为
在
内，质点经过了
，则质点b 运动的总路程
故C 正确；D．质点p 到两波源的距离差为
，可知p 点为振动加强点，则p 点的振
幅为
由题在
时两波源均在平衡位置且向下振动，
可知在
时p 质点在平衡位置且向上振动，相位为0，则 p 点质点初相位为
，有
可得
稳定后质点p 振动的表达式为
故D 错误。故选C。
49．（多选）如图所示的实线和虚线为t=0 时刻A、B 两列简
谐横波沿x 轴传播的波形图，两列波叠加并发生了干涉现象，
下列说法正确的是（ ）
A．t=0 时刻，若A 波使x=0.2m 处质点沿y 轴正向运动，则B
波x=0.2m 处质点沿y 轴负向运动
B．相邻两个振动加强点平衡位置相距0.2m
C．x=0.5m 处为振动减弱点
D．两列波遇到尺寸小于0.4m 的障碍物会发生明显的衍射现
象
【答案】BCD【详解】A．若A 波沿
轴正向传播，B 波也沿
轴正向传播，则两列波传播速度相同，叠
加不会出现稳定的振动加强与振动减弱区域，因此两列波的传播方向一定相反；
时刻，若A 波使
处质点沿
轴正向运动，则A 波沿
轴正向传播，则B 波一定沿
轴负方向传播，根据波的振动
与波动关系可以判断
处质点也沿
轴正向运动，故A 错误；
B．
时刻，
、
为相邻的两个振动加强点，故B 正确；C．
处为波峰与波谷相遇
点，为振动减弱点，故C 正确；D．两列波的波长为0.4m，遇到尺寸小于0.4m 的障碍物会发生明显的衍
射现象，故D 正确。故选BCD。
（6）实验题
50．利用单摆可以测量当地的重力加速度。如图甲所示，将细线的上端固定在铁架台上，下端系一小
球，做成单摆。悬挂后，用米尺测量悬点到小球上端摆线的长度L；将小球拉离平衡位置一个小角度，由
静止释放小球，稳定后小球在某次经过平衡位置时开始计时，经过25 个全振动时停止计时，测量结果如
图乙所示
（1）以下是实验过程中的一些做法，其中正确的是 （填标号）。
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A．摆线要选择较细、伸缩性小些的，并且线尽可能短一些B．摆球尽量选择质量大些、体积小些的
C．为了使摆的周期大一些，以方便测量，摆线相对平衡位置的偏角越大越好
D．用刻度尺测量摆线的长度，就是单摆的摆长
（2）悬挂后，用米尺测量悬点到小球上端摆线的长度L；将小球拉离平衡位置一个小角度，由静止释放
小球，稳定后小球在某次经过平衡位置时开始计时，经过25 个全振动时停止计时，测量结果如图乙所
示，则通过测量和计算可得出单摆周期
s。
（3）测量出多组单摆摆线的长度L 和周期T，作出T-L 图像如图丙所示，由图可求出重力加速度大小。
图线不过原点， （填“会”或“不会”）影响重力加速度的测量。
【答案】 B 4 不会【详解】（1）[1]A．为减小实验误差，摆线要选择较细、伸缩性小些
的，并且线尽可能长一些，故A 错误；B．为减小空气阻力的影响，摆球尽量选择质量大些、体积小些
的，故B 正确；C．摆线相对平衡位置的偏角超过，小球将不是简谐振动，故C 错误；D．单摆的摆长为
摆线的长度加上小球的半径，故D 错误。故选B。（2）[2]秒表测得的时间为计算出单摆周期为（3）[3]
根据单摆得周期公式整理得根据图像斜率可得重力加速度为图线不过原点，没有考虑小球的半径，此时
化简可得但图线的斜率没有改变，重力加速度测定值不变，故不会影响重力加速度的测量。
26
