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专题 13 机械振动机械波
考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势
命题呈现情境融合、知识关联、能力
考点1 机械振
2024、2025 侧重的趋势。情境创设贴合生活与科技，
动
如桥梁振动监测、地震波传播、超声波医
学成像等，要求考生从复杂场景中提炼弹
簧振子、单摆、简谐横波等模型。
知识考查注重核心概念与规律的综合
运用。机械振动部分，考查简谐运动特
征、振动图像解读，结合动力学知识分析
弹簧振子运动；单摆常涉及周期公式及情
境化周期变化分析。机械波板块，聚焦波
的传播机制、波动图像分析，强调波长、
频率、波速关系的运算，重视振动与波动
图像的相互推导，同时考查波的干涉、衍
考点2 机械波 2021、2022、2024、2025
射和多普勒效应，要求判断干涉强弱区、
分析衍射明显程度及理解多普勒效应。
能力上突出逻辑推理与空间想象，考
生需依据振动或波动情境推理波的传播方
向、质点振动状态，构建动态传播图景。
实验探究能力考查加强，如设计单摆实验
或探究机械波特性，注重原理迁移。部分
试题引入新科研信息，考查信息获取与知
识迁移能力，全面检验核心素养。
考点01 机械振动
1．（2025·北京·高考）绝缘的轻质弹簧上端固定，下端悬挂一个磁铁。将磁铁从弹簧原长位置由静止释
放，磁铁开始振动，由于空气阻力的影响，振动最终停止。现将一个闭合铜线圈固定在磁铁正下方的桌面
上（如图所示），仍将磁铁从弹簧原长位置由静止释放，振动最终也停止。则（ ）A．有无线圈，磁铁经过相同的时间停止运动
B．磁铁靠近线圈时，线圈有扩张趋势
C．磁铁离线圈最近时，线圈受到的安培力最大
D．有无线圈，磁铁和弹簧组成的系统损失的机械能相同
【答案】D
【详解】A．有线圈时，磁铁受到电磁阻尼的作用，振动更快停止，故A错误；
B．根据楞次定律，磁铁靠近线圈时，线圈的磁通量增大，此时线圈有缩小的趋势，故B错误；
C．磁铁离线圈最近时，此时磁铁与线圈的相对速度为零，感应电动势为零，感应电流为零，线圈受到的
安培力为零，故C错误；
D．分析可知有无线圈时，根据平衡条件最后磁铁静止后弹簧的伸长量相同，由于磁铁和弹簧组成的系统
损失的机械能为磁铁减小的重力势能减去此时弹簧的弹性势能，故系统损失的机械能相同，故D正确。
故选D。
2．（2024·北京·高考）图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直
方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图
乙所示。下列说法正确的是（ ）
A．t=0时，弹簧弹力为0
B．t=0.2s时，手机位于平衡位置上方
C．从t=0至t=0.2s，手机的动能增大
D．a随t变化的关系式为a=4sin(2.5πt)m/s2
【答案】D
【详解】A．由题图乙知，t=0时，手机加速度为0，由牛顿第二定律得弹簧弹力大小为F=mg A错误；
B．由题图乙知，t=0.2s时，手机的加速度为正，则手机位于平衡位置下方，B错误；
C．由题图乙知，从t=0至t=0.2s，手机的加速度增大，手机从平衡位置向最大位移处运动，速度减小，
动能减小，C错误；2π
D．由题图乙知T=0.8s 则角频率ω= =2.5πrad/s 则a随t变化的关系式为
T
a=4sin(2.5πt)m/s2 D正确。
故选D。
考点02 机械波
3.（2025·北京·高考）质点S沿竖直方向做简谐运动，在绳上形成的波传到质点P时的波形如图所示，则（
）
A．该波为纵波 B．质点S开始振动时向上运动
C．S、P两质点振动步调完全一致 D．经过一个周期，质点S向右运动一个波长距离
【答案】B
【详解】A．由图可知，该波上质点的振动方向与波动传播方向垂直，是横波，故A错误；
B．由图，根据同侧法可知，质点P开始振动的方向向上，则质点S开始振动时向上运动，故B正确；
3
C．由图可知，S、P两质点平衡位置的距离为 λ，则两质点振动步调相反，故C错误；
2
D．质点不能随波传播，只能在平衡位置附近上下振动，故D错误。
故选B 。
4．（2025·北京·高考）“姑苏城外寒山寺，夜半钟声到客船。”除了夜深人静的原因，从波传播的角度分
析，特定的空气温度分布也可能使声波传播清明致远。声波传播规律与光波在介质中传播规律类似。类比
光线，用“声线”来描述声波的传播路径。地面上方一定高度S处有一个声源，发出的声波在空气中向周
围传播，声线示意如图（不考虑地面的反射）。已知气温越高的地方，声波传播速度越大。下列说法正确
的是（ ）
A．从M点到N点声波波长变长
B．S点气温低于地面
C．忽略传播过程中空气对声波的吸收，则从M点到N点声音不减弱
D．若将同一声源移至N点，发出的声波传播到S点一定沿图中声线NMS
【答案】D
【详解】声音的传播类比光线传播，即类比光线的折射率；若空气中的温度均匀，从S发出的光线应该向四周沿直线传播，题目中“声线”向地面传播的过程中，越来越靠近法线，即θ >θ ，因此越靠近地面
1 2
c
空气对声音的折射率n越大，类比光在介质中传播的速度v= 可知折射率越大，光速越小，因此声音越靠
n
近地面，声速越小，温度越低。
A．从M点到N点靠近地面，声音频率f不变，声速减小，根据v=λf可知波长变短，A错误；
B．声源S处在地面上方，温度高于地面，B错误；
C．声音在传播过程中受到介质的阻碍和向四周分散，声音强度会减弱，C错误；
D．将声源移至N点，类比光路的可逆性可知发出的声波传播到S点一定沿图中声线NMS，D正确。
故选D。
5．（2024·北京·高考）产生阿秒光脉冲的研究工作获得2023年的诺贝尔物理学奖，阿秒（as）是时间单
位，1as = 1 × 10−18s，阿秒光脉冲是发光持续时间在阿秒量级的极短闪光，提供了阿秒量级的超快“光快
门”，使探测原子内电子的动态过程成为可能。设有一个持续时间为100as的阿秒光脉冲，持续时间内至
少包含一个完整的光波周期。取真空中光速c = 3.0 × 108m/s，普朗克常量h = 6.6 × 10−34J⋅s，下列说法正
确的是（ ）
A．对于0.1mm宽的单缝，此阿秒光脉冲比波长为550nm的可见光的衍射现象更明显
B．此阿秒光脉冲和波长为550nm的可见光束总能量相等时，阿秒光脉冲的光子数更多
C．此阿秒光脉冲可以使能量为−13.6eV（−2.2 × 10−18J）的基态氢原子电离
D．为了探测原子内电子的动态过程，阿秒光脉冲的持续时间应大于电子的运动周期
【答案】C
【详解】A．此阿秒光脉冲的波长为 λ = cT = 30nm < 550nm 由障碍物尺寸与波长相差不多或比波长小
时，衍射现象越明显知，波长为550nm的可见光比此阿秒光脉冲的衍射现象更明显，故A错误；
c
B．由ε= ℎ 知，阿秒光脉冲的光子能量大，故总能量相等时，阿秒光脉冲的光子数更少，故B错误；
λ
C．阿秒光脉冲的光子能量最小值ε= ℎ ν=ℎ =6.6×10−18J>2.2×10−18J 故此阿秒光脉冲可以使能量
T
为−13.6eV（−2.2 × 10−18J）的基态氢原子电离，故C正确；
D．为了探测原子内电子的动态过程，阿秒光脉冲的持续时间应小于电子的运动周期，故D错误。
故选C。
6．（2022·北京·高考）在如图所示的xOy坐标系中，一条弹性绳沿x轴放置，图中小黑点代表绳上的质
3
点，相邻质点的间距为a。t=0时，x=0处的质点P 开始沿y轴做周期为T、振幅为A的简谐运动。t= T
0 4
时的波形如图所示。下列说法正确的是（ ）3
A．t=0时，质点P 沿y轴负方向运动 B．t= T时，质点P 的速度最大
0 4 4
3 8a
C．t= T时，质点P 和P 相位相同 D．该列绳波的波速为
4 3 5 T
【答案】D
3
【详解】A．由t= T时的波形图可知，波刚好传到质点P ，根据“上下坡法”，可知此时质点P 沿y轴
4 6 6
正方向运动，故波源起振的方向也沿y轴正方向，故t=0时，质点P 沿y轴正方向运动，故A错误；
0
3
B．由图可知，在t= T时质点P 处于正的最大位移处，故速度为零，故B错误；
4 4
3
C．由图可知，在t= T时，质点P 沿y轴负方向运动，质点P 沿y轴正方向运动，故两个质点的相位不相
4 3 5
同，故C错误；
λ λ 8a
D．由图可知 =2a 解得λ=8a 故该列绳波的波速为v= = 故D正确。
4 T T
故选D。
7．（2021·北京·高考）一列简谐横波某时刻的波形图如图所示。此后K质点比L质点先回到平衡位置。下
列判断正确的是（ ）
A．该简谐横波沿x轴负方向传播 B．此时K质点沿y轴正方向运动
C．此时K质点的速度比L质点的小 D．此时K质点的加速度比L质点的小
【答案】D
【详解】AB．由题知K质点比L质点先回到平衡位置，则K质点应向下振，再根据“上坡、下坡”法可
知，该波应沿x轴正方向传播，A、B错误；
C．由AB选项可知K质点应向下振，而L质点在波谷处，则L质点的速度为0，故此时K质点的速度比L
质点的大，C错误；
D．由于质点在竖直方向做机械振动，根据F = - ky，F = ma 结合波图像可看出y > y 则，此时K质
L K
点的加速度比L质点的小，D正确。故选D。
1．（2025·北京昌平·二模）位于坐标原点的波源在t=0时刻开始振动，形成的简谐横波沿x轴正方向传
播，平衡位置在x=3.0m处的质点P开始振动时，波源恰好第1次处于波峰位置。已知波源振动的位移y
随时间t变化的图像如图所示。下列说法正确的是（ ）
A．波的周期是0.1s
B．波的振幅是0.4m
C．波的传播速度是20m/s
D．质点P开始振动时方向沿y轴正向
【答案】C
【详解】AB．由题图可知周期为T=0.2s，振幅为A=0.2m，故AB错误；
D．由题图可知波源的起振方向沿y轴负向，则质点P开始振动时方向沿y轴负向，故D错误；
C．平衡位置在x=3.0m处的质点P开始振动时，波源恰好第1次处于波峰位置，由于波源的起振方向沿y
3 Δx 3
轴负向，则该段时间为Δt= T=0.15s 则波的传播速度为v= = m/s=20m/s 故C正确。
4 Δt 0.15
故选C。
2．（2025·北京朝阳·二模）如图所示为某质点沿x轴做简谐运动的图像，根据图像可知该质点（ ）
A．在任意1s内通过的路程相同
B．在第2s末和第4s末的速度相同
C．在1s~3s内所受回复力沿x轴正方向
D．在2s~3s内位移方向与瞬时速度方向相同
【答案】D1
【详解】A．由题图可知周期为T=4s，在任意1s内，即任意的 T内，如果初始位置处于平衡位置或最大
4
位移处，则质点通过的路程等于一个振幅，初始位置在其它位置时，则质点通过的路程不等于一个振幅，
故A错误；
B．由题图可知在第2s末和第4s末的速度大小相等，方向相反，故B错误；
C．由题图可知在1s~2s内，质点所受回复力先沿x轴负方向，在2s~3s内，质点所受回复力先沿x轴正方
向，故C错误；
D．由题图可知在2s~3s内位移方向与瞬时速度方向相同，均沿x轴负方向，故D正确。
故选D。
3．（2025·北京大兴·练习）一列简谐横波在t=0时的波形图如图所示。介质中x=2 m处的质点P沿y轴方向
做简谐运动的表达式为y=10sin(5πt)cm，则（ ）
A．该列波的波长是6 m，振幅是10 cm
B．该列波的波速是10m/s
C．该列波沿x轴负方向传播
D．经过一个周期，P点沿x轴正方向移动4 m
【答案】B
【详解】A．由图可知波长为4m，振幅为10cm，故A错误；
2π λ
B．由简谐运动的表达式可知这列简谐波的周期为T= =0.4s 波速为v= =10m/s 故B正确；
ω T
C．由简谐运动的表达式可知t=0时，质点P沿y轴正方向运动，根据平移法可知，该列波沿x轴正方向传
播，故C错误；
D．P点不会沿x轴方向运动，故D错误；
故选B。
4．（24-25高三下·北京海淀·二模）如图所示，手握住软绳的一端上下振动，产生沿绳传播的机械波，若
增大手的振动频率，则该波（ ）
A．波速不变 B．波速增大 C．波长不变 D．波长增大
【答案】A
λ
【详解】波速v= =λf 绳波一直在绳中传播，介质相同，传播速度保持不变．当手振动的频率增加
T时，波长减小。
故选A。
5．（2025·北京东城·二模）如图所示，一轻质弹簧上端固定在天花板上，下端连接一质量为m的小钢球。
以弹簧原长时钢球所在的位置为坐标原点O，竖直向下为正方向建立坐标轴Ox。将钢球从O点处由静止释
放，钢球在O、P间做往复运动。弹簧劲度系数为k，且弹簧始终处于弹性限度内，重力加速度为g，不计
空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．在P点处，小球的加速度最小
B．在P点处，小球所受弹力的大小为mg
mg
C．在x= 处，小球的速度最大
k
3mg
D．O、P两点间的距离为
k
【答案】C
【详解】A．钢球在O、P间做往复运动，故其在P点回复力最大，即加速度最大，故A错误；
B．由A可知在P点处，kx−mg=ma 此时kx=mg+ma 故B错误；
max max
mg
C．速度最大时，弹力与小球重力相等，后小球继续向下运动，弹力增大，速度减小，则mg=kx 故x=
k
故C正确；
1 2mg
D．从O到P，根据动能定理可得mgx = kx 2 解得x = 故D错误。
max 2 max max k
故选C。
6．（2025·北京东城·二模）某振源位于坐标原点处，t=0时从平衡位置开始沿y轴负方向做简谐运动，沿x
3T
轴正方向发出一列简谐横波。则t= 时的波形图为（ ）
4
A． B．
C． D．【答案】B
3T
【详解】题意知t=0时振源从平衡位置开始沿y轴负方向做简谐运动，则t= 时，振源到达波峰处，波
4
3
传播了 个波长，B选项符合题意。
4
故选B。
7．（2025·北京西城·二模）简谐横波沿x轴正方向传播，某时刻的波形如图所示，P为介质中的一个质
点。下列说法正确的是（ ）
A．质点P的速度方向与波的传播方向相同
B．质点P的速度方向与加速度方向相反
C．质点P的速度方向与位移方向相反
D．质点P的振幅小于A
0
【答案】B
【详解】A．根据同侧法可知波沿x轴正方向传播，则此刻p点速度方向沿y轴正方向，A错误；
B．p点速度方向沿y轴正方向，且做减速，所以加速度方向与速度方向相反，B正确；
C．位移方向是指从平衡位置指向某一位置的有向线段，p点的位移方向沿y轴正方向，与速度方向相同，
C错误；
D．同一个波上的所有质点的振幅相同，所以p点的振幅等于A ，D错误。
0
故选B。
8．（2025·北京东城·一模）一列简谐横波沿x轴传播，某时刻波的图像如图所示。已知此时质点a的振动
方向沿y轴正方向，下列说法正确的是（ ）
A．波沿x轴负方向传播
B．此时质点c沿y轴正方向运动
C．质点b将比质点c先回到平衡位置
D．此时质点b的加速度大小比质点c的大
【答案】C【详解】A．此时质点a的振动方向沿y轴正方向，根据同侧法可知波沿x轴正方向传播，故A错误；
B．同理，根据同侧法可知此时质点c沿y轴负方向运动，故B错误；
C．同理，根据同侧法可知此时质点b沿y轴正方向运动，结合B选项分析可知质点b将比质点c先回到平衡
位置，故C正确；
D．根据a=
|−kx
) 可得加速度大小，此时质点b位移的大小比质点c位移的大小小，所以此时质点b的加
m
速度大小比质点c的小，故D错误。
故选C。
9．（2025·北京东城·一模）如图所示，鱼漂静止时，O点恰好位于水面处。用手将鱼漂缓慢向下压，使M
点到达水面，松手后，鱼漂沿竖直方向运动，上升到最高处时，N点到达水面。若鱼漂的MN段可视为圆柱
体，仅在重力与浮力的作用下运动，则有关鱼漂松手后的运动，下列说法不正确的是（ ）
A．鱼漂的运动是简谐运动
B．O点过水面时，鱼漂的速度最大
C．M点到达水面时，鱼漂具有向下的加速度
D．鱼漂由释放至运动到最高点的过程中，速度先增大后减小
【答案】C
【详解】A．鱼漂在水中受到了浮力的作用，由阿基米德浮力定律可知，浮力的大小与鱼漂进入水面的深
度成正比，鱼漂所受的重力为恒力，以静止时O点所处位置为坐标原点，则合力的大小与鱼漂的位移大小
成正比，方向总是与位移方向相反，所以鱼漂做简谐运动，故A正确；
B．点O过水面时，鱼漂到达了平衡位置，速度最大，故B正确；
C．点M到达水面时，鱼漂达到了向下的最大位移，所受合力方向向上，所以具有向上的加速度，故C错
误；
D．由简谐运动的特点可知，鱼漂由释放至运动到最高点的过程中，速度先增大后减小，故D正确。
本题选不正确项，故选C。
10．（2025·北京丰台·二模）一列简谐横波某时刻波形如图1所示。由该时刻开始计时，质点N的振动情
况如图2所示。下列说法正确的是（ ）A．该横波沿x轴负方向传播
B．该时刻质点L向y轴正方向运动
C．经半个周期质点L将沿x轴负方向移动半个波长
D．该时刻质点K与M的速度、加速度都相同
【答案】A
【详解】A．根据乙图可知该时刻质点N向上振动，结合“上下坡法”可知，波沿x轴负方向传播，故A
正确；
B．横波沿x轴负方向传播，根据“上坡下、下坡上”知识可知，质点L该时刻向y轴负方向运动，故B错
误；
C．经半个周期简谐横波沿x轴负方向移动半个波长，质点L不会随波迁移，故C错误；
D．该时刻质点K与M的速度均为0，加速度大小相同、方向相反，故D错误；
故选A。
11．（2025·北京西城·二模）如图1所示，小球悬挂在轻弹簧的下端，弹簧上端连接传感器。小球上下振
动时，传感器记录弹力随时间变化的规律如图2所示。已知重力加速度g=10m/s2。下列说法正确的是（
）
A．小球的质量为0.2kg，振动的周期为4s
B．0~2s内，小球始终处于超重状态
C．0~2s内，小球受弹力的冲量大小为2N⋅s
D．0~2s内，弹力对小球做的功等于小球动能的变化量
【答案】C
【详解】A．小球在最低点时弹簧拉力最大，传感器读数最大为2N，到达最高点时传感器示数最小值为
零，则此时弹簧在原长，小球的加速度为向下的g，结合对称性可知最低点时的加速度为向上的g，根据
则F-mg=ma 可知F=2mg=2N 即小球的质量m=0.1kg 由图像可知，振动的周期为4s，选项A错误；B．0~2s内，小球从最低点到最高点，加速度先向上后向下，则先超重后失重，选项B错误；
C．0~2s内，小球从最低点到最高点，动量变化为零，由动量定理I−mgt=0 可得小球受弹力的冲量大小
为I=2N⋅s 选项C正确；
D．0~2s内，小球动能变化为零，弹力对小球做的功与重力做功的代数和等于小球动能的变化量，选项D
错误。
故选C。
12．（2025·北京通州·一模）如图所示为一列沿x轴正方向传播的简谐横波在t=0时刻的图像，波源振动周
期为4s。由图像可知（ ）
A．质点b的振幅为0
B．该波波速为2m/s
C．经过1.0s，质点b沿x轴正方向移动0.5m
D．从t=0时刻起，质点a比质点c先回到平衡位置
【答案】D
【详解】A．由题图可知质点b的振幅为4cm，故A错误；
λ 2
B．由题图可知波长为λ=2m，则波速为v= = m/s=0.5m/s 故B错误；
T 4
C．质点b只在其平衡位置上下振动，不会随波的传播方向迁移，故C错误；
D．波沿x轴正方向传播，根据波形平移法可知，t=0时刻质点a向下振动，则从t=0时刻起，质点a比质点
c先回到平衡位置，故D正确。
故选D。
13．（24-25高三·北京海淀·一模（期中））图甲为一列沿x轴正向传播的简谐横波在t=0时的图像，图甲
中某质点的振动情况如图乙所示，下列说法正确的是（ ）
A．图乙可能是质点b的振动图像
B．质点a再经2 s将沿x轴运动到x=3 m处
C．质点a的位移与时间关系为y=0.1sin(πt)mπ
D．质点a与b的相位差为
2
【答案】C
【详解】A．简谐横波沿x轴正向传播，根据平移法可知t=0质点b向下振动，则图乙不可能是质点b的振
动图像，故A错误；
B．质点只能在平衡位置沿竖直方向运动，不会“随波逐流”，故B错误；
2π
C．由图乙可知周期为2s，则角速度为ω= =πrad/s 则质点a的位移与时间关系为y=0.1sin(πt)m
T
故C正确；
1
D．质点a与b相差 λ，则相位差为π，故D错误。
2
故选C。
14．（24-25高三下·北京海淀·一模（期中））当波源与观测者发生相对运动时，观测者接收到波的频率发
生变化，这是我们熟悉的多普勒效应。观测者和波源之间的距离变化越快，多普勒效应越明显。原子会吸
收和发出某些特定波长的电磁波，我们观测到的某颗恒星的光谱包含由此恒星的大气层中的原子引起的吸
收谱线。已知钠原子具有一条波长为5895.9A (1A=10−10mm)的特征谱线（D 线）。研究人员在观测某双
1
恒星系统时，从t=0时开始在表中记录双恒星系统中的钠原子在D 线对应波长处的吸收光谱，其中1号恒
1
星和2号恒星在吸收波长处吸收光谱的波长分别为λ 和λ 假定研究人员处于双恒星运动所在平面，双恒星
1 2
均近似做匀速圆周运动，且不考虑双恒星系统质心（质点系的质量中心）的运动。不考虑相对论效应和宇
宙膨胀的影响。关于该双恒星系统，下列说法正确的是（ ）
t/d λ/A λ/A
1 2
0.3 5893.1 5897.5
0.6 5892.8 5897.7
0.9 5893.7 5897.2
1.2 5896.2 5896.2
1.5 5897.3 5895.1
1.8 5898.7 5894.3
2.1 5899.0 5894.1
2.4 5898.1 5894.6
2.7 5896.4 5895.6
3.0 5894.5 5896.7
3.3 5893.1 5897.33.6 5892.8 5897.7
3.9 5893.7 5897.2
A．双恒星绕质心转动的周期约为1.8d
B．t=1.5d观测到波长为λ 的光是1号恒星靠近观测者时发出的
1
C．在2.7d~3.0d间观测到波长为λ 的光是1号恒星在距离观测者最近位置附近发出的
1
D．通过比较观测波长变化量，可判断1号恒星质量较小
【答案】D
【详解】A．从表中数据来看，波长从一种状态变化回类似状态的时间间隔约为3.0d，因为双恒星绕质心
转动时，会引起光的多普勒效应，从而导致观测到的波长周期性变化，这个周期就等于双恒星绕质心转动
的周期，所以双恒星绕质心转动的周期约为3.0d，故A错误；
D．如图所示
M点表示恒星相对观察者在靠近，且靠近速度最大的位置，根据多普勒效应，频率应在其数据中最大，波
长应在其数据中最小；同理N点表示波长应在其数据中最大。表中1号恒星的最短波长（对应其做大频
率）为5892.8A，2号恒星最短波长（对应其最大频率）5894.1A，可以看出1号恒星的最短波长更短，
则对应最大频率更大，说明1号恒星相对观察者靠近的最大速度更大。说明其对应的轨道半径更大，即M
点所在的圆轨道。根据双星知识，轨道半径与质量成反比，则1号恒星比2号恒星质量小，故D正确；
BC．根据前面的分析，图中M点对应1号恒星波长最小的时刻，即t=0.6d，那么其再转四分之一周期后
（即t=1.35d）离观测者最近，再过半个周期后（即t=2.85d）离观测者最远，再次离观测者最近时
t=4.35d，则在2.7d~3.0d间观测到波长为λ 的光不是1号恒星在距离观测者最近位置附近发出的，
1
t=1.5d时1号恒星一定是远离观测者，故BC错误。
故选D。
15．（24-25高三下·北京海淀·一模（期中））图甲为一列沿x轴正向传播的简谐横波在t=0时的图像，图
甲中某质点的振动情况如图乙所示，下列说法正确的是（ ）
A．图乙可能是质点a的振动图像B．再经1s质点a将沿x轴运动到x=2m处
C．质点b的位移与时间的关系为y=0.1sin(πt)m
D．波在传播过程中，质点a在2s内运动的路程为0.8m
【答案】A
【详解】A．根据“上、下坡法”可知，质点a在t=0时由平衡位置向上振动，而乙图中某质点在t=0时也
恰好由平衡位置向上振动，故乙图可能是质点a的振动图像，A正确；
B．质点只能在各自的平衡位置附近做简谐振动，而不会随着波迁移，B错误；
2π
C．由图可知，质点的振幅A=0.1m 周期T=2s 角频率ω= =πrad/s 由甲图可知，当t=0时，质点
T
b经过平衡位置向下振动，故质点b的位移与时间关系为y=−0.1sin πt(m) C错误；
D．由于该波的周期为T=2s，质点a在2s时间内恰好完成一个周期的振动，一个周期内，质点a运动的路
程为s=4A=4×0.1m=0.4m D错误。
故选A。
16．（2025·北京西城·一模）如图是以质点P为波源的机械波在绳上刚传到质点Q时的波形。下列说法正
确的是（ ）
A．Q点即将开始向上振动
B．P点从平衡位置刚开始振动时，运动方向向下
C．若P点停止振动，绳上的波会立即消失
D．当波传到Q点时，P点恰好振动了1个周期
【答案】B
【详解】A．根据波的传播方向可知，Q点即将开始向下振动，故A错误；
B．波源的起振方向与波的最前沿的起振方向相同，所以P点从平衡位置刚开始振动时，运动方向向下，
故B正确；
C．若P点停止振动，绳上的波还会继续传播下去，并不会立即消失，故C错误；
3 3
D．因P、Q两点平衡位置间的距离为 个波长，所以当波传到Q点时，P点振动了 个周期，故D错误。
2 2
故选B。
17．（24-25高三·北京海淀·一模（期中））当波源与观测者发生相对运动时，观测者接收到波的频率发生
变化，这是我们熟悉的多普勒效应。观测者和波源之间的距离变化越快，多普勒效应越明显。原子吸收和
发出某些特定波长的电磁波，因此我们观察到的某颗恒星的光谱包含由此恒星的大气层中的原子引起的吸
收谱线。已知钠原子具有一条波长为5895.9A ∘( 10A ∘ =1nm )的特征谱线(D 1 线)。研究人员在观测某遥远双
恒星系统的光谱时，从t=0时开始在表中记录对于钠D 线的吸收光谱，其中1号恒星和2号恒星吸收光谱
1
的波长分别为λ 和λ 。假定研究人员处于双星运动所在平面，双星均近似做匀速圆周运动，且不考虑双
1 2恒星系统质心的运动。不考虑相对论效应和宇宙膨胀的影响。关于该双恒星系统，下列说法不正确的是（
）
t/d λ /Å λ /Å
1 2
0.3 5893.1 5897.5
0.6 5892.8 5897.7
0.9 5893.7 5897.2
1.2 5896.2 5896.2
1.5 5897.3 5895.1
1.8 5898.7 5894.3
2.1 5899.0 5894.1
2.4 5898.1 5894.6
2.7 5896.4 5895.6
3.0 5894.5 5896.7
3.3 5893.1 5897.3
3.6 5892.8 5897.7
3.9 5893.7 5897.2
A．双恒星绕质心转动的周期约为3.0 d
B．t=1.5 d观测到波长为λ 的光是1号恒星远离观测者时发出的
1
C．在1.2 d∼1.8 d间观测到波长为λ 的光是2号恒星在距离观测者最远位置附近发出的
2
D．通过比较观测波长变化量，可判断1号恒星转动半径较小
【答案】CD
【详解】A．由表中记录的数据，可知在0.6 d∼3.6 d 期间，两恒星吸收光谱的波长是一个循环变化周
期，则转动的周期约为3.0 d，故A正确；
∘ ∘
B．t=1.5 d观测到光的波长为λ =5897.3A>5895.9A，波长变长，由多普勒效应可知，它是1号恒星
1
远离观测者时发出的，故B正确；
C．在1.2 d∼1.8 d间观测到波长为λ 的光，波长在逐渐减小，由多普勒效应可知，2号恒星在逐渐接近
2
观测者，t=0.6d或3.6d时，在距离观测者最远位置附近，故C错误；
D．观测波长变化量，可知λ 变化范围较大，多普勒效应更明显，距离变化更快，线速度更大，可判断1
1
号恒星转动半径较大，故D错误。
故选CD。18．（2025·北京朝阳·二模）单摆装置如图所示，摆球始终在竖直面内运动，摆球可视为质点。不计空气
阻力，请完成下列问题：
(1)若摆长为L，简谐运动周期为T，求重力加速度的大小g；
(2)若摆长为L，摆起最大角度为θ，求摆球通过最低点时速度的大小v ；
0
(3)若摆球质量为m，摆动周期为T，重力加速度大小为g，通过最低点时的速度大小为v，摆球从左侧最高
点第一次摆到最低点的过程中，求细线对摆球拉力的冲量大小I。
4π2L
【答案】(1)g=
T2
(2)v =❑√2gL(1−cos θ)
0
√ 1 2
(3)I=❑(mv) 2+( mgT)
4
【详解】（1）由单摆做简谐运动的周期公式T=2π❑
√L
可得g=
4π2L
g T2
1
（2）由动能定理mgL(1−cos θ)= mv2 可得v =❑√2gL(1−cos θ)
2 0 0
1
（3）此过程中重力、拉力对小球产生冲量，其中重力的冲量大小为I = mgT 根据动量定理可知合力的
重 4
√ 1 2
冲量大小为I =mv 由平行四边形定则可得拉力的冲量大小为I=❑(mv) 2+( mgT)
合 4
19．（2025·北京东城·一模）简谐运动是最基本的机械振动。物体做简谐运动时，回复力F与偏离平衡位置
的位移x成正比，即：F=− kx；偏离平衡位置的位移x随时间t的变化关系满足方程x=Asin(ωt+φ)，
√k
其中A为振幅，φ是初相位，ω=❑ 为圆频率，m为物体质量。
m(1)如图1所示，光滑的水平面上放置一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k，振子的质量为m。以弹簧原长时的
右端点为坐标原点O，水平向右为正方向建立坐标轴Ox。在弹簧的弹性限度内，将振子沿Ox方向缓慢拉至
某处由静止释放。
a.求该弹簧振子的振动周期T；
b.在图2中画出弹簧弹力大小F随弹簧伸长量x的变化关系图线。求弹簧伸长量为A时系统的弹性势能E 。
p
(2)如图3所示，竖直平面内存在无限大、均匀带电的空间离子层，左侧为正电荷离子层，右侧为负电荷离
子层，两离子层内单位体积的电荷量均为ρ，厚度均为d。以正离子层左边缘上某点O为坐标原点，水平向
右为正方向建立坐标轴Ox。已知正离子层中各点的电场强度方向均沿x轴正方向，其大小E随x的变化关系
如图4所示，其中ε 为常量；在x<0与x>2d空间内电场强度均为零。某放射性粒子源S位于x=− d的位
0
置，向空间各个方向辐射速率均为v的电子。当入射电子速度方向与x轴正方向的夹角为θ时，电子刚好可
以到达离子层分界面处，没有射入负电荷离子层。已知电子质量为m，所带电荷量为e，不计电子重力及电
子间相互作用力，假设电子与离子不发生碰撞。
a.求θ的表达式；
b.计算电子第一次打到离子层分界面时，在分界面上形成的图形面积S（结果中可含θ）。
T=2π❑ √m E = 1 kA2
k p 2
【答案】(1)a. ；b. ，
d √ρe π 2(ε mv2 −ρed2)
(2)a.θ=arccos ❑ ；b. S=π(1+ ) 0
v mε 2 ρe
0
【详解】（1）a. 该弹簧振子的振动周期T=
2π
根据题意有ω=❑
√k
联立可得T=2π❑
√m
ω m k
b.根据胡克定律可得F=kx 则弹簧弹力大小F随弹簧伸长量x的变化关系如图所示1
弹簧伸长量为A时，弹簧弹性势能为E = kA2
p 2
ρe
（2）a.电子进入正电荷离子层受力 F=− ⋅x 沿x轴方向做简谐运动，初速度v =vcosθ 垂直于x轴
ε x
0
方向做匀速直线运动，速度为v =vsinθ 入射角为θ的电子刚好不射入负电荷离子层，由功能关系
y
− 1 ρe d⋅d= 1 mv2 − 1 m(v2+v2) 解得cosθ= d ❑ √ρe 则θ=arccos d ❑ √ρe
2 e 2 y 2 x y v mε v mε
0 0 0
b．电子在分界面上形成的图形为圆，设入射角为θ的电子进入离子层之前在垂直于x轴方向发生的位移为
y ，进入离子层后刚好到达界面时在垂直于x轴方向发生的位移为y ，分界面图形圆的半径为r，则
1 2
T 2π √mε
y =dtanθ，y =(vsinθ)⋅ ，T= =2π❑ 0，r=y +y 又S=πr2 联立可得
1 2 4 ω ρe 1 2
π 2(ε mv2 −ρed2)
S=π(1+ ) 0
2 ρe
