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2023 届高三物理一轮复习多维度导学与分层专练
专题57 带电粒子在磁场中的运动
导练目标 导练内容
目标1 洛伦兹力的大小方向
目标2 带电粒子在有界磁场中的运动
目标3 带电粒子在磁场中运动的多解问题
【知识导学与典例导练】
一、洛伦兹力的大小方向
1.洛伦兹力的大小和周期
（1）大小： （ ）；（2）向心力公式： ；（3）周期：
2.洛伦兹力的特点
(1)利用左手定则判断洛伦兹力的方向，注意区分正、负电荷。
(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。
(3)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用。
(4)洛伦兹力永不做功。
3.洛伦兹力的方向
(1)判断方法：左手定则
(2)方向特点：洛伦兹力的方向一定与粒子速度方向和磁感应强度方向所决定的平面垂直(B与v可以有任意
夹角)。
注意：由左手定则判断洛伦兹力方向时，四指指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向。
【例1】如图所示，光滑的水平桌面处于匀强磁场中，磁场方向竖直向下，磁感应强度大小为B；在桌面上放有内壁光滑、长为L的试管，底部有质量为m、带电量为q的小球，试管在水平向右的拉力作用下以
速度v向右做匀速直线运动（拉力与试管壁始终垂直），带电小球能从试管口处飞出，关于带电小球及其
在离开试管前的运动，下列说法中正确的是（ ）
A．小球带负电，且轨迹为抛物线
B．小球运动到试管中点时，水平拉力的大小应增大至
C．洛伦兹力对小球做正功
D．对小球在管中运动全过程，拉力对试管做正功，大小为qvBL
二、带电粒子在有界磁场中的运动
圆心的确定 半径的确定 时间的确定
基 ①与速度方向垂直的直线过圆心
本 利用平面几何知识 利用轨迹对应圆心角θ或轨迹长
②弦的垂直平分线过圆心
思 求半径 度L求时间①t＝T；②t＝
路 ③轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心
图
例
P、M点速 P点速度垂 某点的速度 (1)速度的偏转角φ等于所对的圆
说 常用解三角形法(如
度垂线交 线与弦的垂 垂线与切点 心角θ
明 图)：R＝或由R2＝
点 直平分线交 法线的交点
L2＋(R－d)2求得R
(2)偏转角φ与弦切角α的关系：
点φ<180°时，φ＝2α；
＝
φ>180°时，φ＝360°－2α
【类型一】直线边界磁场
直线边界，粒子进出磁场具有对称性(如图所示)
图甲中粒子在磁场中运动的时间t＝＝
图乙中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝＝
图丙中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝。
【例2】如图所示，竖直线CD右边的空间存在范围无限大且垂直向里的有界匀强磁场，带有同种电荷的
M粒子和N粒子同时从匀强磁场的边界CD上的S点分别以与边界的夹角为 和60°射入磁场，两粒子又
恰好同时到达 点。不计粒子重力和粒子间的相互作用，则（ ）
A．M、N两粒子的运动轨迹半径之比为
B．M、N两粒子的运动轨迹半径之比为C．M、N两粒子的初速度大小之比为
D．M、N两粒子的比荷之比为
【类型二】平行边界磁场
平行边界存在临界条件(如图所示)
图甲中粒子在磁场中运动的时间t＝，t＝＝；
1 2
图乙中粒子在磁场中运动的时间t＝；
图丙中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝＝；
图丁中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝。
【例3】如图所示，区域Ⅰ和区域Ⅱ是宽度相同的匀强磁场，区域Ⅰ内磁场的磁感应强度大小为 ，方向
垂直纸面向里；区域Ⅱ内磁场的磁感应强度大小为 ，方向垂直纸面向外。一质量为 、电荷量为 的粒
子从区域Ⅰ的左边界垂直于边界射入区域Ⅰ，粒子离开区域Ⅰ时速度方向改变了60°，然后进入区域Ⅱ，
不计粒子重力，粒子在磁场中运动的时间为（ ）A． B． C． D．
【类型三】圆形边界磁场
带电粒子在圆形边界磁场中，等角进出，沿径向射入必沿径向射出。如图甲、乙所示。
【例4】水平桌面上方区域内存在一垂直于桌面的磁感应强度为 的匀强磁场，科研人员将均匀涂抹荧光
物质的半径为 的圆环，放置于水平桌面上如图1所示，A为圆环边界上的一点，大量相同的带电粒子以
相同的速率经过A点，在平面内沿不同的方向射入磁场，科研人员观测到整个圆环发出淡淡的荧光（高速
微观粒子打在荧光物质上会发出荧光），且粒子在圆环内磁场中运动的最长时间为 。更换半径为
的圆环时如图2所示，只有相应的三分之一圆周上有荧光发出，不计重力及带电粒子之间的相互作用，则
（ ）
A．粒子在磁场中做圆周运动的周期 B．粒子在磁场中做圆周运动的半径为
C．粒子在磁场中做圆周运动的速度 D．该粒子的比荷
【类型四】三角形、四边形边界磁场1．三角形边界磁场：带电粒子速度的大小不同，运动半径不同，出射点的位置也不同。
2．四边形边界磁场：带电粒子射入磁场的初速度方向与边界垂直，速度不同，对应不同的粒子轨迹；粒
子速度不变，磁感应强度可调时，也可对应类似轨迹。
【例5】如图所示，边长为a的正三角形 区域内有垂直纸面向里磁感应强度为B的匀强磁场。现有一
带正电、电荷量为q、质量为m的粒子，由 边上距A点 的P点，以初速度 垂直 边进入磁场，
后从边 离开磁场，则磁场磁感应强度的大小可能是（ ）
A． B．
C． D．
【例6】如图所示，边长为0.64m的正方形内有磁感应强度 的匀强磁场，方向垂直于纸面向外。
在正方形中央处有一个点状的放射源P，它在纸面内同时向各个方向均匀连续发射大量同种粒子，该种粒
子速度大小为 ，比荷 。不考虑粒子重力及粒子间相互作用，下列说法正确
的是（ ）A．粒子在磁场中运动的最短时间为
B．粒子在磁场中运动的最长时间为
C．正方形边界上有粒子射出的区域总长为1.6m
D．稳定后单位时间内射出磁场的粒子数与单位时间内粒子源发射的总粒子数之比为1∶2
三、带电粒子在磁场中运动的多解问题
类型 分析 图例
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负
电荷，在相同的初速度下，正、负粒子在磁场中运动轨迹
带电粒子
不同，形成多解
电性不确定
如图，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，如带正电，
其轨迹为a；如带负电，其轨迹为b
在只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方
磁场方向 向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成多解
不确定 如图，带正电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若B垂直
纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b
带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运
临界状态
动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过磁场飞出，也可能转
不唯一
过180°从入射界面这边反向飞出，于是形成多解
运动具有
带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时，运动往
往具有周期性，因而形成多解
周期性【例7】如图所示，在xOy平面内存在着磁感应强度大小为B的匀强磁场，第一、二、四象限内的磁场方
向垂直纸面向里，第三象限内的磁场方向垂直纸面向外， ， 为坐标轴上的两点。现
有一质量为m、电荷量为e的电子从P点沿PQ方向射出，不计电子的重力，则下列说法中正确的是（
）
A．若电子从P点出发恰好第一次经原点O点，运动时间可能为
B．若电子从P点出发恰好第一次经原点O点，运动路程可能为
C．若电子从P点出发经原点O到达Q点，运动时间可能为
D．若电子从P点出发恰好第一次经原点O到达Q点，运动路程为 或
【多维度分层专练】
1．如图所示，在直线 上方存在着范围足够大、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。一带电粒子从O点以
速度 沿垂直于 方向进入磁场，经过t时间运动到磁场中的C点。已知O、C连线与初速度 的夹角为
，不计粒子的重力，下列说法正确的是（ ）A．带电粒子从O点运动至C点的过程中，速度偏转角为
B．带电粒子在磁场中运动的时间为
C．带电粒子在磁场中运动的轨迹直径为
D．若仅增大粒子的入射速度大小，经过 时间粒子速度方向偏转的角度为
2．如题图所示，竖直平面内的平行金属板ab、cd长均为2l，相距l水平放置。一带电粒子从靠近a点处以
速度v水平向右射入两板之间，经时间 沿直线从靠近b点处以速度v水平向右射出。若ab、cd间存在竖
直方向的匀强电场E，该粒子从靠近a点处以速度v水平向右射入两板之间，经时间 刚好从靠近d点处以
速度 射出，速度偏角为 ；若ab、cd间存在垂直于纸面的匀强磁场B，粒子从靠近a点处以速度v水平
向右射入两板之间，经时间 也刚好从靠近d点处以速度 射出，速度偏角为 。下列说法正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
3．如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直于圆面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，AC是圆的一
条直径，D为圆上一点，∠COD=60°。在A点有一个粒子源，沿与AC成30°角斜向上垂直磁场的方向射出速率均为v的各种带正电粒子，所有粒子均从圆弧CD射出磁场，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。
则从A点射出的粒子的比荷 可能是（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，半径为R=2cm的圆形区域中有垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度
B=2T，一个带正电粒子从圆形磁场边界上的A点以v=8×104m/s的速度垂直直径MN射入磁场，恰好从N
0
点射出，且∠AON=120°。下列选项正确的是（ ）
A．带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为1cm
B．带电粒子的比荷为2×106C/kg
C．带电粒子在磁场中运动的轨迹圆心一定在圆形磁场的边界上
D．若带电粒子改为从圆形磁场边界上的C点以相同的速度入射，一定从N点射出
5．如图所示，E、F、G是边长为a的正三角形的三个顶点，位于方向垂直于△EFG所在平面、向外的匀强磁场中。一质量为m、电荷量为q的粒子沿FE方向由F点垂直于磁场的方向射入磁场区域，速度大小
为v，粒子恰好从G点离开磁场，不计粒子重力，则（ ）
0
A．粒子可能带负电
B．粒子在G点的速度沿直线EG的方向
C．磁感应强度的大小为
D．粒子在磁场中运动的时间为
6．如图所示，△AOC为直角三角形，∠O=90°，∠A=60°，AO=L，D为AC的中点。△AOC中存在垂直纸
面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在O点放置一粒子源，可以向各个方向发射质量为m、电荷量
为-q，速度大小均为 的粒子。不计粒子间的相互作用及重力作用，对于粒子进入磁场后的运动，
下列说法正确的是（ ）
A．粒子在磁场中运动的半径为L
B．与OC成45°角入射的粒子将从AC边射出
C．在AC边界上有粒子射出的区域长度为LD．所有从OA边界射出的粒子在磁场中运动的时间相等
7．如图，矩形区域 （含边界）内存在方向垂直于矩形面向里、磁感应强度大小为 的匀强磁场，矩
形的长和宽分别为 和 ，矩形长边 的中点有一粒子发射源S，从S可分别发射出方向垂直于 指向
和方向沿Sb的不同速率的粒子。若粒子的质量均为 、电荷量均为 、不计粒子的重力及粒子
间的相互作用力。则（ ）
A．从 边射出的粒子的速率范围是
B．从 边射出的粒子的速率范围是
C．从 边射出的粒子的速率范围是
D．从 边射出的粒子的速率范围是
8．如图所示，在一边长为a的正方形区域内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。甲和乙两个带电粒子，分
别从P点和Q点同时沿垂直于边界方向以不同的速度射入磁场，两粒子在图中S点相遇。不计粒子的重力
及粒子之间的相互作用，已知PO= a，QO = a，OS= ，甲粒子的速度为v，质量为m，带电荷量
1 2 1 0
为q，下列说法正确的是（ ）A．匀强磁场的磁感应强度大小为
B．乙粒子射入磁场时速度为0.25v
0
C．甲粒子在磁场中运动的时间为
D．甲、乙两粒子的比荷之比为1∶2
9．控制带电粒子的运动在现代科学实验、生产生活、仪器电器等方面有广泛的应用．现有这样一个简化
模型：如图所示，y轴左、右两边均存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，右边磁场的磁感应强度始终为左
边的2倍．在坐标原点O处，一个电荷量为+q、质量为m的粒子a，在t=0时以大小为v 的初速度沿x轴正
0
方向射出，另一与a相同的粒子b某时刻也从原点O以大小为v 的初速度沿x轴负方向射出．不计粒子重
0
力及粒子间的相互作用，粒子相遇时互不影响．
（1）若a粒子能经过坐标为 的P点，求y轴右边磁场的磁感应强度B ；
1（2）为使粒子a、b能在y轴上Q（0，-l）点相遇，求y轴右边磁场的磁感应强度的最小值B ；
0 2
（3）若y轴右边磁场的磁感应强度为B ，求粒子a、b在运动过程中可能相遇的坐标值．
0
10．如图，在空间中有一坐标系xoy，其第一象限内充满着两个匀强磁场区域I和II，直线OP是它们的边
界，区域I中的磁感应强度为B，方向垂直纸面向外；区域II中的磁感应强度为2B，方向垂直纸面向内，
边界上的P点坐标为（4L，3L）．一质量为m,电荷量为q的带正粒子从P点平行于y轴负方向射入区域I，
经过一段时间后，粒子恰好经过原点O,忽略粒子重力，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8.求：
（1）粒子从P点运动到O点的时间至少为多少？
（2）粒子的速度大小可能是多少？
