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2023 届高三物理一轮复习多维度导学与分层专练
专题47 带电粒子在力电等效场、交变电场中的运动和电场中的功能问题
导练目标 导练内容
目标1 带电粒子在力电等效场中的圆周运动
目标2 带电粒子在交变电场中的运动
目标3 带电粒子在电场中的能量动量问题
【知识导学与典例导练】
一、带电粒子在力电等效场中的圆周运动
1.方法概述
等效思维方法是将一个复杂的物理问题,等效为一个熟知的物理模型或问题的方法。对于这类问题,若采用
常规方法求解,过程复杂,运算量大。若采用等效法求解,则能避开复杂的运算,过程比较简捷。
2.方法应用
F
先求出重力与电场力的合力,将这个合力视为一个等效重力,将a= 合视为等效重力加速度。再将物体在重
m
力场中的运动规律迁移到等效重力场中分析求解即可。
【例1】如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为L的绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端系一质量为m的带电小球。小球静止时细线与竖直方向成 角，此时让小球获得
初速度且恰能绕O点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，重力加速度为g。下列说法正确的是
（ ）
A．匀强电场的电场强度
B．小球动能的最小值为
C．小球运动至圆周轨迹的最高点时机械能最小
D．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，其电势能先减小后增大
【答案】AB
【详解】A．小球静止时细线与竖直方向成 角，对小球受力分析，小球受重力、拉力和电场力，三力平衡，
根据平衡条件，有 解得 选项A正确；
B．小球恰能绕O点在竖直平面内做圆周运动，在等效最高点A速度最小，根据牛顿第二定律，有
则最小动能 选项B正确；
C．小球的机械能和电势能之和守恒，则小球运动至电势能最大的位置机械能最小，小球带负电，则小球
运动到圆周轨迹的最左端点时机械能最小，选项C错误；
D．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，电场力先做正功，后做负功，再做正功，则
其电势能先减小后增大，再减小，选项D错误。故选AB。
二、带电粒子在交变电场中的运动
1.此类题型一般有三种情况:一是粒子做单向直线运动(一般用牛顿运动定律求解);二是粒子做往返运动(一般
分段研究);三是粒子做偏转运动(一般根据交变电场的特点分段研究)。
2.分析时从两条思路出发:一是力和运动的关系,根据牛顿第二定律及运动学规律分析;二是功能关系。
3.注重全面分析(分析受力特点和运动特点),抓住粒子的运动具有周期性和在空间上具有对称性的特征,求解
粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的边界条件。
4.交变电场中的直线运动（方法实操展示）
U-t图像 v-t图像 轨迹图5.交变电场中的偏转（带电粒子重力不计，方法实操展示）
U-t图
v v v
轨迹图 0 0 v 0
v 0
0
[来源:Zxxk.Com]
v v
y A 速度不反向 y A
v v 速度反向
0 0 B
B O
v-t图 T/2 T t
y
O T/2 T t -v 0
单向直线运动 往返直线运动
【例2】如图所示，A、B两导体板平行放置，在t＝0时将电子从A板附近由静止释放（电子的重力忽略不
计），若分别在A、B两板间加下图所示的四种电压，则其中可能使电子打不到B板的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【详解】A．加A图电压，电子从A板开始向B板做匀加速直线运动，一定能打到B板上，故A错误；
B．加B图电压，若A、B板间距足够大，则0～t 电子向B板做匀加速运动，t～2t 向B板做加速度大小相
0 0 0
同的匀减速运动直到速度为零；2t～3t 向A板做匀加速运动，3t～4t 向A板做匀减速运动，t＝4t 时电子
0 0 0 0 0
回到出发点，可知电子有可能打不到B板，故B正确；
C．加C图电压，电子一直向B板先加速后减速，再加速再减速……一直向B板运动，可知一定能打到B板，
故C错误；
D．加D图电压，可知电子在一个周期内速度的方向不变，一直向B板运动，一定能打到B板，故D错误。
故选B。
【例3】图1的平行金属板M、N间加有图2所示的交变电压， 是M、N板间的中线，当电压稳定时，
板间为匀强电场。 时，比荷为 的带电粒子甲从O点沿 方向、以 的速率进入板间， 时飞离
电场，期间恰好不与极板相碰。若在 时刻，带电粒子乙以 的速率沿 从O点进入板间，已知乙粒
子在运动过程中也恰好不与极板碰撞，不计粒子受到的重力，则下列说法中正确的是（ ）
A．T时刻，乙粒子离开电场B．乙粒子的比荷为
C．甲、乙两粒子通过电场偏转的位移大小之比为2：3
D．甲、乙两粒子通过电场偏转的位移大小之比为1：2
【答案】ABD
【详解】A．设板长为L，粒子甲带负电，则甲运动时间为 粒子乙因入射速度为甲的
两倍，则运动时间为 因乙在 时刻飞入板间，则在T时刻飞出板间，A正确；
CD．设两板间距离为d，则有 为定值，则在竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，以
竖直方向位移和时间关系，可得 做出竖直方向上速度与时间图像，如图
则图线与时间轴围成的面积代表竖直方向上的位移，设板间距为d，若恰好不与极板碰撞，则表示粒子在
电场中竖直方向的最大位移大小刚好为 ，根据图像可知在 、 时刻粒子甲会恰好不碰到极板，此
两种时刻会达到最大位移的大小，而在 时刻，粒子出磁场，此时位移是最大位移的一半，为 ，即甲
在竖直方向上的位移为 ；同理，对粒子乙，其轨迹为 的形状，因乙粒子在运动过程中也恰好不
与极板碰撞，根据图像可知在T时刻会恰好不与极板相撞，此时乙刚好飞出磁场，即乙在竖直方向上为位移为 ，则偏转位移之比为 ，C错误，D正确；
B．对乙有 对甲有 因
则有 可得 又 ， 可得 ，B正确。故选ABD。
三、带电粒子在电场中的功能问题
1．电场中的功能关系
(1)若只有静电力做功电势能与动能之和保持不变。
(2)若只有静电力和重力做功电势能、重力势能、动能之和保持不变。
(3)除重力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化。
(4)所有外力对物体所做的功等于物体动能的变化。
2．电场力做功的计算方法
(1)W ＝qU (普遍适用)
AB AB
(2)W＝qEx cos θ(适用于匀强电场)
(3)W ＝－ΔE＝E －E (从能量角度求解)
AB p pA pB
(4)W ＋W ＝ΔE(由动能定理求解)
电 非电 k
【例4】如图甲所示，光滑绝缘水平面上有一沿水平方向的电场，MN是其中的一条直线，线上有A、B、
C三点，一带电荷量为 、质量为 的小物块从A点由静止释放，沿MN做直线运动，其运
动的 图像如图乙所示，其中B点处的切线斜率最大（图中标出了该切线），C点处的切线平行于t轴，
运动过程中小物块电荷量保持不变，则下列说法中正确的是（ ）A．A、B两点电势差
B．小物块从B点到C点电场力做的功
C．C点为AC间电场强度最大的点，场强大小
D．由A到C的过程中小物块的电势能先减小后变大
【答案】B
【详解】A．根据动能定理，可知 解得 故A错误；
B．根据动能定理可知 代入数据得 故B正确；
C． 图像的斜率为加速度，有图像可知，B点的加速度最大，且 所以粒子在B的电场强度最
大，根据公式 解得 故C错误；
D．从A到B到C物体速度一直变大，所以物体动能一直增大，根据能量守恒可知，物体电势能一直降低，
故D错误。故选B。
【多维度分层专练】
1．如图所示，虚线MN下方存在着方向水平向左、范围足够大的匀强电场。AB为绝缘光滑且固定的四分
之一圆弧轨道，轨道半径为R，O为圆心，B位于O点正下方。一质量为m、电荷量为q的带正电小球，
以初速度vA竖直向下从A点沿切线进入半圆轨道内侧，沿轨道运动到B处以速度vB射出。已知重力加速度为g，匀强电场场强大小 ，空气阻力不计，下列说法正确的是（ ）
A．从A到B过程中，小球的机械能先增大后减小
B．从A到B过程中，小球对轨道的压力先减小后增大
C．在A、B两点的速度大小满足vA>vB
D．从B点抛出后，小球速度的最小值为
【答案】D
【详解】A．从A到B过程中，电场力一直做负功，小球的机械能一直减小，故A错误；
B．等效重力的与竖直线夹约37°偏左下方，所以从A到B过程中，小球速度先增大后减小，对轨道的压力
先增大后减小，故B错误；
C．B点比A点更靠近等效最低点，所以 故C错误；
D．从A到B，由动能定理 解得 之后小球做斜抛运动，在垂直于
等效场方向上的分速度即为最小速度，则 故D正确。故选D。
2．如图所示，在竖直面内有一半径为R的圆环型轨道，轨道内部最低点A处有一质量为m的光滑带正电
的小球（可视作质点），其所带电荷量为q，在圆环区域内存在着方向水平向右的匀强电场，电场强度E=，现给小球一个水平向右的初速度，使小球开始运动，以下说法正确的是（ ）
A．若v＞ ，则小球可以做完整的圆周运动
0
B．若小球可以做完整的圆周运动，则轨道所给弹力的最大值与最小值相差4 mg
C．若v= ，则小球将在轨道最高点B处脱离轨道
0
D．若v= ，则小球不会脱离轨道
0
【答案】BCD
【详解】小球同时受到重力和电场力作用，这时可认为小球处于等效重力场中，小球受到的等效重力为
等效重力加速度为 小球可以做完整的圆周运动，则有
与竖直方向的夹角 如下图所示在等效重力场中应用机械能守恒定律可得 解得 ，A错误；
B．若小球可以做完整的圆周运动，则小球在等效重力场中最低点轨道所给的弹力最大，等效最高点轨道
所给的弹力最小，在最低点有 在最高点有 小球从最低点到最高点的过程中，有
解得轨道所给弹力的最大值与最小值相差为
C．若v= ，小球到达最高点B处的过程中，重力做负功，电场力不做功，则有
0
解得 故可得小球将在轨道最高点B处脱离轨道，C正确；
D．在等效重力场中，当v= 时，小球没有超过等效重力场中的半圆，故小球不会脱离轨道，D正确。
0
故选BCD。
3．如图所示，在竖直平面内的直角坐标系xOy中，长为L的细绳一端固定于点A（0， ），另一端系
有一个质量为m、电荷量为q的带正电的小球．现在y轴正半轴上某处B固定一钉子，再将细绳拉至水平
位置，由静止释放小球使细绳碰到钉子后小球能绕钉子转动．已知整个空间存在竖直向上的匀强电场，电
场强度为 ，重力加速度为g。B、O相距y ，则（ ）
B
A．小球运动过程中的最小速度为B．当 时小球恰好能做完整的圆周运动
C．当 时小球能做完整的圆周运动
D．若小球恰好能做完整的圆周运动，则绳能承受的拉力至少为6mg
【答案】CD
【详解】A．小球所受的重力和电场力的合力 方向竖直向上。当小球第一次运动到最高点
时速度最大，设最大速度为v 。根据动能定理得 可得 则小球运动过程中的最大速度
m
为 ，A错误；
B．设小球恰好能绕B点做完整的圆周运动时B点的坐标为y ，小球做圆周运动的半径为r，则有
B
小球通过圆周运动最低点时，需满足 从开始到圆周运动最低点的过程，由动能定
理得 联立解得 ，B错误；
C．当 时，因 小球能做完整的圆周运动，C正确；
D．小球恰好能做完整的圆周运动时，在最高点绳的拉力最大，设为T，此时 ；
依据牛顿第二定律得 解得 故绳能承受的拉力至少为6mg，D正确。故选CD。
4．粗糙绝缘的水平桌面上，有两块竖直平行相对而立的金属板A、B．板间桌面上静止着带正电的物块，
如图甲所示，当两金属板加图乙所示的交变电压时，设直到t 时刻物块才开始运动，(最大静摩擦力与滑动
1
摩擦力可认为相等)，则( )A．在0～t 时间内，物块受到的摩擦力恒定，方向水平向左
1
B．在t～t 时间内，物块受到的摩擦力先逐渐增大，后逐渐减小
1 3
C．t 时刻物块的速度最大
3
D．t 时刻物块的速度最大
4
【答案】C
【详解】A. 在 时间内，物块处于静止状态，电场强度方向水平向右，物块所受的电场力水平向右，
根据平衡条件得摩擦力大小： ， 增大， 随之增大，并且由平衡条件知，摩擦力的方
向水平向左，故A错误；B. 在 时间内，物体向右运动，受到的是滑动摩擦力，物块对地面的压力不
变，根据公式 知，摩擦力不变，故B错误；
CD. 据题意：最大静摩擦力与滑动摩擦力认为相等，在 时刻物块所受的静摩擦力达到最大，并恰好等于
此时的电场力；在 时间内，电场力一直大于摩擦力，物体一直向右加速运动；在 时间内，电场
力小于滑动摩擦力，物块向右做减速运动，所以 时刻物块的速度最大，故C正确，D错误．
5．如图甲所示，平行金属板P、Q上有两个正对小孔，Q板接地，P板的电势 随时间变化的情况如图乙
所示，一束电子以相同的初速度v 陆续均匀地从P板小孔飞向Q板小孔，t=0时刻从P板小孔飞入的电子
0在 时刻到达Q板小孔且速度刚好减小到零（未返回）。不计电子重力、小孔对板间电场的影响以及电
子间的相互作用，下列说法正确的是（ ）
A．只有满足t=nT（n=0，1、2，3…）时刻飞入P板小孔的电子在板间运动的时间才最长
B． 时刻飞入P板小孔的电子到达Q板小孔的时刻为
C．若仅将电子从P板小孔飞人的初速度变成 ，则有12.5%的电子到达Q板小孔时的速度仍为
D．若仅将两板距离变成原来的两倍，则t=0时刻从P板小孔飞入的电子到达Q板时的速度仍为零
【答案】ABC
【详解】A．两板间存在电压时，电子做减速运动，若要使电子在板间运动的时间最短，应使电子做匀减
速运动的时间最长，即满足t=nT（n=0，1、2，3…）时刻飞入P板小孔，故A正确；
B．设电子初速度大小为v，由题意可知电子做匀减速运动的加速度大小为 极板间距为
0
时刻飞入P板小孔的电子先做匀减速运动，此阶段的位移大小为 末速度大小
为 电子后做匀速直线运动，此阶段的运动时间为 所以 时刻飞入P板小
孔的电子到达Q板小孔的时刻为 故B正确；C．由题意，电子从P板小孔飞入和到达Q板小孔的速度相同，说明电子一直做匀速直线运动，在板间运
动的时间为 所以电子从P板小孔飞入的时刻范围是 ，这些电子所占电子总数的百
分比为 故C正确；
D．若仅将两板距离变成原来的两倍，则电子做匀减速运动的加速度大小变为 ，t=0时刻从P板小孔飞入
的电子在 时刻的速度大小为 电子做匀减速运动的位移大小为
电子之后做匀速直线运动的位移大小为 所以电子到达Q板时的速度大小为 ，故
D错误。故选ABC。
6．如图甲所示，长为8d、间距为d的平行金属板水平放置，O点有一粒子源，能持续水平向右发射初速
度为v、电荷量为q（ ）、质量为m的粒子，在两板间存在如图乙所示的交变电场，取竖直向下为正
0
方向，不计粒子重力，以下判断正确的是（ ）
A．粒子在电场中运动的最短时间为
B．射出粒子的最大动能为C． 时刻进入的粒子，从O′点射出
D． 时刻进入的粒子，从O′点射出
【答案】AD
【详解】A．由题图可知场强大小 则粒子在电场中的加速度 则粒子在电场中运动的最
短时间满足 解得 选项A正确；
B．能从板间射出的粒子在板间运动的时间均为 则任意时刻射入的粒子若能射出电场，则射出电场时
沿电场方向的速度均为0，可知射出电场时粒子的动能均为 ，选项B错误；
C． 时刻进入的粒子，在沿电场方向的运动是：若向下加速 ，则 ，可知
粒子撞击到下极板，故粒子无法从O′点射出，故C错误；
D． 时刻进入的粒子，在沿电场方向的运动是：先向上加速 ，后向上减速 速度到零；然后
向下加速 ，再向下减速 速度到零……如此反复，则最后从O′点射出时沿电场方向的位移为零，则粒子
将从O′点射出，选项D正确。故选AD。
7．如图甲所示，平行板电容器的两极板A、B水平放置，极板长度为L。 时刻起在两极板间加上如图
乙所示的交变电压，同时一电子以速率 沿两板的中轴线水平向右射入电场，最终电子恰好从靠近上极板的边缘处水平飞出。已知电子电量为e、质量为m，图乙中 已知。则关于交变电压周期T和两极板间距
d满足的条件为（ ）
A． ， …
B． ， …
C． ， …
D． ， …
【答案】AC
【详解】AB．粒子进入偏转电场后竖直方向的分速度随时间变化的图像如图所示
根据电子恰好从靠近上极板的边缘处水平飞出可得 ，n取0，1，2，3…根据水平方向匀速得联立解得 ，n取0，1，2，3…，A正确，B错误；
CD．竖直方向的分运动满足 解得 ，n取0，1，2，3…，C正确，D
错误。故选AC。
8．如图甲所示，A、B两平行板构成一加速电场，C、D两平行板构成一偏转电场，有电子源源不断从A板
上的小孔由静止进入加速电场，并从B板的小孔离开加速电场进入偏转电场，虚线恰好为偏转电场的中轴
线，A、B板间的加速电压与时间的关系图像如图乙所示。已知C、D板间的电压为 ，C、D板间的距离
为d，C、D的极板长度为 ，电子的电荷量为e，质量为m。电子穿过加速电场的时间远小于T，不计电
子重力及电子间的相互作用，下列说法正确的是（ ）
A．在 时刻进入加速电场的电子能离开偏转电场
B．在 时刻进入加速电场的电子能离开偏转电场
C． 时刻进入加速电场的电子离开偏转电场时速度方向与图甲中虚线夹角的正切值为
D．在 时刻进入加速电场的电子离开偏转电场时的速度大小为
【答案】BC【详解】A．在 时刻A、B间的电压为 ，此时刻进入的电子在加速电场中有 假设电子能
通过偏转电场，则电子通过偏转电场所用的时间 电子在竖直方向上的位移大小
解得 假设不成立，所以电子不能射出偏转电场，故A错误；
B．在 时刻A、B间的电压为 ，此时刻进入的电子在加速电场中有 假设电子能通过
偏转电场，则电子通过偏转电场所用时间 电子在竖直方向上的位移大小 解得
假设成立，所以电子能射出偏转电场，故B正确；
CD．在 时刻A、B间的电压为 ，此时刻进入的电子在加速电场中有 根据以上分析可
知电子能通过偏转电场，则电子通过偏转电场所用时间 电子在竖直方向上的位移大小
解得 此时电子沿竖直方向的速度 电子离开偏转电场时速度方向与图甲虚线夹角的正切
值 电子离开偏转电场时的速度 故C正确，D错误。故选BC。
9．如图所示，在足够长的光滑绝缘水平直线轨道上方的P点，固定一电荷量为 的点电荷。一质量为
m、带电荷量为 的物块（可视为质点的检验电荷），从轨道上的A点以初速度 沿轨道向右运动，当运
动到P点正下方的B点时速度为v。已知点电荷产生的电场在A点的电势为 （取无穷远处电势为零），P
到物块的重心竖直距离为h，P、A连线与水平轨道的夹角为 ，k为静电常数，下列说法正确的是（ ）
A．点电荷 产生的电场在B点的电场强度大小为
B．物块在A点时受到轨道的支持力大小为
C．物块从A到B机械能减少量为
D．点电荷 产生的电场在B点的电势为
【答案】AD
【详解】A．由点电荷的电场强度公式 得 故A正确；
B．物体受到点电荷的库仑力为 由几何关系可知 物体在 点时，由平衡条件有
解得 故B错误；
CD．设点电荷产生的电场在 点的电势为 ，机械能减少量为 ，动能定理有
解得 ， 故 C 错误，D 正确。故选
AD。10．如图所示，有一均匀对称带负电花环和一质量为m的带正电小球，小球由静止从花环正上方某一高处
的A点落下，穿过花环中心又下落到达与A对称的 点。在这个过程中，若取花环中心为坐标原点且重力
势能为零，无限远处电势为零，竖直向下为 轴正方向，则关于小球的加速度a、重力势能 、电势能 、
机械能E，这四个物理量与小球的位置坐标x的关系图像可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】A．花环中心电场强度为零，无穷远处电场强度为零，所以从中心到无穷远处电场强度是先增加
再减少。加速度是重力和电场力的合力与质量的比值，在花环上方，重力和电场力都向下，且电场力可能
先增加再减小，所以加速度可能先增加再减小，在花环下方，重力向下，电场力向上，且电场力先增加再减小，合力可能先减小再增加，所以加速度可能先减小再增加，A正确；
B．从A到 重力做正功，重力势能减小，B错误；
C．从A到 电场力先做正功再做负功，所以电势能先减小再增加，但由于场强不均匀，所以电场力做功
及电势能变化也不均匀，C错误；
D．由机械能守恒的条件可知，除重力之外的其它力做功影响机械能的变化，电场力先做正功再做负功，
所以机械能先增加再减小，小球在花环上方下落过程中电场力可能先变大再变小，在花环下方下落过程中
电场力可能先变大再变小，这种变化情况是有可能的，D正确。故选AD。
11．如图所示，不带电物体A质量为m，带电量为 的物体B质量为 ，A、B用跨过定滑轮的绝
缘轻绳连接，物体B静止在倾角为 且足够长的斜面上，劲度系数为k的轻弹簧一端固定在竖直挡板
上，另一端与物体A相连，整个系统不计一切摩擦。某时刻，施加一场强大小为 ，方向沿斜面向下的
匀强电场，在物体B获得最大速度的过程中弹簧未超过弹性限度（已知弹簧的弹性势能 ，x为弹
簧的形变量；轻绳与A、B的接触面均平行，且不会断裂），下列说法正确的是（ ）
A．施加电场的初始时刻，轻绳的拉力为
B．物体B的速度最大时，弹簧的形变量为
C．物体B从开始运动到最大速度的过程中，系统电势能的减少量为
D．物体B从开始运动到最大速度的过程中，物体A和物体B机械能之和增加
【答案】AC【详解】A．没有施加电场时，有 施加电场的初始时刻，对B有
对A有 解得 故A正确；
B．物体B速度最大时，有 解得 故B错误；
C．物体B速度最大时的位移为 系统电势能的变化量为 所以电势
能的减少量为 ，故C正确；
D．物体B速度最大时，A的速度也最大，此时弹簧弹性势能的增加量为 与电场力做
功相等，所以A、B两物体的机械能之和不变，故D错误。故选AC。
