微重点 14 与空间角有关的最值问题
立体几何动态问题中，空间角的最值及范围问题是高考的常考题型，常与图形翻折、点
线面等几何元素的变化有关，常用方法有几何法、函数(导数)法、不等式法等．主要是利用
三角函数值比较及最小角定理(线面角是最小的线线角，二面角是最大的线面角)等求解．
考点一 空间角的大小比较
例1 (2022·嘉兴质检)已知长方体ABCD－ABC D 的底面ABCD为正方形，AA ＝a，AB＝
1 1 1 1 1
b，且a＞b，侧棱CC 上一点E满足CC ＝3CE，设异面直线AB与AD ，AB与DB ，AE
1 1 1 1 1 1 1
与DB 所成的角分别为α，β，γ，则( )
1 1
A．α＜β＜γ B．γ＜β＜α
C．β＜α＜γ D．α＜γ＜β
答案 A
解析 以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD 所在直线为z轴建立空
1
间直角坐标系(图略)，
∵长方体ABCD－ABC D 的底面为正方形，
1 1 1 1
AA＝a，AB＝b，且a＞b，
1
侧棱CC 上一点E满足CC ＝3CE，
1 1
∴A(b，0，a)，B(b，b，0)，A(b，0,0)，D(0,0，a)，
1 1
B(b，b，a)，E，A1B＝(0，b，－a)，
1
AD1＝(－b，0，a)，D1B1＝(b，b，0)，
AE＝，
cos α＝＝＝，
cos β＝＝，
cos γ＝＝0，
∵a＞b＞0，∴cos α＞cos β＞cos γ＝0，∴α＜β＜γ.
规律方法 (1)最小角定理：直线与平面所成角是直线与平面内所有直线所成角中最小的角
(线面角是最小的线线角)．
(2)最大角定理：二面角是平面内的直线与另一个平面所成角的最大角(二面角是最大的线面
角)．
跟踪演练1 设三棱锥V－ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点(不含端点)．记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与平面ABC所成的角为β，二面角P－
AC－B的平面角为γ，则( )
A．β<γ，α<γ B．β<α，β<γ
C．β<α，γ<α D．α<β，γ<β
答案 B
解析 由题意，直线PB与直线AC所成的角α大于直线PB与平面ABC所成的角β，即
β<α，而直线PB与平面ABC所成的角β小于二面角P－AC－B的平面角γ，所以β<γ.
考点二 空间角的最值
例2 (2022·绍兴模拟)已知正方体ABCD－ABC D 的棱长为2，M，N分别是BC，BC 的
1 1 1 1 1 1
中点，点P是截面ABC D(包括边界)上的动点，DP＝，2ME＝EN，则EP与平面ABC D所
1 1 1 1 1
成最大角的正切值为________．
答案
解析 取DC 的中点O，连接DO，OP，DP，作MS⊥平面ABC D于点S，ET⊥平面
1 1 1 1 1
ABC D于点T(图略)，由正方体性质可知DO⊥平面ABC D，
1 1 1 1 1
则OP＝
＝＝，
则点P的轨迹是以O为圆心，为半径的圆与平面ABC D的交线，又M到平面ABC D的距
1 1 1 1
离为MS＝，因为2ME＝EN，
所以E到平面ABC D的距离为ET＝，
1 1
则∠EPT为直线EP与平面ABC D的夹角，当O，T，P共线时，PT最小，
1 1
tan∠EPT＝的值最大，
OS＝1，ST＝×＝，
所以OT＝＝，
即PT＝－，
tan∠EPT＝＝＝.
规律方法 求空间角最值、范围的两种常用方法
(1)利用空间角的定义及几何图形找到空间角，构造三角形，利用三角函数的比值构造函数
求最值、范围．
(2)建立空间坐标系，利用坐标运算求空间角的三角函数值，构造函数求最值、范围．
跟踪演练2 (2022·内江模拟)如图，在正方体ABCD－ABC D 中，M为线段AD的中点，
1 1 1 1 1
N为线段CD 上的动点，则直线C D与直线MN所成角的正弦值的最小值为( )
1 1A. B. C. D.
答案 C
解析 以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则M(1,0,1)，C(0,2,0)，
C (0,2,2)，D(0,0,2)，
1 1
CD1＝(0，－2,2)，
C1D＝(0，－2，－2)，
设CN＝λCD1(0 ≤ λ ≤ 1)，则N(0，－2λ＋2,2λ)，
∴MN＝(－1，－2λ＋2,2λ－1)，
设直线C D与直线MN所成角为θ，
1
则cos θ＝|cos〈MN，C1D〉|＝
＝
＝，
由＝≥，
当且仅当λ＝时等号成立，
∴cos θ＝≤，则sin θ≥，
∴直线C D与直线MN所成角的正弦值的最小值为.
1
考点三 空间角的范围
例3 如图1，在平面多边形ABCDE中，四边形ABCD是正方形，△ADE是正三角形．将
△ADE所在平面沿AD折叠，使得点E达到点S的位置(如图2)．若二面角S－AD－C的平
面角θ∈，则异面直线AC与SD所成角的余弦值的取值范围是( )A. B.
C. D.
答案 D
解析 如图，取AD的中点O，BC的中点G，连接OS，OG，则OG⊥AD，以OG所在直线
为x轴，OD所在直线为y轴，过点O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐
标系．
设AB＝2，则A(0，－1,0)，C(2,1,0)，D(0,1,0)．
因为△SAD为正三角形，O为AD的中点，
所以SO⊥AD，又OG⊥AD，
所以∠SOG是二面角S－AD－C的平面角，
即∠SOG＝θ，则S(cos θ，0，sin θ)．
因为AC＝(2,2,0)，DS＝(cos θ，－1，sin θ)，
所以cos〈AC，DS〉＝.
又θ∈，所以cos θ∈，
所以cos〈AC，DS〉∈，
又异面直线夹角的取值范围为，
故异面直线AC与SD所成角的余弦值的取值范围是.
易错提醒 求空间角的范围时，要注意空间角自身的范围；利用坐标法求角时，要注意向量
夹角与空间的关系．
跟踪演练3 在正方体ABCD－ABC D 中，点O为线段BD的中点．设点P在棱CC 上，
1 1 1 1 1
直线OP与平面ABD所成的角为α，则sin α的取值范围是( )
1
A. B.
C. D.
答案 B
解析 设正方体的棱长为1，以C为原点，分别以CD，CB，CC1为x轴、y轴、z轴正方向建
立空间直角坐标系，如图所示，令P(0,0，m)，m∈[0,1]，
则O，B(0,1,0)，D(1,0,0)，A(1,1,1)，
1
∴BD＝(1，－1,0)，DA1＝(0,1,1)，
OP＝，m∈[0,1]，
设平面ABD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
1
则
即
则平面ABD的一个法向量为n＝(1,1，－1)，
1
∴sin α＝|cos〈n，OP〉|＝
＝＝∈.
专题强化练
1.在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，将△ABC与△ADC沿AC所在的直线进行随意翻折，在
翻折过程中直线AD与直线BC所成角的范围(包含初始状态)为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 根据题意，初始状态，直线 AD与直线BC所成的角为0，当BD＝时，AD⊥DB，
AD⊥DC，且 DB∩DC＝D，DB，DC⊂平面 DBC，所以 AD⊥平面 DBC，又 BC⊂平面
DBC，故AD⊥BC，直线AD与BC所成的角为，
所以在翻折过程中直线AD与直线BC所成角的范围(包含初始状态)为.
2．已知四棱锥S－ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点(不含端点)．
设SE与BC所成的角为θ ，SE与平面ABCD所成的角为θ ，二面角S－AB－C的平面角为
1 2
θ，则( )
3
A．θ≤θ≤θ B．θ≤θ≤θ
1 2 3 3 2 1C．θ≤θ≤θ D．θ≤θ≤θ
1 3 2 2 3 1
答案 D
解析 方法一 由题意知四棱锥S－ABCD为正四棱锥，如图，连接AC，BD，记AC∩BD
＝O，连接 SO，则 SO⊥平面 ABCD，取 AB 的中点 M，连接 SM，OM，OE，易得
AB⊥SM，则θ ＝∠SEO，θ ＝∠SMO，易知θ≥θ.因为OM∥BC，BC⊥AB，SM⊥AB，所以
2 3 3 2
θ 也是 OM 与平面 SAB 所成的角，即 BC 与平面 SAB 所成的角，再根据最小角定理知
3
θ≤θ，
3 1
所以θ≤θ≤θ.
2 3 1
方法二 如图，不妨设底面正方形的边长为 2，E为AB上靠近点A的四等分点，E′为AB
的中点，S到底面的距离SO＝1，以EE′，E′O为邻边作矩形OO′EE′，
则∠SEO′＝θ，∠SEO＝θ，∠SE′O＝θ.
1 2 3
由题意得tan θ＝＝，
1
tan θ＝＝＝，
2
tan θ＝1，
3
此时tan θ＜tan θ＜tan θ，可得θ＜θ＜θ，
2 3 1 2 3 1
当E在AB中点处时，θ＝θ＝θ.
2 3 1
故θ≤θ≤θ.
2 3 1
3.(多选)(2022·汕头模拟)如图，在正方体ABCD－ABC D 中，点P在线段BC上运动，则(
1 1 1 1 1
)
A．直线BD⊥平面AC D
1 1 1
B．三棱锥P－AC D的体积为定值
1 1
C．异面直线AP与AD所成角的取值范围是
1
D．直线C P与平面AC D所成角的正弦值的最大值为
1 1 1答案 AB
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
B(1,1,0)，D(0,0,1)，
1
A(1,0,1)，C (0,1,1)，
1 1
D(0,0,0)，B(1,1,1)，
1
C(0,1,0)，A(1,0,0)，
设P(x，1，z)，B1P＝λB1C，
则(x－1,0，z－1)＝λ(－1,0，－1)，λ∈[0,1]，
解得
即P(1－λ，1,1－λ)．
对于A，BD1＝(－1，－1,1)，DA1＝(1,0,1)，
DC1＝(0,1,1)，
因为BD1·DA1＝－1×1＋1×1＝0，
BD1·DC1＝－1×1＋1×1＝0，
所以BD1⊥DA1，BD1⊥DC1⇒BD⊥DA，
1 1
BD⊥DC ，
1 1
又DA∩DC ＝D，DA，DC ⊂平面AC D，
1 1 1 1 1 1
所以直线BD⊥平面AC D，故A正确；
1 1 1
对于B，设侧面BCC B 的对角线交点为O，
1 1
所以CB ⊥OC ，OC ＝×＝，
1 1 1
而AB⊥平面BCC B，OC ⊂平面BCC B，
1 1 1 1 1 1 1
所以AB⊥OC ，而AB∩CB ＝B，
1 1 1 1 1 1 1
AB，CB ⊂平面ABCD，
1 1 1 1 1
所以OC ⊥平面ABCD，
1 1 1
为定值，故B正确；
对于C，AP＝(－λ，1,1－λ)，A1D＝(－1,0，－1)，
设异面直线AP与AD所成角为θ，
1
则有cos θ＝
＝＝，
当λ＝时，cos θ＝0⇒θ＝；
当λ≠时，
cos θ＝＝，
因为λ∈∪，
所以(2λ－1)2∈(0,1]，
因此≥1⇒≥3⇒1＋≥4⇒≥2⇒0<≤，
即0<cos θ≤，
所以θ∈，
综上，θ∈，故C不正确；
对于D，由A项知，BD1＝(－1，－1,1)为平面AC D的一个法向量，
1 1
令m＝BD1，
则m＝(－1，－1,1)，C1P＝(1－λ，0，－λ)，
设直线C P与平面AC D所成角为α，
1 1 1
则sin α＝|cos〈m，C1P〉|＝
＝
＝＝，
因为λ∈[0,1]，
所以当λ＝时，有最小值，最小值为＝，
所以直线C P与平面AC D所成角的正弦值的最大值为＝，故D不正确．
1 1 1
4．(2022·义乌模拟)如图，在等边△ABC中，D，E分别是线段AB，AC上异于端点的动点，
且BD＝CE，现将△ADE沿直线DE折起，使平面ADE⊥平面BCED，当D从B滑动到A的
过程中，则下列选项中错误的是( )
A．∠ADB的大小不会发生变化
B．二面角A－BD－C的平面角的大小不会发生变化
C．BD与平面ABC所成的角变大
D．AB与DE所成的角先变小后变大
答案 C
解析 设等边△ABC的边长为1，
AD＝x(0<x<1)，则BD＝1－x，在△ABC中，由BD＝CE，得DE∥BC，
如图，过点A作AG⊥BC，交DE于点H，交BC于点G，连接BH，则AH⊥DE，
AG＝，∠ADH＝∠ABG＝60°，
所以AH＝x，HG＝－x＝(1－x)，
在△ADE沿直线DE折起的过程中，AH⊥DE，HG⊥BC始终满足．
由平面ADE⊥平面BCED，平面ADE∩平面BCED＝DE，AH⊂平面ADE，
所以AH⊥平面BCED，
又BH⊂平面BCED，则AH⊥BH，
在△BHG中，BH＝，
所以AB＝
＝
＝，
所以cos∠ADB＝
＝＝－为定值，
所以∠ADB大小不变，故A正确；
如图，过H作HO⊥BD交BD于点O，
由DH＝，得OH＝x，
由AH⊥平面BCED，BD⊂平面BCED，
得AH⊥BD，
又AH∩OH＝H，AH，OH⊂平面AOH，
所以BD⊥平面AOH，
所以∠AOH为二面角A－BD－C的平面角，
在Rt△AOH中，tan∠AOH＝＝＝2，
所以∠AOH大小不变，故B正确；
S ＝×BC×HG＝×1×(1－x)
△BCD
＝(1－x)，由AH⊥DE，得AH⊥BC，
又HG⊥DE，且HG∩AH＝H，HG，
AH⊂平面AGH，
所以BC⊥平面AGH，
又AG⊂平面AGH，所以BC⊥AG，
又AH⊥平面BCED，HG⊂平面BCED，
则AH⊥HG，
所以AG＝＝，
S ＝·BC·AG，
△ABC
设点D到平面ABC的距离为d，
由等体积法可得V ＝V ，
A－BCD D－ABC
即·S ·AH＝·S ·d
△BCD △ABC
则d＝＝
＝，
设BD与平面ABC所成的角为θ，
则sin θ＝＝
＝，
在D从B滑动到A的过程中，x的值从1变小到0，这一过程中逐渐变大．
所以在这一过程中，sin θ变小，则角θ变小，故C不正确；
由DE∥BC，则∠ABC(或其补角)为AB与DE所成的角．
由上可知，BC⊥AG，
则tan∠ABC＝＝2AG＝·
＝·，
函数y＝2x2－2x＋1(0<x<1)的对称轴为x＝，
当0<x<时，函数y＝2x2－2x＋1(0<x<1)单调递减，
当<x<1时，函数y＝2x2－2x＋1(0<x<1)单调递增，
所以在 x 从 1 变到的过程中，tan∠ABC 变小，∠ABC 变小，在 x 从变到 0 的过程中，
tan∠ABC变大，∠ABC变大，故D正确．
5.如图所示，在正方体ABCD－ABC D 中，点P是棱AB(包括端点)上的动点，设点P在运
1 1 1 1
动过程中，平面PDB 与平面ADD A 夹角的最小值为α，则cos α＝________.
1 1 1答案
解析 以点D为坐标原点，DA，DC，DD 所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角
1
坐标系(图略)，
设正方体的棱长为1，AP＝a(0≤a≤1)，
则易得D(0,0,0)，P(1，a，0)，B(1,1,1)，
1
则DP＝(1，a，0)，DB1＝(1,1,1)，
设平面PDB 的一个法向量为n＝(x，y，z)，
1
则
令x＝a，得平面PDB 的一个法向量为
1
n＝(a，－1，－a＋1)，
易得平面ADD A 的一个法向量为m＝(0,1,0)，
1 1
设平面PDB 与平面ADD A 的夹角为θ，
1 1 1
则cos θ＝|cos〈n，m〉|＝
＝
＝，
易得当θ取得最小值α时，a＝，
此时有cos α＝.
6．已知E，F，O分别是正方形ABCD的边BC，AD及对角线AC的中点，将△ACD沿着
AC进行翻折构成三棱锥，则在翻折过程中，直线EF与平面BOD所成角的余弦值的取值范
围为________．
答案
解析 如图所示，设正方形的边长为2，
则OA＝OB＝OD＝，
OA⊥OB，OA⊥OD，
设∠BOD＝α，α∈(0，π)，直线EF与平面BOD所成的角为θ，θ∈，
以{OA，OB，OD}为一组基底，则EF＝OF－OE＝(OA＋OD)－(OC＋OB)
＝OA－OB＋OD，
所以|EF|＝
＝
＝，
则AC＝OC－OA＝－2OA，
所以|AC|＝2|OA|＝2，
AC·EF＝－2OA·
＝－2OA2＋OA·OB－OA·OD＝－4.
所以sin θ＝＝∈，
所以cos θ＝∈.
