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*5.5 三元一次方程组
题型一 三元一次方程（组）的判断
1．下列方程是三元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.94
【分析】需根据定义逐一分析选项，即可解答．
【详解】A、 ，含有三个未知数 、 、 ，且每个未知数的次数都是1，是整式方程，符合
三元一次方程的定义，故符合题意；
B、 ，项 的次数为 ，是三元三次方程，不符合 “一次” 的要求，故不符合题意；
C、 ，只含有两个未知数 、 ，是二元一次方程，不符合 “三元” 的要求，故不符合题意；
D、 ，未知数的项 、 的次数为 ，是三元二次方程，不符合 “一次” 的要求，故
不符合题意．故选：A．
【点睛】本题考查了三元一次方程的定义，熟练掌握三元一次方程需同时满足三个未知数、未知数的项次
数为 1、整式方程是解题的关键．
2．下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.85
【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可．
【详解】解：A．是三元一次方程组，符合题意；
B．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意；
C．只含有2个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意；
D．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了解三元一次方程组，熟练掌握三元一次方程组的定义是解本题的关键．
3．下列是三元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.94
【分析】本题考查了三元一次方程组的相关知识点，掌握三元一次方程组的定义是解题的关键．
本题对每个选项中的方程组从未知数的个数有 个、含未知数的项的次数是 次以及是否为整式方程这几个
方面去分析，即可解决问题．
【详解】解：A、方程 中，未知数 的次数是 次，不满足“含有未知数的项的次数是 ”的条件，
不符合题意；
B、方程 中含有 ，不是整式方程，不符合题意；C、方程 中， 的次数是2次，不满足“含有未知数的项的次数是 ”的条件，不符合题意；
D、方程组满足 “含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 的整式方程”，符合题意．
故选：D．
题型二 列三元一次方程组
4．请写出一个以 为解的三元一次方程： ．
【答案】 （答案不唯一）
【难度】0.94
【分析】本题考查了三元一次方程的定义及方程解得概念，解题关键是熟练掌握三元一次方程的定义．
将 、 、 的值代入能使等式成立即可．
【详解】解：可以根据 、 、 的值进行运算构造方程，比如 ，
把 ， ， 代入： ，
∴得到三元一次方程 ．
故答案为： （答案不唯一）．
题型一 解三元一次方程组
1．解下列方程组：
(1) ； (2) ； (3)
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【详解】
（1）解：① ②得： ④，
① ③得： ⑤，，
④ ⑤得： ，
把 代入④得： ，
把 代入②得： ，
∴方程组的解为： ．
（2）解：由①+②，得 ．④
由④-③，得 ，解得 ．
把 代入③，解得 ．
把 代入①，解得 ．
故原方程组的解为
（3）解：由②-①，得 ．④
由③-②，得 ．⑤
由⑤-④，得 ，解得 ．
将 代入④，得 ，解得 ．
将 代入①，得 ，解得 ，
所以原方程组的解为
【点睛】本题考查了三元一次方程组的解法，掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键．
题型二 消元法与整体思想
2．【阅读感悟】
已知实数 、 满足 ，求 和 的值．本题常规思路是利用消元法求解方程组，解得 、 的值后，再代入需要求值的整式得到答案，常规思路
运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得
代数式的值，如由① ②可得 ，由① ②可得 ，这样的解题思想称为“整体思
想”．
【解决问题】
(1)已知二元一次方程组 ，求 和 的值；
(2)有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米；甲种4根，乙种2根，
丙种5根，共长40米，求1根丙种钢条是多少米？
【答案】(1) ，
(2)1根丙种钢条长 米．
【难度】0.85
【分析】本题考查解二元一次方程组和三元一次方程组．熟练掌握整体思想，利用整体思想进行求解，是
解题的关键．
（1）利用整体思想进行求解即可；
（2）设甲种钢条长 米，乙种钢条长 米，丙种钢条长 米，根据题意，列出三元一次方程组，利用整体
思想进行求解即可；
【详解】（1）解： ，
，得： ；
，得： ；
（2）设甲种钢条长 米，乙种钢条长 米，丙种钢条长 米，
由题意，得： ，
，得： ；
∴丙种钢条长 米．
3．数学课上，张老师给出了一个问题，已知实数 ， 满足 ，求 和 的值．小红发现两个方程相同未知数系数之间的关系，通过适当变形，整体求得代数式的值， ①，
②，由 可得 ，由 可得 ．小红同学的思路体现了数学中
“整体思想”的运用．请你参考她的做法，解决下面的问题：
(1)已知二元一次方程 ，求 和 的值；
(2)八（1）班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，若买 支铅笔、 块橡皮、 本笔记本共需 元；若买
支铅笔、 块橡皮、 本笔记本共需 元，则购买 支铅笔、 块橡皮、 本笔记本共需多少元？
【答案】(1) ， ；
(2)购买 支铅笔、 块橡皮、 本笔记本共需 元．
【难度】0.65
【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组，解题的关键在于正确理解题意，熟练运用整体化
思想．
（1）将两个方程相加或相减，即可求解；
（2）设铅笔的单价为 元，橡皮的单价为 元，笔记本的单价为 元，根据题意列出方程组，利用整体化
思想，即可求解．
【详解】（1）解：（1）由题意，得
，得 ，
∴ ；
由 ，得 ，
∴ ．
（2）解：设铅笔的单价为 元，橡皮的单价为 元，笔记本的单价为 元，
根据题意，得
则 ，得 ，
∴购买 支铅笔、 块橡皮、 本笔记本共需 元．
题型三 三元一次方程组的简单应用
5．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需64元；若购甲4件、乙10件、丙1件，
共需79元；现购甲、乙、丙各一件，共需（ ）元A．33 B．34 C．35 D．36
【答案】B
【难度】0.85
【分析】设购甲每件 元，购乙每件 元，购丙每件 元．列方程组得： ，然后求得
的值．
【详解】解：设购甲每件 元，购乙每件 元，购丙每件 元．
列方程组得： ，
① ② 得： ．
故选：B．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用．根据系数特点，通过加减，得到一个整体，然后整体求解．
6．如图，三个天平的托盘中相同的物质质量相等，图（1）、（2）所示的两个天平处于平衡状态，要使
第三个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（ ）
A．6个球 B．7个球 C．8个球 D．9个球
【答案】B
【难度】0.65
【分析】本题考查了等式的性质，本题的难点是解关于 ， 的方程，解题的基本思想是消元．
题目中的图形实际是说明了两个相等关系：设球的质量是 ，小正方形的质量是 ，小正三角形的质量是
．根据第一个天平得到： ；根据第二个天平得到： ，把这两个式子组成方程
组，解这个关于 ， 的方程组即可．
【详解】解：设球的质量是 ，小正方形的质量是 ，小正三角形的质量是 ．
根据题意得到： ，
解得： ，第三图中左边是： ，因而需在它的右盘中放置7个球．
故选：B．
7．某项工程进行招标，甲、乙两工程队承包 天完成需人民币1800元，乙、丙两工程队承包 天完
成需人民币1500元，甲、丙两工程队承包 天完成需人民币1600元，现要求由某队单独承包且在一星
期内完成，所需费用最省，则被招标的应是 工程队．
【答案】乙
【难度】0.65
【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用．依据题意，应先根据工作量的等量关系求得三队单独完
成这项工程需要的天数，继而求出甲、乙、丙三队的工作效率，再根据费用求得三队一天的工作报酬，最
后算得总费用，比较即可．
【详解】解：由题意，设甲、乙、丙的工作效率为x、y、z，
∴ ．∴ ．
又甲、乙、丙单独工作一天，各需付u、v、w元，
则 ．
∴ ．
∴由甲队单独承包，费用是 （元）．
由乙队单独承包，费用是 （元）．
而丙队不能在一周内完成．所以由乙队承包费用最少．故答案为：乙．
8．某社交平台上有这样一幅图片，请你运用所学的数学知识，求出桌子的高度应是 ．
【答案】130
【难度】0.85
【分析】本题考查了三元一次方程组的实际应用，根据图示由三者关系建立等式是解决本题的关键．
设出站立的小猫的高度，趴着的小猫的高度和桌子的高度的未知数，由图建立三者的关系列方程求解即可．
【详解】解：设桌子的高度为 ，站立的小猫的高度为 ，趴着的小猫的高度为 ，
由第一个图可知， ，
由第二个图可知， ，
即 ，
两式相加可得 ，解得 ，
所以桌子的高度为 ．
故答案为：130 ．
9．勾股定理是人类最伟大的数学发现之一、如图1，以 的各边为边分别向外作正方形，再把较
小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，两个阴影部分的面积分别记为 ， ，若已知
， ， 的斜边 的长为 ．【答案】
【难度】0.65
【分析】本题考查了勾股定理，读懂题意得到阴影部分的面积与正方形的面积关系是解题的关键．设
边的正方形面积为 ， 边的正方形面积为 ， 边的正方形面积为 ，根据勾股定理得到 ，
然后根据阴影部分的面积关系得到 ， ，解之得到 ，即可得到 的值．
【详解】解：设 边的正方形面积为 ， 边的正方形面积为 ， 边的正方形面积为 ，
，
，
，
， ，
， ，
，
解得 ，
，
．
故答案为： ．10．某校为提高校园足球质量和水平，让学生在参与校园足球运动中享受乐趣、增强体质、健全人格、锤
炼意志，实现德智体美劳全面发展，举办了校园足球联赛．根据赛事安排，每队均需参赛19场，记分办法
如下：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．在这次足球联赛中，若某队得13分，则该队可能负
场．（写出一种情况即可）
【答案】6（或8，10，12，14）
【难度】0.65
【分析】本题考查三元一次方程的应用．设该队胜了x场，平了y场，负了z场，根据“每队需参赛19场，
某队得13分”，即可列出方程组，再求解即可；
【详解】解：设该队胜了x场，平了y场，负了z场，根据题意，得
，
∵x，y，z均为非负整数
∴ 或 或 ， ， ，
∴该队可能负6场或负8场或10场，12场，14场．
故答案为：6（答案不唯一）
11．如图，长方形被分成六个小的正方形，已知中间一个小正方形的边长为2，其它正方形的边长分别为
a，b，c，d，则大长方形的面积为 ．
【答案】572
【难度】0.4
【分析】根据题意并结合图形可得： ，然后解方程组求得
a，b，c，d的值，进而求得大长方形的长和宽，最后根据长方形的面积公式即可解答；
【详解】解：由题意可得：，解得：
所以大长方形的长和宽分别为：
所以大长方形的面积为 ．
故答案为572．
【点睛】本题主要考查了列方程组、解方程组等知识点，根据题意正确列出方程组并求解是解答本题的关
键．
12．若 ，则 ， ， ．
【答案】 2 0 1
【难度】0.85
【分析】本题考查已知式子的值，求代数式的值．熟练掌握非负数的和为零，每一个非负数均为零是解题
的关键．
根据非负性的和为零，每一个非负数均为零，求出 的值即可．
【详解】解： ，
∵ ，
∴ ，
解得： ， ， ；
故答案为：2；0；1．
13．某次数学竞赛前70名获奖，原定一等奖10人，二等奖20人，三等奖40人，现调整为一等奖15人，
二等奖25人，三等奖30人．调整后一等奖平均分数降低3分，二等奖平均分数降低2分，三等奖平均分
数降低1分，如果原来二等奖比三等奖平均分数多6分，求调整后一等奖比二等奖平均分数多几分？
【答案】 分．
【难度】0.65
【分析】此题主要考查了三元一次方程组的应用，关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出方程，求
出一等奖比二等奖平均分多的分数．
先设原一等奖平均分为x分，原二等奖平均分为y分，原三等奖平均分为z分，由于总分不变，列出方程
组，求出一等奖比二等奖平均分多的分数，最后根据调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分列出代数式，即可求出答案．
【详解】解：设原一等奖平均分为x分，原二等奖平均分为y分，原三等奖平均分为z分，由于总分不变，
得：
整理得： ①
∵原来二等奖比三等奖平均分数多6分，
∴ ，即 ②
将②代入①得到， ，
∵调整后一等奖平均分为 分，二等奖平均分为 分，
∴ ，
即调整后一等奖比二等奖平均分数多 分．
题型四 “幻方”问题
14．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一
个三阶幻方，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则
的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
【答案】D
【难度】0.85
【分析】本题主要考查了有理数的加减法以及出三元一次方程的应用，根据题意列出三元一次方程以及整
体思想是解题关键．
根据题中给出的三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，即可列出三元一次方程，然后
变形即可解答．
【详解】解：∵三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，
∴如图可得：即 ．
故选D．
15．在如图所示的三阶幻方中，有些位置填写了数或汉字（其中每个汉字都表示一个数）．若处于每行、
每列及每条对角线上的3个数之和都相等，则“我”“中”“国”“梦”这四个字表示的数之和是
．
中 国
我
梦 0
【答案】
【难度】0.85
【分析】本题考查幻方，涉及解方程组，根据题意列方程组求解是解决问题的关键．
令“我”为 、“中”为 、“国”为 、“梦”为 ，由幻方中每行、每列及每条对角线上的3个数之和
都相等，列出方程组求解即可得到答案．
【详解】解：令“我”为 、“中”为 、“国”为 、“梦”为 ，则
0
则每行、每列及每条对角线上的3个数之和为 ，
，
解得，
，
则“我”“中”“国”“梦”这四个字表示的数之和是 ，
故答案为： ．
1.从1分、2分、5分3种硬币中取出100枚，总计3元，求其中2分硬币枚数的可能情况有多少种？
【答案】17种
【难度】0.4
【分析】本题考查了三元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键．
设1分、2分和5分的硬币分别取了x枚、y枚和z枚，依题意得 ，得到 ，
设 ，则 ，解得 ，再根据x为非负整数，故 ，解不等式，分类讨
论求解．
【详解】解：设1分、2分和5分的硬币分别取了x枚、y枚和z枚，依题意得 ，
得 ，可见y是4的倍数，
设 ，则 ，
解得 ．因为x为非负整数，故 ，即 可取 中任何一个，有17种取法，从而y可取
中任何一个，也有17种取法，
∴其中2分硬币枚数的可能情况17种．
