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第五章 一元一次方程
5.5 应用一元一次方程--“希望工程”义演
精选练习
基础篇
一、单选题
1．（2021·江苏·南通市八一中学七年级阶段练习）某车间28名工人生产螺栓和螺母，每人每天平均生产
螺栓12个或螺母18个，一个螺栓需要两个螺母与之配套，如何安排生产螺栓才能让螺栓和螺母正好配套？
设有x名工人生产螺栓，其余人生产螺母，依题意列方程应为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设有x名工人生产螺栓，则 人生产螺母，根据一个螺栓需要两个螺母与之配套，列出一元
一次方程解决问题．
【详解】设有x名工人生产螺栓，则 人生产螺母，依题意得,
,
故选B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程是解题的关键．
2．（2022·广东珠海·七年级期末）某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大
量还多100t；如用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少50t．新、旧工艺的废水排量之比为3∶4，
求两种工艺的废水排量各是多少？若设新、旧工艺的废水排量分别为 和 ，则依题意列方程为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设旧工艺的废水排量 ，旧工艺废水排量要比环保限制的最大量还多100t，则环保限制的最大排量为 ，设新工艺的废水排量为 ，新工艺废水排量比环保限制的最大量少50t，则环保限制
的最大排量为 ，由此列出等式即可．
【详解】解：设新、旧工艺的废水排量分别为 和 ．
故选：A
【点睛】本题考查了一元一次方程解决实际问题，熟练运用方程的思维解决实际问题是解答此题的关键．
3．（2021·江苏苏州·七年级期末）商店将标价为6元的笔记本，采用如下方式进行促销；若购买不超过3
本，则按原价付款；若一次性购买3本以上，则超过的部分打七折．小明有54元钱，他购买笔记本的数量
是（ ）
A．11本 B．最少11本 C．最多11本 D．最多12本
【答案】C
【分析】易得54元可购买的商品一定超过了3本，关系式为：3×原价+超过3本的本数×打折后的价格
≤54，把相关数值代入计算求得最大的正整数解即可．
【详解】解答：解：设他购买笔记本的数量是x本，依题意有
3×6+（x﹣3）×6×0.7≤54，
解得x≤ ．
故他购买笔记本的数量是最多11本．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程不等式即可．
4．（2021·河南信阳·七年级期末）《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，
不尽，又三家共一鹿，适尽．问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，
剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完．设城中有 户人家，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设城中有x户人家，根据“今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取
一头，恰好取完”，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【详解】解：设城中有x户人家，
依题意，得： ．
故选：D
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关
键．
5．（2022·全国·七年级课时练习）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，
不足三问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，
还差3钱，问合伙人数，羊价各是多少？如果我们设合伙人数为x，则可列方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，可以列出相应的一元一次方程，本题得
以解决．
【详解】解：设合伙人数为x，则可列方程为
；
故选：A
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
6．（2022·浙江·七年级单元测试）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，
二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出
9人无车坐．问人数和车数各是多少？设车 辆，根据题意，可列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题两种乘车方式中，车的数量与人的数量都是相等的，可以将车的数量设为x辆，根据人数相
等列出方程即可．
【详解】解：设车有x辆，
若每车坐三人，则人数为3（x－2）人
若每车坐两人，则人数为（2x＋9）人
故3（x－2）＝（2x＋9）故选A
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，设出恰当的未知数，准确抓住数量关系列出关系式是解题的关键．
二、填空题
7．（2020·江苏·滨海县第一初级中学七年级阶段练习）学校安排学生住宿，若每室住8人，则有12人无法
安排；若每室住9人，可空出2个房间．则这个学校有__________间宿舍．
【答案】30
【分析】设这个学校有x间宿舍．根据人数相等得出关于x的一元一次方程求解即可．
【详解】解：设这个学校有x间宿舍，由题意得，
8x+12=9（x-2），
解得x=30，
故答案为：30．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
8．（2022·全国·七年级课时练习）某车间有66名工人，每名工人一天能生产甲种零件24个或生产乙种零
件15个，而甲种零件3个，乙种零件5个配成一套机件，请合理分配所有工人，使得每天生产的零件刚好
配低，则每天可生产_____套．
【答案】144
【分析】设应分配 人生产甲种零件，则 人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件配套．根
据每人每天平均能生产甲种零件24个或乙种零件15个，可列方程求解．
【详解】解：设分配 人生产甲种零件，则应分配 人生产乙种零件，根据题意，得
，
解得 ，
生产乙种零件的人数： ，
每天生产零件的套数： ．
故答案是：144．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用和理解题意的能力，解决这个问题的关键是设出生产甲种零件
和乙种零件的人数，以配套的比例列方程求解．
9．（2022·江苏·七年级单元测试）把一些图书分给某组学生阅读，如果每人分4本，则剩余1本；如果每
人分5本，则还缺4本，这个小组的学生有____人．【答案】5
【分析】设这个班有x名学生，根据“如果每人分4本，则剩余1本；如果每人分5本，则还缺4本”建
立方程求解即可．
【详解】解：设这个小组的学生有x本
4x+1=5x-4
x=5
故答案为：5．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键．
10．（2021·宁夏·吴忠市第一中学一模）某校初中一年级组织学生春游活动，如果包车 辆会有 个学生
没有座位，如果包车 辆则会多出 个空位，则该年级学生人数为______人．
【答案】250
【分析】设 辆包车有 个座位，根据如果包车 辆会有 个学生没有座位，如果包车 辆则会多出 个空
位，可列出方程，进而求出即可．
【详解】解：设 辆包车有 个座位，依题意有
，
解得 ，
．
故该年级学生人数为 人．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，考查学生理解题意的能力，设出 辆包车有座位数，以人
数做为等量关系列方程求解是解决问题的关键．
三、解答题
11．（2022·湖南·平江县龙门镇龙门中学七年级期中）两种移动电话记费方式表
全球通 神州行
月租费 50元 0
本地通话费 0.40元/分 0.60元/分
(1)一个月内本地通话多少分钟时，两种通讯方式的费用相同？
(2)若某人预计一个月内使用本地通话费180元，则应该选择哪种通讯方式较合算？
【答案】(1)一个月内本地通话250分钟时，两种通讯方式的费用相同；(2)若某人预计一个月内使用本地通话费180元，则选择全球通较合算
【分析】（1）设一个月内本地通话x分钟时，两种通讯方式的费用相同，根据两种通讯方式的收费标准，
即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）根据两种通讯方式的收费标准结合本地通话费180元，即可分别求出选择两种通讯方式的可通话时间，
比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：设一个月内本地通话x分钟时，两种通讯方式的费用相同，
根据题意得： ，
解得： ．
答：一个月内本地通话250分钟时，两种通讯方式的费用相同；
（2）解：选择全球通的可通话时间为 （分钟），
选择神州行的可通话时间为 （分钟）．
∵ ，
∴选择全球通较合算．
答：若某人预计一个月内使用本地通话费180元，则选择全球通较合算．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；
（2）根据两种通讯方式的收费标准结合本地通话费180元，分别求出选择两种通讯方式的可通话时间．
12．（2022·河北保定·七年级期末）周末，某校七年级准备组织观看电影《长津湖》，由各班班长负责买
票，每班人数都多于40人，票价每张20元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：40人
以上的团体票有两个优惠方案可选择：
方案1：全体人员可打8折；方案2：若打9折，有5人可以免票．
(1)七年级二班有48名学生，他该选择哪个方案比较省钱？请说明理由；
(2)一班班长思考一会儿说：“我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的”．请求出一班的人数．
【答案】(1)方案1比较省钱，详见解析
(2)一班的人数为45人，详见解析
【分析】（1）根据题意，直接进行计算即可；
（2）设一班的人数为a人，根据所付钱数一样，可列方程： ，解方程即可．
（1）解：由题意可知，方案1费用为： （元），
方案2费用为： （元），
综上所述，方案1比较省钱；
（2）
设一班的人数为a人，
由题意列方程为： ，
解得：a=45，
答：一班的人数为45人．
【点睛】本题主要考查的是一元一次方程的应用，重点在于根据题意列出方程．
提升篇
一、填空题
1．（2021·山东菏泽·八年级期末）王老师把几本《数学大世界》给学生们阅读．若每人3本，则剩下3本；
若每人5本，则有一位同学分不到书看，只够平均分给其他几位同学．则学生与书本的数量分别是
____________；
【答案】4，15．
【分析】设有x名学生，根据分书情况列方程即可．
【详解】解：设有x名学生，根据题意列方程得，
3x+3=5（x-1）
解得，x=4，
一共有书3×4+3=15（本）．
故答案为：4，15．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是审清题意，恰当的设未知数，找到等量关系列方程．
2．（2022·全国·七年级课时练习）一工地计划租用甲、乙两辆车清理淤泥，从运输量来估算：若单独租用
甲车，15天可以完成任务；若单独租用乙车，30天可以完成任务．已知两车合运，共需租金65000元，甲
车每天的租金比乙车每天的租金多1500元．在租甲、乙两车，单独租甲车，单独租乙车这三种方案中，租
金最少是______元．
【答案】60000【分析】根据甲车单独运输需要15天，乙车单独运输需要30天，求得甲乙一起运输需要10天；设甲车每
天的租金为x元，根据两车合运，共需租金65000元列方程求解即可解答；
【详解】解：设甲车每天的租金为x元，则乙车每天的租金为（x-1500）元，
甲车单独运输需要15天，则每天运输 ，乙车单独运输需要30天，则每天运输 ，
甲乙一起运输，则每天运输 + = ，即甲乙一起运输需要10天，
∴10x+10（x-1500）=65000，解得：x=4000，
∴甲车每天的租金为4000元，乙车每天的租金为2500元，
单独租甲车租金为：4000×15=60000元，
单独租乙车租金为：2500×30=75000元，
∴三种方案中，租金最少是60000元；
故答案为：60000；
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，由两车单独运完的天数求得两车一起运完的天数是解题关
键．
3．（2022·全国·七年级课时练习）学校为“中国共产党建党100周年合唱比赛”印制宣传册，某复印店的
收费标准如下：
①印制册数不超过100册时，每册2元；
②印制册数超过100册但不超过300册时，每册按原价打八折；
③印制册数超过300册时，前300册每册按原价打八折，超过300册的部分每册按原价打六折；
学校在复印店印制了两次宣传册，分别花费192元和576元，如果学校把两次复印的宣传册合并为一次复
印，则可节省______元．
【答案】76.8或48
【分析】先求出三类收费标准对应的花费钱数的取值范围，根据题目中所花费的金额，分类讨论，求出两
次对应购买的册数，然后对应求出合并后的花费，最后即可求出答案．
【详解】解：设：印制册的花费为 元，
由题意可知：当印制册数不超过100册时，对应的花费 元，
当印制册数超过100册但不超过300册时，对应的花费为 元，
当印制册数超过300册时，对应的花费为 元，
对于第一次花费来说，设宣传册数为 ，
由于花费为192元，故分两种情况讨论，①当 时， ，解得： ，
②当 时， ，解得： ，
对于第二次花费来说，设宣传册数为 ，
由于花费为576元，故只能是第③种优惠方案，
，解得：
第一次购买是96册时：优惠为 元，
第一次购买是120册时：优惠为 元，
故答案为：76.8或48．
【点睛】本题主要是考查了一元一次方程的实际应用，熟练根据不同方案，进行分类讨论，列出对应方程，
求解未知量，这是解决该题的关键．
4．（2022·北京·清华附中七年级期末）甲、乙两商场在做促销，如下所示，已知两家商场相同商品的标价
都一样．
甲商场：全场均打八五折；
乙商场：购物不超过200元，不给予优惠；超过了200元而不超过500元，一律打八八折；超过500元时，
其中的500元打八八折，超过500元的部分打八折．
（1）某顾客要购买商品的总标价为600元，该顾客选择_____（填“甲”或“乙”）商场更划算；
（2）当购物总额是_____元时，甲、乙两商场实付款相同．
【答案】 甲
【分析】（1）根据两商场的促销方案，即可求出哪家商场更划算；
（2）设购物总额是x元时，甲、乙两商场实付款相同，选择适当的等量关系列出一元一次方程解方程求解
即可
【详解】解：（1）甲商场需要： （元）
乙商场需要： （元）
该顾客选择甲商场更划算；
故答案为：甲
（2）设购物总额是 元时，甲、乙两商场实付款相同，
当 时， ，此方程无解，
当 时，则 ，此方程无解当 时
依题意，
解得
故答案为：
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找出题目中的数量关系是解题的关键．
5．（2021·北京·九年级专题练习）某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线．在一天内，A生产线共加
工a吨原材料，加工时间为（4a＋1）小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，加工时间为（2b＋
3）小时．该企业计划将5吨原材料分配到A，B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工．若分配
到A生产线1.8吨，分配到B生产线3.2吨，两条生产线同时开工，则该企业的加工时间为___小时；若要
使该企业加工这5吨原材料的时间最短，则分配到A生产线___吨．说明：该企业的加工时间为从由生产线
开始加工到两条生产线都停止加工的时间．
【答案】 9.4 2
【分析】（1）把a=1.8，b=3.2分别代入4a＋1和2b＋3，比较即可得答案；
（2）设分配到A生产线x吨，则分配到B生产线（5-x）吨，要使加工这5吨原材料的时间最短，则两个生
产线要同时停止加工，据此列方程求出x的值即可得答案．
【详解】（1）∵分配到A生产线1.8吨，分配到B生产线3.2吨，
∴A生产线加工时间为4×1.8+1=8.2（小时），B生产线加工时间为2×3.2+3=9.4（小时），
∵8.2<9.4，
∴该企业的加工时间为9.4小时，
故答案为：9.4
（2）设分配到A生产线x吨，则分配到B生产线（5-x）吨，
∵加工这5吨原材料的时间最短，
∴两个生产线要同时停止加工，
∴4x+1=2(5-x)+3，
去括号得：4x+1=10-2x+3，
移项、合并得：6x=12，
解得：x=2，
∴分配到A生产线2吨，
故答案为：2
【点睛】本题考查代数式求值及一元一次方程的应用，正确理解题意，找出等量关系列方程是解题关键．二、解答题
6．（2022·四川省内江市第六中学七年级期中）某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价200元，领
带每条定价40元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：①买一套西装送一条领带；②西
装和领带都按定价的 付款．现某客户要到该服装厂购买西装20套，领带x（ ）．
(1)若该客户按方案①购买，需付款_________元（用含x的代数式表示）；若该客户按方案②购买，需付款
________元（用含x的代数式表示）；
(2)若 ，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？
(3)当 时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法．
【答案】(1) ，
(2)方案①
(3)先按方案①购买20套西装（送20条领带），再按方案②购买10条领带
【分析】（1）根据题意分别列出代数式并整理即可得到答案；
（2）把 分别代入（1）中的两个代数式，求出结果后比较即可；
（3）综合运用两种优惠方案，得出更加省钱的方案，即先按方案①购买20套西装（送20条领带），再按
方案②购买10条领带，算出费用即可．
【详解】（1）解：按方案①购买需付费为： 元；
按方案②购买需付费为： 元．
（2）解：由题意得当 时，
方案①需付费为： 元，
方案②需付费为： 元，
，
按方案①购买较为合算．
（3）解：先按方案①购买20套西装（送20条领带），再按方案②购买10条领带，
共需费用为： 元，
，
当 时，此方案更省钱．
【点睛】本题主要考查了列代数式以及最佳方案选择问题，理解方案①中买一套西装送一条领带是解题的
关键．7．（2022·四川·宜宾市叙州区育才中学校七年级期中）为了打造年级体育啦啦队，某年级准备投入一笔资
金为啦啦队队员配置一些花球，经过多方比较，准备在甲、乙两个商家中选择一个．已知花球单价是市场
统一标价为20元，由于购买数量多，两个商家都给出了自己的优惠条件（见表）：
甲商家 乙商家
购买数量x（个） 享受折扣 购买数量（个） 享受折扣
x≤50的部分 9.5折 y≤100的部分 9折
50＜x≤200的部分 8.8折 100＜y≤200的部分 8.5折
x＞200的部分 8折 y＞200的部分 8折
(1)如果需要购买100个花球，请问在哪个商家购买会更便宜？
(2)经年级学生干部商议，最终决定选择在乙商家购买花球，并根据实际需要分两次共购买了350个花球，
且第一次购买数量小于第二次，共花费6140元，请问两次分别购买了多少个花球？
【答案】(1)在乙商家购买会更便宜；
(2)第一次购买140个花球，第二次购买210个花球．
【分析】（1）利用总价＝单价×数量，结合两个商家的优惠条件，即可分别求出在两个商家购买所需费
用，比较后可得出在乙商家购买会更便宜；
（2）设第一次购买m个花球，则第二次购买（350﹣m）个花球，分0＜m≤100，100＜m≤150及150＜
m＜175三种情况考虑，根据两次购买共花费6140元，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出第
一次购买花球的数量，再将其代入（350﹣m）中即可求出第二次购买花球的数量．
（1）
解：在甲商家购买所需费用为20×0.95×50+20×0.88×（100﹣50）＝20×0.95×50+20×0.88×50＝
950+880＝1830（元）；
在乙商家购买所需费用为20×0.9×100＝1800（元）．
∵1830＞1800，
∴在乙商家购买会更便宜．
（2）
解：设第一次购买m个花球，则第二次购买（350﹣m）个花球．
当0＜m≤100时，20×0.9m+20×0.9×100+20×0.85×（200﹣100）+20×0.8（350﹣m﹣200）＝6140，
解得：m＝120（不合题意，舍去）；当100＜m≤150时，20×0.9×100+20×0.85（m﹣100）+20×0.9×100+20×0.85×（200﹣100）+20×0.8
（350﹣m﹣200）＝6140，
解得：m＝140，
∴350﹣m＝350﹣140＝210；
当150＜m＜175时，20×0.9×100+20×0.85（m﹣100）+20×0.9×100+20×0.85（350﹣m﹣100）＝
6150≠6140，
∴不存在该情况．
答：第一次购买140个花球，第二次购买210个花球．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
8．（2022·陕西·西安市第八十三中学七年级期中）自从发生疫情以来，口罩和洗手液都是人们的必需品．
某药店销售口罩、洗手液，每盒口罩定价50元，每瓶洗手液定价20元．今年“双十一”期间开展促销活
动，向顾客提供两种优惠方案：
方案一：每买一盒口罩就赠送一瓶洗手液．
方案二：口罩和洗手液都按定价九折付款．
某顾客计划到这家药店购买10盒口罩和x瓶洗手液（洗手液多于10瓶）．
(1)用含x的代数式分别表示按方案一与方案二购买各需付款多少元？
(2)当 时，若规定每位顾客只能在以上两种方案中任选一种，请通过计算说明该顾客选择上面两种购
买方案中哪一种更省钱？
(3)当 时，小明觉得还有更省钱的购买方式，请求出最省钱的购买方案下的最小花费．
【答案】(1)方案一： ；方案二：
(2)方案一
(3)680元
【分析】（1）根据两种方案列出代数式即可；
（2）把 分别代入两种方案计算出费用，然后比较即可；
（3）将方案一、方案二组合起来购买即可．
【详解】（1）解：方案一： ．
方案二： ．
（2）解：当 时，
方案一需付款 （元），方案二需付款 （元），
因为 ，所以选择方案一更省钱．
（3）解：当 时，先按方案一购买10盒口罩和10瓶洗手液，再按方案二继续购买10瓶洗手液更省
钱．
（元）．
故最小花费为680元．
【点睛】本题主要考查了列代数式、代数式求值等知识点，解题的关键是正确根据题意列出关系式．
