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第 04 讲 二元一次方程组与一次函数、用二元一次方程组确定一次函
数的表达式(5 类热点题型讲练)
1.会把二元一次方程转化成一次函数；培养学生数形结合的思想；
2.会应用方程与函数的联系解决实际问题；
3.能根据一次函数的图象求二元一次方程组的解.
知识点01 二元一次方程组与一次函数的关系
1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0
2）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解。
y=0时，x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解
3）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于
考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确
定两条直线交点的坐标.
4）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象
的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立.
5）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直
线平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.
6）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在坐标系中重合，反之也成立.知识点02 二元一次方程组确定一次函数的表达式（待定系数法）
1) 点+点:设函数的解析式为：y=kx+b，当已知两点坐标，将这两点分别代入（待定系数法），可得关于
k、b的二元一次方程组，解方程得出k、b的值。
2) 图形:观察图形，根据图形的特点，找出2点的坐标，利用待定系数法求解解析式。
题型01 两直线的交点与二元一次方程组的解
例题：（2023春·山东菏泽·八年级统考期末）已知关于x的一次函数 与 的图象交
于点 ，则方程组 的解是 ．
【变式训练】
1．（2023秋·河南郑州·八年级校考期末）一次函数 的图象和 的图象相交于点 ，
则关于x，y的二元一次方程 的解为 ．
2．（2023春·河南南阳·八年级统考阶段练习）已知一次函数 与 （k是常数， ）的图象
的交点坐标是 ，则方程组 的解是 ．
题型02 图象法解二元一次方程组
例题：（2023春·山东泰安·七年级统考期中）如图，一次函数 与 的图象相交于点 ，
则方程组 的解是 ．
【变式训练】1．（2023春·山东烟台·七年级统考期中）如图，一次函数 和 的图象交于点
P，则二元一次方程组 的解是 ．
2．（2023秋·安徽淮北·八年级校考期末）如图，一次函数 与 的图像相交于点 ，
则关于 的二元一次方程组 的解是
题型03 已知两直线求围成的图形面积
例题：（2023春·河北保定·八年级统考期末）如图，求两条直线 ： 与直线 ： 的交
点 的坐标是 ，与 轴围成的三角形 的面积是 ．
【变式训练】
1．（2023春·云南保山·八年级校联考期末）如图，已知直线 与直线 ．(1)求两直线与 轴的交点 的坐标；
(2)求 的面积．
2．（2023春·四川成都·八年级成都外国语学校校考期中）如图，直线 与x轴交于点A，与y轴交
于点B，直线 与x轴交于点C，与y轴交于点D，两直线交于点E．
(1)求出A，E两点的坐标；
(2)求四边形 的面积．
题型04 利用两点求一次函数的解析式
例题：（2023秋·广西崇左·八年级校考阶段练习）已知一次函数图象经过 两点，求一次
函数的解析式．
【变式训练】
1．（2023春·吉林长春·八年级校考期中）已知某一次函数 的图像经过点 ， ，求这个一次函数的解析式．
2．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）已知 是 的一次函数，当 时，
；当 时， ；
(1)求 与 的函数关系式？
(2)若 在（1）中函数图象上，求 的值？
题型05 图形中求一次函数的解析式
例题：（2023秋·四川绵阳·九年级统考开学考试）如图，一次函数 的图象与x轴，y轴分别交于
点A，点B，过点A作直线l将 分成周长相等的两部分，则直线l的函数解析式为 ．
【变式训练】
1．（2023·山西太原·山西实验中学校考模拟预测）如图，我国传统计重工具杆秤的应用方便了人们的生活．
某兴趣小组为探究秤杆上秤砣到秤纽的水平距离 厘米与秤钩所挂物体质量y千克之间的关系，进
行了6次称重，下表为称重时所记录的一些数据．
1 2
x 4 16 24 36
2 8
y 0 1 1.5 2.5 3 4
根据表格中的数据，写出y关于x的函数表达式： ．2．（2023秋·江苏泰州·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线 与 轴、 轴分
别交于点 ， ．直线 恰好将 分成两部分的面积比是 ，则 ．
一、单选题
1．（2023秋·甘肃武威·九年级统考开学考试）经过两点 的一次函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·江苏南通·九年级校考阶段练习）直线 与直线 平行，下列说法不正确的是
（ ）
A． B．直线 与 没有交点
C．方程组 无解 D．方程组 有无穷多个解
3．（2023春·山东聊城·八年级校考阶段练习）已知直线 ： 与直线 ： 交于点 ，
则方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·河南洛阳·八年级统考期末）如图，已知一次函数 和 的图像交于点 ，则根据图像可得关于 的二元一次方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2023春·吉林长春·八年级校考期中）直线 关于y轴对称的直线的函数表达式为 ．
6．（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考阶段练习）已知一次函数 与 的图象都经
过 ，且与y轴分别交于B，C，则 的面积为 ．
7．（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆市杨家坪中学校考期中）已知一次函数 和
的图象交点坐标为 ，则二元一次方程组 的解为 ．
8．（2023秋·广东广州·九年级广州大学附属中学校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线 交
轴于点 ，现将直线 绕点 按逆时针方向旋转 交 轴于点 ，则点 的坐标是 ．
三、解答题
9．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，
与直线 交于点C．(1)求点C的坐标；
(2)在直线 上是否存在点M，使得 ？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2023·四川甘孜·统考中考真题）某次气象探测活动中，在一广场上同时释放两个探测气球．1号探测
气球从距离地面5米处出发，以1米/分的速度上升，2号探测气球距离地面的高度y（单位：米）与上升
时间x（单位：分）满足一次函数关系，其图象如图所示．
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)探测气球上升多长时间时，两个气球位于同一高度？此时它们距离地面多少米？
11．（2023春·河南鹤壁·八年级统考期中）已知一次函数的图像经过点 ， ．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)求出该函数图像与x轴、y轴的交点坐标.
(3)通过计算判断点 在不在该函数的图像上.
12．（2023秋·四川成都·九年级校考阶段练习）如图所示，直线 的解析式为 ，且 与x轴交于
点D，直线 经过点 、 ，直线 、 交于点C．(1)求点D的坐标和直线 的解析式；
(2)求 的面积；
(3)在直线 上存在异于点C的另一点P，使得 ，请直接写出点P的坐标．
13．（2023春·山东淄博·七年级统考期末）如图，直线 ： 与直线 ： 相交于点 ，
与 轴分别交于 ， 两点．
(1)求 ， 的值，并结合图像写出关于 ， 的方程组 的解；
(2)求 的面积；
(3)垂直于 轴的直线 与直线 ， 分别交于点 ， ，若线段 的长为 ，直接写出 的值．
14．（2023春·湖南株洲·九年级统考开学考试）在如图所示的平面直角坐标系中，直线 过点 且与直线 交于点 ，直线 与 轴正半轴交于点 ．
(1)求直线 的函数表达式；
(2)若 的面积为9，求点 的坐标；
(3)若 是以 为底的等腰三角形，求直线 的函数表达式．
15．（2023春·山东青岛·八年级统考开学考试）定义：我们把一次函数 与正比例函数
的交点称为一次函数 的“不动点”，例如求 的“不动点”；联立方程 ，
解得 ，则 的“不动点”为 ．
(1)由定义可知，一次函数 的“不动点”为______；
(2)若一次函数 的“不动点”为 ，求 的值；
(3)若直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，且直线 上没有“不动点”，若 点
为 轴上一个动点，使得 ，求满足条件的 点坐标．
