文档内容
2023 届高三物理一轮复习多维度导学与分层专练
专题65 电磁感应中的双棒问题
导练目标 导练内容
目标1 无外力等距式双棒问题
目标2 有外力等距式双棒问题
目标3 无外力不等距式双棒问题
目标4 有外力不等距式双棒问题
【知识导学与典例导练】
模型 规律
1、电流大小：
2、稳定条件：两棒达到共同速度
3、动量关系：
无外力等距式（导轨光
滑）
4、能量关系： ；
1、电流大小：
2、力学关系： ； 。（任意时刻两棒加速度）
3、稳定条件：当a＝a 时，v-v 恒定；I恒定；F 恒定；两棒匀加速。
2 1 2 1 A
有外力等距式（导轨光 4、稳定时的物理关系：
滑）
； ； ；1、动量关系： ；
2、稳定条件：
3、最终速度： ；
无外力不等距式
4、能量关系：
（导轨光滑）
5、电量关系：
F为恒力，则：
1、稳定条件： I恒定，两棒做匀加速直线运动
，
2、常用关系：
3、常用结果：
有外力不等距式
（导轨光滑）
此时回路中电流为： 与两棒电阻无关
一、无外力等距式双棒问题
【例1】如图，水平面内固定有两根平行的光滑长直金属导轨，导轨间距为l，电阻不计。整个装置处于两
个磁感应强度大小均为B、方向相反的竖直匀强磁场中，虚线为两磁场的分界线，质量均为m的两根相同
导体棒MN、PQ静置于图示的导轨上（两棒始终与导轨垂直且接触良好）。现使MN棒获得一个大小为v、方向水平向左的初速度，则在此后的整个运动过程中（ ）
0
A．两棒受到的安培力冲量大小相等，方向相反
B．两棒最终的速度大小均为
C．MN棒产生的焦耳热为
D．通过PQ棒某一横截面的电荷量为
【答案】D
【详解】A．根据右手定则知，回路中产生沿NMPQN方向的感应电流，根据左手定则可知，MN棒受到的
安培力水平向右，PQ棒受到的安培力也水平向右，且两棒受到的安培力大小相等，则两棒受到的安培力
冲量大小相等，方向相同，选项A错误；
B．当两棒产生的感应电动势大小相等，相互抵消，回路中感应电流为零时，两棒均做匀速运动，达到稳
定状态，稳定时，有Blv＝Blv 解得v＝v 对PQ棒，根据动量定理得I＝mv－0对MN棒，根据动量定理
1 2 1 2 2
得
－I＝mv－mv 解得v＝v＝ 选项B错误；
1 0 1 2
C．根据能量守恒定律得2Q＝ mv － 解得MN棒产生的焦耳热为Q＝ 选项C错误；
D．对PQ棒，根据动量定理得B l·t＝mv－0通过PQ棒某一横截面的电荷量为q＝ t可得q＝ 选项D
2
正确。故选D。
二、有外力等距式双棒问题【例2】如图所示，U形光滑金属框 置于水平绝缘平台上， 和 边平行，和 边垂直。 、
足够长，整个金属框电阻可忽略。一根具有一定电阻的导体棒 置于金属框上，用水平恒力F向右拉动
金属框，运动过程中，装置始终处于竖直向下的匀强磁场中， 与金属框保持良好接触且与bc边保持平
行。经过一段时间后（ ）
①金属框的速度大小趋于恒定值 ②金属框的加速度大小趋于恒定值
③导体棒所受安培力的大小趋于恒定值 ④导体棒到金属框 边的距离趋于恒定值
A．①②是正确的 B．②③是正确的 C．③④是正确的 D．①④是正确的
【答案】B
【详解】由bc边切割磁感线产生电动势，形成电流，使得导体棒MN受到向右的安培力，做加速运动，bc
边受到向左的安培力，向右做加速运动。当MN运动时，金属框的bc边和导体棒MN一起切割磁感线，设
导体棒MN和金属框的速度分别为 和 ， 则电路中的电动势 电路中的电
金属框和导体棒MN受到的安培力 与运动方向相反 与运动方向相同
设导体棒MN和金属框的质量分别为 和 ，则对导体棒MN 对金属框
初速度均为零，则 从零开始逐渐增加， 从 开始逐渐减小。当 = 时，相对
速度 大小恒定。整个运动过程用速度时间图像描述如下
综上可得，金属框的加速度趋于恒定值，安培力也趋于恒定值，②③正确；金属框的速度会一直增大，导
体棒到金属框bc边的距离也会一直增大，①④错误。故选B。
三、无外力不等距式双棒问题
【例3】两根相互平行、足够长的光滑金属导轨ACD-A C D 固定于水平桌面上，左侧AC-A C 轨道间距为
1 1 1 1 1
L，右侧CD-C D 轨道间距为2L，导轨所在区域存在方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。如
1 1
图所示，两横截面积相同、由同种金属材料制成的导体棒a、b分别置于导轨的左右两侧，已知导体棒a的
质量为m。某时刻导体棒a获得一个初速度v 开始向右运动，导体棒始终与导轨接触良好，导轨电阻不计。
0
关于导体棒以后的运动，下列说法正确的是（ ）
A．导体棒a、b运动稳定后，相等时间内通过的位移之比是2∶1
B．导体棒a、b运动稳定后的速度分别为 ，
C．从开始到运动稳定的过程中，通过导体棒a的电荷量为
D．从开始到运动稳定的过程中，导体棒b产生的热量为
【答案】AD【详解】A．设导体棒a的电阻为R，则导体棒b的质量为2m、电阻为2R。导体棒a获得向右的初速度后，
导体棒a、b与导轨组成的回路产生感应电流，根据楞次定律可判断出导体棒a受向左的安培力，开始向右
做减速运动；导体棒b中电流方向与a相反，受到向右的安培力，开始向右做加速运动，同时产生与a相
反的感应电动势，因此电路中感应电动势为 当a、b产生的感应电动势大小相等时，即
； 电路中电流为零，此后导体棒a、b将分别以va、vb做匀速运动，相等时间内通过
的位移之比是2∶1，故A正确；
B．在导体棒从开始运动到稳定运动的过程中，根据动量定理列方程，取向右为正方向，对导体棒a，有
；对导体棒b，有 联立以上三式解得 ， 故B错误；
C．由于通过导体棒的电荷量为 根据以上分析可得 解得 故C错误；
D．在整个过程中由能量守恒定律知，整个电路中产生的焦耳热为
由于a、b棒产生的热量之比为 因此导体棒b产生的热量 故D正确。故选AD。
四、有外力不等距式双棒问题
【例4】如图所示，两电阻不计的光滑平行导轨水平放置， 部分的宽度为 部分的宽度为 ，金
属棒 和 的质量分别为 和 ，其电阻大小分别为 和 ，a和 分别静止在 和 上，垂直于导
轨且相距足够远，整个装置处于方向竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为 。现对金属棒 施加水
平向右的恒力 ，两棒运动时始终保持平行且 总在 上运动， 总在 上运动，经过足够长时间后，
下列说法正确的是（ ）A．回路中的感应电动势为零
B．流过金属棒 的电流大小为
C．金属棒 和 均做匀速直线运动
D．金属棒 和 均做加速度相同的匀加速直线运动
【答案】B
【详解】ACD．对ab整体分析，由于受恒定拉力作用，则经过足够长时间后最终达到稳定状态，此时回路
中的感应电动势保持恒定，则回路中的电流恒定，设两棒的加速度为a、a，有
a b
由于电动势恒定，则对上式两边求变化率有 则可得
故ACD错误；
B．根据受力分析，由牛顿第二定律得 ； ； 联立解得 由于金属棒
a，b串联，则流过a的电流大小也为 ，故B正确。故选B。
【多维度分层专练】
1．如图所示，足够长的水平光滑金属导轨所在空间中，分布着垂直于导轨平面方向竖直向上的匀强磁场，
磁感应强度大小为 。两导体棒 、 均垂直于导轨静止放置。已知导体棒 质量为 ，导体棒 质量为
；长度均为 ，电阻均为 ；其余部分电阻不计。现使导体棒 获得瞬时平行于导轨水平向右的初速度
v。除磁场作用外，两棒沿导轨方向无其他外力作用，在两导体棒运动过程中，下列说法正确的是
0
（ ）A．任何一段时间内，导体棒 动能增加量跟导体棒 动能减少量的数值总是相等的
B．任何一段时间内，导体棒 动量改变量跟导体棒 动量改变量总是大小相等、方向相反
C．全过程中，通过导体棒 的电荷量为
D．全过程中，b棒共产生的焦耳热为
【答案】BCD
【详解】AB．根据题意可知，两棒组成回路，电流相同，故所受安培力合力为零，动量守恒，故任何一段
时间内，导体棒b动量改变量跟导体棒a动量改变量总是大小相等、方向相反，根据能量守恒可知，a动
能减少量的数值等于b动能增加量与产热之和，故A错误B正确；
CD．最终共速速度 对b棒 解得 根据能量守恒，两棒共产生的
焦耳热为 而由于两棒的电阻大小相等，因此b棒产生的焦耳热为
故CD正确。故选BCD。
2．如图所示，固定于水平面内的电阻不计的足够长光滑平行金属导轨间距为L，质量均为m、阻值均为R
的金属棒 、 垂直搁置于导轨上，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面向上某一时刻同时给 、
以平行于导轨的初速度 、 。则两棒从开始运动至达到稳定速度的过程中（ ）A． 中的最大电流为 B． 达到稳定速度时，其两端的电压为0
C． 速度为 时，其加速度比 的小 D． 、 间距增加了
【答案】AD
【详解】A．根据右手定则，回路产生顺时针的感应电流，根据左手定则，cd所受安培力向左做减速运动，
ab所受安培力向右做加速运动，故回路中的感应电动势为 所以，回路中感应电动势逐渐
减小，感应电流逐渐减小，稳定时回路中感应电流为零，两根杆以相同的速度运动。故初始时刻电流最大
，A正确；
B．两杆组成的系统合外力为零，动量守恒，可得 解得 稳定时棒两端电压为
，B错误；
C ．根据牛顿第三定律，稳定前两棒所受安培力大小相等，方向相反，两棒的加速度也大小相等，方向相
反，C错误；
D．设 、 间距增加了x，对回路 ； ； ； 故 对ab根据动量定
理得 解得 ，D正确。故选AD。
3．如图，空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。有两根完全相同的金属棒a和b垂直静置
于水平光滑平行金属导轨上。导轨间距为L，电阻不计，金属棒与导轨接触良好，两根金属棒质量均为
m，电阻均为R。某时刻给a施加一个水平向右的恒力F，关于a、b棒最终的状态，下列说法正确的是（
）A．a、b棒处于相对静止的状态 B．a棒受到的安培力与F是一对平衡力
C．b棒的加速度为 D．回路中的电功率为
【答案】CD
【详解】A．开始时a棒在拉力和安培力作用下加速运动，此时速度较小，安培力较小，加速度较大，b棒
在安培力作用下做加速运动，此时安培力较小，加速度较小，a速度增加的比b快，则根据
回路电动势增加，安培力增加，则a加速度减小，b加速度增加，最终稳定时，两棒的速度
差恒定即加速度相同，安培力不再变化，故a相对于b向右运动，故A错误；
B．由上分析可知，拉力F大于a受到的安培力，故B错误；
C．最终稳定时，两棒受到的安培力等大反向，对整体根据牛顿第二定律 解得 故C正确；
D．对a，根据牛顿第二定律 对b，根据牛顿第二定律 解得 回路中的电功率
故D正确。故选CD。
4．如图所示，光滑金属导轨M、N互相平行，相距为L，两金属棒a和b垂直于导轨且紧靠着放置，它们
的质量均为m，在两导轨之间的电阻均为R。整个装置位于水平面内，处于磁感应强度大小为B、方向竖
直向下的匀强磁场中，导轨电阻忽略不计，长度足够长。t＝0时刻对棒a施加一平行于导轨的恒力F，在t
＝t 时刻电路中电流恰好达到稳定，然后在 时刻撤去力F。则（ ）
1A．t 时刻两金属棒的加速度相同
1
B．在t～（t+Δt）时间内a、b两棒位移之差为
1 1
C．撤去力F后，导轨之间的电势差UMN逐渐增大
D．撤去力F后，两个导体棒最终速度为
【答案】ABD
【详解】A．a棒在拉力F作用下向右做加速运动切割磁感线，与b棒组成回路，所以b棒在安培力作用下
向右做加速运动，电路中的总电动势为 ；a棒做加速度减小的加速，b棒做加速度增大的加
速，当加速度相等时，电路中的电流恒定，故t 时刻两金属棒的加速度相同，A正确；
1
B．t 时刻由牛顿第二定律，对a： ；对b 故 即 其中
1
解得 因为在t ～（t+Δt）时间内，两杆速度差保持不变，故a、b两棒位
1 1
移之差为 ，B正确；
C．撤去力F后，由闭合电路欧姆定律可知 由动量守恒可
知
即 所以 恒定，C错误；
D．撤去力F后，两个导体棒水平方向合外力为零，动量守恒，最终二者共速，设共速速度为v。全过程两
金属棒受到的安培力始终等大、反向，作用时间相等，故安培力对两金属棒的冲量等大、反向。设全过程安培力对金属棒的冲量大小为I ，规定向右为正方向，对金属棒a应用动量定理可得
安
对b应用动量定理可得 联立可得 ，D正确。故选ABD。
5．如图所示，导体棒a、b分别置于平行光滑水平固定金属导轨的左右两侧，其中a棒离宽轨道足够长，b
棒所在导轨无限长，导轨所在区域存在垂直导轨所在平面竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。已
知导体棒的长度等于导轨间的距离，导体棒粗细均匀，材质相同，a棒的质量为m，电阻为R，a棒的长度
为L，b棒的长度为 。现给导体棒a一个水平向右的瞬时冲量I。导体棒始终垂直于导轨且与导轨接触良
好，不计导轨电阻，关于导体棒以后的运动，下列说法正确的是（ ）
A．导体棒a稳定运动后的速度为
B．导体棒b稳定运动后的速度为
C．从开始到稳定运动过程中，通过导体棒a的电荷量为
D．从开始到稳定运动过程中，导体棒b产生的热量为
【答案】AC
【详解】AB．导体棒a受向右的瞬时冲量I，由动量定理可知导体棒的初速度 导体棒开始向右运动
后，受安培力作用做减速运动，导体棒b受安培力作用开始向右做加速运动，当两棒产生的感应电动势大
小相等时，回路中的电流是零，两棒不在受安培力作用，均做匀速直线运动，达到稳定状态，则有
BLv =B2Lv
a b
解得v=2v 对a棒，由动量定理得 B L t=mv mv 对b棒，由动量定理得B 2L t=2mv 解得
a b a 0 b
− ∙∆ − ∙∆，A正确，B错误；
C．设从开始到稳定运动中，经导体棒a的电荷量为q，则有 结合−B L·∆t=mv−mv 解得
a 0
，C正确；
D．从开始到稳定运动中，对整个电路，由能量守恒定律可得 解得
； ，D错误。故选AC。
6．如图，足够长的平行光滑金属导轨M、N固定在水平面上，虚线CD左侧导轨间距为2L，右侧导轨间
距离为L。垂直导轨平面有竖直方向的匀强磁场，以CD为分界线，左侧磁感应强度大小为B、方向向下；
右侧磁感应强度大小为2B、方向向上。导体棒a、b垂直导轨放置，棒与导轨始终接触良好，导轨电阻不
计。现使棒a获得一向左的水平速度 ，在两棒之后的运动中，导轨M、N两端的电势差 ，导体棒
a、b的速度 ，以及棒a、b受到的安培力 与时间t的关系，下列图像大致正确的有（ ）
A． B．C． D．
【答案】AB
【详解】BC．导体棒a向左运动，穿过闭合回路的磁通量发生变化，产生感应电流，根据楞次定律和左手
定则可知，a受到的安培力向右、b受到的安培力向右，故a向左做减速运动，b向右做加速运动，当穿过
闭合回路的磁通量不再变化，回路不再有感应电流，两棒均做匀速运动，匀速运动时应有
即得 当定义向左为正方向，B图大致正确，故B正确，C错误；
A．根据右手定则，导轨M、N两端的电势差 由于b棒开始做加速度减小的加速度运
动，当两棒产生的电动势大小相等时，回路中的电流为0，最后匀速运动，最后M、N间的电压为BLv，A
正确；
D．根据以上分析可知，两棒受到的安培力方向相同，故D错误。故选AB。
7．如图所示，abcd 和abcd 为竖直放置且共面的金属导轨，处在垂直导轨平面（纸面）向里的匀强磁
1 1 1 1 2 2 2 2
场中磁感应强度为B。导轨的ab 段与ab 段距离为l，cd 段与cd 段距离为2l。p、q为两根用不可伸长
1 1 2 2 1 1 2 2
的绝缘轻线相连的金属细杆，质量分别为m和2m，它们都垂直于导轨并与导轨保持光滑接触。两杆与导
轨构成的回路的总电阻为R。F为作用于金属杆q上的恒力，方向竖直向上。已知两杆运动到图示位置时，
已匀速向上运动，则此时（ ）A．p杆受到的安培力方向竖直向下
B．p杆受到的安培力大小为F-3mg
C．p杆中的电流大小为
D．p杆匀速运动的速度大小为
【答案】BD
【详解】A．q杆和p杆在F的作用下，竖直向上运动，两杆都切割磁感线，两杆上都产生感应电动势，若
将他们各自都看作电源，则根据右手定则，都是右边为正极，左边为负极，这样两杆产生的电动势要进行
抵消之后才是整个电路中总的电动势。即 闭合回路中的电流方向为逆时针。电流大小
处处相等，根据左手定则判断，p杆受到的安培力方向竖直向上，记为F 。A错误；
安
B．因为q杆长度是p杆的两倍，故其受到的安培力大2F ，方向竖直向下。系统做匀速直线运动，受力
安
平衡，对p、q组成的系统进行受力分析可得： 解得 故B正确；
C．由 得 ，C错误；
D．由 得 ，D正确。故选BD。
8．如图所示，将两根质量均为 的金属棒a、b分别垂直地放在足够长的水平导轨 和
上，左右两部分导轨间距分别为0.5m和1m，左右两部分导轨间有磁感应强度 ，方向相反
的匀强磁场，两棒电阻与棒长成正比，不计导轨电阻，金属棒b开始时位于图中 位置，金属棒a在
NQ位置，金属棒b用绝缘细线绕过光滑定滑轮和一物块c相连，c的质量 ，c开始时距地面的高
度 。物块c由静止开始下落，触地后不反弹，物块c触地时两棒速率之比 ，物块c下落过程中b棒上产生的焦耳热为20J，设导轨足够长且两棒始终在磁场中运动， ，整个过程中导
轨和金属棒接触良好，且导轨光滑，求：
（1）物块c触地时，b棒的速度大小；
（2）从b开始运动到c落地的过程中通过b棒的电荷量；
（3）从物块c触地后开始，到两棒匀速运动过程中系统产生的热量。
【答案】（1）8m/s；（2）1.6C；（3）28.8J
【详解】（1）金属棒a、b的有效长度分别为L和2L，电阻分别为R和2R，金属棒a、b串联，在任何时
刻电流均相等，b棒产生的焦耳热Q＝20 J，根据焦耳定律Q＝I2Rt得a棒上产生的焦耳热为Q＝10 J
2 1
根据能量守恒定律有 根据题意有v∶v＝1∶2解得va＝4 m/s，vb＝8 m/s
a b
（2）对a，由动量定理 又 解得 ，a与b串联，相同时间通过的电量相等，
所以从b开始运动到c落地的过程中通过b棒的电荷量为1.6C。
（3）物块c触地后，a棒向左做加速运动，b棒向右做减速运动，两棒最终匀速运动时电路中电流为零，
即两棒切割磁感线产生的感应电动势大小相等，设磁感应强度大小为B，则BLv ′＝B·2Lv ′得v′＝2v′
a b a b
对两棒分别应用动量定理，有 ； 解得 联立以上各式解得
v′＝6.4 m/s，v′＝3.2 m/s根据能量守恒定律，从物块c触地到两棒匀速运动的过程中系统产生的热量为
a b代入数据，解得Q＝28.8 J
3
9．如图（a）所示，在水平面内固定有两根平行且足够长光滑金属导轨MN、PQ，间距为L，电阻不计。
以PQ上的O点为坐标原点，沿导轨建立如图所示的x轴。导轨间 区域内存在竖直向上的磁场，磁感
应强度B随位置坐标x的变化规律如图（b）所示（图中 ，d已知）。金属棒a置于 处，金属棒b置
于 的某处，两棒均与导轨垂直且始终接触良好，电阻均为R，质量均为m。 时，锁定b棒，a棒
获得瞬时初速度 并在拉力的作用下开始做匀速直线运动。
（1）求a棒运动到 处回路中电流的大小；
（2）写出a棒从 处运动到 处的过程中回路中电流i与时间的关系式并求出此过程中通过a棒的
电荷量：
（3）当a棒运动到 处时，撤去拉力，同时解锁b棒，假设a、b棒不会相碰，求此后回路中产生的焦
耳热。
【答案】（1） ；（2） ， ；（3）
【详解】（1）根据题意，由图（b）可知，a棒运动到 处时，此处的磁感应强度为 ，则感应电动势
为 ；a棒运动到 处回路中电流的大小
（2）根据题意，由图（b）可知，磁感应强度 与 的关系式为 由于a棒获得瞬时初速度 并在拉力的作用下开始做匀速直线运动，设运动时间为 ，则有 则 时刻，磁感应强度为
感应电动势为 感应电流为
根据题意可知，感应电动势为 感应电流为 通过a棒的
电荷量为 由图（b）可得 则
（3）当a棒运动到 处时，撤去拉力，同时解锁b棒，假设a、b棒不会相碰，a、b棒系统动量守恒，
且最终两棒速度相等，设相等速度为 ，则有 解得 由能量守恒定律可得，回路中产生的
焦耳热为
10．如图所示，间距为d的平行光滑金属导轨ab、fg构成倾角为 的斜面，平行光滑金属导轨bcde、ghij
访处于同一水平面内，bc、gh段间距为d，de、ij段间距为2d，倾斜导轨与水平导轨分别在b、g处由一小
段光滑绝缘圆弧（长度可忽略）相连。倾斜导轨部分处于垂直导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大
小为2B，水平部分处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B（磁场均未画出）。导体棒Q静止于
de、ij段，导体棒P从距bg为L的位置由静止释放。导体棒P、Q的质量均为m、电阻均为R，两导体棒运
动过程中始终与导轨接触良好且与导轨垂直，导轨af端接有电容 的电容器，bc、gh、de、ij段均
足够长，重力加速度为g，不计导轨电阻及空气阻力。求：
（1）导体棒P到达bg时的速度大小；
（2）导体棒P在水平导轨上运动的过程中，闭合回路面积的改变量；
（3）整个运动过程中，导体棒P上产生的焦耳热。【答案】（1） （2） （3）
【详解】（1）倾斜导轨与水平导轨在b、g处由两小段光滑绝缘圆弧（长度可忽略）相连，导体棒P到达
bg前，导体棒Q保持静止。对导体棒P，由牛顿第二定律得 又
故I为 解得 所以导体棒P在倾斜导轨上做匀加速直线运动，由
运动规律得 解得
（2）导体棒P到达bg后，导体棒P做减速运动，导体棒Q做加速运动，最终导体棒P、Q做匀速运动，闭
合回路中的感应电流为0，由法拉第电磁感应定律得 对导体棒P，由动量定理得
对导体棒Q，由动量定理得 又 由法拉第电磁感应定律得
由闭合电路欧姆定律得 解得
（3）导体棒P在倾斜导轨上做匀加速直线运动，由（1）可得 ； ；
导体棒P在水平导轨上运动，由能量守恒定律得 整个运动过程中，导体棒P上产
生的焦耳热为 解得
