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专题强化二十三 电磁感应中的电路及图象问题
目标要求 1.掌握电磁感应中电路问题的求解方法.2.会计算电磁感应电路问题中电压、电
流、电荷量、热量等物理量.3.能够通过电磁感应图象，读取相关信息，应用物理规律求解问
题．
题型一 电磁感应中的电路问题
1．电磁感应中的电源
(1)做切割磁感线运动的导体或磁通量发生变化的回路相当于电源．
电动势：E＝Blv或E＝n，这部分电路的阻值为电源内阻．
(2)用右手定则或楞次定律与安培定则结合判断，感应电流流出的一端为电源正极．
2．分析电磁感应电路问题的基本思路
3．电磁感应中电路知识的关系图
考向1 动生电动势的电路问题
例1 如图，由某种粗细均匀的总电阻为3R的金属条制成的矩形线框abcd，固定在水平面
内且处于方向竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中．一接入电路的电阻为R的导体棒
PQ，在水平拉力作用下沿ab、dc以速度v匀速滑动，滑动过程中PQ始终与ab垂直，且与
线框接触良好，不计摩擦．在PQ从靠近ad处向bc滑动的过程中( )
A．PQ中电流先增大后减小
B．PQ两端电压先减小后增大C．PQ上拉力的功率先减小后增大
D．线框消耗的电功率先减小后增大
答案 C
解析 设PQ左侧电路的电阻为R，则右侧电路的电阻为3R－R，所以外电路的总电阻为
x x
R ＝，外电路电阻先增大后减小，再根据闭合电路欧姆定律可得 PQ中的电流I＝先减小后
外
增大，路端电压U＝E－Ir先增大后减小，故A、B错误；由于导体棒做匀速运动，拉力等
于安培力，即F＝BIl，拉力的功率P＝BIlv，先减小后增大，所以C正确；外电路的总电阻
R ＝，当R＝R时R 最大，最大值为R，小于导体棒的电阻R，又外电阻先增大后减小，
外 x 外
由电源的输出功率与外电阻的关系可知，线框消耗的电功率先增大后减小，故D错误．
例2 (多选)半径分别为r和2r的同心圆形导轨固定在同一水平面内，一长为r、电阻为R
的均匀金属棒AB置于圆导轨上面，BA的延长线通过圆导轨中心O，装置的俯视图如图所示，
整个装置位于一匀强磁场中，磁感应强度的大小为B，方向竖直向下．在两环之间接阻值为
R的定值电阻和电容为C的电容器．金属棒在水平外力作用下以角速度ω绕O逆时针匀速
转动，在转动过程中始终与导轨保持良好接触．导轨电阻不计．下列说法正确的是( )
A．金属棒中电流从B流向A
B．金属棒两端电压为Bωr2
C．电容器的M板带负电
D．电容器所带电荷量为CBωr2
答案 AB
解析 根据右手定则可知金属棒中电流从B流向A，A正确；金属棒转动产生的电动势为E
＝Br＝Bωr2，切割磁感线的金属棒相当于电源，金属棒电压两端相当于电源的路端电压，因
而U＝E＝Bωr2，B正确；金属棒A端相当于电源正极，电容器M板带正电，C错误；由C
＝可得电容器所带电荷量为Q＝CBωr2，D错误．
考向2 感生电动势的电路问题
例3 (多选)在如图甲所示的虚线框内有匀强磁场，设图甲所示磁场方向为正，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示．边长为l、电阻为R的正方形均匀线框abcd有一半处在磁场
中，磁场方向垂直于线框平面，此时线框ab边的发热功率为P，则( )
A．线框中的感应电动势为
B．线框中的感应电流为2
C．线框cd边的发热功率为
D．b、a两端电势差U ＝
ba
答案 BD
解析 由题可知线框四个边的电阻均为.由题图乙可知，在每个周期内磁感应强度随时间均
匀变化，线框中产生大小恒定的感应电流，设感应电流为 I，则对ab边有P＝I2·R，得I＝
2，选项B正确；根据法拉第电磁感应定律得E＝＝·l2，由题图乙知，＝，联立解得E＝，
故选项A错误；线框的四边电阻相等，电流相等，则发热功率相等，都为P，故选项C错误；
由楞次定律可知，线框中感应电流方向为逆时针，则 b端电势高于a端电势，U ＝E＝，故
ba
选项D正确．
题型二 电磁感应中电荷量的计算
计算电荷量的导出公式：q＝
在电磁感应现象中，只要穿过闭合回路的磁通量发生变化，闭合回路中就会产生感应电流，
设在时间Δt内通过导体横截面的电荷量为q，则根据电流定义式＝及法拉第电磁感应定律
＝，得q＝Δt＝Δt＝Δt＝.即q＝n
例4 (2018·全国卷Ⅰ·17)如图，导体轨道OPQS固定，其中PQS是半圆弧，Q为半圆弧的
中点，O为圆心．轨道的电阻忽略不计．OM是有一定电阻、可绕O转动的金属杆，M端位
于PQS上，OM与轨道接触良好．空间存在与半圆所在平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的
大小为B.现使OM从OQ位置以恒定的角速度逆时针转到 OS位置并固定(过程Ⅰ)；再使磁
感应强度的大小以一定的变化率从B增加到B′(过程Ⅱ)．在过程Ⅰ、Ⅱ中，流过OM的电
荷量相等，则等于( )
A. B. C. D．2
答案 B
解析 在过程Ⅰ中，根据法拉第电磁感应定律，有E＝＝
1
根据闭合电路欧姆定律，有I＝
1
且q＝IΔt
1 1 1
在过程Ⅱ中，有
E＝＝
2
I＝
2
q＝IΔt
2 2 2
又q＝q，即＝
1 2
所以＝.
例5 如图甲所示，虚线MN左、右两侧的空间均存在与纸面垂直的匀强磁场，右侧匀强
磁场的方向垂直纸面向外，磁感应强度大小恒为B ；左侧匀强磁场的磁感应强度B随时间t
0
变化的规律如图乙所示，规定垂直纸面向外为磁场的正方向．一硬质细导线的电阻率为 ρ、
横截面积为S，将该导线做成半径为r的圆环固定在纸面内，圆心O在MN上．求：
0
(1)t＝时，圆环受到的安培力；
(2)在0～t 内，通过圆环的电荷量．
0
答案 (1)，垂直于MN向左 (2)
解析 (1)根据法拉第电磁感应定律，圆环中产生的感应电动势E＝S
上式中S＝
由题图乙可知＝
根据闭合电路欧姆定律有I＝
根据电阻定律有R＝ρ
t＝t 时，圆环受到的安培力大小F＝BI·(2r)＋I·(2r)
0 0
联立解得F＝
由左手定则知，方向垂直于MN向左．
(2)通过圆环的电荷量q＝·Δt
根据闭合电路欧姆定律和法拉第电磁感应定律有
＝
＝
在0～t 内，穿过圆环的磁通量的变化量为
0
ΔΦ＝B·πr2＋·πr2
0联立解得q＝.
题型三 电磁感应中的图象问题
1．解题关键
弄清初始条件、正负方向的对应变化范围、所研究物理量的函数表达式、进出磁场的转折点
等是解决此类问题的关键．
2．解题步骤
(1)明确图象的种类，即是B－t图象还是Φ－t图象，或者E－t图象、I－t图象等；对切割磁
感线产生感应电动势和感应电流的情况，还常涉及E－x图象和i－x图象；
(2)分析电磁感应的具体过程；
(3)用右手定则或楞次定律确定方向的对应关系；
(4)结合法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、牛顿运动定律等知识写出相应的函数关
系式；
(5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等；
(6)画图象或判断图象．
3．常用方法
(1)排除法：定性地分析电磁感应过程中物理量的正负，增大还是减小，及变化快慢，来排
除错误选项．
(2)函数法：写出两个物理量之间的函数关系，然后由函数关系对图象进行分析和判断．
考向1 感生问题的图象
例6 (多选)如图甲所示，三角形线圈abc水平放置，在线圈所处区域存在一变化的磁场，
其变化规律如图乙所示．线圈在外力作用下处于静止状态，规定垂直于线圈平面向下的磁场
方向为正方向，垂直ab边斜向下的受力方向为正方向，线圈中感应电流沿abca方向为正，
则线圈内电流及ab边所受安培力随时间变化规律是( )答案 AD
解析 根据法拉第电磁感应定律有E＝＝S，根据楞次定律可得感应电流的方向，又线圈中
感应电流沿abca方向为正，结合题图乙可得，1～2 s电流为零，0～1 s、2～3 s、3～5 s电
流大小恒定，且0～1 s、2～3 s电流方向为正，3～5 s电流方向为负，A正确，B错误；根
据安培力的公式，即F ＝BIL，因为每段时间电流大小恒定，磁场均匀变化，可得安培力
安
也是均匀变化，根据左手定则可判断出ab边所受安培力的方向，可知C错误，D正确．
考向2 动生问题的图象
例7 (2018·全国卷Ⅱ·18)如图，在同一水平面内有两根平行长导轨，导轨间存在依次相邻
的矩形匀强磁场区域，区域宽度均为l，磁感应强度大小相等、方向交替向上向下．一边长
为l的正方形金属线框在导轨上向左匀速运动．线框中感应电流i随时间t变化的正确图线
可能是( )
答案 D
解析 设线路中只有一边切割磁感线时产生的感应电流为i.
线框位移 等效电路的连接 电流
0～ I＝2i(顺时针)
～l I＝0
l～ I＝2i(逆时针)～2l I＝0
分析知，只有选项D符合要求．
例8 在水平光滑绝缘桌面上有一边长为L的正方形线框abcd，被限制在沿ab方向的水平
直轨道自由滑动．bc边右侧有一正直角三角形匀强磁场区域efg，直角边ge和ef的长也等
于L，磁场方向竖直向下，其俯视图如图所示，线框在水平拉力作用下向右以速度 v匀速穿
过磁场区，若图示位置为t＝0时刻，设逆时针方向为电流的正方向．则感应电流 i－t图象
正确的是(时间单位为)( )
答案 D
解析 bc边的位置坐标x在0～L的过程，根据楞次定律判断可知线框中感应电流方向沿
a→b→c→d→a，为正值．线框bc边有效切线长度为l＝L－vt，感应电动势为E＝Blv＝B(L
－vt)·v，随着t均匀增加，E均匀减小，感应电流i＝，即知感应电流均匀减小．同理，x在
L～2L过程，根据楞次定律判断出来感应电流方向沿 a→d→c→b→a，为负值，感应电流仍
均匀减小，故A、B、C错误，D正确．
课时精练
1.如图所示是两个相互连接的金属圆环，小金属环的电阻是大金属环电阻的二分之一，匀强
磁场垂直穿过大金属环所在区域，当磁感应强度随时间均匀变化时，在大环内产生的感应电
动势为E，则a、b两点间的电势差为( )A.E B.E C.E D．E
答案 B
解析 a、b间的电势差等于路端电压，而小环电阻占电路总电阻的，故 a、b间电势差为U
＝E，选项B正确．
2．如图所示，在一磁感应强度B＝0.5 T的匀强磁场中，垂直于磁场方向水平放置着两根相
距L＝0.1 m的平行金属导轨MN和PQ，导轨电阻忽略不计，在两根导轨的端点N、Q之间
连接一阻值R＝0.3 Ω的电阻．导轨上垂直放置着金属棒ab，其接入电路的电阻r＝0.2 Ω.当
金属棒在水平拉力作用下以速度v＝4.0 m/s向左做匀速运动时( )
A．ab棒所受安培力大小为0.02 N
B．N、Q间电压为0.2 V
C．a端电势比b端电势低
D．回路中感应电流大小为1 A
答案 A
解析 ab棒产生的感应电动势E＝BLv＝0.2 V，感应电流I＝＝0.4 A，ab棒受到的安培力大
小F＝BIL＝0.02 N，A正确，D错误；N、Q之间的电压U＝E＝0.12 V，B错误；由右手定
则得a端电势较高，C错误．
3．如图甲，两金属圆环固定在同一绝缘平面内．外圆环通以如图乙所示的电流．规定内圆
环a端电势高于b端时，a、b间的电压U 为正，下列U －t图象可能正确的是( )
ab ab答案 C
解析 由题图乙可知，0～0.25T ，外圆环电流逐渐增大且逐渐减小，根据安培定则，外圆
0
环内部磁场方向垂直纸面向里，磁场逐渐增强且逐渐减小，根据楞次定律可知，内圆环 a端
电势高，所以U >0，根据法拉第电磁感应定律U ＝＝·S可知，U 逐渐减小，t＝0.25T 时
ab ab ab 0
＝0，所以＝0，则U ＝0；同理可知，0.25T<t<0.5T 时，U <0，且逐渐增大，0.5T ～T 内
ab 0 0 ab 0 0
重复0～0.5T 的变化规律，故选C.
0
4．(多选)如图甲所示，单匝正方形线框abcd的电阻R＝0.5 Ω，边长L＝20 cm，匀强磁场垂
直于线框平面向里，磁感应强度的大小随时间变化规律如图乙所示，则下列说法中正确的是
( )
A．线框中的感应电流沿逆时针方向，大小为2.4×10－2 A
B．0～2 s内通过ab边横截面的电荷量为4.8×10－2 C
C．3 s时ab边所受安培力的大小为1.44×10－2 N
D．0～4 s内线框中产生的焦耳热为1.152×10－3 J
答案 BD
解析 由楞次定律判断感应电流为顺时针方向，由法拉第电磁感应定律得电动势 E＝S＝
1.2×10－2 V，感应电流I＝＝2.4×10－2 A，故选项A错误；电荷量q＝IΔt，解得q＝4.8×
10－2 C，故选项B正确；安培力F＝BIL，由题图乙得，3 s时B＝0.3 T，代入数值得：F＝
1.44×
10－3 N，故选项C错误；由焦耳定律得Q＝I2Rt，代入数值得Q＝1.152×10－3 J，故D选项
正确．
5．(多选)一种带有闪烁灯的自行车后轮结构如图所示，车轮与轮轴之间均匀地连接 4根金
属条，每根金属条中间都串接一个小灯，每个小灯阻值恒为R＝0.3 Ω，金属条与车轮金属
边框构成闭合回路，车轮半径r＝0.4 m，轮轴半径可以忽略．车架上固定一个强磁铁，可形
成圆心角θ＝60°的扇形匀强磁场区域，磁感应强度B＝2.0 T，方向如图所示，若自行车正常
前进时，后轮顺时针转动的角速度恒为ω＝10 rad/s，不计其他电阻和车轮厚度，下列说法
正确的是( )
A．金属条ab进入磁场时，a端电势高于b端电势B．金属条ab进入磁场时，ab间的电压为0.4 V
C．运动过程中流经灯泡的电流方向一直不变
D．自行车正常前进时，4个小灯总功率的平均值为 W
答案 ABD
解析 当金属条ab进入磁场时，金属条ab相当于电源，由右手定则可知，电流从b流向
a，故a端电势高于b端电势，故A正确；E＝Br2ω＝1.6 V，由等效电路图(如图)可知R ＝
总
＋R＝R，U ＝·＝0.4 V，I＝＝4 A，故B正确；设车轮运动一周的时间为T，则每根金属条
ab
充当电源的时间为t＝T＝，则车轮运动一周电路中有电源的时间为t′＝4t＝T，可知一个周
期内，4个小灯总功率的平均值为P＝EI＝ W，则自行车正常前进时，4个小灯总功率的平
均值为 W，故D正确；当金属条在磁场中时，该金属条中流经灯泡的电流方向为从车轮边
框流向轮轴，当该金属条在磁场外时，电流方向由轮轴流向车轮边框，故C错误．
6．(多选)如图，PAQ为一段固定于水平面上的光滑圆弧导轨，圆弧的圆心为 O，半径为L.
空间存在垂直导轨平面，磁感应强度大小为B的匀强磁场．电阻为R的金属杆OA与导轨接
触良好，图中电阻R ＝R ＝R，其余电阻不计．现使OA杆在外力作用下以恒定角速度ω绕
1 2
圆心O顺时针转动，在其转过的过程中，下列说法正确的是( )
A．流过电阻R 的电流方向为P→R→O
1 1
B．A、O两点间电势差为
C．流过OA的电荷量为
D．外力做的功为
答案 AD
解析 由右手定则判断出 OA 中电流方向由 O→A，可知流过电阻 R 的电流方向为
1
P→R→O，故A正确；OA产生的感应电动势为E＝，将OA当成电源，外部电路R 与R 并
1 1 2
联，则A、O两点间的电势差为U＝·＝，故B错误；流过OA的电流大小为I＝＝，转过角
度所用时间为t＝＝，流过OA的电荷量为q＝It＝，故C错误；转过角度过程中，外力做的
功为W＝EIt＝，故D正确．7．如图所示，足够长的宽度为d的条形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，直角三角形
金属线框ABC的BC边长度为L，已知L>d.现令线框在外力作用下以速度v 匀速穿过磁场区
0
域，以B点进入磁场的时刻为计时起点，规定线框中电流沿逆时针方向为正方向，则在线
框穿过磁场的过程中，线框中的电流i随时间t的变化情况可能是( )
答案 C
解析 B点进入磁场后直至线框位移为d的过程中，线框的有效切割长度随时间均匀增大，
线框中电流随时间均匀增大至I ，方向为逆时针方向，已知L>d，线框位移大于d小于L的
0
过程中，其有效切割长度不变，线框中的电流不变，仍为逆时针，线框出磁场的过程中，有
效切割长度随时间均匀增大，电流随时间均匀增大，选项 A、B、D错误；方向为顺时针，
由C项的横轴可知L＝3d，由几何关系可知线框位移为L时的有效切割长度是位移为d时的
2倍，故电流为－2I ，位移为L＋d时，有效长度是位移为d时的3倍，电流为－3I ，选项
0 0
C正确．
8．(多选)如图所示，有两个相邻的有界匀强磁场区域，磁感应强度的大小分别为 B、2B，
磁场方向相反，且都与纸面垂直，两磁场边界均与x轴垂直且宽度均为L，沿y轴方向足够
长．现有一对角线长为L的正方形导线框，顶点a在y轴上，从图示x＝0位置开始，在外
力F的作用下向右沿x轴正方向匀速穿过磁场区域．在运动过程中，对角线ab边始终与磁
场的边界垂直．线框中感应电动势 E大小、线框所受安培力F 大小、感应电流i大小、通
安
过导线横截面的电荷量q，这四个量分别与线框顶点a移动的位移x的关系图象中错误的是()
答案 ACD
解析 设线框匀速运动的速度为v，当x≤L时，感应电动势为E＝2Bxv，电流为I＝＝，外
力为F＝2BIx＝，通过导线横截面电荷量为 q＝It＝，当L<x≤2L时，感应电动势为第一过
程的3倍，当2L<x≤3L时，感应电动势为第一过程的2倍，故B正确，不符合题意，A、
C、D错误，符合题意．
9.(多选)(2019·全国卷Ⅱ·21)如图，两条光滑平行金属导轨固定，所在平面与水平面夹角为
θ，导轨电阻忽略不计．虚线ab、cd均与导轨垂直，在ab与cd之间的区域存在垂直于导轨
所在平面的匀强磁场．将两根相同的导体棒PQ、MN先后自导轨上同一位置由静止释放，
两者始终与导轨垂直且接触良好．已知PQ进入磁场时加速度恰好为零．从PQ进入磁场开
始计时，到MN离开磁场区域为止，流过PQ的电流随时间变化的图象可能正确的是( )
答案 AD
解析 根据题述，PQ进入磁场时加速度恰好为零，两导体棒从同一位置释放，则两导体棒
进入磁场时的速度相同，产生的感应电动势大小相等，PQ通过磁场区域后MN进入磁场区
域，MN同样匀速直线运动通过磁场区域，故流过PQ的电流随时间变化的图象可能是A；
若释放两导体棒的时间间隔较短，在PQ没有出磁场区域时MN就进入磁场区域，则两棒在磁场区域中运动时回路中磁通量不变，感应电动势和感应电流为零，两棒不受安培力作用，
二者在磁场中做加速运动，PQ出磁场后，MN切割磁感线产生感应电动势和感应电流，且
感应电流一定大于刚开始仅PQ切割磁感线时的感应电流I ，则MN所受的安培力一定大于
1
MN的重力沿导轨平面方向的分力，所以MN一定做减速运动，回路中感应电流减小，流过
PQ的电流随时间变化的图象可能是D.
10．在如图甲所示的电路中，电阻R ＝R ＝2R，圆形金属线圈的半径为r ，电阻为R，半径
1 2 1
为r(r<r)的圆形区域内存在垂直于线圈平面向里的匀强磁场，磁感应强度B随时间t变化
2 2 1
的关系图线如图乙所示，图线与横、纵轴的交点坐标分别为t 和B，其余导线的电阻不计．
0 0
闭合S，至t 时刻，电路中的电流已稳定．
1
(1)判断通过电阻R 的电流方向、电容器上极板所带电荷的电性；
2
(2)求线圈中产生的感应电动势的大小E；
(3)求稳定后电阻R 两端的电压U.
2 2
答案 (1)方向向右 带负电 (2) (3)
解析 (1)由题图乙，可知磁感应强度减小，根据楞次定律的增反减同判断出线圈中感应电
流方向为顺时针，则电阻R 的电流方向向右，电容器上极板带负电．
2
(2)根据法拉第电磁感应定律，有E＝，S＝πr2，＝，解得E＝.
2
(3)电路中的电流已稳定，电容器充电完毕，在电路中相当于断路，根据电路的分压原理，
有U＝E
2
解得U＝.
2
11．如图所示，光滑的足够长的平行水平金属导轨 MN、PQ相距l，在M、P和N、Q间各
连接一个额定电压为U、阻值恒为R的灯泡L、L，在两导轨间cdfe矩形区域内有垂直导轨
1 2
平面竖直向上、宽为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，且磁场区域可以移动，一电阻也
0
为R、长度大小也刚好为l的导体棒ab垂直固定在磁场左边的导轨上，离灯泡L 足够远．
1
现让匀强磁场在导轨间以某一恒定速度向左移动，当棒ab刚处于磁场时两灯泡恰好正常工
作．棒ab与导轨始终保持良好接触，导轨电阻不计．
(1)求磁场移动的速度；(2)若保持磁场不移动(仍在cdfe矩形区域)，而使磁感应强度B随时间t均匀变化，两灯泡中
有一灯泡正常工作且都有电流通过，设t＝0时，磁感应强度为B.试求出经过时间t时磁感
0
应强度的可能值B.
t
答案 (1) (2)B±t
0
解析 (1)当ab刚处于磁场时，ab棒切割磁感线，产生感应电动势，相当于电源，灯泡刚好
正常工作，则电路中路端电压
U ＝U
外
由电路的分压之比得U ＝2U
内
则感应电动势为E＝U ＋U ＝3U
外 内
由E＝Blv＝3U
0
可得v＝
(2)若保持磁场不移动(仍在cdfe矩形区域)，而使磁感应强度B随时间t均匀变化，可得棒与
L 并联后再与L 串联，则正常工作的灯泡为L ，所以L 两端的电压为U，电路中的总电动
1 2 2 2
势为
E＝U＋＝
根据法拉第电磁感应定律得E＝＝ld
联立解得＝
所以经过时间t时磁感应强度的可能值B＝B±t.
t 0
