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难点 22 电磁感应中的电路及图像问题
一、电磁感应中的电路问题
1．电磁感应中的电源
(1)做切割磁感线运动的导体或磁通量发生变化的回路相当于电源．
电动势：E＝Blv或E＝n，这部分电路的阻值为电源内阻．
(2)用右手定则或楞次定律与安培定则结合判断，感应电流流出的一端为电源正极．
2．分析电磁感应电路问题的基本思路
3．电磁感应中电路知识的关系图
（一）动生电动势的电路问题
【例1】（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中，
长为L的金属杆MN在平行金属导轨上以速度v向右匀速滑动。金属导轨电阻不计，金属杆与导轨的夹角
为θ，电阻为2R，ab间电阻为R，M、N两点间电势差为U，则M、N两点电势的高低及U的大小分别为
（ ）
A．M点电势高，U=B．M点电势高，U=
C．N点电势高，U=
D．N点电势高，U=
（二）感生电动势的电路问题
【例2】(多选) 在如图甲所示的虚线框内有匀强磁场，设图甲所示磁场方向为正，磁感应强度随时间的变
化规律如图乙所示．边长为l、电阻为R的正方形均匀线框abcd有一半处在磁场中，磁场方向垂直于线框
平面，此时线框ab边的发热功率为P，则( )
A．线框中的感应电动势为
B．线框中的感应电流为2
C．线框cd边的发热功率为
D．b、a两端电势差U ＝
ba
二、电磁感应中电荷量的计算
计算电荷量的导出公式：q＝
在电磁感应现象中，只要穿过闭合回路的磁通量发生变化，闭合回路中就会产生感应电流，设在时间 Δt内
通过导体横截面的电荷量为q，则根据电流定义式＝及法拉第电磁感应定律＝，得q＝Δt＝Δt＝Δt＝.即q＝
n
【例3】(2020·全国卷Ⅰ·17)如图，导体轨道OPQS固定，其中PQS是半圆弧，Q为半圆弧的中点，O为圆
心．轨道的电阻忽略不计．OM是有一定电阻、可绕O转动的金属杆，M端位于PQS上，OM与轨道接触
良好．空间存在与半圆所在平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为 B.现使OM从OQ位置以恒定的角
速度逆时针转到OS位置并固定(过程Ⅰ)；再使磁感应强度的大小以一定的变化率从B增加到B′(过程Ⅱ)．
在过程Ⅰ、Ⅱ中，流过OM的电荷量相等，则等于( )
A. B. C. D．2
【例4】如图甲所示，虚线MN左、右两侧的空间均存在与纸面垂直的匀强磁场，右侧匀强磁场的方向垂
直纸面向外，磁感应强度大小恒为B ；左侧匀强磁场的磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示，规
0
定垂直纸面向外为磁场的正方向．一硬质细导线的电阻率为 ρ、横截面积为S ，将该导线做成半径为r的
0
圆环固定在纸面内，圆心O在MN上．求：(1)t＝时，圆环受到的安培力；
(2)在0～t 内，通过圆环的电荷量．
0
三、电磁感应中的图像问题
1．解题关键
弄清初始条件、正负方向的对应变化范围、所研究物理量的函数表达式、进出磁场的转折点等是解决此类
问题的关键．
2．解题步骤
(1)明确图像的种类，即是B－t图还是Φ－t图，或者E－t图、I－t图等；对切割磁感线产生感应电动势和
感应电流的情况，还常涉及E－x图像和i－x图像；
(2)分析电磁感应的具体过程；
(3)用右手定则或楞次定律确定方向的对应关系；
(4)结合法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、牛顿运动定律等知识写出相应的函数关系式；
(5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等；
(6)画图像或判断图像．
3．常用方法
(1)排除法：定性地分析电磁感应过程中物理量的正负，增大还是减小，及变化快慢，来排除错误选项．
(2)函数法：写出两个物理量之间的函数关系，然后由函数关系对图像进行分析和判断．
（一）感生问题的图像
【例5】(多选)如图甲所示，三角形线圈abc水平放置，在线圈所处区域存在一变化的磁场，其变化规律如
图乙所示．线圈在外力作用下处于静止状态，规定垂直于线圈平面向下的磁场方向为正方向，垂直ab边斜
向下的受力方向为正方向，线圈中感应电流沿abca方向为正，则线圈内电流及ab边所受安培力随时间变
化规律是( )（二）动生问题的图像
【例6】(2018·全国卷Ⅱ·18)如图，在同一水平面内有两根平行长导轨，导轨间存在依次相邻的矩形匀强磁
场区域，区域宽度均为l，磁感应强度大小相等、方向交替向上向下．一边长为l的正方形金属线框在导轨
上向左匀速运动．线框中感应电流i随时间t变化的正确图线可能是( )
一、单选题
1．（2020·全国·高三专题练习）为了利用海洋资源，海洋工作者有时根据水流切割地磁场所产生的感应电
动势来测量海水的流速。假设海洋某处地磁场的竖直分量为B＝0.5×10－4T，水流方向为南北流向。如图所
示，将两个电极竖直插入此处海水中，且保持两电极的连线垂直水流方向。若两极相距L＝10m，与两电
极相连的灵敏电压表的读数U＝2mV，则海水的流速大小为（ ）A．40m/s B．4m/s
C．0.4m/s D．4×10－2m/s
2．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，MN、PQ是间距为L的平行金属导轨，置于磁感应强度为B，
方向垂直导轨所在平面向里的匀强磁场中，M、P间接有一阻值为R的电阻。一根与导轨接触良好、有效
阻值为 的金属导线ab垂直导轨放置，并在水平外力F的作用下以速度v向右匀速运动，则（不计导轨电
阻）（ ）
A．通过电阻R的电流方向为P→R→M
B．a、b两点间的电压为BLv
C．外力F做的功等于电阻R和金属导线产生的焦耳热之和
D．外力F做的功等于电阻R上发出的焦耳热
3．（2022·广东·模拟预测）如图所示竖直U形光滑轨道宽L=0.8m置于垂直纸面向外的匀强磁场B中，磁
感应强度B=5T。质量为m=0.8kg，电阻为r=2Ω的导体棒ab与U形轨道接触良好，恰好可以匀速下滑，其
中R=8Ω， 取 。下面说法正确的是（ ）
A．ab中的电流方向为a向b
B．通过R电流大小为2AC．ab两端的电压为4V
D．ab运动的速度为1m/s
4．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在光滑水平金属框架上有一导体棒ab。第一次以速度v匀速向
右平动，第二次以速度 匀速向右平动，两次移动的距离相同，则两种情况下回路中产生的感应电动势和
通过R的电荷量之比分别为（ ）
A． ； B． ；
C． ； D． ；
5．（2022·全国·高三专题练习）如图1所示，10匝铜导线制成的线圈两端M、N与一理想电压表相连，线
圈内磁场方向垂直纸面向里，线圈中磁通量的变化规律如图2所示，下列说法正确的是（ ）
A．电压表的正接线柱接线圈的N端
B．线圈中磁通量的变化量为1.5Wb
C．线圈中磁通量的变化率为0.5Wb/s
D．电压表的示数为5V
6．（2022·河南·高三开学考试）如图甲所示， 是由导体做成的“U”形粗糙框架，其所在平面与绝缘
水平面（ 在水平面上）的夹角为 ，质量为m、电阻为R的导体棒 与导轨 垂直且接触良好，
回路 是边长为L的正方形。整个装置放在垂直框架平面的磁场中，磁场的磁感应强度大小随时间变
化的关系图像如图乙所示（图中的 、 均已知），导体棒始终静止。重力加速度大小为g，导轨电阻不
计。下列说法正确的是（ ）A．在 时间内，导体棒中感应电流的方向由M到N
B．在 时间内，回路中产生的感应电动势为
C．在 时间内，导体棒中产生的焦耳热为
D．在 时刻，导体棒所受导轨的摩擦力小于
7．（2022·江苏·高考真题）如图所示，半径为r的圆形区域内有垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度B随
时间t的变化关系为 ， 、k为常量，则图中半径为R的单匝圆形线圈中产生的感应电动势大小
为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全国·高三专题练习）如图甲，圆形导线框固定在匀强磁场中，磁场方向与导线框所在平面垂直，
规定垂直平面向里为磁场的正方向，磁感应强度B随时间变化的规律如图乙所示，若规定逆时针方向为感
应电流的正方向，则图中正确的是（ ）A． B．
C． D．
9．（2022·全国·高三专题练习）如图甲所示，正方形硬质金属框 放置在磁场中，金属框平面与磁场
方向垂直。磁感应强度 随时间 变化规律如图乙所示。在 与 的时间内（ ）
A．通过金属框的电荷量之比为
B．金属框中电流的电功率之比为
C．金属框中产生的焦耳热之比为
D．金属框 边受到的安培力方向相同
10．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，面积为 的圆形磁场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度
随时间变化的关系为 。在纸面内有一金属导线围成面积为 的圆形线圈，圆心与磁场圆心重
合，导线上串有理想二极管、阻值为r的标准电阻和理想交流电流表，导线电阻不计，下列说法正确的是
（ ）A．电流表的示数为
B．电流表的示数为
C．在2s内流过电阻的电量为
D．在2s内流过电阻的电量为
二、多选题
11．（2022·广东广州·模拟预测）如图所示，一金属圆环用绝缘轻绳悬挂在竖直向下的匀强磁场中，处于
水平静止状态，圆环半径为r、电阻为R。若磁场的磁感应强度大小随时间变化的关系为B=B +kt
0 0
（k>0），则（ ）
A．从上向下看，圆环中产生了逆时针方向的感应电流
B．圆环中的感应电动势大小为
C．轻绳对圆环的拉力保持不变
D．圆环的发热功率逐渐增大
12．（2022·全国·高三专题练习）如图甲所示，固定在水平面上电阻不计的光滑金属导轨间距d＝0.5m，导
轨右端连接一阻值为4Ω的小灯泡L，在CDEF矩形区域内有竖直向上的匀强磁场。磁感应强度B随时间t
变化如图乙所示，CF长为2m。在t＝0时，金属棒ab从图中位置由静止在恒力F作用下向右运动，t＝4s
时进入磁场，并恰好以v＝1m/s的速度在磁场中匀速运动到EF位置。已知ab金属棒电阻为1Ω。下列分析
正确的是（ ）A．0～4s内小灯泡的功率为0.04W
B．恒力F的大小为0.2N
C．金属棒的质量为0.8kg
D．金属棒进入磁场后小灯泡的功率为0.06W
13．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在水平光滑的平行金属导轨左端接一定值电阻R，两导轨间
距为d， 区域与 区域内的匀强磁场磁感应强度大小相等，方向相反。导体棒ab垂直导轨放置，并
与cd边界重合。现给ab一水平向右的初速度 ，不计导轨和ab棒电阻，若规定逆时针方向为电流的正方
向，则感应电流随时间变化的 图像可能的是（ ）
A． B．C． D．
14．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测）如图，足够长的间距 的平行光滑金属导轨 、
固定在水平面内，导轨间存在一个宽度 的匀强磁场区域，磁感应强度大小为 ，方向如图所
示。一根质量 ，阻值 的金属棒 以初速度 从左端开始沿导轨滑动，穿过磁场
区域后，与另一根质量 ，阻值 的原来静置在导轨上的金属棒 发生弹性碰撞，两金属
棒始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计，则（ ）
A．金属棒 第一次穿过磁场时做匀减速直线运动
B．金属棒 第一次穿过磁场时回路中有逆时针方向的感应电流
C．金属棒 第一次穿过磁场区域的过程中，金属棒 上产生的焦耳热为
D．金属棒 最终停在距磁场左边界 处
15．（2022·辽宁·三模）如图所示，在以水平线段AD为直径的半圆形区域内有磁感应强度大小为B、方向
垂直纸面向里的有界匀强磁场。现有一个闭合导线框ACD由细软弹性电阻丝制成），端点A、D固定。在
竖直面内，将导线与圆周的接触点C点以恒定角速度 （相对圆心O）从A点沿圆弧移动至D点，使导线
框上产生感应电流。设导线框的电阻恒为 ，圆的半径为 ，从A点开始计时，下列说法正确的是
（ ）A．导线框中感应电流的方向先逆时针，后顺时针
B．在C从A点移动到D的过程中，穿过ACD回路的磁通量与时间的关系为
C．在C从A点移动到图中 位置的过程中，通过导线截面的电荷量为
D．若以AD为轴，保持 ，将导线框以恒定的角速度 转 ，回路中的电动势逐渐减小
三、解答题
16．（2022·广东·模拟预测）如图所示，MN、PQ为间距L=0.5m足够长的平行导轨，NQ⊥MN。导轨平面
与水平面间的夹角θ=37°，NQ间连接有一个R=5Ω的电阻。有一匀强磁场垂直于导轨平面，磁感强度为
B=1T。将一根质量为m=0.05kg的金属棒ab紧靠NQ放置在导轨上，且与导轨接触良好，导轨与金属棒的
电阻均不计。现由静止释放金属棒，金属棒沿导轨向下运动过程中始终与NQ平行。已知金属棒与导轨间
的动摩擦因数μ=0.5，当金属棒滑行至cd处时已经达到稳定速度，cd距离NQ为s=1m。试解答以下问题：
（g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）当金属棒滑行至cd处时回路中的电流多大？
（2）金属棒达到的稳定速度是多大？
（3）若将金属棒滑行至cd处的时刻记作t=0，从此时刻起，让磁感强度逐渐减小，可使金属棒中不产生感
应电流，则t=1s时磁感应强度应为多大？
17．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，两根平行长直金属导轨倾斜放置，导轨平面与水平面的夹角
为 ，导轨的间距为L，两导轨上端之间接有阻值为 的电阻。质量为m的导体棒ab垂直跨接在导轨上，
与导轨间接触光滑，导轨和导体棒的电阻均不计。在导轨平面上的矩形区（如图中虚线框所示）域内存在着匀强磁场，磁场方向垂直导轨平面向上，磁感应强度的大小为B。当磁场以某一速度沿导轨平面匀速向
上运动时，导体棒以速度 随之匀速向上运动。设导体棒在运动过程中始终处于磁场区域内。重力加速度
为g，求：
（1）通过导体棒ab的电流大小和方向；
（2）磁场运动的速度大小；
（3）维持导体棒匀速向上运动，外界在时间 内需提供的能量。
18．（2022·四川·遂宁安居育才卓同国际学校高三阶段练习）如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场，磁
感应强度B随时间t均匀变化。正方形硬质金属框abcd放置在磁场中，金属框平面与磁场方向垂直，电阻
，边长 。求
（1）在 到 时间内，金属框中的感应电动势E；
（2） 时，金属框ab边受到的安培力F；
（3）在 到 时间内，金属框中电流的电功率P。
19．（2022·浙江·高三专题练习）国家高山滑雪中心赛道“雪飞燕”长约3000多米、落差近900米、滑行
速度可能超过每小时140公里，极具危险性。所以电磁滑道成为未来运动的一种设想，我们可以通过控制
磁场强弱，实现对滑动速度的控制。为了方便研究，做出以下假设：如图甲所示，足够长的光滑斜面与水
平面成 角，虚线EF上方的整个区域存在如图乙规律变化且垂直导轨平面的匀强磁场， 时刻磁场方
向垂直斜面向上（图中未画出）磁感应强度在0~t 时间内均匀变化，磁感应强度最大值为 ，t 时刻
1 1后稳定为 、0~ 时间内，单匝正方形闭合金属框ABCD在外力作用下静止在斜面上，金属框CD边与
虚线EF的距离为 时刻撤去外力，金属框将沿斜面下滑，金属框上边AB刚离开虚线EF
时的速度为v ，已知金属框质量为 、边长为d，每条边电阻为 。求：（计算
1
结果保留两位小数）
（1）CD边刚过虚线EF时，AB两点间的电势差：
（2）从 时刻到AB边经过虚线EF的过程中金属框产生的焦耳热；
（3）从撤去外力到AB边经过虚线EF的总时间。
20．（2022·全国·高三专题练习）如图甲所示，轻绳系一质量为m=0.8kg，半径为1m的圆形线圈，已知线
圈总电阻R=0.5Ω，在线圈上半部分布着垂直于线圈平面向里，大小随时间变化的磁场，如图乙所示，g取
10m/s2，求：
（1）线圈下半圆的端点的路端电压Uab；
（2）绳的拉力与时间t的关系。
