专题60带电粒子在组合场中的运动（解析版）_4.2025物理总复习_2023年新高复习资料_一轮复习_2023届高三物理一轮复习多维度导学与分层专练

2023 届高三物理一轮复习多维度导学与分层专练 专题60 带电粒子在组合场中的运动 导练目标 导练内容 目标1 常见的两类组合场问题 目标2 带电粒子在交变电磁场中的运动 【知识导学与典例导练】 一、基础必备知识 1．组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出现。 2．带电粒子在组合场中运动的分析思路 第1步：粒子按照时间顺序进入不同的区域可分成几个不同的阶段。 第2步：受力分析和运动分析，主要涉及两种典型运动，如第3步中表图所示。 第3步：用规律 3．“电偏转”与“磁偏转”的比较 垂直电场线进入 垂直磁感线进入 匀强电场(不计重力) 匀强磁场(不计重力)电场力F ＝qE，其大小、方向不变， 洛伦兹力F ＝qvB，其大小不变，方向随v E B 受力情况 与速度v无关，F 是恒力 而改变，F 是变力 E B 轨迹 抛物线 圆或圆的一部分 运动轨迹示例 半径：r＝ 利用类平抛运动的规律求解：v＝v ， x 0 周期：T＝ x＝vt，v＝·t，y＝··t2 求解方法 0 y 偏移距离y和偏转角φ要结合圆的几何关系 偏转角φ满足：tan φ＝＝ 利用圆周运动规律讨论求解 运动时间 t＝ t＝T＝ 动能 变化 不变 二、常见的两类组合场问题 1.先电场后磁场 (1)先在电场中做加速直线运动，然后进入磁场做圆周运动。如图甲、乙所示，在电场中利用动能定理或 运动学公式求粒子刚进入磁场时的速度。 (2)先在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做圆周运动。如图丙、丁所示，在电场中利用平抛运动知识 求粒子进入磁场时的速度。【例1】如图所示，距离为L的竖直虚线P与Q之间分布着竖直向下的匀强电场，A为虚线P上一点，C 为虚线Q上一点，水平虚线CD与CF之间分布着垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，虚线 CF与虚线Q之间的夹角 。质量为m、电荷量为q的粒子从A点以水平初速度 射出，恰好从C点 射入磁场，速度与水平方向的夹角也为 ，粒子重力可忽略不计，下列说法正确的是（ ） A．C点与A点间的竖直距离为 B．电场强度大小为 C．粒子在磁场中运动的轨迹半径为 D．粒子在磁场中运动的时间为 【答案】AC【详解】AB．设带电粒子在匀强电场中运动时间为 ，带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，则 ； 由牛顿第二定律得 解得 ； ，A正确，B错误； C．带电粒子进入磁场的速度大小为 由洛伦兹力提供向心力得 解得 C正确； D．粒子在磁场中运动的时间为 解得 ，D错误。故选AC。 2.先磁场后电场 对于粒子从磁场进入电场的运动，常见的有两种情况： (1)进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反，如图甲所示，粒子在电场中做加速或减速运动，用 动能定理或运动学公式列式。 (2)进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直，如图乙所示，粒子在电场中做类平抛运动，用平抛运动知 识分析。 【例2】如图所示，在 平面的第Ⅱ象限内有半径为 的圆分别与 轴、 轴相切于 、 两点，圆内存 在垂直于 面向外的匀强磁场。在第Ⅰ象限内存在沿 轴负方向的匀强电场，电场强度为 。一带正电 的粒子（不计重力）以速率 从 点射入磁场后恰好垂直 轴进入电场，最后从 点射出电场，出 射方向与 轴正方向夹角为 ，且满足 。下列判断中正确的是（ ）A．粒子将从 点射入第Ⅰ象限 B．粒子在磁场中运动的轨迹半径为 C．带电粒子的比荷 D．磁场磁感应强度 的大小 【答案】C 【详解】AC．在M点，根据类平抛运动规律，有 ； ； ； 解得 ； 故A错误，C正确； BD．粒子运动轨迹如图 设O 为磁场的圆心，O 为粒子轨迹圆心，P为粒子射出磁场的位置，则有P′O∥PO；△OOP≌△OOP′ 1 2 2 1 1 2 2 1则粒子的轨道半径为r=R由牛顿第二定律可得 解得 故BD错误。故选C。 三、带电粒子在交变电磁场中的运动 （1）交变场的常见类型 ①电场周期性变化，磁场不变。 ②磁场周期性变化，电场不变。 ③电场、磁场均周期性变化。 （2）分析带电粒子在交变场中运动问题的基本思路 【例3】如图甲所示，在直角坐标系中的0≤x≤L区域内有沿y轴正方向的匀强电场，右侧有以点（2L，0） 为圆心、半径为L的圆形磁场区域，与x轴的交点分别为M、N。在xOy平面内，从电离室产生的质量为 m、带电荷量为e的电子以几乎为零的初速度从P点飘入电势差为U的加速电场中，加速后经过右侧极板 上的小孔Q点沿x轴正方向进入匀强电场，已知O、Q两点之间的距离为 ，飞出电场后从M点进入圆形 磁场区域，电子进入磁场时取t=0，在圆形区域内加如图乙所示变化的磁场（以垂直于纸面向外为正方向， 图中B 是未知量），最后电子从N点飞出，速度方向与进入圆形磁场时的速度方向相同。不考虑电子的重 0 力。 （1）求电子运动到Q点时的速度大小v； 0（2）求电子运动到M点时的速度vM； （3）写出磁场变化周期T满足的关系表达式。 【答案】（1） ；（2） ；（3） （n=1，2，3，…） 【详解】（1）在加速电场中，从P点到Q点由动能定理得 可得 （2）电子从Q点到M点做类平抛运动 ； 电子运动至M点时 解得 设v 的方向与x轴的夹角为θ： 解得θ=45° M （3）电子在磁场中运动最简单的情景如图答甲所示，在磁场变化的半个周期内，粒子的偏转角为90°，根 据几何知识，在磁场变化的半个周期内，电子在x轴方向上的位移恰好等于轨道半径 ，即 因电子在磁场中的运动具有周期性，如图答乙所示，电子到达N点且速度符合要求的空间条件为（n=1，2，3，……）电子在磁场中做圆周运动的轨道半径 解得 （n=1，2，3，……）电子在磁场变化的半个周期内恰好转过 圆周，同时在MN间的运动 时间是磁场变化周期的整数倍时，可使粒子到达N点且速度满足题设要求，应满足的时间条件是 又 则T的表达式为 （n=1，2，3，…） 【多维度分层专练】 1．质谱仪被广泛应用于分离同位素，图甲是其简化模型。大量质量为m=1.60×10-27kg、电荷量为 q=+1.60×10-19C的质子（即 核），从粒子源A下方以近似速度为0飘入电势差为U=200V的加速电场中， 0 并从中间位置进入偏转电场，偏转电场两板间宽度d＝2cm，已知粒子出射后马上进入匀强磁场中，磁场方 向垂直纸面向外，经磁场偏转后打在水平放置的屏上，给偏转电场两极间加上如图乙所示的电压，其周期 T远大于粒子在电场中的偏转时间，两极板间视为匀强电场，板外电场忽略不计，屏足够长。忽略粒子所 受重力和粒子间的相互作用力，求： （1）质子射出加速电场时速度的大小； （2）为使质子经偏转电场后能全部进入磁场，求偏转电场极板长度范围； （3）当偏转电场极板长度L＝4cm时，若粒子源打出的粒子掺杂另一种粒子氚核（ ），为使两种粒子 均能击中屏且没有重叠，求磁感应强度的最大值。【答案】（1） ；（2） ；（3） 【详解】（1）根据动能定理，质子在加速电场内，有 解得 （2）质子若刚好全部射出偏转电场，则粒子的偏移量为 在偏移电场中的运动时间为 根据牛顿第二定律得 ； 联立解得 偏转电场极板越长，粒子越容易击中 侧板，故极板长度的取值为 （3）粒子在加速电场中有 ； 故在偏转电场中的偏转距离与粒子比 荷无关，随偏转电压的增大而增大，最大偏转位移为 如图，假设粒子速度偏转角是； 联立可得 由以上公式可知，由于偏转电场只改变粒子射入磁场时平 行 于 屏 方 向 的 速 度 ， 对 于 粒 子 在 磁 场 中 的 偏 转 距 离 没 有 影 响 ， 根 据 公 式 ； 故氚核在磁场中的偏转距离大，均能击中屏且没有重叠，则有 解得 2．半导体掺杂是集成电路生产中最基础的工作，某公司开发的第一代晶圆掺杂机主要由三部分组成：离 子发生器，控制器和标靶。简化模型如图所示，离子发生器产生电量为＋q，质量为m的离子，以足够大 速度 沿电场的中央轴线飞入电场；控制器由靠得很近的平行金属板A、B和相互靠近的两个电磁线圈构 成（忽略边缘效应），极板A、B长为 ，间距为d，加上电压时两板间的电场可当作匀强电场，两电磁线 圈间的圆柱形磁场可以当作匀强磁场，磁感应强度与电流的关系B=kI，k为常数，匀强电场与（柱形）匀 强磁场的中轴线互相垂直相交，磁场横截面的半径为 ；标靶是半径为R的单晶硅晶圆，并以晶圆圆心为 坐标原点，建立Oxy正交坐标系。晶圆与匀强电场的中轴线垂直，与匀强磁场的中轴线平行，且与匀强电 场中心和柱形匀强磁场中轴线的距离分别为 和 ，其中 。 ，I=0时，离子恰好打到晶圆 的（0，0）点。 （1）当 ， 时，离子恰好能打到（0，-R）点，求 的值。 （2）当 ， 时，离子能打到点（R，0），求 的值。（3）试导出离子打到晶圆上位置（x，y）与 和I的关系式。（提示： ） 【答案】（1） ；（2） ；（3） ， ； ， 【详解】（1）在匀强电场中有 ， ； ， 根据相似三角形得 联立解得 （2）粒子在匀强磁场中轨迹图如下由几何关系得 解得 则 解得 由洛伦兹力提供向心力得 又 解得 （3）纵坐标由匀强电场决定，则 ， ， 联立解得 由于 ，则 横坐标由匀强磁场决定，则 解得 由于 又 联立解得 由于 ，则 3．如图所示，在xOy平面内，有一电子源持续不断地沿x正方向每秒发射出N个速率均为v的电子，形成 宽为2b、在y轴方向均匀分布且关于x轴对称的电子流。电子流沿x方向射入一个半径为R、中心位于原 点O的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直xOy平面向里，电子经过磁场偏转后均从P点射出。在磁场区域 的正下方有一对平行于x轴的金属平行板K和A，其中K板与P点的距离为d，中间开有宽度为2l且关于y 轴对称的小孔。K板接地，A与K两板间加有正负、大小均可调的电压UAK。穿过K板小孔到达A板的所 有电子被收集且导出，从而形成电流。已知 R， ，电子质量为m，电荷量为e，忽略电子间相 互作用。 （1）求磁感应强度B的大小； （2）求电子从P点射出时与负y轴方向的夹角θ的范围； （3）当UAK＝0时，每秒经过极板K上的小孔到达极板A的电子数。【答案】（1） ；（2） ；（3） N 【详解】（1）电子均从P点射出，根据图（a）可知电子做圆周运动的轨道半径为 电子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有 解得 （2）设上端电子从P点射出时与负y轴夹角为 ，如图（b）所示由几何关系可得 解得 同理，如图（c）所示 下端电子从P点射出时与负y轴夹角也为60°，故θ的范围是 （3）电子恰好进入小孔，根据几何关系可知，进入小孔的电子偏角正切值 解得 故电子到达P点时与y轴负方向的夹角 如图（d）所示 根据几何关系，可知进入金属平行板的粒子所占比例为 则当 时，每秒到达A板的电子数 4．在芯片制造过程中，离子注入是其中一道重要的工序。如图所示是离子注入工作原理示意图，离子经 加速后沿水平方向进入速度选择器，然后通过磁分析器，选择出特定比荷的离子，经偏转系统后注入处在水平面内的晶圆（硅片）。速度选择器、磁分析器和偏转系统中的匀强磁场的磁感应强度大小均为B，方 向均垂直纸面向外；速度选择器和偏转系统中的匀强电场场强大小均为E，方向分别为竖直向上和垂直纸 面向外。磁分析器截面是内外半径分别为R 和R 的四分之圆环，其两端中心位置M和N处各有一个小孔； 1 2 偏转系统中电场和磁场的分布区域是同一边长为L的正方体，其底面与晶圆所在水平面平行，间距也为 L。当偏转系统不加电场及磁场时，离子恰好竖直注入到晶圆上的O点（即图中坐标原点，x轴垂直纸面向 外）。整个系统置于真空中，不计离子重力，打在晶圆上的离子，经过电场和磁场偏转的角度都很小。当 很小时，有 。求 （1）离子通过速度选择器后的速度大小v和磁分析器选择出来离子的比荷； （2）偏转系统仅加电场时离子注入晶圆的位置，用坐标（x，y）表示； （3）偏转系统仅加磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标（x，y）表示。 【答案】（1） ， ；（2）（ ，0）；（3）（0， ） 【详解】（1）通过速度选择器离子的速度 从磁分析器中心孔N射出离子的运动半径为 由 得（2）经过电场后，离子在x方向偏转的距离 ； 离开电场后，离子在x方向偏移 的距离 ； 位置坐标为（ ，0） （3）离子进入磁场后做圆周运动半径 ； 经过磁场后，离子在y方向偏转距离 离开磁场后，离子在y方向偏移距离 则 位置坐标为（0， ） 5．如图所示，平面直角坐标系 内，x轴上方有垂直坐标系平面向里、半径为R的圆形匀强磁场 （大 小未知），圆心为 。x轴下方有一平行x轴的虚线MN，在其下方有磁感应强度方向垂直坐标系平 面向外、大小为 的矩形匀强磁场，磁场上边界与MN重合。在MN与x轴之间有平行与y轴、 场强大小为 的匀强电场（图中未画出），且MN与x轴相距 （大小未知）。现有两相同带电粒子a、b以平行x轴的速度 分别正对 点、A点 射入圆形磁场，经偏转后都经过坐标原点O进 入x轴下方电场。已知粒子质量为m、电荷量大小为q，不计粒子重力及粒子间的相互作用力。 （1）求磁感应强度 的大小； （2）若电场沿y轴负方向，欲使带电粒子a不能到达MN，求 的最小值； （3）若电场沿y轴正方向， ，欲使带电粒子b能到达x轴上且距原点O距离最远，求矩形磁场区 域的最小面积。 【答案】（1） ；（2） ；（3） 【详解】（1）a、b平行进入圆形磁场，均进过原点O，则根据“磁聚焦”可知，粒子做圆周运动的半径 大小与磁场区域半径大小相等，即 又 解得 （2）带电粒子a从O点沿y轴负方向进入电场后做减速运动，则由动能定理可得 解得（3）若匀强电场沿y轴正方向，则粒子b从原点O沿x轴负向进入电场，做类平抛运动，设粒子b经电场 加速度后的速度大小为v，在MN下方磁场做匀速圆周运动的轨道半径为 ，粒子b离开电场进入磁场时速 度方向与水平方向夹角为 ，如图甲所示 则有 解得 又 则 在电场中 ， 在磁场中有 解得 如图乙所示，由几何关系可知，在矩形磁场中运动的圆心 在y轴 上，当粒子从矩形磁场右边界射出，且方向与x轴正方向夹角为 时，粒子能够到达x轴，距离原点O 最远。 则最小矩形区域水平边长为 竖直边长为 则最小面积为 6．空间分布着如图所示的匀强电场和垂直于纸面的匀强磁场，其中 区域足够大， 分布在半径的圆形区域内，MN为过其圆心O的竖直线， 、 区域磁感应强度大小均为1T，虚线 与MN平行 且相距1m，其右侧区域存在着与水平方向成45°斜向下的匀强电场，电场强度 ，电场区域足 够大。磁场 中有粒子源S，S与O点的距离 ，且SO垂直于MN。某时刻粒子源S沿着纸面一次 性向各个方向均匀射出一群相同的带正电粒子，粒子的质量均为 、电量均为 、速率 均为 ，其中某粒子先经 区域偏转再从虚线圆的最低点P进入 区域偏转，最后以水平方向 的速度从A点进入电场区域。AB为与电场方向垂直的无限大的绝缘板。不计粒子的重力以及粒子之间的相 互作用。 （1）求粒子在磁场中的轨迹半径； （2）求能够进入 区域的粒子数与发射的粒子总数之比； （3）从A点水平进入电场区域的带电粒子在电场中运动一段时间后与绝缘板发生碰撞，粒子与AB板发生 碰撞时垂直板方向的速度大小不变、方向相反，沿板方向的速度不变。若粒子能打在C点（图中未画出）， 求A点距O点的竖直高度以及AC之间的距离满足的关系式。 【答案】（1）1m；（2） ；（3） ，【详解】（1）根据洛伦兹力提供向心力 解得 （2）当粒子的运动轨迹恰好与圆相切时为粒子能够进入 区域的临界情况，如图 根据几何关系可知 故当粒子恰好向左或向右射出时，能够刚好进入 区域，粒子初速度 有向上的分速度时不能进入 区域，因此能够进入 区域的粒子数与发射的粒子总数之比为 （3）粒子先经 区域偏转后，再从虚线圆的最低点P进入 区域偏转，最后以水平方向的速度从A点进 入电场区域，由几何关系 粒子与水平方向成60°角进入 区域，则在 区域中运动的圆心角为 180°，在 区域中运动的圆心角为60°A、O之间的竖直高度 进入电场后，带电粒子做类斜抛运动，由对称性，第一次打到AB板上 的D点时速度 与AB板夹角为45°由 ； ； ，A点到D点距离 则A、C之间的距离满足 7．如图（a）所示为粒子扩束装置的示意图，该装置由加速电场、偏转电场和偏转磁场组成。其中偏转电 场的两极板由相距为 ，板长为 的两块水平平行放置的导体板组成。一群带负电的相同 离子（质量为 ，电荷量为 ，其重力不计）由静止开始，经加速电场加速后， 连续不断地沿平行于导体板的方向从两板正中央射入偏转电场。当偏转电场的两极板不加电压时，离子通 过两板之间的时间为 ；当偏转电场的两极板间加如图（b）所示的电压时，所有离子均能从两板间 通过，然后进入水平宽度 、竖直长度足够大、方向垂直纸面向里的匀强磁场中，磁场右边界为 竖直放置的荧光屏（不考虑离子间相互作用）。求： （1）加速电场的电压 ； （2）离子射出偏转电场的最大侧移量 ； （3）当磁感应强度大小取何值时，离子能打到荧光屏的位置最低，并求出最低位置离中心点O的距离。 （ ， ）【答案】（1） ；（2）0.06m ；（3）0.1T ，0.05m 【详解】（1）离子被加速后射入偏转电场，设速度为 ，根据动能定理有 当偏转电场不加电 压时，离子通过两板之间的时间为 根据运动学公式有 联立解得 （2）要使离子射出偏转电场的侧移量最大，则离子要在 （ ， ， ）时刻射入偏转电 场。在前 时间内，离子在竖直方向上做匀加速直线运动，加速度为 速度为 侧移量为 后 时间内离子做匀速直线运动，偏移量为 则最大侧移量 其中 ， 联立以上各式，解得 （3） （ ， ， ）时刻射入偏转电场的离子射出偏转电场有最小侧移量，该粒子 在垂直于极板方向分运动情况为只在后 时间内匀加速运动，出偏转电场时 侧移 量速度 偏转角 故 离子进入磁场做匀速圆周运动，在离子轨迹与荧光屏相切时，离子打到荧光屏的位置最低；如图，由几何 关系有 解得 根据牛顿第二定律有 解得 离子打到荧光屏的位置最 低点离O点距离 8．如图甲所示，M、N为水平放置长为L的平行金属板，两板相距也为L。一束带正电、比荷为 的粒子 流（重力不计），以初速度 沿两板正中间水平射入两板间。粒子恰好由N板下边缘A点射出，以A点为 坐标原点建立直角坐标系。 （1）求粒子经过A点时速度大小和方向； （2）若y轴右侧有一方向垂直纸面向里的足够大的匀强磁场，x轴下方磁感应强度大小为 ，x轴上方磁 感应强度大小为 ，要使粒子进入磁场后恰好不离开磁场。求： ； （3）仅撤去（2）中的磁场，在y轴右侧加上如图乙所示足够大的周期性变化的磁场（ 已知），设磁场 方向垂直于纸面向里为正。求： 时刻从A点进入磁场的粒子经过x轴时的坐标值。【答案】（1） 、速度方向与水平成45°斜向下；（2） ；（3）见解析 【详解】（1）粒子在偏转电场中做类平抛运动，水平方向有 ； 竖直方向有 解得 粒子经过A点时的速度大小 ； 即速度方向与水平成45°斜向下； （2）设x轴下方磁场中轨道半径为 ，x轴上方磁场中轨道半径为 ，运动轨迹如图 由几何关系可得 解得 根据洛伦兹力提供向心力，有 解得联立解得 （3）粒子在 时刻进入磁场，如图 一个磁场变化周期中粒子沿x轴前进的距离 其中 可能：①经过x轴时的坐标值 ， ，1，2，3… 可能：②经过x轴时的坐标值 ， ，1，2，3… 9．如图所示，MM’、NN’为同一平面（纸面）内、间距为d 的两根平行导轨，中间有宽度为b、磁感应强 0 度为B 的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，金属棒OO’在导轨上以恒定速率v 来回运动，运动区最左 0 0 端与磁场左边界的距离为a。MM’、NN’分别与间距为d的平行金属板PP’、QQ’相连，左右两侧分别有匀 强磁场B、B（大小均未知，范围足够大），方向分别垂直纸面向外、向里。某时刻，棒OO’向左离开磁 1 2 场B（图示位置），一个比荷为 、带正电的粒子，以平行于金属板的速度v（大小未知）垂直射入磁场 0 1 B；当棒OO’返回进入磁场B 时，粒子速度方向偏转180°并射入金属板间；棒OO’向右经过磁场B 的时间 1 0 0 内，粒子恰好经过两金属板间且速度方向偏转45°。忽略所有电阻，粒子重力不计。求：（1）磁感应强度B 有多大？ 1 （2）粒子的速度v 有多大？ 1 （3）若粒子始终沿同一轨迹循环运动（未与板相碰），则棒OO’运动区最右端与磁场B 右边界的距离c 0 有多大？ 【答案】（1） ；（2） ；（3） 【详解】（1）带电粒子在磁场B 中，有 ； 此段时间内，棒OO’在磁场 左侧区域运动 1 一个来回，有 联立解得 （2）棒OO’向右经过磁场 区域的过程，有 ； 此段时间内，带电粒子经过两金属板间， 有 ； ； ； 联立解得 （3）带电粒子在磁场 中，有 ； ； 要粒子始终沿同一轨迹循环运动，其轨 迹应如下图所示（左、右两个圆心连线与金属板平行，轨迹关于两圆心的连线对称），满足； ； 联立相关各式，解得