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专题强化七 卫星变轨问题 双星模型
目标要求 1.会处理人造卫星的变轨和对接问题.2.掌握双星、多星系统，会解决相关问
题.3.会应用万有引力定律解决星球“瓦解”和黑洞问题．
题型一 卫星的变轨和对接问题
1．变轨原理
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上
做匀速圆周运动，有G＝m，如图所示．
(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，Gm，再次点火加速，使G＝m，进入圆轨道Ⅲ.
2．变轨过程分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v、v，在轨道Ⅱ上过A点和B点时
1 3
速率分别为 v 、v .在 A 点加速，则 v >v ，在 B 点加速，则 v>v ，又因 v>v ，故有
A B A 1 3 B 1 3
v >v>v>v .
A 1 3 B
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A
点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同．
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T 、T 、T ，轨道半径分别为r 、
1 2 3 1
r(半长轴)、r，由开普勒第三定律＝k可知Tm ，故B错误；由B
A A B B A B A B
选项得，两恒星总质量为M＝m ＋m ＝，故C正确；根据v＝ωr，两恒星角速度相等，则
A B
v 时，星球瓦解，当ω<时，星球稳定运行．
2．黑洞
黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞
运行的天体的运动规律间接研究黑洞．当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)
超过光速时，该天体就是黑洞．考向1 星球的瓦解问题
例8 (2018·全国卷Ⅱ·16)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星
“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力
常量为6.67×10－11 N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
答案 C
解析 脉冲星稳定自转，万有引力提供向心力，则有 G≥mr，又知M＝ρ·πr3，整理得密度
ρ≥＝ kg/m3≈5.2×1015 kg/m3，故选C.
考向2 黑洞问题
例9 科技日报北京2017年9月6日电，英国《自然·天文学》杂志发表的一篇论文称，某
科学家在银河系中心附近的一团分子气体云中发现了一个黑洞．科学研究表明，当天体的逃
逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)超过光速时，该天体就是黑洞．已知某天体与地球
的质量之比为k，地球的半径为R，地球的环绕速度(第一宇宙速度)为v, 光速为c，则要使
1
该天体成为黑洞，其半径应小于( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 地球的第一宇宙速度为v＝，则黑洞的第一宇宙速度为v＝，并且有v>c，联立解得
1 2 2
r<，所以D正确，A、B、C错误．
课时精练
1．(多选)目前，在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转，其中一些卫星的轨道近似为
圆，且轨道半径逐渐变小．若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，只受到地球引力和稀薄气
体阻力的作用，则下列判断正确的是( )
A．卫星的动能逐渐减小
B．由于地球引力做正功，引力势能一定减小
C．由于稀薄气体阻力做负功，地球引力做正功，机械能保持不变
D．卫星克服稀薄气体阻力做的功小于引力势能的减小量答案 BD
解析 在卫星轨道半径变小的过程中，地球引力做正功，引力势能一定减小，卫星轨道半径
变小，动能增大，由于稀薄气体阻力做负功，机械能减小，选项 A、C错误，B正确；根据
动能定理，卫星动能增大，卫星克服稀薄气体阻力做的功小于地球引力做的正功，而地球引
力做的正功等于引力势能的减小量，所以卫星克服阻力做的功小于引力势能的减小量，选项
D正确．
2.2021年5月15日，中国火星探测工程执行探测任务的飞船“天问一号”着陆巡视器成功
着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区．若飞船“天问一号”从地球上发射到着陆火星，运
动轨迹如图中虚线椭圆所示，飞向火星过程中，太阳对飞船“天问一号”的引力远大于地球
和火星对它的吸引力，认为地球和火星绕太阳做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )
A．飞船“天问一号”椭圆运动的周期小于地球公转的周期
B．在与火星会合前，飞船“天问一号”的向心加速度小于火星公转的向心加速度
C．飞船“天问一号”在无动力飞向火星过程中，引力势能增大，动能减少，机械能守恒
D．飞船“天问一号”在地球上的发射速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间
答案 C
解析 根据开普勒第三定律＝k，由题图可知飞船“天问一号”椭圆运动的半长轴大于地球
公转半径，所以飞船“天问一号”椭圆运动的周期大于地球公转的周期，A错误；在与火星
会合前，飞船“天问一号”到太阳的距离小于火星公转半径，根据万有引力提供向心力有G
＝ma，可知飞船“天问一号”的向心加速度大于火星公转的向心加速度，B错误；飞船
“天问一号”在无动力飞向火星过程中，引力势能增大，动能减少，机械能守恒，C正确；
飞船“天问一号”要脱离地球的束缚，所以发射速度大于第二宇宙速度，D错误．
3.(2023·重庆市模拟)我国2021年9月27日发射的试验十号卫星，轨道Ⅱ与Ⅰ、Ⅲ分别相切
于A、B两点，如图所示，停泊轨道Ⅰ距地面约200 km，卫星沿轨道Ⅰ过A点的速度大小、
加速度大小分别为v 、a ；卫星沿转移椭圆轨道Ⅱ过A点的速度大小、加速度大小分别为
1 1
v、a，过B点的速度大小、加速度大小分别为v、a；同步轨道Ⅲ距地面约36 000 km，卫
2 2 3 3
星沿轨道Ⅲ过B点的速度大小、加速度大小分别为v 、a.下列关于试验十号卫星说法正确
4 4
的是( )A．aa v＝v
1 2 1 2 2 3 2 3
C．a＝a va，由开普勒第二定律可知v>v，故B错误；同理
2 3 2 3
可得，卫星沿转移椭圆轨道Ⅱ过B点的加速度等于轨道Ⅲ过B点的加速度，即a ＝a ，卫星
3 4
由转移椭圆轨道Ⅱ经B点到轨道Ⅲ需要点火加速，故va，由＝可知v>v，则v>v，故D错误．
2 4 1 4 2 4
4．一近地卫星的运行周期为T ，地球的自转周期为T，则地球的平均密度与地球不因自转
0
而瓦解的最小密度之比为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 对近地卫星，有 G＝m()2R，地球的质量M＝ρ·πR3，联立解得ρ＝，以地球赤道处一
1 1
质量为m 的物体为研究对象，只有当它受到的万有引力大于等于它随地球一起旋转所需的
0
向心力时，地球才不会瓦解，设地球不因自转而瓦解的最小密度为ρ ，则有G＝m()2R，M
2 0
＝ρ·πR3，联立解得ρ＝，所以＝，故选D.
2 2
5．(多选)宇宙中两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之
为双星系统．设某双星系统A、B绕其连线上的某固定点O做匀速圆周运动，如图所示．若
A、B两星球到O点的距离之比为3∶1，则( )
A．星球A与星球B所受引力大小之比为1∶1
B．星球A与星球B的线速度大小之比为1∶3
C．星球A与星球B的质量之比为3∶1
D．星球A与星球B的动能之比为3∶1
答案 AD
解析 星球A所受的引力与星球B所受的引力均为二者之间的万有引力，大小是相等的，
故A正确；双星系统中，星球A与星球B转动的角速度相等，根据v＝ωr可知，线速度大
小之比为3∶1，故B错误；A、B两星球做匀速圆周运动的向心力由二者之间的万有引力提
供，可得G＝m ω2r ＝m ω2r ，则星球A与星球B的质量之比为m ∶m ＝r ∶r ＝1∶3，故
A A B B A B B A
C错误；星球A与星球B的动能之比为＝＝＝，故D正确．
6．(2023·安徽蚌埠市检测)2022年7月24日14时22分，中国“问天”实验舱在海南文昌航
天发射场发射升空，准确进入预定轨道，任务取得圆满成功．“问天”实验舱入轨后，顺利完成状态设置，于北京时间2022年7月25日3时13分，成功对接于离地约400 km的“天
和”核心舱．“神舟”十四号航天员乘组随后进入“问天”实验舱．下列判断正确的是(
)
A．航天员在核心舱中完全失重，不受地球的引力
B．为了实现对接，实验舱和核心舱应在同一轨道上运行，且两者的速度都应大于第一宇宙
速度
C．对接后，组合体运动的加速度大于地球表面的重力加速度
D．若对接后组合体做匀速圆周运动的周期为 T，运行速度为v，引力常量为G，利用这些
条件可估算出地球的质量
答案 D
解析 航天员受到的地球的引力充当绕地球做圆周运动的向心力，处于完全失重状态，A错
误；为了实现对接，实验舱应先在比核心舱半径小的轨道上加速做离心运动，逐渐靠近核心
舱，两者速度接近时实现对接，但速度小于第一宇宙速度，B错误；对接后，组合体运动的
加速度a＝<＝g，C错误；对接后，若已知组合体的运行周期T、运行速度v和引力常量
G，可由＝、v＝，联立得M＝，D正确．
7．2021年6月17日，神舟十二号载人飞船与天和核心舱完成对接，航天员聂海胜、刘伯明、
汤洪波进入天和核心舱，标志着中国人首次进入了自己的空间站．对接过程的示意图如图所
示，天和核心舱处于半径为r 的圆轨道Ⅲ；神舟十二号飞船处于半径为r 的圆轨道Ⅰ，运行
3 1
周期为T ，通过变轨操作后，沿椭圆轨道Ⅱ运动到B处与天和核心舱对接．则神舟十二号
1
飞船( )
A．在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ运动经过A点时速度大小相等
B．沿轨道Ⅱ从A运动到对接点B过程中速度不断增大
C．沿轨道Ⅱ运行的周期为T
1
D．沿轨道Ⅰ运行的周期大于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行的周期
答案 C
解析 飞船从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ需要加速，所以沿两轨道经过A点时速度大小不相等，
故A错误；沿轨道Ⅱ从A运动到对接点B过程中，万有引力做负功，速度不断减小，故B
错误；根据开普勒第三定律，有＝，解得T＝T，故C正确；物体绕地球做匀速圆周运动，
2 1
万有引力提供向心力，有＝mr，解得T＝2π，由于飞船沿轨道Ⅰ运行的半径小于天和核心舱
沿轨道Ⅲ运行的半径，因此飞船沿轨道Ⅰ运行的周期小于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行的周期，故D错误．
8.(2023·贵州省贵阳一中高三检测)宇宙中有很多恒星组成的双星运动系统，两颗恒星仅在彼
此的万有引力作用下绕共同点做匀速圆周运动，如图所示．假设该双星1、2的质量分别为
m 、m ，圆周运动的半径分别为r 、r ，且r 小于r ，共同圆周运动的周期为T，引力常量
1 2 1 2 1 2
为G.则下列说法正确的是( )
A．恒星1做圆周运动所需的向心加速度大小为G
B．恒星1表面的重力加速度一定大于恒星2表面的重力加速度
C．恒星1的动量一定大于恒星2的动量
D．某些双星运动晚期，两者间距逐渐减小，一者不断吸食另一者的物质，则它们在未合并
前，共同圆周运动的周期不断减小
答案 D
解析 对于恒星1，根据万有引力提供向心力有＝ma ，则恒星1的向心加速度大小a ＝，
1 n1 n1
故A错误；由mg＝，解得g＝，由于不能确定两恒星半径R的大小，故不能确定表面重力
加速度的大小，故B错误；对于双星运动有mr ＝mr ，又因为角速度相同，根据角速度与
1 1 2 2
线速度关系有mωr ＝mωr ，即mv ＝mv ，则动量大小相等，故C错误；设两恒星之间距
1 1 2 2 1 1 2 2
离为L，对恒星1，有＝m()2r ，对恒星2，有＝m()2r ，上述两式相加得＋＝()2r ＋()2r ，解
1 1 2 2 1 2
得T＝2π，可以看到当两者间距逐渐减小，总质量不变时，双星做圆周运动的共同周期逐渐
减小，故D正确．
9.(多选)(2023·广东省模拟)如图所示为发射某卫星的情景图，该卫星发射后，先在椭圆轨道
Ⅰ上运动，卫星在椭圆轨道Ⅰ的近地点A的加速度大小为a ，线速度大小为v ，A点到地心
0 0
的距离为R，远地点B到地心的距离为3R，卫星在椭圆轨道的远地点B变轨进入圆轨道Ⅱ，
卫星质量为m，则下列判断正确的是( )
A．卫星在轨道Ⅱ上运行的加速度大小为a
0
B．卫星在轨道Ⅱ上运行的线速度大小为
C．卫星在轨道Ⅱ上运行周期为在轨道Ⅰ上运行周期的3倍D．卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ发动机需要做的功为－
答案 BD
解析 设卫星在轨道Ⅱ上运行的加速度大小为a ，由＝ma得a＝，则a ＝a ＝a ，故A错误；
1 1 0 0
设卫星在轨道Ⅱ上运行的线速度大小为v ，有a ＝，解得v ＝＝，故B正确；根据开普勒
1 1 1
第三定律有＝，解得＝，故C错误；设卫星在椭圆轨道远地点B的线速度大小为v，根据开
普勒第二定律有vR＝v×3R，解得v＝v ，卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ发动机需要做的功为
0 0
W＝mv2－mv2＝－，故D正确．
1
10.(多选)如图为一种四颗星体组成的稳定系统，四颗质量均为m的星体位于边长为L的正方
形四个顶点，四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，忽略其他星体对它们的作
用，引力常量为G.下列说法中正确的是( )
A．星体做匀速圆周运动的圆心不一定是正方形的中心
B．每颗星体做匀速圆周运动的角速度均为
C．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的两
倍
D．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小不变
答案 BD
解析 四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，所以星体做匀速圆周运动的圆心
一定是正方形的中心，故 A错误；由G＋G＝(＋)G＝mω2·L，可知ω＝，故B正确；由
(＋)G＝ma可知，若边长L和星体质量m均为原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大
小是原来的，故C错误；由(＋)G＝m可知星体做匀速圆周运动的线速度大小为v＝，所以
若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小不变，故 D正
确．
11．黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕
黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞．已知某黑洞的逃逸速度为v＝ ，其中引力常量
为G，M是该黑洞的质量，R是该黑洞的半径．若天文学家观测到与该黑洞相距为r的天体
以周期T绕该黑洞做匀速圆周运动，光速为c，则下列关于该黑洞的说法正确的是( )
A．该黑洞的质量为
B．该黑洞的质量为
C．该黑洞的最大半径为
D．该黑洞的最大半径为答案 D
解析 天体绕黑洞运动时，有＝m()2r，解得M＝，选项A、B错误；黑洞的逃逸速度不小于
光速，则有≥c，解得R≤＝，选项C错误，D正确．
12．质量均为m的两个星球A和B，相距为L，它们围绕着连线中点做匀速圆周运动．观测
到两星球的运行周期T小于按照双星模型计算出的周期T ，且＝k.于是有人猜想在A、B连
0
线的中点有一未知天体C，假如猜想正确，则C的质量为( )
A.m B.m
C.m D.m
答案 A
解析 两星球绕连线的中点转动，则有G＝m··，所以T ＝2π，由于C的存在，星球所需的
0
向心力由两个力的合力提供，则G＋G＝m··，又＝k，联立解得M＝m，可知A正确，B、
C、D错误．
