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专题强化八 卫星变轨问题 双星模型
目标要求 1.会处理人造卫星的变轨和对接问题.2.掌握双星、多星系统，会解决相关问题．
题型一 卫星的变轨和对接问题
1．变轨原理
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示．
(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运
动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.
2．变轨过程分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v、v，在轨道Ⅱ上过A点和B点时
1 3
速率分别为 v 、v .在 A 点加速，则 v >v ，在 B 点加速，则 v>v ，又因 v>v ，故有
A B A 1 3 B 1 3
v >v>v>v .
A 1 3 B
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A
点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同．
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T 、T 、T ，轨道半径分别为r 、
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r(半长轴)、r，由开普勒第三定律＝k可知Tv＝v，C正确，
a c e
D错误．
9．双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做
周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均
可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总
质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为( )
A.T B.T C.T D.T
答案 B
解析 设原来双星间的距离为L，质量分别为M、m，圆周运动的圆心距质量为m的恒星距
离为r，双星间的万有引力提供向心力，对质量为m的恒星：G＝m()2·r，对质量为M的恒
星：G＝M()2(L－r)，得G＝·L，即T2＝；则当总质量为k(M＋m)，间距为L′＝nL时，T′
＝T，选项B正确．
10.宇宙空间有一种由三颗星A、B、C组成的三星体系，它们分别位于等边三角形ABC的三
个顶点上，绕一个固定且共同的圆心 O做匀速圆周运动，轨道如图中实线所示，其轨道半
径r v >v
A B C
B．加速度大小关系是a >a >a
A B C
C．质量大小关系是m >m >m
A B C
D．所受万有引力合力的大小关系是F＝F ＝F
A B C
答案 C
解析 三星体系中三颗星的角速度ω相同，轨道半径r ，得m >m ，同理可知m >m ，所
A B B C
以m >m >m ，故C正确；由于m >m >m ，结合万有引力定律，可知A与B之间的引力大
A B C A B C
于A与C之间的引力，又大于B与C之间的引力，又知A、B、C受到的两个万有引力之间
的夹角都是相等的，根据两个分力的角度一定时，两个力越大，合力越大，可知
F>F >F ，故D错误．
A B C11.(多选)如图所示，月球探测器在一个环绕月球的椭圆轨道上运行，周期为T，飞行一段时
1
间后实施近月制动，进入距月球表面高度为h的环月圆轨道，运行周期为T，月球的半径为
2
R.下列说法正确的是( )
A．根据题中数据，无法求出月球探测器的质量
B．探测器在椭圆轨道远月点的速度大于近月点的速度
C．椭圆轨道的半长轴为(R＋h)
D．探测器在椭圆轨道上运行的最大速度为
答案 AC
解析 利用万有引力定律对探测器研究时，探测器的质量会被消去，无法求出探测器的质量，
故A正确；由开普勒第二定律可知，探测器在椭圆轨道远月点的速度小于近月点的速度，
故B错误；设椭圆轨道的半长轴为a，根据开普勒第三定律有＝，解得a＝(R＋h)，故C正
确；探测器在圆轨道上运行的速度大小v＝，探测器在椭圆轨道上运行时，在近月点的速度
最大，由于探测器在近月点制动后进入圆轨道，探测器在椭圆轨道的近月点的速度大于在圆
轨道上运行的速度，故D错误．
12．(多选)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常
可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式(如
图)：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为 R的圆轨道上运行；
另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．
设这三颗星的质量均为M，并且两种系统的运动周期相同，则( )
A．直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同
B．直线三星系统的运动周期T＝4πR
C．三角形三星系统中星体间的距离L＝R
D．三角形三星系统的线速度大小为
答案 BC
解析 直线三星系统中甲星和丙星的线速度大小相等，方向相反，选项 A错误；直线三星
系统中，对甲星有G＋G＝MR，解得T＝4πR，选项B正确；对三角形三星系统中任一颗星，根据万有引力定律和牛顿第二定律得2Gcos 30°＝M·，又由题知两种系统的运动周期相同，
即T＝4πR，联立解得L＝R，选项C正确；三角形三星系统的线速度大小为v＝＝＝··，选
项D错误．
