文档文本内容
第 3 课时 专题强化：卫星变轨问题 双星模型
目标要求 1.会处理人造卫星的变轨和对接问题。2.掌握双星、多星系统，会解决相关问题。
3.会应用万有引力定律解决星球“瓦解”和黑洞问题。
考点一 卫星的变轨和对接问题
1．卫星发射模型
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上
做匀速圆周运动，有G＝m，如图所示。
(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，G<m，卫星做离心运动进入
椭圆轨道Ⅱ。
(3)在椭圆轨道B点(远地点)，G>m，将做近心运动，再次点火加速，使G＝m，进入圆轨道
Ⅲ。
思考 若使在轨道Ⅲ运行的宇宙飞船返回地面，应如何操作？
答案 使飞船先减速进入椭圆轨道Ⅱ，到达近地点时，使飞船再减速进入近地圆轨道Ⅰ，之
后再减速做近心运动着陆。
2．变轨过程分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v 、v ，在椭圆轨道Ⅱ上过A点和B
1 3
点时速率分别为v 、v ，四个速度关系为v >v>v>v 。
A B A 1 3 B
(2)向心加速度
在A点，轨道Ⅰ上和轨道Ⅱ上的向心加速度关系a ＝a ，在B点，轨道Ⅱ上和轨道Ⅲ上
ⅠA ⅡA
的向心加速度关系 a ＝a ，A、B两点向心加速度关系 a >a 。(均选填“>”“＝”或
ⅡB ⅢB A B
“<”)
(3)周期
卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期T、T、T 的关系为T<T<T。
1 2 3 1 2 3
(4)机械能
在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒。若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E 、
1
E 、E ，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ和从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ都需要点火加速，则机械能关系为
2 3
E < E < E 。
1 2 3例1 (2024·黑龙江哈尔滨市第九中学月考)在发射一颗质量为m的人造地球同步卫星时，
先将其发射到贴近地球表面运行的圆轨道Ⅰ上(离地面高度忽略不计)，再通过一椭圆轨道Ⅱ
变轨后到达距地面高为h的预定圆轨道Ⅲ上。已知它在圆轨道Ⅰ上运行的加速度大小为g，
地球半径为R，卫星在变轨过程中质量不变，则( )
A．卫星在轨道Ⅲ上运行的加速度大小为()2g
B．卫星在轨道Ⅲ上运行的线速度大小为
C．卫星在轨道Ⅲ上的动能大于在轨道Ⅰ上的动能
D．卫星在轨道Ⅲ上的机械能小于在轨道Ⅰ上的机械能
答案 B
解析 卫星在轨道Ⅲ上运行时，根据万有引力提供向心力得G＝ma＝m，在地球表面附近由
mg＝G得GM＝gR2，所以卫星在轨道Ⅲ上的加速度大小为a＝()2g，线速度大小为v＝，故
A错误，B正确；卫星的线速度大小为v＝，卫星在圆轨道上运行的动能为E ＝mv2＝，可
k
知卫星在轨道Ⅲ上的动能小于在轨道Ⅰ上的动能，故C错误；卫星从轨道Ⅰ进入椭圆轨道
Ⅱ要点火加速，机械能增大，从椭圆轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ要再次点火加速，机械能继续增大，
所以卫星在轨道Ⅲ上的机械能大于在轨道Ⅰ上的机械能，故D错误。
例2 北京时间2021年10月16日神舟十三号载人飞船与在轨飞行的天和核心舱顺利实现
径向自主交会对接，整个交会对接过程历时约 6.5小时。为实现神舟十三号载人飞船与空间
站顺利对接，飞船安装有几十台微动力发动机，负责精确地控制它的各种转动和平动。对接
前飞船要先到达和空间站很近的相对静止的某个停泊位置(距空间站200 m)。为到达这个位
置，飞船由惯性飞行状态转入发动机调控状态，下列说法正确的是( )
A．飞船先到空间站同一圆周轨道上同方向运动，在合适位置减速靠近即可
B．飞船先到与空间站圆周轨道垂直的同半径轨道上运动，在合适位置减速靠近即可
C．飞船先到空间站轨道下方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可
D．飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可
答案 D
解析 根据卫星变轨时，由低轨道进入高轨道需要点火加速，反之要减速，所以飞船先到空
间站下方的圆周轨道上同方向运动，在合适的位置加速靠近即可，或者飞船先到空间站轨道
上方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可，故选D。考点二 双星或多星模型
1．双星模型
(1)绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。如图所示。
(2)特点
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝mω2r，＝mω2r。
1 1 1 2 2 2
②两星的周期、角速度相同，即T＝T，ω＝ω。
1 2 1 2
③两星的轨道半径与它们之间的距离的关系为r＋r＝L。
1 2
思考 (1)若两星运行的线速度大小分别为v 、v ，加速度大小分别为a 、a ，质量分别为
1 2 1 2
m、m，则v、a与轨道半径r、两星质量的关系怎样？
1 2
答案 由v＝ωr，mω2r＝mω2r，得＝＝，由a＝ω2r及mω2r＝mω2r 得＝＝。
1 1 2 2 1 1 2 2
(2)两星之间的距离L、周期T与总质量(m＋m)的关系怎样？
1 2
答案 由＝mr＝mr 及r＋r＝L，得＝或m＋m＝。
1 1 2 2 1 2 1 2
例3 (2024·河北石家庄市调研)夜空中我们观测到的亮点，其实大部分并不是单一的恒星，
而是多星系统。在多星系统中，双星系统又是最常见的，图甲为绕连线上的某点做周期相同
的匀速圆周运动的两颗中子星组成的双星系统，其抽象示意图如图乙所示，若两中子星的质
量之比m ∶m ＝k∶1。则( )
P Q
A．根据图乙可以判断出k>1
B．若P、Q的角速度和它们之间的距离一定，则P、Q做圆周运动的线速度大小之和一定
C．P的线速度大小与P、Q之间的距离成正比
D．仅增大P、Q之间的距离，P、Q运行的周期变小
答案 B
解析 设P、Q之间的距离为L，P做圆周运动的轨道半径为r，Q做圆周运动的轨道半径为
1
r ，角速度为ω，则有G＝m ω2r ，G＝m ω2r ，联立可得＝＝，由于r>r ，则k<1，故A错
2 P 1 Q 2 1 2
误；根据线速度与角速度之间的关系有v ＝ωr ，v ＝ωr ，r ＋r ＝L，则v ＋v ＝ω(r ＋r)
P 1 Q 2 1 2 P Q 1 2
＝ωL，可知，若P、Q的角速度和它们之间的距离一定，则P、Q做圆周运动的线速度大小之和一定，故B正确；根据G＝m ，可得v ＝＝，故C错误；根据G＝m r ，G＝m r ，可
P P P 1 Q 2
得T＝2π，若仅增大P、Q之间的距离，则P、Q运行的周期将变大，故D错误。
2．多星模型
所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度
或周期相同。常见的多星模型及其规律：
①＋＝ma
向
常见的三星模型
②×cos 30°×2＝ma
向
①×cos 45°×2＋＝ma
向
常见的四星模型
②×cos 30°×2＋＝ma
向
例4 (2023·广东珠海市调研)宇宙中存在一些离其他恒星较远的，由质量相等的三颗星组
成的三星系统，可忽略其他星体对三星系统的影响。稳定的三星系统存在两种基本形式：一
种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为 R的轨道上运行，如图甲所
示，周期为T；另一种是三颗星位于边长为r的等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形
1
的外接圆运行，如图乙所示，周期为T。若每颗星的质量都相同，则T∶T 为( )
2 1 2
A. B.
C. D.
答案 D
解析 第一种形式下，星体A受到星体B和星体C对其的万有引力，它们的合力充当向心
力，则G＋G＝mR，解得T ＝4πR，第二种形式下，星体之间的距离为r，那么圆周运动的
1
半径为R′＝，星体A所受合力F ＝2G·cos 30°，根据合力提供向心力有2G·cos 30°＝m·，
合
解得T＝2πr，则T∶T＝，故选D。
2 1 2考点三 星球“瓦解”问题 黑洞问题
1．星球的瓦解问题
当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会
“飘起来”，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是“赤道”上的物体所受星球的引力恰
好提供向心力，即＝mω2R，得ω＝。当ω>时，星球瓦解，当ω<时，星球稳定运行。
2．黑洞
黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞
运行的天体的运动规律间接研究黑洞。当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)
超过光速时，该天体就是黑洞。
例5 2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，
其自转周期 T＝5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为
6.67×10－11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
答案 C
解析 毫秒脉冲星稳定自转，万有引力提供向心力，则有G≥mr，又知M＝ρ·πr3，
整理得密度ρ≥＝ kg/m3
≈5.2×1015 kg/m3，故选C。
例6 科学研究表明，当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)大于光速时，该
天体就是黑洞。已知某天体与地球的质量之比为k，地球的半径为R，地球的环绕速度(第一
宇宙速度)为v，光速为c，则要使该天体成为黑洞，其半径应小于( )
1
A. B. C. D.
答案 D
解析 地球的第一宇宙速度为v＝，则黑洞的第一宇宙速度为v＝，并且有v>c，
1 2 2
联立解得r<，
所以D正确，A、B、C错误。
课时精练
1.(2023·江苏南京市期中)地球、火星的公转轨道可近似为如图所示的圆，“天问一号”火星
探测器脱离地球引力束缚后通过霍曼转移轨道飞往火星，霍曼转移轨道为椭圆轨道的一部分，
在其近日点、远日点处分别与地球、火星轨道相切。若仅考虑太阳引力的影响，则“天问一号”在飞往火星的过程中( )
A．速度变大 B．速度不变
C．加速度变小 D．加速度不变
答案 C
解析 “天问一号”在飞往火星的过程中，从近日点到远日点速度变小，故A、B错误；
根据G＝ma可知，“天问一号”与太阳之间的距离变大，加速度变小，故C正确，D错误。
2．(2023·山东济南市模拟)2022年11月12日，天舟五号与空间站天和核心舱成功对接，此
次发射任务从点火发射到完成交会对接，全程仅用2个小时，创世界最快交会对接纪录，标
志着我国航天交会对接技术取得了新突破。在交会对接的最后阶段，天舟五号与空间站处于
同一轨道上同向运动，两者的运行轨道均视为圆周。要使天舟五号在同一轨道上追上空间站
实现对接，天舟五号喷射燃气的方向可能正确的是( )
答案 A
解析 要想使天舟五号在与空间站的同一轨道上对接，则需要使天舟五号加速，与此同时要
想不脱离原轨道，根据F＝m，则必须要增加向心力，即喷气时产生的推力一方面有沿轨道
向前的分量，另一方面还要有指向地心的分量，而因喷气产生的推力方向与喷气方向相反，
则图A是正确的。
3．(2023·河南南阳市期中)2021年6月17日，神舟十二号载人飞船与天和核心舱成功对接，
对接过程如图所示。天和核心舱处于半径为r 的圆轨道Ⅲ上；神舟十二号飞船处于半径为r
3 1
的圆轨道Ⅰ上，运行周期为T ，经过A点时，通过变轨操作后，沿椭圆轨道Ⅱ运动到B处
1
与核心舱对接，则神舟十二号飞船( )A．沿轨道Ⅰ运行的周期大于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行的周期
B．沿轨道Ⅱ从A运动到B的过程中，机械能增大
C．在轨道Ⅰ上的速度小于沿轨道Ⅱ运动经过B点的速度
D．沿轨道Ⅱ运行的周期为T＝T
2 1
答案 D
解析 对神舟十二号飞船，由万有引力提供向心力可得G＝mr，解得T＝2π，由于r<r，神
1 3
舟十二号飞船沿轨道Ⅰ运行的周期小于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行的周期，A错误；飞船沿轨
道Ⅱ从A运动到B的过程中，机械能守恒，B错误；对神舟十二号飞船，由万有引力提供向
心力可得G＝m，解得v＝，因为r<r ，则有飞船在轨道Ⅰ上的速度大于沿轨道Ⅲ运行的速
1 3
度，飞船从轨道Ⅱ运动到B处时加速做离心运动进入轨道Ⅲ，因此在轨道Ⅰ上的速度大于
沿轨道Ⅱ运动经过B点的速度，C错误；由开普勒第三定律可得＝，解得T＝T，D正确。
2 1
4．(2023·广东广州市第二中学三模)天问一号火星探测器搭乘长征五号遥四运载火箭成功发
射意味着中国航天开启了走向深空的新旅程。由着陆巡视器和环绕器组成的天问一号经过如
图所示的发射、地火转移、火星捕获、火星停泊和离轨着陆等阶段，则( )
A．天问一号发射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度
B．天问一号在“火星捕获段”运行的周期小于它在“火星停泊段”运行的周期
C．天问一号从图示“火星捕获段”需在合适位置减速才能运动到“火星停泊段”
D．着陆巡视器从图示“离轨着陆段”至着陆到火星表面的全过程中，机械能守恒
答案 C
解析 天问一号要到达火星，需要脱离地球的引力束缚，发射速度大于第二宇宙速度，故A
错误；根据开普勒第三定律k＝，在“火星捕获段”运行的半长轴大，故天问一号在“火星
捕获段”运行的周期大于它在“火星停泊段”运行的周期，故B错误；天问一号从“火星
捕获段”需在近火点减速才能运动到“火星停泊段”，故C正确；着陆巡视器从“离轨着陆段”至着陆到火星表面的全过程中，重力势能减小，动能减小，机械能不守恒，故 D错
误。
5．(多选)经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距
较近的恒星组成，每颗恒星的大小远小于两星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天
体。两颗质量分别为m 、m 的星体A、B组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕
1 2
连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星体之间的距离为L，质量之比为
m∶m＝3∶2。则可知( )
1 2
A．A与B做圆周运动的角速度之比为2∶3
B．A与B做圆周运动的线速度大小之比为2∶3
C．A做圆周运动的半径为L
D．B做圆周运动的半径为L
答案 BC
解析 A、B双星靠相互间的万有引力提供向心力，相等的时间内转过相同的角度，故角速
度相等，A项错误；A与B所需向心力大小相等，有mω2r ＝mω2r ，即mr ＝mr ，因为
1 1 2 2 1 1 2 2
A、B质量之比为m∶m ＝3∶2，则轨道半径之比r∶r ＝2∶3，所以A做圆周运动的半径
1 2 1 2
为L，B做圆周运动的半径为L，C项正确，D项错误；根据v＝ωr可知，角速度相等，A
与B做圆周运动的线速度大小之比等于轨道半径之比为2∶3，B项正确。
6.(多选)2019年人类天文史上首张黑洞图片正式公布。在宇宙中当一颗恒星靠近黑洞时，黑
洞和恒星可以相互绕行，从而组成双星系统。在相互绕行的过程中，质量较大的恒星上的物
质会逐渐被吸入到质量较小的黑洞中，从而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的过程也被称为“潮汐
瓦解事件”。天鹅座X－1就是一个由黑洞和恒星组成的双星系统，黑洞和恒星以它们连线
上的某一点为圆心做匀速圆周运动，如图所示。在刚开始吞噬的较短时间内，恒星和黑洞之
间的距离不变，则在这段时间内，下列说法正确的是( )
A．黑洞和恒星之间的万有引力变大
B．黑洞的角速度变大
C．恒星的线速度变大
D．黑洞的线速度变大
答案 AC
解析 假设恒星和黑洞的质量分别为M、m，环绕半径分别为R、r，且m<M，两者之间的
距离为L，则根据万有引力提供向心力有G＝F ，恒星和黑洞之间的距离不变，随着黑洞
向
吞噬恒星，在刚开始吞噬的较短时间内，M与m的乘积变大，黑洞和恒星之间的万有引力变大，故A正确；黑洞和恒星的角速度相等，根据万有引力提供向心力有 G＝mω2r＝
Mω2R，其中R＋r＝L，解得黑洞的角速度ω＝，由于(M＋m)和L均不变，则角速度不变，
故B错误；根据mω2r＝Mω2R，得＝，因为M减小，m增大，所以R增大，r减小，由v
恒
＝ωR，v ＝ωr，可得v 变大，v 变小，故C正确，D错误。
黑 恒 黑
7．一近地卫星的运行周期为T ，地球的自转周期为T，则地球的平均密度与地球不因自转
0
而瓦解的最小密度之比为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 对近地卫星，有 G＝m()2R，地球的质量M ＝ρ·πR3，联立解得ρ ＝，以地球赤道处
1 1 1
一质量为m 的物体为研究对象，只有当它受到的万有引力大于等于它随地球一起旋转所需
0
的向心力时，地球才不会瓦解，设地球不因自转而瓦解的最小密度为ρ ，则有G＝m()2R，
2 0
M＝ρ·πR3，联立解得ρ＝，所以＝，故选D。
2 2 2
8．(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原
的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转
动12圈，将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、引力常量并利用牛顿
力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )
A．质量之积 B．质量之和
C．速率之和 D．各自的自转角速度
答案 BC
解析 双中子星做匀速圆周运动的频率f＝12 Hz(周期T＝＝ s)，由万有引力提供向心力，
可得＝mr(2πf)2，G＝mr(2πf)2，
1 1 2 2
r＋r＝r＝400 km
1 2
联立解得 m ＋m ＝，质量之和可以估算；由v＝2πfr可得v ＋v ＝2πfr ＋2πfr ＝2πfr，速率
1 2 1 2 1 2
之和可以估算；不能得出质量之积和各自的自转角速度，故选B、C。
9.(2024·江苏南通市开学考)如图所示，A、B、C三颗星体分别位于等边三角形的三个顶点上，
在相互之间的万有引力作用下，绕圆心O在三角形所在的平面内做匀速圆周运动，r ＝r
BO CO
＝2r 。忽略其他星体对它们的作用，则下列关系正确的是( )
AO
A．星体的线速度大小v ＝2v
A B
B．星体的加速度大小a ＝a
A BC．星体所受合力大小F＝F
A B
D．星体的质量m ＝m
A B
答案 B
解析 三星系统是三颗星都绕同一圆心O做匀速圆周运动，由此它们转动的角速度相同，
由线速度与角速度的关系公式v＝ωr，可知星体的线速度大小v ＝v ，A错误；由向心加速
A B
度公式a＝ω2r，可得星体的加速度大小a ＝ωr ，a ＝ωr ＝2ωr ，则有a ＝a ，B正确；
A AO B BO AO A B
三颗星体都绕同一圆心O做匀速圆周运动，因此可得星体A、B受力如图所示，由图可知，
A、B间的万有引力大小等于A、C间的万有引力大小，B、C间的万有引力大小小于A、B
间的万有引力大小，分力的夹角相等，因此F>F ，C错误；
A B
由图可知，A、B间的万有引力大小等于A、C间的万有引力大小，可知m ＝m ，B、C间的
B C
万有引力大小小于A、B间的万有引力大小，可知m >m ，则有m >m ，D错误。
A C A B
10．2021年3月24日，科学家对人类首次“看见”的那个黑洞，成功绘制出偏振图像，已
知引力常量为G。试解决如下问题：
(1)若天文学家观测到一天体绕该黑洞做半径为r、周期为T的匀速圆周运动，求黑洞的质量
M；
(2)黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸(光速为c＝3×108 m/s)，
若某黑洞的半径R约30 km，质量M和半径R的关系满足＝，求该黑洞的表面重力加速度大
小。
答案 (1) (2)1.5×1012 m/s2
解析 (1)根据G＝mr
可得M＝
(2)根据G＝mg，＝
0
解得g＝＝ m/s2＝1.5×1012 m/s2。
11.如图为发射卫星的示意图，先将卫星发射到半径为 r ＝r的圆轨道上做匀速圆周运动，到
1
A点时使卫星加速进入椭圆轨道，到椭圆轨道的远地点B点时，再次改变卫星的速度，使卫
星进入半径为r＝2r的圆轨道做匀速圆周运动。已知卫星在椭圆轨道上时到地心的距离与速
2
度的乘积为定值，卫星在椭圆轨道上A点时的速度大小为v，卫星的质量为m，地球的质量
为m ，引力常量为G，则发动机在A点对卫星做的功与在B点对卫星做的功之差为(不计卫
地
星的质量变化)( )A.mv2＋ B.mv2－
C.mv2＋ D.mv2－
答案 D
解析 当卫星在r ＝r的圆轨道上运行时，有G＝m，解得在此圆轨道上运行时通过A点的
1
速度大小为v＝，所以发动机在A点对卫星做的功为W＝mv2－mv2＝mv2－；当卫星在r＝
0 1 0 2
2r的圆轨道上运行时，有G＝m，解得在此圆轨道上运行时通过B点的速度大小为v′＝，
0
而根据卫星在椭圆轨道上时到地心的距离与速度的乘积为定值可知，在椭圆轨道上通过 B
点时的速度为v ＝v＝v，故发动机在B点对卫星做的功为W ＝mv′2－mv2＝－mv2，所以
1 2 0 1
W－W＝mv2－，故选D。
1 2
