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第 3 课时 专题强化：卫星变轨问题 双星模型
目标要求 1.会处理人造卫星的变轨和对接问题。2.掌握双星、多星系统，会解决相关问题。
3.会应用万有引力定律解决星球“瓦解”和黑洞问题。
考点一 卫星的变轨和对接问题
1．卫星发射模型
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上
做匀速圆周运动，有G＝m，如图所示。
(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，Gm，将做近心运动，再次点火加速，使G＝m，进入圆轨道
Ⅲ。
思考 若使在轨道Ⅲ运行的宇宙飞船返回地面，应如何操作？
答案 使飞船先减速进入椭圆轨道Ⅱ，到达近地点时，使飞船再减速进入近地圆轨道Ⅰ，之
后再减速做近心运动着陆。
2．变轨过程分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v 、v ，在椭圆轨道Ⅱ上过A点和B
1 3
点时速率分别为v 、v ，四个速度关系为v >v>v>v 。
A B A 1 3 B
(2)向心加速度
在A点，轨道Ⅰ上和轨道Ⅱ上的向心加速度关系a ＝a ，在B点，轨道Ⅱ上和轨道Ⅲ上
ⅠA ⅡA
的向心加速度关系 a ＝a ，A、B两点向心加速度关系 a >a 。(均选填“>”“＝”或
ⅡB ⅢB A B
“<”)
(3)周期
卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期T、T、T 的关系为T1
B．若P、Q的角速度和它们之间的距离一定，则P、Q做圆周运动的线速度大小之和一定
C．P的线速度大小与P、Q之间的距离成正比
D．仅增大P、Q之间的距离，P、Q运行的周期变小
答案 B
解析 设P、Q之间的距离为L，P做圆周运动的轨道半径为r，Q做圆周运动的轨道半径为
1
r ，角速度为ω，则有G＝m ω2r ，G＝m ω2r ，联立可得＝＝，由于r>r ，则k<1，故A错
2 P 1 Q 2 1 2
误；根据线速度与角速度之间的关系有v ＝ωr ，v ＝ωr ，r ＋r ＝L，则v ＋v ＝ω(r ＋r)
P 1 Q 2 1 2 P Q 1 2
＝ωL，可知，若P、Q的角速度和它们之间的距离一定，则P、Q做圆周运动的线速度大小之和一定，故B正确；根据G＝m ，可得v ＝＝，故C错误；根据G＝m r ，G＝m r ，可
P P P 1 Q 2
得T＝2π，若仅增大P、Q之间的距离，则P、Q运行的周期将变大，故D错误。
2．多星模型
所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度
或周期相同。常见的多星模型及其规律：
①＋＝ma
向
常见的三星模型
②×cos 30°×2＝ma
向
①×cos 45°×2＋＝ma
向
常见的四星模型
②×cos 30°×2＋＝ma
向
例4 (2023·广东珠海市调研)宇宙中存在一些离其他恒星较远的，由质量相等的三颗星组
成的三星系统，可忽略其他星体对三星系统的影响。稳定的三星系统存在两种基本形式：一
种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为 R的轨道上运行，如图甲所
示，周期为T；另一种是三颗星位于边长为r的等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形
1
的外接圆运行，如图乙所示，周期为T。若每颗星的质量都相同，则T∶T 为( )
2 1 2
A. B.
C. D.
答案 D
解析 第一种形式下，星体A受到星体B和星体C对其的万有引力，它们的合力充当向心
力，则G＋G＝mR，解得T ＝4πR，第二种形式下，星体之间的距离为r，那么圆周运动的
1
半径为R′＝，星体A所受合力F ＝2G·cos 30°，根据合力提供向心力有2G·cos 30°＝m·，
合
解得T＝2πr，则T∶T＝，故选D。
2 1 2考点三 星球“瓦解”问题 黑洞问题
1．星球的瓦解问题
当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会
“飘起来”，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是“赤道”上的物体所受星球的引力恰
好提供向心力，即＝mω2R，得ω＝。当ω>时，星球瓦解，当ω<时，星球稳定运行。
2．黑洞
黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞
运行的天体的运动规律间接研究黑洞。当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)
超过光速时，该天体就是黑洞。
例5 2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，
其自转周期 T＝5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为
6.67×10－11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
答案 C
解析 毫秒脉冲星稳定自转，万有引力提供向心力，则有G≥mr，又知M＝ρ·πr3，
整理得密度ρ≥＝ kg/m3
≈5.2×1015 kg/m3，故选C。
例6 科学研究表明，当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)大于光速时，该
天体就是黑洞。已知某天体与地球的质量之比为k，地球的半径为R，地球的环绕速度(第一
宇宙速度)为v，光速为c，则要使该天体成为黑洞，其半径应小于( )
1
A. B. C. D.
答案 D
解析 地球的第一宇宙速度为v＝，则黑洞的第一宇宙速度为v＝，并且有v>c，
1 2 2
联立解得r<，
所以D正确，A、B、C错误。
课时精练
1.(2023·江苏南京市期中)地球、火星的公转轨道可近似为如图所示的圆，“天问一号”火星
探测器脱离地球引力束缚后通过霍曼转移轨道飞往火星，霍曼转移轨道为椭圆轨道的一部分，
在其近日点、远日点处分别与地球、火星轨道相切。若仅考虑太阳引力的影响，则“天问一号”在飞往火星的过程中( )
A．速度变大 B．速度不变
C．加速度变小 D．加速度不变
答案 C
解析 “天问一号”在飞往火星的过程中，从近日点到远日点速度变小，故A、B错误；
根据G＝ma可知，“天问一号”与太阳之间的距离变大，加速度变小，故C正确，D错误。
2．(2023·山东济南市模拟)2022年11月12日，天舟五号与空间站天和核心舱成功对接，此
次发射任务从点火发射到完成交会对接，全程仅用2个小时，创世界最快交会对接纪录，标
志着我国航天交会对接技术取得了新突破。在交会对接的最后阶段，天舟五号与空间站处于
同一轨道上同向运动，两者的运行轨道均视为圆周。要使天舟五号在同一轨道上追上空间站
实现对接，天舟五号喷射燃气的方向可能正确的是( )
答案 A
解析 要想使天舟五号在与空间站的同一轨道上对接，则需要使天舟五号加速，与此同时要
想不脱离原轨道，根据F＝m，则必须要增加向心力，即喷气时产生的推力一方面有沿轨道
向前的分量，另一方面还要有指向地心的分量，而因喷气产生的推力方向与喷气方向相反，
则图A是正确的。
3．(2023·河南南阳市期中)2021年6月17日，神舟十二号载人飞船与天和核心舱成功对接，
对接过程如图所示。天和核心舱处于半径为r 的圆轨道Ⅲ上；神舟十二号飞船处于半径为r
3 1
的圆轨道Ⅰ上，运行周期为T ，经过A点时，通过变轨操作后，沿椭圆轨道Ⅱ运动到B处
1
与核心舱对接，则神舟十二号飞船( )A．沿轨道Ⅰ运行的周期大于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行的周期
B．沿轨道Ⅱ从A运动到B的过程中，机械能增大
C．在轨道Ⅰ上的速度小于沿轨道Ⅱ运动经过B点的速度
D．沿轨道Ⅱ运行的周期为T＝T
2 1
答案 D
解析 对神舟十二号飞船，由万有引力提供向心力可得G＝mr，解得T＝2π，由于rF ，C错误；
A B
由图可知，A、B间的万有引力大小等于A、C间的万有引力大小，可知m ＝m ，B、C间的
B C
万有引力大小小于A、B间的万有引力大小，可知m >m ，则有m >m ，D错误。
A C A B
10．2021年3月24日，科学家对人类首次“看见”的那个黑洞，成功绘制出偏振图像，已
知引力常量为G。试解决如下问题：
(1)若天文学家观测到一天体绕该黑洞做半径为r、周期为T的匀速圆周运动，求黑洞的质量
M；
(2)黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸(光速为c＝3×108 m/s)，
若某黑洞的半径R约30 km，质量M和半径R的关系满足＝，求该黑洞的表面重力加速度大
小。
答案 (1) (2)1.5×1012 m/s2
解析 (1)根据G＝mr
可得M＝
(2)根据G＝mg，＝
0
解得g＝＝ m/s2＝1.5×1012 m/s2。
11.如图为发射卫星的示意图，先将卫星发射到半径为 r ＝r的圆轨道上做匀速圆周运动，到
1
A点时使卫星加速进入椭圆轨道，到椭圆轨道的远地点B点时，再次改变卫星的速度，使卫
星进入半径为r＝2r的圆轨道做匀速圆周运动。已知卫星在椭圆轨道上时到地心的距离与速
2
度的乘积为定值，卫星在椭圆轨道上A点时的速度大小为v，卫星的质量为m，地球的质量
为m ，引力常量为G，则发动机在A点对卫星做的功与在B点对卫星做的功之差为(不计卫
地
星的质量变化)( )A.mv2＋ B.mv2－
C.mv2＋ D.mv2－
答案 D
解析 当卫星在r ＝r的圆轨道上运行时，有G＝m，解得在此圆轨道上运行时通过A点的
1
速度大小为v＝，所以发动机在A点对卫星做的功为W＝mv2－mv2＝mv2－；当卫星在r＝
0 1 0 2
2r的圆轨道上运行时，有G＝m，解得在此圆轨道上运行时通过B点的速度大小为v′＝，
0
而根据卫星在椭圆轨道上时到地心的距离与速度的乘积为定值可知，在椭圆轨道上通过 B
点时的速度为v ＝v＝v，故发动机在B点对卫星做的功为W ＝mv′2－mv2＝－mv2，所以
1 2 0 1
W－W＝mv2－，故选D。
1 2
