文档内容
第 13 讲 万有引力与宇宙航行
题型一 万有引力定律及应用
题型二 人造卫星 宇宙航行
题型三 卫星变轨问题
题型四 双星多星问题
课标要求 命题预测 重难点
1.理解开普勒行星运动定
律和万有引力定律，并会
用来解决相关问题。 生活实践类：地球不同纬度重
力加速度的比较
2.掌握计算天体质量和密
学习探究类：开普勒第三定律 （1）掌握计算天体质量和密度的方法。。
度的方法。
的应用，利用“重力加速度 （2）会比较卫星运行的各物理量之间的关
3.会比较卫星运行的各物 法”、“环绕法”计算天体的 系。。
理量之间的关系。 质量和密度，卫星运动参量的 （3）会分析天体的“追及”问题。
分析与计算，人造卫星，宇宙
4.理解三种宇宙速度，并 速度，天体的“追及”问题，
会求解第一宇宙速度的大 卫星的变轨和对接问题，双星
小。 或多星模型
5.会分析天体的“追及”
问题。
题型一 万有引力定律及应用
【典型例题剖析】
【例1】 (2023·广东清远市南阳中学检测)如图所示，是某小行星绕太阳运动的椭圆轨道，M、N、P是小行星依次经过的三个位置，F 、F 为椭圆的两个焦点。小行星由M到N和由N到P的过程中，通
1 2
过的路程相等，小行星与太阳中心的连线扫过的面积分别为S 和S 。已知由M到N过程中，太阳的引
1 2
力对小行星做正功。下列判断正确的是( )
A．太阳位于焦点F 处
1
B．S>S
1 2
C．在M和N处，小行星的动能E >E
kM kN
D．在N和P处，小行星的加速度a >a
N P
【高考考点对接】
1．开普勒三大定律
定律 内容 图示或公式
开普勒第一定律 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭
(轨道定律) 圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律 对任意一个行星来说，它与太阳的连
(面积定律) 线在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它 ＝k，k是一个与行星无关
(周期定律) 的公转周期的二次方的比都相等 的常量
2．万有引力定律
(1)内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 和m 的
1 2
乘积成正比、与它们之间距离 r的二次方成反比。即 F＝G，G为引力常量，通常取 G＝6.67×10－11
N·m2/kg2，由物理学家卡文迪什测定。
(2)适用条件
①公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
②质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。
2．星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)
(1)地球表面附近的重力加速度大小g(不考虑地球自转)：有mg＝G，得g＝。
(2)地球上空的重力加速度大小g′
地球上空距离地球中心r＝R＋h处由mg′＝，得g′＝。【解题能力提升】
万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F ，如图所
向
示。
(1)在赤道上：
G＝mg ＋mω2R。
1
(2)在两极上：G＝mg 。
0
(3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F 的矢量和。
向
越靠近两极，向心力越小，g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于
重力，即＝mg。
【跟踪变式训练】
【变式1-1】 (2023·江苏无锡市期末)2021年2月，我国首次火星探测任务中探测器“天问一号”成功
进入周期为T的大椭圆环火轨道。14天后，“天问一号”成功实施近火制动，经过极轨转移轨道(图中
未画出)，进入近火点高度(离火星表面的高度)为h、远火点高度为H、周期为T的火星停泊轨道。已知
火星半径为R。则大椭圆环火轨道半长轴为( )
A.(H＋h) B.(H＋h＋2R)
C. (H＋h) D. (H＋h＋2R)
【变式1-2】 (2020·全国卷Ⅰ·15)火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火
星表面与在地球表面受到的引力的比值约为( )
A．0．2 B．0．4 C．2．0 D．2．5【变式1-3】 (2024·湖北省模拟)中国科学院沈阳自动化研究所主持研制的“海斗一号”在无缆自主模
式下刷新了中国下潜深度纪录，最大下潜深度超过了10 000米，首次实现了无缆无人潜水器万米坐底
并连续拍摄高清视频影像。若把地球看成质量分布均匀的球体，且球壳对球内任一质点的万有引力为
零，忽略地球的自转，则下列关于“海斗一号”下潜所在处的重力加速度大小g和下潜深度h的关系图
像可能正确的是( )
题型二 人造卫星 宇宙航行
【典型例题剖析】
【例2】 (多选)(2024·广东江门市联考)某品牌推出了全球首款支持卫星通信的智能手机，该手机的卫
星通信功能，可以让我们在无信号环境下，通过天通一号卫星与外界进行联系。目前我国已发射有天
通一号01、02、03三颗静止轨道卫星，天通一号卫星的运行轨道距地球表面的高度约为地球半径的5.6
倍，关于该系列卫星，下列说法正确的是( )
A．不同质量的天通一号卫星的速率不相等
B．运行速度都小于7.9 km/s
C．可以在北京的上空保持相对静止
D．向心加速度约为地球表面重力加速度的
【高考考点对接】
1．基本公式
(1)线速度大小：由G＝m得v＝。
(2)角速度：由G＝mω2r得ω＝。
(3)周期：由G＝m()2r得T＝2π。
(4)向心加速度：由G＝ma 得a＝。
n n
结论：同一中心天体的不同卫星，轨道半径r越大，v、ω、a 越小，T越大，即越高越慢。
n
2．“黄金代换式”的应用
忽略中心天体自转影响，则有mg＝G，整理可得GM＝gR2。在引力常量G和中心天体质量M未知时，
可用gR2替换GM。
3．人造卫星
卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星中的静止卫
星的轨道是赤道轨道。(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
(2)同步卫星
①静止卫星的轨道平面与赤道平面共面，且与地球自转的方向相同。
②周期与地球自转周期相等，T＝24 h。
③高度固定不变，h＝3.6×107 m。
④运行速率约为v＝3.1 km/s。
(3)近地卫星：轨道在地球表面附近的卫星，其轨道半径r＝R(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度v
＝7.9 km/s(人造地球卫星做匀速圆周运动的最大运行速度)，T＝85 min(人造地球卫星的最小周期)。
注意：近地卫星可能为极地卫星，也可能为赤道卫星。
【解题能力提升】
同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较
如图所示，a为近地卫星，轨道半径为r ；b为赤道面内的地球同步卫星，轨道半径为r ；c为赤道上随地
1 2
球自转的物体，轨道半径为r。
3
近地卫星(r、ω、v、 同步卫星(r、 赤道上随地球自转的
1 1 1 2
比较项目
a) ω、v、a) 物体(r、ω、v、a)
1 2 2 2 3 3 3 3
向心力来源 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力
轨道半径 r>r＝r
2 1 3
角速度 ω>ω＝ω
1 2 3
线速度 v>v>v
1 2 3
向心加速度 a>a>a
1 2 3【跟踪变式训练】
【变式2-1】 (2023·山东卷·3)牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间
(如地球与月球)的引力具有相同的性质、且都满足F∝。已知地月之间的距离r大约是地球半径的60倍，
地球表面的重力加速度为g，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为( )
A．30π B．30π
C．120π D．120π
【变式2-2】 (2023·湖北省联考)中国火星探测器“天问一号”成功发射后，沿地火转移轨道飞行七个
多月，于2021年2月到达火星附近，要通过制动减速被火星引力俘获，才能进入环绕火星的轨道飞行。
已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球半径约为火星半径的2倍，下列说法正确的是( )
A．若在火星上发射一颗绕火星运动的近地卫星，其速度至少需要7.9 km/s
B．“天问一号”探测器的发射速度一定大于7.9 km/s，小于11.2 km/s
C．火星与地球的第一宇宙速度之比为1∶
D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度
【变式2-3】 (2023·湖北卷·2)2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一
条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，
火星与地球的公转轨道半径之比约为3∶2，如图所示。根据以上信息可以得出( )
A．火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8
B．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大
C．火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9∶4
D．下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前
题型三 卫星变轨问题
【典型例题剖析】
【例3】(2024·黑龙江哈尔滨市第九中学月考)在发射一颗质量为m的人造地球同步卫星时，先将其发射
到贴近地球表面运行的圆轨道Ⅰ上(离地面高度忽略不计)，再通过一椭圆轨道Ⅱ变轨后到达距地面高为
h的预定圆轨道Ⅲ上。已知它在圆轨道Ⅰ上运行的加速度大小为g，地球半径为R，卫星在变轨过程中
质量不变，则( )A．卫星在轨道Ⅲ上运行的加速度大小为()2g
B．卫星在轨道Ⅲ上运行的线速度大小为
C．卫星在轨道Ⅲ上的动能大于在轨道Ⅰ上的动能
D．卫星在轨道Ⅲ上的机械能小于在轨道Ⅰ上的机械能
【高考考点对接】
1．卫星发射模型
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周
运动，有G＝m，如图所示。
(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，Gm，将做近心运动，再次点火加速，使G＝m，进入圆轨道Ⅲ。
2．变轨过程分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v、v，在椭圆轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分
1 3
别为v 、v ，四个速度关系为v >v>v>v 。
A B A 1 3 B
(2)向心加速度
在A点，轨道Ⅰ上和轨道Ⅱ上的向心加速度关系a ＝a ，在B点，轨道Ⅱ上和轨道Ⅲ上的向心加速度
ⅠA ⅡA
关系a ＝a ，A、B两点向心加速度关系a >a 。(均选填“>”“＝”或“<”)
ⅡB ⅢB A B
(3)周期
卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期T、T、T 的关系为T1
B．若P、Q的角速度和它们之间的距离一定，则P、Q做圆周运动的线速度大小之和一定
C．P的线速度大小与P、Q之间的距离成正比
D．仅增大P、Q之间的距离，P、Q运行的周期变小
【高考考点对接】
1．双星模型
(1)绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。如图所示。
(2)特点
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝mω2r，＝mω2r。
1 1 1 2 2 2
②两星的周期、角速度相同，即T＝T，ω＝ω。
1 2 1 2
③两星的轨道半径与它们之间的距离的关系为r＋r＝L。
1 2
【解题能力提升】
①＋＝ma
向
常见的三星模型
②×cos 30°×2＝ma
向
常见的四星模型 ①×cos 45°×2＋＝ma
向②×cos 30°×2＋＝ma
向
【跟踪变式训练】
【变式4-1】 (2023·广东珠海市调研)宇宙中存在一些离其他恒星较远的，由质量相等的三颗星组成的
三星系统，可忽略其他星体对三星系统的影响。稳定的三星系统存在两种基本形式：一种是三颗星位
于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的轨道上运行，如图甲所示，周期为T ；另一种是
1
三颗星位于边长为r的等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆运行，如图乙所示，周期为
T。若每颗星的质量都相同，则T∶T 为( )
2 1 2
A. B.
C. D.
【变式4-2】 科学研究表明，当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)大于光速时，该天
体就是黑洞。已知某天体与地球的质量之比为 k，地球的半径为R，地球的环绕速度(第一宇宙速度)为
v，光速为c，则要使该天体成为黑洞，其半径应小于( )
1
A. B. C. D.
【变式4-3】 (多选)经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距
较近的恒星组成，每颗恒星的大小远小于两星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。两颗
质量分别为m 、m 的星体A、B组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期
1 2
相同的匀速圆周运动。现测得两颗星体之间的距离为L，质量之比为m∶m＝3∶2。则可知( )
1 2
A．A与B做圆周运动的角速度之比为2∶3
B．A与B做圆周运动的线速度大小之比为2∶3
C．A做圆周运动的半径为L
D．B做圆周运动的半径为L1．火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
2．(2024·山东青岛市调研)编号为2020FD2的小行星是中国科学院紫金山天文台发现的一颗近地小行星。
科学家们观测到它的轨道如图所示，轨道的半长轴大于地球轨道半径，小于木星轨道半径，近日点在
水星轨道内，远日点在木星轨道外。已知木星绕太阳公转的周期为11．86年，关于该小行星，下列说
法正确的是( )
A．在近日点加速度比远日点小
B．在近日点运行速度比远日点小
C．公转周期一定小于11.86年
D．在近日点的机械能比远日点小
3．位于贵州的“中国天眼”(FAST)可以测量地球与木星之间的距离。当FAST接收到来自木星的光线传播
方向恰好与地球公转线速度方向相同时，测得地球与木星的距离是地球与太阳距离的k倍。若地球和木
星绕太阳的运动均视为匀速圆周运动且轨道共面，则可知木星的公转周期为( )
A． 年 B． 年
C． 年 D． 年
4．(多选)关于地球同步卫星，下列说法正确的是( )
A．它的周期与地球自转周期相同
B．它的周期、高度、速度大小都是一定的
C．它的速度大小随高度的变化而变化，但周期都是一定的
D．我国发射的同步通信卫星可以定点在北京上空
5．设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道。该卫星与月球相比，一定相等的是( )
A．质量
B．向心力大小
C．向心加速度大小
D．受到地球的万有引力大小
6．(多选)(2023·北京市海淀区期中)我国航天事业处于世界领先地位。我国自行研制的风云二号气象卫星和
神舟号飞船都绕地球做匀速圆周运动。风云二号离地面的高度是36 000 km，神舟号飞船离地面的高度
是340 km。以下说法中正确的是( )
A．它们的线速度都大于第一宇宙速度
B．风云二号的向心加速度小于神舟号飞船的向心加速度
C．风云二号的线速度大于神舟号飞船的线速度
D．风云二号的周期大于神舟号飞船的周期
7．(2023·浙江6月选考·9)木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为1∶2∶4。木卫三
周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r的n倍。月球绕地球公转周期为T，则( )
0
A．木卫一轨道半径为r
B．木卫二轨道半径为r
C．周期T与T 之比为
0
D．木星质量与地球质量之比为n3
8．(2023·河南南阳市期中)2021年6月17日，神舟十二号载人飞船与天和核心舱成功对接，对接过程如图
所示。天和核心舱处于半径为r 的圆轨道Ⅲ上；神舟十二号飞船处于半径为r 的圆轨道Ⅰ上，运行周
3 1
期为T ，经过A点时，通过变轨操作后，沿椭圆轨道Ⅱ运动到B处与核心舱对接，则神舟十二号飞船(
1
)
A．沿轨道Ⅰ运行的周期大于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行的周期
B．沿轨道Ⅱ从A运动到B的过程中，机械能增大
C．在轨道Ⅰ上的速度小于沿轨道Ⅱ运动经过B点的速度
D．沿轨道Ⅱ运行的周期为T＝T
2 19．(2023·广东广州市第二中学三模)天问一号火星探测器搭乘长征五号遥四运载火箭成功发射意味着中国
航天开启了走向深空的新旅程。由着陆巡视器和环绕器组成的天问一号经过如图所示的发射、地火转
移、火星捕获、火星停泊和离轨着陆等阶段，则( )
A．天问一号发射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度
B．天问一号在“火星捕获段”运行的周期小于它在“火星停泊段”运行的周期
C．天问一号从图示“火星捕获段”需在合适位置减速才能运动到“火星停泊段”
D．着陆巡视器从图示“离轨着陆段”至着陆到火星表面的全过程中，机械能守恒
