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专题5.1 开普勒定律 万有引力定律及其在天文学中的应用【讲】
【讲核心素养】
1.物理观念：万有引力、宇宙速度。
（1）通过史实，了解万有引力定律的发现过程。知道万有引力定律。认识发现万有引力定律的
重要意义。认识科学定律对人类探索未知世界的作用。
（2）会计算人造地球卫星的环绕速度。知道第二宇宙速度和第三宇宙速度。
2.科学思维：万有引力定律、开普勒定律、双星模型、多星运动模型。
（1）理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题.。
（2）掌握双星、多星系统，会解决相关问题、会分析天体的“追及”问题
3.科学态度与责任：万有引力与卫星发射、变轨、回收。
会处理人造卫星的变轨和对接问题.知道牛顿力学的局限性，体会人类对自然界的探索是不断深入
的。
【讲考点题型】
【知识点一】开普勒行星运动定律
定律 内容 图示或公式
开普勒第一定 所有行星绕太阳运动的轨道都
律 （ 轨 道 定 是椭圆，太阳处在椭圆的一个
律） 焦点上
开普勒第二定 对任意一个行星来说，它与太
律 （ 面 积 定 阳的连线在相等的时间内扫过
律） 的面积相等
开普勒第三定 所有行星轨道的半长轴的三次
＝k，k是一个与行星无关的常
律 （ 周 期 定 方跟它的公转周期的二次方的
量
律） 比都相等
【例1】（2022·江苏·模拟预测）2020年7月，我国用长征运载火箭将“天问一号”探测器发射
升空，探测器在星箭分离后，进入地火转移轨道，如图所示，2021年5月在火星乌托邦平原着陆。
则探测器（ ）A．与火箭分离时的速度小于第一宇宙速度
B．每次经过P点时的速度相等
C．绕火星运行时在捕获轨道上的周期最大
D．绕火星运行时在不同轨道上与火星的连线每秒扫过的面积相等
【答案】 C
【解析】
A．与火箭分离时即脱离地球束缚进入太阳系，应该速度为第二宇宙即速度大于第一宇宙速度，
故A错误；
B．由图可知，探测器近心运动，故每次经过P点的速度越来越小，故B错误；
C．由图可得，绕火星运行时在捕获轨道上的轨道半径最大，则由开普勒第三定律知在捕获轨道
上的周期最大，故C正确；
D．由开普勒第二定律可知，绕火星运行时在同一轨道上与火星的连线每秒扫过的面积相等，故
D错误。
故选C。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是科学思维。要求考生在正确理解开普勒定律。
【变式训练1】（2022·全国·高三课时练习）如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，
Q为远日点， 为轨道短轴的两个端点，运行的周期为 。若只考虑海王星和太阳之间的相
互作用，则海王星在从P经 到N的运动过程中（ ）
A．从P到M所用的时间等于
B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大
C．从P到Q阶段，速率逐渐变小
D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功【答案】 CD
【解析】
AC．根据开普勒第二定律，可知近地点的速度比远地点的速度大，则从P到Q阶段，万有引力
对做负功，速率逐渐变小，所以从P到M所用的时间小于 ，A错误；C正确；
B．由于只有万有引力做功，从Q到N阶段，机械能保持不变，B正确；
D．从M到Q阶段，万有引力对它做负功，从Q到N阶段，万有引力做正功，D正确。
故选CD。
【技巧总结】应用开普勒行星运动定律的三点注意
（1）行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。
（2）开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。
（3）开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。
【知识点二】万有引力定律的理解与应用
1．万有引力定律
公式F＝G适用于质点、均匀介质球体或球壳之间万有引力的计算．当两物体为匀质球体或球壳
时，可
补偿法的应用技巧
对于形状不规则、缺损或不完整的物理模型，往往不符合典型情境下的概念、规律的适用条件，
不能直接应用公式求解，此时需要用另外一个物体和原物体组合在一起成为一个完整或对称的简
单、规范的物理模型，整体可以应用相关规律求解，同时“补”上的物体的相关物理量也很好求，
待求的物理量可以利用整体去掉“补”上的部分求得。
【例2】（2022·全国·高三专题练习）如图所示。铅球A的半径为R，质量为M，另一质量为m的
小球B距铅球球心的距离为d，若在铅球内挖一个半径为 的球形空腔，空腔的表面与铅球球面
相切。则挖成空腔后。A、B间的万有引力多大？
【答案】
【解析】
假设球A中挖出的小球质量为 ，则有即
若把挖出的小球放回空腔中，则A、B之间的引力
若只考虑放回空腔的小球与B间的引力 ，则
由于这时小球已不存在，因而挖出的这个小球不可能对 B产生 这个力，因而根据力的合成原理，
可知挖去半径为 的小球后，A、B之间的引力
整理，得
【素养升华】本题考察的学科素养主要是物理观念与科学思维。
【变式训练2】（2022·山东·模拟预测）如图所示，将一半径为R、质量为M的均匀大球，沿直径
挖去两个半径分别为大球半径一半的小球，并把其中一个放在球外与大球靠在一起，挖去小球的
球心、球外小球的球心、大球的球心都在一条直线上，则大球中剩余部分与球外小球间的万有引
力大小约为（ ）
A．0.01 B．0.02
C．0.05 D．0.04
【答案】 D
【解析】由题意可得，挖去的小球的半径为 、质量为 。挖出小球前，大球对球外小球的万有引力为
F=G
将挖出的小球填回原位置，则填入左侧原位置的小球对球外小球的万有引力为
F =G
1
填入右侧原位置的小球对球外小球的万有引力为
F =G
2
则大球中剩余部分对球外小球的万有引力为
F =F-F -F ≈0.04
3 1 2
故选D。
方法点津
先把挖去的部分“补”上，得到半径为R的完整球体，再根据万有引力公式，分别计算补回的左、
右两个半径为 的球体和半径为R的完整球体对球外小球的万有引力F 、F 、F，再利用力的合
1 2
成与分解规律即可求得结果。
【知识点三】星体表面的重力加速度
1．地球表面的重力与万有引力
地面上的物体所受地球的吸引力产生两个效果，其中一个分力提供了物体绕地轴做圆周运动的向
心力，另一个分力等于重力．
（1）在两极，向心力等于零，mg＝；
（2）除两极外，物体的重力都比万有引力小；
（3）在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力 F 和mg刚好在一条直线上，则有F＝F ＋
向 向
mg，所以mg＝F－F ＝－mRω.
向
2．地球表面附近（脱离地面）的重力与万有引力
地球自转，物体所受的重力近似等于地球表面处的万有引力，即 mg＝，R为地球半径，g为地球
表面附近的重力加速度，故GM＝gR2.
3．距地面一定高度处的重力与万有引力
物体在距地面一定高度h处时，mg′＝，R为地球半径，g′为该高度处的重力加速度，故GM＝g′
（R＋h）2.【例3】（2022·陕西·周至县第四中学高一期中）2022年1月14日，南太平洋岛国汤加一座海底
火山喷发，给人类带来巨大灾难。有科学家认为地球的自转将因火山、地震、海啸等自然现象而
缓慢变快。如果地球自转变快，下列说法正确的是（ ）
A．地球南、北两极的重力加速度变大 B．地球南、北两极的重力加速度变小
C．地球同步卫星的高度将变大 D．地球同步卫星的高度将变小
【答案】 D
【解析】
AB．由黄金代换公式
可知，南、北两极的重力加速度与地球自转无关，A错误，B错误；
CD．设地球的自转周期为 ，同步卫星应满足
地球自转加快时， 变小，则r变小， C错误，D正确。
故选D。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是物理观念及科学思维。
【变式训练3】（2022·广东·模拟预测）已知地球质量为 ，半径为 ，引力常量为 。质量为
的导弹被发射到离地面高度为 时，受到地球的万有引力大小为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】 A
【解析】
导弹被发射到离地面高度为 时，距离地球球心为（R+h），根据万有引力公式可得导弹受到地球
的万有引力大小为故选A。
【必备知识】万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F ，
向
如图所示。
（1）在赤道上：G＝mg ＋mω2R。
1
（2）在两极上：G＝mg 。
2
【例4】（2022·全国·高三课时练习）“玉兔号”月球车与月球表面的第一次接触实现了中国人
“奔月”的伟大梦想．“玉兔号”月球车在月球表面做了一个自由下落试验，测得物体从静止自
由下落h高度的时间为t，已知月球半径为R，自转周期为T，引力常量为G．求：
（1）月球表面重力加速度；
（2）月球的质量和月球的第一宇宙速度；
（3）月球同步卫星离月球表面高度．
【答案】 （1） ；（2） ； ；（3）
【解析】
（1）由自由落体运动规律有：h＝ gt2，所以有：
（2）月球的第一宇宙速度为近月卫星的运行速度，根据重力提供向心力 ，
所以：
在月球表面的物体受到的重力等于万有引力
所以
（ 3 ） 月 球 同 步 卫 星 绕 月 球 做 匀 速 圆 周 运 动 ， 根 据 万 有 引 力 提 供 向 心 力解得
【素养升华】本题考察的学科素养主要是物理观念及科学思维及科学态度。本题以科技前沿为情
境要求考生能理解万有引力定律并能应用其分析具体的问题。
【变式训练4】（2022·山东·济南市历城第二中学高三开学考试）火星探测器“天问一号”成功着
陆火星、北斗卫星导航系统覆盖全球、建造空间站天和核心舱等，中国航天人取得了辉煌的成就。
已知地球的半径约为火星半径的2倍，地球质量约为火星质量的10倍，北斗导航系统中的地球同
步卫星做匀速圆周运动，空间站天和核心舱绕地球做匀速圆周运动的周期约为 ，下列说法
中正确的是（ ）
A．火星上发射卫星的第一宇宙速度大于地球上发射卫星的第一宇宙速度
B．火星表面附近的重力加速度大于地球表面附近的重力加速度
C．同步卫星所在处的重力加速度大于天和核心舱所在处的重力加速度
D．同步卫星运动的角速度小于天和核心舱运动的角速度
【答案】 D
【解析】
A．对于近地卫星，根据万有引力提供向心力得
解得地球的第一宇宙速度表达式为
同理火星的第一宇宙速度有
A错误；
B．地球表面附近的重力加速度由万有引力提供
火星表面附近的重力加速度
B错误；
CD．根据万有引力提供加速度空间站天和核心舱绕地球做匀速圆周运动的周期约为 ，可知它的轨道半径小于同步卫星的
轨道半径，同步卫星运动的角速度小于天和核心舱运动的角速度，故同步卫星所在处的重力加速
度小于天和核心舱所在处的重力加速度，C错误，D正确。
故选D。
【知识点四】天体质量和密度的估算
中心天体质量和密度常用的估算方法
使用方法 已知量 利用公式 表达式 备注
r、T G＝mr M＝
r、v G＝m M＝
质
量 只能得
的 利用运 到中心
计 行天体 G＝m 天体的
v、T M＝
算 G＝mr 质量
利用天体表面
g、R mg＝ M＝ －
密 重力加速度
度 利用近
的 ρ＝ 地卫星
利用运 G＝mr
计 r、T、R 当r＝R时 只需测
行天体 M＝ρ·πR3
算 ρ＝ 出其运
行周期
利用天体
mg＝
表面重力 g、R ρ＝ —
M＝ρ·πR3
加速度
【例5】（2022·黑龙江·佳木斯市第八中学高一期中）（多选）北京时间2021年6月17日15时
54分，“神舟十二号”载人飞船采用自主快速交会对接模式成功对接“天和核心舱”前向端口。
已知“天和核心舱”做匀速圆周运动的轨道离地球表面约400km、周期约为93min，地球的半径
为 6370km，引力常量 ，根据这些数据，下列物理量中可以估测的是
（ ）
A．“天和核心舱”的线速度大小 B．地球的自转周期C．地球的平均密度 D．地球的公转周期
【答案】 AC
【解析】
由题意可得出的已知量为
由万有引力充当向心力
解得
由万有引力公式
由密度和质量的关系
由球体体积公式
联立可求得
由上可知，可以估算“天和核心舱”的线速度大小和地球的平均密度，但无法估算球的自转周期
和地球的公转周期。
故选AC。
【素养提升】本题考察的学科素养主要是物理观念与科学思维。
【变式训练5】（2022·天津市咸水沽第一中学模拟预测）我国首次火星探测任务“天问一号”探
测器实施近火捕获制动，成功实现环绕火星运动，成为我国第一颗人造火星卫星。在“天问一
号”环绕火星做匀速圆周运动时，周期为 T。已知火星的半径为R，火星表面的重力加速度的大
小为g，引力常量为G，不考虑火星的自转。求∶
（1）火星的质量M；
（2）火星的第一宇宙速度 ；（3）在电场中我们利用 来定义电场强度，引力场与电场有相似的性质，请你求“天问一
号”所处轨道的引力场强度 是多大？
gR2
M=
【答案】 （1） G ；（2） ；（3）
【解析】
（1）忽略火星自转，火星表面质量为 的物体，其所受万有引力等于重力，有
解得火星的质量
gR2
M=
G
（2）忽略火星自转，设火星近地卫星的质量为 ，则其重力充当向心力，有
可得火星的第一宇宙速度
（3）依题意，可得“天问一号”在轨道处受到的万有引力
设引力场强为
则
联立可求得
【必备知识】估算天体质量和密度的“四点”注意
（1）利用万有引力提供天体圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，
而非环绕天体的质量。
（2）区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星，才有r≈R；计算天体密度
时，V＝πR3中的“R”只能是中心天体的半径。
（3）天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24 h，公转周期为365天等。（4）注意黄金代换式GM＝gR2的应用。
【知识点五】天体追及相遇问题
1．相距最近
两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，
两卫星运动关系应满足（ω －ω ）t＝2nπ（n＝1，2，3…）．
A B
2．相距最远
当两卫星位于和中心连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，两卫星运动关系应
满足（ω －ω ）t′＝（2n－1）π（n＝1，2，3…）．
A B
【例6】（2022·湖南师大附中三模）冲日是指某一外行星（火星、木星、土星、天王星、海王星、
冥王星）于绕日公转过程中运行到与地球、太阳成一直线的状态，已知火星的公转周期约为地球
公转周期的1.9倍，半径约为地球的一半，质量约为地球质量的 倍，现认为地球和火星在同一
平面上、沿同一方向绕太阳做匀速圆周运动，下列说法中正确的是（ ）
A．火星冲日时间间隔约为两年零一个月
B．火星与地球公转轨道半径之比约为6：1
C．火星与地球表面重力加速度之比约为2：9
D．火星与地球密度之比约为4：9
【答案】 A
【解析】
A．由
可得火星冲日时间间隔
选项A正确；
B．由开普勒第三定律可得
得火星与地球公转轨道半径之比约为3：2，选项B错误；
C．由
可得火星与地球表面重力加速度之比约为4：9，选项C错误；
D．由可得火星与地球密度之比约为8：9，选项D错误。
故选A。
【素养提升】本题考察的学科素养主要是物理观念与科学思维。要求普勒定律及万有引力定律并
能根据问题情境构建物理模型。
【变式训练6】（2022·黑龙江·哈师大附中模拟预测）（多选）A、B两颗卫星在同一平面内沿同
一方向绕地球做匀速圆周运动，它们之间的距离 随时间变化的关系如图所示。已知地球的半
径为0.8r，万有引力常量为G，卫星A的线速度大于卫星B的线速度，不考虑A、B之间的万有
引力，则下列说法正确的是（ ）
A．卫星A的加速度大于卫星B的加速度
B．卫星A的发射速度可能大于第二宇宙速度
C．地球的质量为
D．地球的第一宇宙速度为
【答案】 ACD
【解析】
A．卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，设轨道半径为r，则有
解得
故半径越小，线速度越大，因为卫星A的线速度大于卫星B的线速度，故 。又因为
解得
因为 ，所以 ，A正确；B．第二宇宙速度是卫星摆脱地球引力束缚所必须具有的速度，故卫星发射速度大于第二宇宙速
度时，卫星不能绕地球做匀速圆周运动，B错误；
C．由图像可知
联立可得
，
由图像可知每隔时间T两卫星距离最近，设A、B的周期分别为T 、T ，则有
A B
由开普勒第三定律
联立可得
，
由
故地球质量为
C正确；
D．第一宇宙速度是最大的运行速度，由
可得
D正确。
故选ACD。
【技巧总结】对于天体追及问题的处理思路
（1）根据＝mrω2，可判断出谁的角速度大；
（2）根据天体相距最近或最远时，满足的角度差关系进行求解．
