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难点 08 卫星变轨问题 双星模型
一、卫星的变轨和对接问题
1．变轨原理
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示．
(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，
卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.
2．变轨过程分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为 v 、v ，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为
1 3
v 、v .在A点加速，则v >v，在B点加速，则v>v ，又因v>v，故有v >v>v>v .
A B A 1 3 B 1 3 A 1 3 B
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速
度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同．
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T 、T 、T ，轨道半径分别为r 、r(半长轴)、r ，
1 2 3 1 2 3
由开普勒第三定律＝k可知T<T<T.
1 2 3
(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为 E 、E 、
1 2
E，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ，从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ，都需要点火加速，则E<E<E.
3 1 2 3
【例1】（2022·湖北省孝感市第一高级中学模拟预测）2022年4月13日，神舟十三号飞船在历经了183
天的太空航行之后，成功返回地球，创下了中国载人航天空间站任务飞行时间最长、任务项目最多的纪录。
神舟十三号此行的主要任务之一是进入太空并与天宫空间站进行对接，飞船的运动可简化为如图所示的情
境，圆形轨道2为天宫空间站运行轨道，椭圆轨道1为载人飞船运行轨道，两轨道相切于P点，Q点在地
面附近，是轨道1的近地点，则下列判断正确的是（ ）A．载人飞船可在到达轨道2后不断加速追上空间站实现对接
B．载人飞船在轨道1上P点的加速度等于空间站在轨道2上P点的加速度
C．载人飞船在轨道1上经过Q点时的速度等于7.9km/s
D．载人飞船从Q点向P点运动过程中，万有引力不做功
【例2】（2022·湖北武汉·模拟预测）如图所示，利用霍曼转移轨道可以将航天器从地球发送到火星。若地
球和火星绕太阳公转的轨道都是圆形，则霍曼轨道就是一个近日点P和远日点Q都与这两个行星轨道相切
的椭圆。当“天问一号”火星探测器到达地球轨道的P点时，瞬时点火后“天问一号”进入霍曼轨道，当
“天问一号”运动到火星轨道的Q点时，再次瞬时点火后“天问一号”进入火星轨道。下列说法正确的是
（ ）
A．“天问一号”在地球轨道上的线速度小于在火星轨道上的线速度
B．在P点瞬时点火后，“天问一号”的速度需要达到第二宇宙速度
C．在Q点再次瞬时点火，是为了增大太阳对“天问一号”的引力
D．“天问一号”沿霍曼轨道运行时在P点的动能最小
二、星球稳定自转的临界问题
当星球自转越来越快时，星球对赤道上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步
导致星球瓦解，其临界条件是＝mR.
【例3】(2018·全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，
其自转周期T＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2.以周期
T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
三、双星或多星模型
1．双星模型
(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统．如图所示．(2)特点
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝mω2r，＝mω2r.
1 1 1 2 2 2
②两颗星的周期、角速度相同，即T＝T，ω＝ω.
1 2 1 2
③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r＋r＝L.
1 2
④两颗星到圆心的距离r、r 与星体质量成反比，即＝.
1 2
⑤双星的运动周期T＝2π.
⑥双星的总质量m＋m＝.
1 2
2．多星模型
(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期
相同．
(2)常见的三星模型
①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲
所示)．
②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．
(3)常见的四星模型
①四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所
示)．
②三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心 O，外围三颗星绕O做匀速圆周
运动(如图丁所示)．
【例4】（2022·江苏泰州·模拟预测）如图所示，“食双星”是两颗相距为d的恒星A、B，只在相互引力
作用下绕连线上O点做匀速圆周运动，彼此掩食（像月亮挡住太阳）而造成亮度发生周期性变化的两颗恒
星。观察者在地球上通过望远镜观察“食双星”，视线与双星轨道共面。观测发现每隔时间T两颗恒星与望远镜共线一次，已知万有引力常量为G，则（ ）
A．恒星A、B运动的周期为T B．恒星A质量小于B的质量
C．恒星A、B的总质量为 D．恒星A线速度大于B的线速度
【例5】（2022·四川宜宾·模拟预测）2021年5月，基于“中国天眼”球面射电望远镜 的观测，首
次研究发现脉冲星三维速度与自转轴共线的证据。如图，假设在太空中有恒星A、B双星系统绕点 做顺
时针匀速圆周运动，运动周期为T，它们的轨道半径分别为R 、R ，R <R ，C为B的卫星，绕B做逆时
1 A B A B
针匀速圆周运动，周期为T，忽略A与C之间的引力，万有引力常量为 ，以下说法正确的是（ ）
2
A．若知道卫星C的轨道半径，则可求出卫星C的质量
B．恒星A的质量大于恒星B的质量
C．恒星A的质量为
D．A、B、C三星由图示位置到再次共线所需时间为
一、单选题
1．（2022·海南·昌江黎族自治县矿区中学模拟预测）2019年12月27日，长征五号遥三运载火箭在中国文
昌航天发射场点火升空，2000多秒后“实践二十号”卫星送入预定轨道。该星的发射过程要经过多次变轨
方可到达同步轨道，在发射该地球同步卫星的过程中，卫星从圆轨道Ⅰ的A点先变轨到椭圆轨道Ⅱ，然后
在B点变轨进入地球同步轨道Ⅲ，则（ ）A．该卫星的发射速度应大于11.2km/s且小于16.7km/s
B．卫星在轨道Ⅱ上过A点的速率比卫星在轨道Ⅱ上过B点的速率小
C．卫星在B点通过减速实现由轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ
D．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行的周期分别为T、T、T，则T<T<T
1 2 3 1 2 3
2．（2022·新疆·三模）如图所示为“神舟十一号”与“天宫二号”对接过程的简化示意图，AC是椭圆轨
道II的长轴，“神舟十一号”从圆轨道I先变轨到椭圆轨道II，再变轨到圆轨道III，与在圆轨道III运行的
“天宫二号”实施对接。下列说法正确的是（ ）
A．“神舟十一号”两次变轨过程中均需要点火减速
B．“神舟十一号”在椭圆轨道上运行的周期小于“天宫二号”运行的周期
C．“神舟十一号”在椭圆轨道上经过C点的速率大于“天宫二号”经过C点的速率
D．“神舟十一号”在椭圆轨道上C点的加速度大于“天宫二号”在C点的加速度
3．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号航天员翟志刚、
王亚平、叶光富完成全部既定任务，撤离空间站平安返回。空间站的轨道可认为距地面高度为H的匀速圆
周运动轨道 ，周期为 ，神舟十三号返回轨道可近似为椭圆轨道 ，B为近地点，地球半径为R，引力常
量G。下列说法正确的是（ ）
A．神舟十三号撤离空间站时需要在A点加速进入椭圆轨道
B．神舟十三号从A运动到B的最短时间为C．忽略地球自转，地球表面重力加速度与空间站处重力加速度大小比为
D．神舟十三号在轨道 运行时的机械能小于在轨道 运行时的机械能
4．（2022·山东·高三专题练习）神舟十三号载人飞船返回舱首次采用快速返回模式，于2022年4月16日
9时56分在东风着陆场成功着陆。返回的大致过程如下：0时44分飞船沿径向与空间站天和核心舱成功分
离，分离后空间站仍沿原轨道飞行，飞船下降到空间站下方 处的过渡轨道并进行调姿，由径向飞行
改为横向飞行。绕行5圈后，经过制动减速、自由滑行、再入大气层、着陆返回四个阶段，如图为该过程
的示意图。下列说法正确的是（ ）
A．分离后空间站运行速度变小
B．飞船在过渡轨道的速度大于第一宇宙速度
C．飞船沿径向与空间站分离后在重力作用下运动到过渡轨道
D．与空间站分离后，返回舱进入大气层之前机械能减少
5．（2022·山东·高三学业考试）某国际研究小组借助VLT光学望远镜，观测到了一组双星系统，此双星系
统中体积较小成员能“吸食”另一颗体积较大星体表面物质，达到质量转移的目的。如图所示，它们绕两
者连线上的某点O做匀速圆周运动。假设在演变的最初过程中两者球心之间的距离保持不变且两星体密度
相同，则在演变的最初过程中（ ）
A．两星体之间的万有引力变小
B．两星体做圆周运动的角速度不变
C．体积较大星体做圆周运动的轨迹半径变小，线速度变小
D．体积较大星体做圆周运动的轨迹半径变大，线速度变小
6．（2021·甘肃·舟曲县第一中学高三期中）经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星
系统”由两颗相距较近星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且“双星系统”一般远离其他天体。如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的 点做周期相同
的匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为 ，质量之比为 ，则可知（ ）
A． 做圆周运动的线速度之比为
B． 做圆周运动的角速度之比为
C． 做圆周运动的半径为
D． 做圆周运动的半径为
7．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习）宇宙中有很多恒星组成的双星运动系统，两颗恒星仅在彼此的万
有引力作用下，绕共同点做匀速圆周运动，如图所示。假设该双星1、2的质量分别为 、 ，圆周运动
的半径分别为 、 ，且 小于 ，共同圆周运动的周期为T；引力常量为G。则下列说法正确的是
（ ）
A．恒星1做圆周运动的向心加速度为
B．恒星1表面的重力加速度一定大于恒星2表面的重力加速度
C．恒星1的动量一定大于恒星2的动量
D．某些双星运动晚期，两者间距逐渐减小，一者不断吸食另一者的物质，则它们在未合并前，共同圆周运动的周期不断减小
8．（2021·湖北武汉·高三期中）2021年5月，基于俗称“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜
（FAST）的观测，国家天文台李菂、朱炜玮研究团组姚菊枚博士等首次研究发现脉冲星三维速度与自转轴
共线的证据。之前的2020年3月，我国天文学家通过FAST，在武仙座球状星团 中发现一个脉冲双星
系统。如图所示，假设在太空中有恒星A、B双星系统绕点O做顺时针匀速圆周运动，运动周期为 ，它
们的轨道半径分别为 、 ， ，C为B的卫星，绕B做逆时针匀速圆周运动，周期为 。忽略A
与C之间的引力，A与B之间的引力远大于C与B之间的引力。万有引力常量为G，下列说法正确的是（
）
A．若知道C的轨道半径，则可求出C的质量
B．若A也有一颗轨道半径与C相同的卫星，则其运动周期也一定为
C．恒星A的质量为
D．设A、B、C三星由图示位置到再次共线的时间为t，则
二、多选题
9．（2022·天津·模拟预测）我国的“神舟十三号”载人飞船与“天宫空间站”成功对接，顺利完成任务。
假定对接前，“天宫空间站”在如图所示的轨道3上绕地球做匀速圆周运动，而“神舟十三号”在图中轨
道1上绕地球做匀速圆周运动，两者都在图示平面内逆时针运转。若“神舟十三号”在轨道1上的 点瞬
间改变其速度的大小，使其运行的轨道变为椭圆轨道2，并在轨道2和轨道3的切点 与“天宫空间站”
进行对接，下列说法正确的是（ ）A．“神舟十三号”应在 点瞬间加速才能使其运动轨道由1变为2
B．“神舟十三号”沿椭圆轨道2从 点经 飞向 点过程中，万有引力不做功
C．“神舟十三号”沿椭圆轨道2从 点经 飞向 点过程机械能守恒
D．“天宫空间站”在轨道3上经过 点时的速度与“神舟十三号”在轨道2上经过 点时的速度大小相等
10．（2022·全国·高三专题练习）探月工程中，“嫦娥三号”探测器的发射可以简化如下：卫星由地面发
射后，进入地月转移轨道，经过 点时变轨进入距离月球表面100公里圆形轨道1，在轨道1上经过 点
时变轨进入椭圆轨道2，月球车将在靠近月球表面 点着陆，正确的是（ ）
A．“嫦娥三号”在轨道1上运动周期大于在轨道2上运动的周期
B．“嫦娥三号”在地月转移轨道上的机械能等于在轨道1上的机械能
C．“嫦娥三号”在轨道1上的速率小于在轨道2上经过 点的速率
D．“嫦娥三号”在轨道1上经过 点时的加速度等于在轨道2上经过 点时的加速度
11．（2021·吉林·东北师大附中高三阶段练习）两个靠近的天体称为双星，它们以两者连线上某点 为圆
心做匀速圆周运动，如图所示是由两颗恒星A、B组成的双星系统。设想在地球上通过望远镜观察这种双
星，视线与双星轨道共面。观测发现每隔时间 两颗恒星与望远镜共线一次，已知两颗恒星A、B间距为
，质量分别为 ，万有引力常量为 ，则以下结论正确的是（ ）A．
B．
C．恒星 的轨道半径为
D．恒星 的轨道半径为
12．（2022·湖北·黄冈中学三模）如图所示，质量相等的三颗星组成为三星系统，其他星体对它们的引力
作用可忽略。设每颗星体的质量均为m，三颗星分别位于边长为 的等边三角形的三个顶点上，它们绕某
一共同的圆心 在三角形所在的平面内以相同的角速度做匀速圆周运动。已知引力常量为 ，下列说法正
确的是（ ）
A．每颗星体向心力大小为
B．每颗星体运行的周期均为
C．若 不变，星体质量均变为2m，则星体的角速度变为原来的 倍
D．若 不变，星体间的距离变为 ，则星体的线速度变为原来的
三、解答题
13．（2021·河北·石家庄市藁城区第一中学高三开学考试）发射地球同步卫星时，先将卫星发射到距地面
高度为h 的近地圆形轨道上，在卫星经过A点时点火实施变轨进入椭圆轨道，最后在椭圆轨道的远地点B
1
点再次点火将卫星送入同步轨道，如图所示。已知同步卫星的运动周期为T，地球的半径为R，地球表面
重力加速度为g，忽略地球自转的影响。求：
(1)卫星在近地点A的加速度大小；
(2)远地点B距地面的高度。14．（2021·福建福州·高三期中）“嫦娥四号”已成功降落月球背面，未来中国还将建立绕月轨道空间站。
如图所示，关闭动力的宇宙飞船在月球引力作用下沿地—月转移轨道向月球靠近，并将与空间站在A处对
接。
(1)关闭动力发动机后，宇宙飞船飞向A过程中加速度如何变化（逐渐增大或逐断减小）？请简述理由（忽
略地球引力的作用）；
(2)测得空间站绕月轨道半径为r，已知万有引力常量为G。月球的质量为M，求空间站绕月运行的周期T
。
15．（2022·广东·高三专题练习）双星由两颗绕着共同的点旋转的恒星组成。对于其中一颗来说，另一颗
就是其“伴星”。如果甲、乙两颗星体质量分别为 、 ，它们之间的距离为L，甲、乙离其他天体十分
遥远 不受其他天体的作用 ，它们绕连线上一点O以相同的角速度做匀速圆周运动，如图所示。已知引力
常量为G。求：
(1)甲做圆周运动的轨道半径 。
(2)双星做圆周运动的周期T。
16．（2021·全国·高三专题练习）如图所示，地球和月球实际上也是一个双星伴绕的天体系统，它们绕着
连线上的一个共同的圆心O，保持距离不变在做圆周运动。科学研究发现：在地球A为圆心，地球到月球B的距离为半径的圆周上，与地球和月球等距离的地方C处，如果建立一个空间站，空间站会成为地、月
双星系统的人造卫星。设地球质量为M，月球质量为m，地、月之间的距离为L。求
(1)共同的圆心O到地球的距离r；
1
(2)地、月系统的周期T
(3)空间站所受引力的合力方向与地月连线的交点Oʹ与地球的距离rʹ以及周期Tʹ。
1
