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专题 10 万有引力定律及应用
1.理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题.
2.掌握计算天体质量和密度的方法．
考点一 开普勒定律
定律 内容 图示或公式
开普勒第一定律 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，
(轨道定律) 太阳处在椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律 对任意一个行星来说，它与太阳的连线
(面积定律) 在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的 ＝k，k是一个与行星无关
(周期定律) 公转周期的二次方的比都相等 的常量
1．行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理．
2.由开普勒第二定律可得Δlr ＝Δlr ，v·Δt·r ＝v·Δt·r ，解得＝，即行星在两个位置的速度之比与到太阳
1 1 2 2 1 1 2 2
的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小．
3．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体 k值不同，且该定律只能用在
同一中心天体的两星体之间．
【典例1】（2021·上海·上外浦东附中高一期末）在人类对行星运动规律的认识过程，开普勒作出了划时代
的贡献。对开普勒行星运动定律的理解，下列说法中正确的是（ ）
A．此定律不仅适用于行星绕太阳运动，也适用于宇宙中其他卫星绕行星的运动B．牛顿发现万有引力定律后，开普勒整理牛顿的观测数据，发现了行星运动规律
C．行星绕太阳做椭圆轨道运动时，线速度方向时刻在变，但大小始终不变
D．由开普勒第三定律 ，月亮绕地球运动的k值与人造卫星绕地球运动的k不同
【典例2】（2022·浙江宁波·高一期末）北京冬奥开幕式24节气倒计时惊艳全球，如图是地球沿椭圆轨道
绕太阳运行所处不同位置对应的节气，下列说法正确的是（ ）
A．夏至时地球的运行速度最大
B．从冬至到春分的运行时间为公转周期的
C．若用 代表椭圆轨道的半长轴， 代表公转周期，则 ，地球和火星对应的 值是不同的
D．太阳既在地球公转轨道的焦点上，也在火星公转轨道的焦点上
考点二 万有引力定律
1．内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量 m 和m 的乘
1 2
积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比．
2．表达式
F＝G，G为引力常量，通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由英国物理学家卡文迪什测定．
3．适用条件
(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离．1．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F ，如图所
向
示．
(1)在赤道上：G＝mg ＋mω2R.
1
(2)在两极上：G＝mg .
0
(3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F 的矢量和．
向
越靠近两极，向心力越小，g值越大．由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于
重力，即＝mg.
2．星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)
(1)地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝G，得g＝.
(2)地球上空的重力加速度g′
地球上空距离地球中心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝，得g′＝.所以＝.
3．万有引力的“两点理解”和“两个推论”
(1)两点理解
①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力．
②地球上的物体(两极除外)受到的重力只是万有引力的一个分力．
(2)星体内部万有引力的两个推论
①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F ＝0.
引
②推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它
的万有引力，即F＝G.
【典例3】(2019·全国卷Ⅱ·14)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆．在探测器“奔
向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化
关系的图像是( )
【典例4】(2020·全国卷Ⅰ·15)火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为( )
A．0.2 B．0.4 C．2.0 D．2.5
【典例5】 某类地天体可视为质量分布均匀的球体，由于自转的原因，其表面“赤道”处的重力加速度
为g，“极点”处的重力加速度为g，若已知自转周期为T，则该天体的半径为( )
1 2
A. B.
C. D.
【典例6】某兴趣小组想在地球建造从地表直达地心的隧道。若将地球视为质量分布均匀的标准球体，质
量为M，半径为R。已知质量分布均匀的球壳对内部引力处处为零，万有引力常量为G，忽略地球自转。
则沿该隧道从地表静止释放的物体，到达地心处的速度为（ ）
A． B． C． D．
考点三 天体质量和密度的计算
应用万有引力定律估算天体的质量、密度
(1)利用天体表面重力加速度
已知天体表面的重力加速度g和天体半径R.
①由G＝mg，得天体质量M＝.
②天体密度ρ＝＝＝.
(2)利用运行天体(以已知周期为例)
测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T.
①由G＝mr，得M＝.
②若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝.
③若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，故只要测出卫星环绕天体
表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．
【典例7】宇航员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地．若
羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面．已知引力常量为G，月球的半径为R.求：(不考
虑月球自转的影响)
(1)月球表面的自由落体加速度大小g ；
月
(2)月球的质量M；
(3)月球的密度ρ.
【典例8】(2021·全国乙卷·18)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到
2002年间S2的位置如图所示．科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1 000 AU(太阳到地球的距离为1
AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞．这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖．若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为( )
A．4×104M B．4×106M
C．4×108M D．4×1010M
一、单选题
1.（2022·上海市建青实验学校模考）两颗人造卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，它们的半径之比为1：
8，则它们运动周期之比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
2.如图所示，八大行星沿椭圆轨道绕太阳公转，下列说法中正确的是（ ）
A．太阳处在椭圆的中心
B．火星绕太阳运行过程中，速率不变
C．土星比地球的公转周期大
D．地球和土星分别与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等
3.可以看成质点的两个均匀球体，它们之间的万有引力大小为F。若它们的质量不变，距离增大到原来的2
倍，则它们之间的万有引力大小变为（ ）
A．2F B． C． D．F
4.发现万有引力定律和测出引力常量的科学家分别是（ ）
A．牛顿、卡文迪许 B．开普勒、卡文迪许C．开普勒、库仑 D．牛顿、库仑
5．（2022·江苏南通一模）有一质量为M、半径为R的密度均匀球体，在距离球心O为3R的地方有一质
量为m的质点。先从M中挖去一半径为 的球体，如图所示，则剩余部分对质点的万有引力大小为（
）
A． B．
C． D．
6．（2022·北京市顺义区第一中学高三阶段练习）牛顿在发现万有引力定律时曾用月球的运动来检验，物
理学史上称为著名的“月地检验”。已经知道地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球中心与
地球中心距离是地球半径的k倍，根据万有引力定律，可以求得月球受到万有引力产生的加速度为 。又
根据月球绕地球运动周期为T，可求得月球的向心加速度为 ，两者数据代入后结果相等万有引力定律得
到验证，以下说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·湖南一模）2021年10月16日凌晨，“神舟十三号”乘组从酒泉卫星发射中心出发，开始了太
空之旅，之后在中国空间站在轨驻留了6个月。“蛟龙号”载人深潜器是我国首台自主设计、自主集成研
制的作业型深海载人潜水器，对于我国开发利用深海的资源有着重要的意义。若地球半径为 ，把地球看
成质量分布均匀的球体，不计地球自转的影响，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则“蛟
龙号”下潜深度为 时的重力加速度大小与“神舟十三号”距地面高 时的加速度大小之比为（ ）
A． B．C． D．
8．（2022·江苏省昆山中学模拟预测）中国新闻网宣布：在摩洛哥坠落的陨石被证实来自火星。某同学想
根据平时收集的部分火星资料（如图所示）计算出火星的密度，再与这颗陨石的密度进行比较。下列计算
火星密度的公式错误的是（引力常量G已知，忽略火星自转的影响）（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022·安徽·阜阳市第三中学高三阶段练习）2021年10月27日，我国在酒泉卫星发射中心用“快舟一
号”甲运载火箭，成功将“吉林一号”高分02F卫星送入预定轨道。卫星入轨后，将在自然资源调查、生
态环境监测、城市综合治理以及防灾减灾等领域广泛应用，推动社会发展和进步！该卫星绕地球做匀速圆
周运动，运行的周期为T，运行轨道离地球表面的高度为h，地球的半径为R，引力常量为G，则地球的质
量可表示为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·江西·临川一中高三阶段练习）火星探测器的发射时间要求很苛刻，必须在每次地球和火星相
距最近之前几个月发射。设地球环绕太阳的运动周期为T，轨道半径为 ；火星环绕太阳的轨道半径为
，火星的半径为R，万有引力常量为G。下列结论正确的有（ ）
A．太阳质量为
B．火星的公转周期为C．火星表面的重力加速度为
D．从火星与地球相距最近开始计时到火星与地球第一次相距最远的时间为
二、多选题
11．（2022·山东·德州市第一中学高三阶段练习）在万有引力定律的学习中，月—地检验的内容是这样说
的：地球绕太阳运动，月球绕地球运动，它们之间的作用力是同一种性质的力吗？这种力与地球对树上苹
果（如图所示）的吸引力也是同一种性质的力吗？假设地球与月球间的作用力与太阳与行星间的作用力是
同一种力，它们的表达式也应该满足 。根据牛顿第二定律，月球绕地球做圆周运动的向心加
速度 （式中m 是地球质量，r是地球中心与月球中心的距离）。进一步，假设地球对苹
地
果的吸引力也是同一种力，同理可知，苹果的自由落体加速度 （式中m 是地球质量，R
地
是地球中心与苹果间的距离）。由以上两式可得 。由于月球与地球中心的距离r约为地球半径R
的60倍，所以 。下列哪些数据能通过计算验证前面的假设。（ ）A．月球的质量7.342×1022kg
B．自由落体加速度g为9.8m/s2
C．月球公转周期为27.3d，约2.36×106s
D．月球中心距离地球中心的距离为3.8×108m
12．（2022·河南焦作一模）我国“天问一号”携带的“祝融号”火星车成功着陆火星。如图所示，“天问
一号”首先在I轨道上绕火星做匀速圆周运动，选定好着陆地点后在B点实施变轨进入轨道II，随后在近
火点A时实施降轨进入轨道III（轨道半径可看成火星半径R），随后软着陆在火星表面。已知“天问一
号”在II轨道上的周期为T，II轨道半长轴为a，则（ ）
A．“天问一号”在III轨道上的周期
B．“天问一号”在III轨道上的线速度
C．火星的质量
D．火星表面重力加速度
三、解答题13．（2021·全国·高三专题练习）两个质量分别是m、m 的人造地球卫星，分别绕地球做匀速圆周运动，
1 2
若它们的轨道半径分别是R 和R，则它们的运行周期之比是多少?
1 2
14．（2021·全国·高三专题练习）如图所示，一个质量为M的匀质实心球，半径为R。如果通过球心挖去
一个直径为R的小实心球，然后置于相距为d的地方，试计算空心球与小实心球之间的万有引力。
15．（2021·河北·沧县中学高三阶段练习）2021年2月10日19时52分我国首次火星探测任务“天问一
号”探测器实施近火捕获制动，成功实现环绕火星运动，成为我国第一颗人造火星卫星。在“天问一号”
环绕火星做匀速圆周运动时，周期为T，轨道半径为r，已知火星的半径为R，引力常量为G，不考虑火星
的自转。求：
（1）火星的密度 ；
（2）火星表面的重力加速度g的大小。
16．（2022·上海·模拟预测）2021 年 5 月 15 日，“天问一号”着陆巡视器带着“祝融号”火星车成功
着陆于火星，我国首次火星探测任务着陆火星取得圆满成功，图为“祝融号”火星车和“天问一号”着陆
巡视器。（本题结果保留一位有效数字）
(1)“天问一号”需要完成 9 分钟减速软着陆，若其在“降落伞减速”阶段，垂直速度由396m/s 减至
61m/s，用时 168s。计算此阶段减速的平均加速度。
(2)若火星质量为地球质量的 0.11 倍，火星半径为地球半径的 0.53 倍，地球表面重力加速度g = 10m/s2，
估算火星表面重力加速度大小。
(3)“天问一号”质量约为 5.3 吨，请估算“天问一号”在“降落伞减速”阶段受到的平均空气阻力。
