文档文本内容
第 04 讲 万有引力定律及其应用
目录
考点一 开普勒行星运动定律 万有引力定律的理解4
........4
.............4
1. 开普勒行星运动定律的深入理解.....................4
2. 万有引力定律的深入理解.................................5
3. 万有引力与重力的关系.....................................5
..................6
考点二 万有引力定律综合应用 天体质量和密度..7
........7
.............8
1. 万有引力定律的应用.........................................8
2. 天体质量及密度的计算.....................................8
3. 星球“瓦解”问题及黑洞.................................9
..................9
考点三 宇宙速度 天体、卫星运行参数及规律 同步卫星10
......10
...........11
1. 宇宙速度...........................................................11
2. 卫星轨道...........................................................11
3. 天体及卫星运动的规律...................................12
4. 特殊卫星...........................................................12
5. 同步卫星、近地卫星和赤道上物体比较.......13
................13
考点四 卫星变轨、对接、追及相遇问题 双星问题16......16
...........17
1. 卫星变轨...........................................................17
2. 卫星追及问题...................................................18
3. 双星问题...........................................................18
................19考点要求 考题统计
开普勒行星运动定律 2023•山东•统考高考真题、2022•全国•统考高考真题、2022•北京•高考真
万有引力定律的理解 题、2021•山东•高考真题、2021•全国•高考真题、2021•福建•统考高考真题
2023•山西•统考高考真题、2023•辽宁•统考高考真题、2023•北京•统考高考
万有引力定律综合应用 真题
天体质量和密度 2022•重庆•高考真题、2022•浙江•统考高考真题、2021•重庆•高考真题、
2021•全国•高考真题、2021•广东•高考真题
2023•重庆•统考高考真题、2023•浙江•统考高考真题、2023•天津•统考高考
宇宙速度 真题、2023•江苏•统考高考真题、023•湖南•统考高考真题、2022•天津•高
天体、卫星运行参数及规 考真题、2022•山东•统考高考真题、2022•辽宁•高考真题、2022•湖北•统考
律 高考真题、2022•河北•统考高考真题、2022•广东•高考真题、2021•浙江•统
同步卫星 考高考真题、2021•辽宁•统考高考真题、2021•江苏•高考真题、2021•湖南•
高考真题、2021•河北•高考真题、2021•海南•高考真题
2023•浙江•高考真题、2023•湖北•统考高考真题、2023•海南•统考高考真
卫星变轨、对接、
题、2023•广东•统考高考真题、2023•福建•统考高考真题、2023•北京•统考
追及相遇问题
高考真题、2022•浙江•统考高考真题、2022•湖南•统考高考真题、2021•天
双星问题
津•高考真题、2021•湖北•统考高考真题、2021•北京•高考真题
【命题规律及方法指导】
1.命题重点考查平抛运动、圆周运动等运动特点和动力学规律
2.常用方法：构建模型、分析和推理，两个模型（天上模型：万有引力提供向心力规律
来分析天体运动问题；地上模型：万有引力等于重力（忽略自转）），比例法分析问题.
考情分析 3.常考题型：选择题，计算题．
【命题预测】
本专题属于热点内容；
高考命题主要以选择题的形式出现（北京卷中会以计算题的形式出现），多以航天技术
为背景，因此要多关注我国航空航天技术发展的最新成果,。考点一 开普勒行星运动定律 万有引力定律的理解
1．（2021·全国·高考真题）2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近
火制动后，进入运行周期约为1.8×105s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105m。已
知火星半径约为3.4×106m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与
火星表面的最远距离约为（ ）
A．6×105m B．6×106m C．6×107m D．6×108m
2. （2023·山东·统考高考真题）牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间
（如地球与月球）的引力具有相同的性质、且都满足 。已知地月之间的距离r大约是地球半径的
60倍，地球表面的重力加速度为g，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为（ ）
A． B． C． D．
3. （2021·山东·高考真题）从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际
的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球
车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”
与“玉兔”所受陆平台的作用力大小之比为（ ）
A．9∶1 B．9∶2 C．36∶1 D．72∶1
1. 开普勒行星运动定律的深入理解
1）由开普勒第二定律可得 ，解得 ，即行星在两个位置的速度之比与到太阳
的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小．
2）当比较一个行星在椭圆轨道不同位置的速度大小时，选用开普勒第二定律；当比较或计算两个行
星的周期问题时，选用开普勒第三定律．2. 万有引力定律的深入理解
1）两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力
2）推论
①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的各部分万有引力的合力为零，即∑F
＝0.
引
②推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球
体(M′)对它的万有引力，即F＝G.
3. 万有引力与重力的关系
1）地球对物体的万有引力F表现为两个效果:一是重力mg,二是提供物体随地球自转的向心力F ,
向
Mm
G =mg+mω2R
R2
①在赤道上: .
Mm
G =mg
R2
②在两极上: .
Mm
G =mg+mω2r
R2
③一般位置: .
式中r为物体到地球转轴的距离。越靠近南、北两极，向心力越小，g值越大，由于物体随地
Mm
G =mg
R2
球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即 .
2）星球上空的重力加速度g′
Mm GM
G =mg' g' =
(R+h) 2 (R+h) 2
星球上空距离星体中心r＝R＋h处的重力加速度为g′， ，得 .
g' R2
=
g (R+h) 2
所以 式中g为地球表面附近重力加速度.
，
1．（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一
号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为 的椭圆形停泊轨道。根据开普勒行星
运动定律，下列说法正确的是（ ）
A．太阳位于火星运行轨道的中心B．火星绕太阳运行速度的大小始终相等
C．相同时间内，火星与太阳中心的连线扫过的面积相等
D．火星轨道半长轴的二次方与其公转周期的三次方的比值是定值
2. （2023·湖南·统考模拟预测）2023年7月10日，经国际天文学联合会小行星命名委员会批准，中国科学
院紫金山天文台发现的、国际编号为381323号的小行星被命名为“樊锦诗星”。如图所示，“樊锦诗星”
绕日运行的椭圆轨道面与地球圆轨道面间的夹角为20.11度，轨道半长轴为3.18天文单位（日地距离为1
天文单位），远日点到太阳中心距离为4.86天文单位。若只考虑太阳对行星的引力，下列说法正确的是（
）
A．“樊锦诗星”绕太阳一圈大约需要2.15年
B．“樊锦诗星”在远日点的速度大于地球的公转速度
C．“樊锦诗星”在远日点的加速度与地球的加速度大小之比为
D．“樊锦诗星”在远、近日点的速度大小之比为考点二 万有引力定律综合应用 天体质量和密度
1. （2021·广东·高考真题）2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行，若
核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是（ ）
A．核心舱的质量和绕地半径
B．核心舱的质量和绕地周期
C．核心舱的绕地角速度和绕地周期
D．核心舱的绕地线速度和绕地半径
2.（2021·全国·高考真题）科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到
2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为 （太阳到地球的距离为
）的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认
为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为
（ ）
A． B． C． D．
3. （2023·辽宁·统考高考真题）在地球上观察，月球和太阳的角直径（直径对应的张角）近似相等，如图
所示。若月球绕地球运动的周期为T₁，地球绕太阳运动的周期为T₂，地球半径是月球半径的k倍，则地球
与太阳的平均密度之比约为（ ）
A． B． C． D．
4.（2022·重庆·高考真题）（多选）我国载人航天事业已迈入“空间站时代”。若中国空间站绕地球近似做匀速圆周运动，运行周期为T，轨道半径约为地球半径的 倍，已知地球半径为R，引力常量为G，忽略
地球自转的影响，则（ ）
A．漂浮在空间站中的宇航员不受地球的引力
B．空间站绕地球运动的线速度大小约为
C．地球的平均密度约为
D．空间站绕地球运动的向心加速度大小约为地面重力加速度的 倍
1. 万有引力定律的应用
F =F
1）基本方法:把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供.即 引 向得：
Mm v2 4π2
G =m =mω2r=m r=ma
r2 r T2
2）应用时可根据实际情况选用适当的公式进行分析或计算
2. 天体质量及密度的计算
1）天体表面处理方法
Mm gR2
G =mg M=
R2 G
①天体质量，由 ，得天体质量 .
4 3g
V= πR3 ρ=
3 4πGR
②天体密度，由天体质量及球体体积公式 ，得天体密度
2）利用环绕天体处理方法
Mm 4π2 4π2r3
G =m r M=
r2 T2 GT2
①天体质量，由 ，得天体质量 .
4 3πr3
V= πR3 ρ=
3 GT2R3
②天体密度，由天体质量及球体体积公式 ，得天体密度
3π
ρ=
GT2
③若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度 ，故只要
测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．3. 星球“瓦解”问题及黑洞
1）星球的瓦解问题
当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起
来”，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是赤道上的物体所受星球的引力恰好提供向心力，即＝
mω2R，得ω＝.当ω>时，星球瓦解，当ω<时，星球稳定运行．
2）黑洞
黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行
的天体的运动规律间接研究黑洞．当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)超过光速时，该天
体就是黑洞．
1．（2023·广东·模拟预测）我国在航天技术方面取得了瞩目的成就，早在2021年2月10日“天问一号”
成功实施了火星捕获，5月择机实施降轨软着陆火星表面。航天中心测得：当“天问一号”距火星表面高
度约为火星半径的2倍时，其环绕周期为T。已知万有引力常量为G，则火星的密度为（ ）
A． B．
C． D．
2.（2024·河南·校联考模拟预测）木星有79颗卫星，其中木卫三是太阳系中已知的唯一一颗拥有磁圈和一
层稀薄的含氧大气层的卫星，这引起了科学家的高度重视。若木卫三绕木星做匀速圆周运动的半径为r，
周期为T，木星表面的重力加速度为g，木星的半径为R，引力常量为G，忽略木星的自转及卫星之间的相
互作用力，则下列说法正确的是（ ）
A．木星的质量为 平均密度为 B．木星的质量为 平均密度为
C．木卫三的质量为 平均密度为 D．木卫三的质量为 平均密度为考点三 宇宙速度 天体、卫星运行参数及规律 同步卫星
1.（2021·江苏·高考真题）我国航天人发扬“两弹一星”精神砥砺前行，从“东方红一号”到“北斗”不断
创造奇迹。“北斗”第49颗卫星的发射迈出组网的关键一步。该卫星绕地球做圆周运动，运动周期与地球
自转周期相同，轨道平面与地球赤道平面成一定夹角。该卫星（ ）
A．运动速度大于第一宇宙速度
B．运动速度小于第一宇宙速度
C．轨道半径大于“静止”在赤道上空的同步卫星
D．轨道半径小于“静止”在赤道上空的同步卫星
2．（2023·天津·统考高考真题）运行周期为 的北斗卫星比运行周期为 的（ ）
A．加速度大 B．角速度大 C．周期小 D．线速度小
3.（2021·海南·高考真题）2021年4月29日，我国在海南文昌用长征五号B运载火箭成功将空间站天和核
心舱送入预定轨道。核心舱运行轨道距地面的高度为 左右，地球同步卫星距地面的高度接近
。则该核心舱的（ ）
A．角速度比地球同步卫星的小
B．周期比地球同步卫星的长
C．向心加速度比地球同步卫星的大
D．线速度比地球同步卫星的小
4. （2022·广东·高考真题）“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。假设火星和地球的冬
季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍。火星和地球绕太阳的公转均可视为
匀速圆周运动。下列关于火星、地球公转的说法正确的是（ ）
A．火星公转的线速度比地球的大 B．火星公转的角速度比地球的大
C．火星公转的半径比地球的小 D．火星公转的加速度比地球的小
5.（2022·河北·统考高考真题）2008年，我国天文学家利用国家天文台兴隆观测基地的2.16米望远镜，发
现了一颗绕恒星HD173416运动的系外行星HD173416b，2019年，该恒星和行星被国际天文学联合会分别
命名为“羲和”和“和“望舒”，天文观测得到恒星羲和的质量是太阳质量的2倍，若将望舒与地球的公
转均视为匀速圆周运动，且公转的轨道半径相等。则望舒与地球公转速度大小的比值为（ ）
A． B．2 C． D．
6. （2022·天津·高考真题）2022年3月，中国空间站“天宫课堂”再次开讲，授课期间利用了我国的中继
卫是系统进行信号传输，天地通信始终高效稳定。已知空间站在距离地面400公里左右的轨道上运行，其
运动视为匀速圆周运动，中继卫星系统中某卫星是距离地面36000公里左右的地球静止轨道卫星（同步卫
星），则该卫星（ ）A．授课期间经过天津正上空 B．加速度大于空间站的加速度
C．运行周期大于空间站的运行周期 D．运行速度大于地球的第一宇宙速度
1. 宇宙速度
1） 第一宇宙速度:7.9km/s，它是卫星的最小发射速度，也是地球卫星的最大环绕速度.
【技巧点拨】第一宇宙速度推导
①方法一：
Mm v2 √GM √6.67×10-11 ×5.98×1024
G =m ⇒v= = ≈7.9km/s
由
r2 r r 6.4×106
，
v2
mg=m ⇒v=√gR= √9.8×6.4×106 ≈7.9km/s
r
②方法二：由 .
【技巧点拨】第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它
的运行周期最短，T ＝2π＝5 078 s≈85 min.
min
2）第二宇宙速度（脱离速度）:11.2km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度.
3）第三宇宙速度（逃逸速度）:16.7km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度.
【技巧点拨】宇宙速度与运动轨迹的关系
①v ＝7.9 km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动．
发
②7.9 km/s<v <11.2 km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆．
发
③11.2 km/s≤v ＜16.7 km/s，卫星绕太阳运动．
发
④v ≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间．
发
2. 卫星轨道
1）卫星轨道：卫星运动的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和倾斜轨道。3. 天体及卫星运动的规律
F =F
1）基本方法:把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供.即 引 向得：
Mm v2 4π2
G =m =mω2r=m r=ma
r2 r T2
2）基本公式：
Mm v2 √ GM
G =m ⇒v=
r2 r r
线速度：
①
G Mm =mω2r⇒ω= √ GM
r2 r3
②角速度：
Mm 4π2 √ r3
G =m r⇒T=2π
r2 T2 GM
③周期：
Mm GM
G =ma⇒a=
r2 r2
④向心加速度：
结论：飞得越高，飞得越慢（r越大，v、ω、a越小，T越大）．
【技巧点拨】公式中r指轨道半径，是卫星到中心天体球心的距离，R通常指中心天体的半
径，有r＝R＋h.．
4. 特殊卫星
1）近地卫星
轨道在地球表面附近的卫星，其轨道半径r＝R(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度v＝7.9
km/s(人造地球卫星的最大运行速度)，T＝85 min(人造地球卫星的最小周期)．
2）极地卫星
运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．
【技巧点拨】近地卫星可能为极地卫星，也可能为赤道卫星
3）地球同步卫星
所谓地球同步卫星，是相对于地面静止的，这种卫星位于赤道上方某一高度的稳定轨道上，且绕
地球运动的周期等于地球的自转周期，即T=24h=86400s，离地面高度√gR2T2
h= 3 −R=3.56×107m
4π2
，运行速率均为v＝3.1×103 m/s，
同步卫星的轨道一定在赤道平面内，并且只有一条.所有同步卫星都在这条轨道上，以大小相同的
线速度，角速度和周期运行着.
4）倾斜轨道“同步” 卫星*：如果某卫星运行在一个轨道平面和赤道平面夹角不为0°的轨道上时，
则称该卫星被叫做倾斜轨道卫星，该夹角也被称为“轨道倾角”。若该卫星的运行周期等于地球的自转周
期，则该卫星为倾斜轨道同步卫星。与常规的同步轨道相比,同步卫星倾斜轨道的轨道平面呈现倾斜状态，
只是周期与地球自转同步，不能实现定点悬停。
5） 月球：绕地球的公转周期T＝27.3天，月球和地球间的平均距离约38万千米，大约是地球半径的
60倍．
5. 同步卫星、近地卫星和赤道上物体比较
1）地球同步卫星与赤道物体的区别：属于同轴转动，角速度、周期相同。
2）同步卫星、近地卫星和赤道上物体比较
如图所示，2为近地卫星，轨道半径为r ；3为地球同步卫星，轨道半径为r ；4为高空卫星，轨
2 3
道半径为r；1为赤道上随地球自转的物体，轨道半径为r.
4 1
【技巧点拨】
①比较赤道上物体与同步卫星，用同轴转动的知识分析；
②比较近地卫星、同步卫星、高空卫星，用天体轨道与运动规律分析；
1.（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考模拟预测）如图所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，
随地球自转做匀速圆周运动，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星（轨道半径约等于地球半
径），c为地球的同步卫星。下列关于a、b、c的说法中正确的是（ ）A．地球同步卫星都与c在同一个轨道上，并且它们受到的万有引力大小相等
B．a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为
C．a物体与地球的万有引力全部提供给a物体随地球自转的向心力
D．a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为
2. （2021·湖南·高考真题）（多选）2021年4月29日，中国空间站天和核心舱发射升空，准确进入预定轨
道。根据任务安排，后续将发射问天实验舱和梦天实验舱，计划2022年完成空间站在轨建造。核心舱绕地
球飞行的轨道可视为圆轨道，轨道离地面的高度约为地球半径的 。下列说法正确的是（ ）
A．核心舱进入轨道后所受地球的万有引力大小约为它在地面时的 倍
B．核心舱在轨道上飞行的速度大于
C．核心舱在轨道上飞行的周期小于
D．后续加挂实验舱后，空间站由于质量增大，轨道半径将变小
3.（2023·湖北·模拟预测）（多选）2021年5月，天问一号探测器软着陆火星取得成功，迈出了我国星际
探测征程的重要一步。火星与地球公转轨道近似为圆，两轨道平面近似重合，且火星与地球公转方向相同。
火星与地球每隔约26个月相距最近，地球公转周期为12个月。由以上条件可以近似得出（ ）
A．地球与火星的自转周期之比
B．火星的公转周期大约为
C．地球与火星轨道半径之比
D．地球与火星表面重力加速度大小之比
4.（2024·江西景德镇·江西省乐平中学校联考一模）2022年9月2日，韦布空间望远镜拍摄的编号为“HIP
65426 b”第一张系外行星图像公布。这颗系外行星围绕编号为“HIP 65426”的恒星公转，该恒星的质量约
为太阳质量的2倍，单位时间内向外辐射的能量为太阳的4倍，若“HIP 65426 b”行星单位时间单位面积获
得的恒星辐射能量与处在太阳系中的地球相同，系外行星和地球绕恒星的运动均可视为匀速圆周运动，则
“HIP 65426 b”行星绕“HIP 65426”恒星公转的周期约为（ ）
A．1年 B．2年 C．4年 D．8年
5.（2024·广东江门·统考模拟预测）2023年8月12日我国在西昌卫星发射中心成功发射了一颗名为陆地探
测四号的卫星，这是世界上第一颗在同步静止轨道上运行的合成孔径雷达（SAR）卫星。同步静止卫星的
离地高度比近地卫星高，下列说法正确的是（ ）
A．同步静止卫星可以运行在江门市正上方
B．同步静止卫星的线速度比近地卫星大C．同步静止卫星的周期比近地卫星大
D．同步静止卫星受到的万有引力一定比近地卫星小考点四 卫星变轨、对接、追及相遇问题 双星问题
1.（2022·浙江·统考高考真题）“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，
再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则天问一号（ ）
A．发射速度介于7.9km/s与11.2km/s之间
B．从P点转移到Q点的时间小于6个月
C．在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小
D．在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度
2.（2023·浙江·高考真题）太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动．当地球恰好运行
到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，称为“行星冲日”，已知地球及各地外行星
绕太阳运动的轨道半径如下表：
火
行星名称 地球 木星 土星 天王星 海王星
星
轨道半径
1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
则相邻两次“冲日”时间间隔约为（ ）
A．火星365天 B．火星800天
C．天王星365天 D．天王星800天
3.（2023·福建·统考高考真题）（多选）人类为探索宇宙起源发射的韦伯太空望远镜运行在日地延长线上的
拉格朗日L 点附近，L 点的位置如图所示。在L 点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地
2 2 2
球保持相对静止。考虑到太阳系内其他天体的影响很小，太阳和地球可视为以相同角速度围绕日心和地心
连线中的一点O（图中未标出）转动的双星系统。若太阳和地球的质量分别为M和m，航天器的质量远小
于太阳、地球的质量，日心与地心的距离为R，万有引力常数为G，L 点到地心的距离记为r（r << R），
2
在L 点的航天器绕O点转动的角速度大小记为ω。下列关系式正确的是（ ）[可能用到的近似
2
]A． B．
C． D．
1. 卫星变轨
1）变轨操作：1→2→3
①在1轨道Q点点火加速，万有引力不足以提供航天飞机做匀速圆周运动向心力，航天飞机做离
心运动，进入轨道2
②在2轨道中，从Q点到P点飞行过程中，万有引力做负功，万有引力与航天飞机速度方向夹角
大于90°，航天飞机速度减小，动能减小，势能增加，机械能不变。
在2轨道P点处，万有引力大于航天飞机做匀速圆周运动向心力，如果不进行任何操作，航天
飞机做向心运动，沿着椭圆轨道2运行回Q，从P到Q，万有引力做正功，万有引力与航天飞机速度方向
夹角小于90°，航天飞机速度增加，动能增加，势能减小，机械能不变。
③在2轨道P点点火加速，当万有引力恰好能提供航天飞机做匀速圆周运动向心力，航天飞机将
沿着3轨道运行，完成变轨操作
2）各点参数关系
v >v >v >v
①线速度大小： 2Q 1 3 2P
②角速度关系：
③向心加速度关系：
T <T <T
④周期关系： 1 2 3
E <E <E
能量关系： 1 2 3
⑤
2. 卫星追及问题
1）两卫星在同一轨道绕中心天体同向运动，要使后一卫星追上另一卫星，我们称之为追及问题。两
卫星在不同轨道绕中心天体在同一平面内做匀速圈周运动，当两星某时相距最近时我自们称之为两卫星相遇问题。
2）分类
①最近到最近
②最近到最远
3. 双星问题
1）模型构建：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统．2）特点：
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即
m m m m
G 1 2 =m ω2r ,G 1 2 =m ω2r
L2 1 1 1 L2 2 2 2
.
T =T ,ω =ω
②两颗星的周期及角速度都相同，即 1 2 1 2.
r +r =L
③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为： 1 2 .
④两星到圆心的距离r、r 与星体质量成反比，即＝.
1 2
⑤双星的运动周期T＝2π.
⑥双星的总质量m＋m＝.
1 2
1.（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）2023年2月23日19时49分，我国在西昌卫星发射中心使用长征
三号乙运载火箭，将中星26号卫星顺利送入预定轨道。5月，中星26号首次在境外实现国际互联网业务
应用，开启了Ka高通量卫星国际化业务的新征程。如图所示，中星26号经I轨道（近地轨道）由近地点
变轨进入II轨道（转移轨道），经远地点变轨进入III轨道（同步卫星轨道）后稳定运行。已知三个轨道
在同一平面内，地球的半径为R，III轨道的半径为7R，中星26号在III轨道上稳定运行的周期为T。下列
关于中星26号的说法正确的是（ ）
A．在I轨道上运行的加速度大小为 B．在I轨道上绕行速度的大小为
C．在远地点的速度小于其在I轨道上运行的速度
D．在II轨道上由近地点至远地点所用的最短时间为
2.（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考三模）地球的两颗卫星绕地球在同一平面内做匀速圆周运动，环绕方向
如图所示。已知卫星一运行的周期为 ，地球的半径为 ，卫星一和卫星二到地球中心的距离分别为
， ，引力常量为G，某时刻两卫星与地心连线之间的夹角为 ，下列说法正确的是（
）A．卫星二的机械能一定大于卫星一的机械能
B．地球的质量
C．卫星二围绕地球做圆周运动的周期
D．从图示时刻开始，经过 时间两卫星第一次相距最近
3.（2024·湖南郴州·统考模拟预测）2023年1月9日天文学家发现有史以来距离最近的两个黑洞，相距750
光年，设质量大的为A，质量小的为B，它们在彼此之间的引力作用下互相环绕，周期相等，如图所示，
不考虑其它星体对它们的作用，下列说法正确的是（ ）
A．A、B的速度之比等于它们质量反比
B．A、B组成的系统能量守恒，动量不守恒
C．若A、B的间距增大，则周期越小
D．若A、B因吞噬物质质量都增大而其中心间距不变，则它们的角速度不变
