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2026 高考物理大一轮总复习讲义13：
行星的运动与万有引力定律及其成就
（共25 页）
目录
【链接高考】.....................................................................................................................................1
【考点梳理】.....................................................................................................................................6
考点一、开普勒行星运动定律.................................................................................................6
考点二、万有引力定律.............................................................................................................7
考点三、应用万有引力定律分析天体的运动........................................................................7
【考向分析】.....................................................................................................................................9
考向一：开普勒定律应用.........................................................................................................9
考向二：万有引力的计算.........................................................................................................9
考向三、天体质量、密度的计算...........................................................................................11
考向四、求行星表面的重力加速度.......................................................................................12
考向五、与万有引力相关的临界问题...................................................................................15
【高考解题速通】...........................................................................................................................16
【链接高考】
1．（2025·云南·高考真题）国际编号为192391 的小行星绕太阳公转的周期约为5.8 年，该
小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半
径为
，八大行星绕太阳的公转轨道半径如下表所示。忽略其它行星对该小行星的引力
作用，则该小行星的公转轨道应介于（ ）
行星
水星
金星
地球
火
星
木星
土星
天王星
海王星
轨道半径
0.39
0.72
1.0
1.5
5.2
9.5
19
30
A．金星与地球的公转轨道之间
B．地球与火星的公转轨道之间
C．火星与木星的公转轨道之间
D．天王星与海王星的公转轨道之间
【答案】C
【详解】根据开普勒第三定律可知
其中
，
，
代入解得
故可知该小行星的公转轨道应介于火星与木星的公转轨道之间。
故选C。
2．（2024·山东·高考真题）“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24 小时椭圆轨道的半
长轴为a。已知地球静止卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】“鹊桥二号”中继星在24 小时椭圆轨道运行时，根据开普勒第三定律
同理，对地球的静止卫星根据开普勒第三定律
又开普勒常量与中心天体的质量成正比，所以
联立可得
故选D。
3．（2024·广西·高考真题）潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的
引力不相同。图中a、b 和c 处单位质量的海水受月球引力大小在（ ）
A．a 处最大
B．b 处最大
C．c 处最大
D．a、c 处相等，b 处
最小
【答案】A
【详解】根据万有引力公式
可知图中a 处单位质量的海水收到月球的引力最大；
故选A。
4．（2024·海南·高考真题）嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之
比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】设月球半径为
，质量为
，对嫦娥六号，根据万有引力提供向心力
月球的体积
月球的平均密度
联立可得
故选D。
5．（2024·全国甲卷·高考真题）2024 年5 月，嫦娥六号探测器发射成功，开启了人类首次
从月球背面采样返回之旅。将采得的样品带回地球，飞行器需经过月面起飞、环月飞行、
月地转移等过程。月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的
。下列说法
正确的是（ ）
A．在环月飞行时，样品所受合力为零
B．若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力等于零
C．样品在不同过程中受到的引力不同，所以质量也不同
D．样品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的压力小
【答案】D
【详解】A．在环月飞行时，样品所受合力提供所需的向心力，不为零，故A 错误；
BD．若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力大小等于它在月球表面的重力大小；由
于月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的
，则样品在地球表面的重力
大于在月球表面的重力，所以样品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时
对地球的压力小，故B 错误，D 正确；
C．样品在不同过程中受到的引力不同，但样品的质量相同，故C 错误。
故选D。
6．（2023·浙江·高考真题）木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之
比为
。木卫三周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r 的n 倍。月球绕地球
公转周期为
，则（ ）
A．木卫一轨道半径为
B．木卫二轨道半径为
C．周期T 与T0之比为
D．木星质量与地球质量之比为
【答案】D
【详解】根据题意可得，木卫3 的轨道半径为
AB．根据万有引力提供向心力
可得
木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为
,可得木卫一轨道半径为
木卫二轨道半径为
故AB 错误；
C．木卫三围绕的中心天体是木星，月球的围绕的中心天体是地球，根据题意无法求出周
期T 与T0之比，故C 错误；
D．根据万有引力提供向心力，分别有
联立可得
故D 正确。
故选D。
7．（2023·辽宁·高考真题）在地球上观察，月球和太阳的角直径（直径对应的张角）近似
相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为T₁，地球绕太阳运动的周期为T₂，地球半径
是月球半径的k 倍，则地球与太阳的平均密度之比约为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】设月球绕地球运动的轨道半径为r₁，地球绕太阳运动的轨道半径为r₂，根据
可得
其中
联立可得
故选D。
【考点梳理】
考点一、开普勒行星运动定律
1、开普勒第一定律
所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。这就是
开普勒第一定律，又称椭圆轨道定律。
2、开普勒第二定律
对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积。这就是开
普勒第二定律，又称面积定律。
3、开普勒第三定律
所以行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。这就是开普勒第
三定律，又称周期定律。若用
表示椭圆轨道的半长轴，T 表示公转周期，则
（
是一个与行星无关的常量）。
要点诠释：由第一定律出发，行星运动时，轨道上出现了近日点和远日点。由第二定律可
以知道，从近日点向远日点运动时，速率变小，从远日点向近日点运动时速率变大。由第
三定律知道
，而
值只与太阳有关，与行星无关。
开普勒定律的应用
（1）行星的轨道都近似为圆，计算时可认为行星做匀速圆周运动，这时太阳在圆心上，
第三定律为
；（2）开普勒定律不仅适用于行星，也适用于卫星，若把卫星轨道近
似看作圆，第三定律公式为
，这时
由行星决定，与卫星无关。当天体绕不同的
中心星球运行时，
中的
值是不同的。（3）对于椭圆轨道问题只能用开普勒定律
解决。卫星变轨问题，可结合提供的向心力和需要的向心力的关系来解决。
考点二、万有引力定律
1、公式：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体质量的乘积成正比，
与它们之间距离的平方成反比。
，
为万有引力常量，
。
2、适用条件：公式适用于质点间万有引力大小的计算。当两个物体间的距离远远大于
物体本身的大小时，物体可视为质点。另外，公式也适用于均匀球体间万有引力大小的计
算，只不过r 应是两球心间的距离。
3、万有引力的特点（1）普适性：（2）相互性：（3）宏观性：
要点诠释：重力和万有引力的联系和区别
重力是地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的；万有引力是物体
随地球自转所需向心力和重力的合力。如图所示，
产生两个效果：一是
提供物体随地球自转所需的向心力；二是产生物体的重力。由于
，
随纬度的增大而减小，所以
物体的重力随纬度的增大而增大，即重力加速度从赤道到两极逐渐增大；
但
一般很小，在一般情况下可认为重力和万有引力近似相等，
即
常用来计算星球表面的重力加速度。
在地球同一纬度处，g 随物体离地面高度的增加而减小，因为物体所受万有引力随物体
离地面高度的增加而减小，即
。
考点三、应用万有引力定律分析天体的运动
1、基本方法
把天体（或人造卫星）的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供。
公式为
解决问题时可根据情况选择公式分析、计算。
2、天体质量M、密度
的计算
测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径
和周期T，由
得
(
为中心天体的半径）
当卫星沿中心天体表面绕天体运动时，
，则
。
3、天体（如卫星）运动的线速度、角速度、周期与轨道半径r 的关系
（1）由
得
，所以
越大，
越小；
（2）由
得
，所以
越大，
越小；
（3）由
得
，所以
越大，T 越大。
4、黄金代换式
在地球表面的物体所受重力和地球对该物体的万有引力差别很小，在一般讨论和计算时
可以认为
，且有
。对其它行星也适用，不过g 是行星表面的重力
加速度，R 是行星的半径，M 是行星的质量。
5、天体质量的几种计算方法（以地球质量M 为例）
（1）若已知卫星绕地球做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r 。
由
2
2
4
Mm
G
m
r
r
T
得
2
3
2
4
r
M
GT
。
（2）若已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v 和半径r 。
由
2
2
Mm
v
G
m
r
r
得
2v r
M
G
。
（3）若已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v 和周期T。
由
2
2
(
)
Mm
G
mv
r
T
及
2
vT
r
得
3
2
v T
M
G
。
（4）若已知地球半径R 及表面的重力加速度g。
由
2
Mm
G
mg
R
得
2
gR
M
G
。
【考向分析】
考向一：开普勒定律应用
1．（2016·全国I 卷·高考真题）利用三颗位置适当的地球静止卫星，可使地球赤道上任意
两点之间保持无线电通讯，目前地球静止卫星的轨道半径为地球半径的6.6 倍，假设地球
的自转周期变小，若仍仅用三颗静止卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为
（ ）
A．1h
B．4h
C．8h
D．16h
【答案】B
【详解】设地球的半径为R，周期T=24h，地球自转周期最小时，三颗静止卫星的位置如
图所示
所以此时静止卫星的半径
r1=2R
由开普勒第三定律得
可得
故选B。
考向二：万有引力的计算
1．（2020·全国I 卷·高考真题）火星的质量约为地球质量的
，半径约为地球半径的
，
则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为（ ）
A．0.2
B．0.4
C．2.0
D．2.5
【答案】B
【详解】设物体质量为m，则在火星表面有
在地球表面有
由题意知有
故联立以上公式可得
故选B。
2．（2020·全国I 卷·高考真题）火星的质量约为地球质量的
，半径约为地球半径的
，
则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为（ ）
A．0.2
B．0.4
C．2.0
D．2.5
【答案】B
【详解】设物体质量为m，则在火星表面有
在地球表面有
由题意知有
故联立以上公式可得
故选B。
考向三、天体质量、密度的计算
1．（2021·广东·高考真题）2021 年4 月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射
并入轨运行，若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量
能计算出地球质量的是（ ）
A．核心舱的质量和绕地半径
B．核心舱的质量和绕地周期
C．核心舱的绕地角速度和绕地周期
D．核心舱的绕地线速度和绕地半径
【答案】D
【详解】根据核心舱做圆周运动的向心力由地球的万有引力提供，可得
可得
可知已知核心舱的质量和绕地半径、已知核心舱的质量和绕地周期以及已知核心舱的角速
度和绕地周期，都不能求解地球的质量；若已知核心舱的绕地线速度和绕地半径可求解地
球的质量。
故选D。
2．2018 年2 月，我国500 m 口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星“J0318+0253”，其
自转周期T=5.19 ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为
．以周期T 稳定自转的星体的密度最小值约为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】试题分析;在天体中万有引力提供向心力，即
，天体的密度公式
，结合这两个公式求解．
设脉冲星质量为M，密度为
根据天体运动规律知：
代入可得：
，故C 正确；
故选C
考向四、求行星表面的重力加速度
1．（2024·安徽·一模）如图所示，有两颗卫星绕某星球做椭圆轨道运动，两颗卫星的近地
点均与星球表面很近（可视为相切），卫星1 和卫星2 的轨道远地点到星球表面的最近距
离分别为
，卫星1 和卫星2 的环绕周期之比为k。忽略星球自转的影响，已知引力常
量为G，星球表面的重力加速度为
。则星球的平均密度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】卫星一、卫星二轨道的半长轴分别为
，
由开普勒第三定律得
整理得
星球表面的重力加速度为g，根据万有引力提供重力得
星球质量的表达式为
联立得
故选A。
2．（2021·四川·一模）质量分布均匀、半径为R 的球状星云，其表面重力加速度为g。由
于热膨胀的发生导致该星云半径变为2R，若此过程中质量保持不变且质量仍分布均匀。忽
略星云自转，则变化后的星云表面的重力加速度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】星云表面物体的重力等于万有引力
故
当半径变为原来的2 倍，则重力加速度为0.25g。
故选A。
3．（2024·江苏·模拟预测）帝企鹅是南极常见的一种动物，如图所示的是一只处在南极极
点的帝企鹅。如果把地球看成一个均匀的球体，关于此帝企鹅与重力有关的问题，下列说
法中正确的是（ ）
A．帝企鹅受到的重力的方向一定指向地心
B．帝企鹅受到的重力的方向一定偏离地心
C．帝企鹅对地面的压力就是其受到的重力
D．帝企鹅受到的重力小于地球对它的吸引力
【答案】A
【详解】AB．重力的方向竖直向下，由于把地球看成一个均匀的球体，则帝企鹅受到的重
力的方向一定指向地心，故A 正确，B 错误；
C．帝企鹅对地面的压力的受力物体是地球，帝企鹅的重力的受力物体是企鹅，压力与重
力作用在不同物体上，因此，不能够认为帝企鹅对地面的压力就是其受到的重力，故C 错
误；
D．由于帝企鹅处在南极极点，帝企鹅相对于地心处于静止状态，并没有随地球自转，则
帝企鹅受到的重力等于地球对它的吸引力，故D 错误。
故选A。
4．已知地球质量为月球质量的81 倍，地球半径约为月球半径的4 倍．若在月球和地球表
面同样高度处，以相同的初速度水平抛出物体，抛出点与落地点间的水平距离分别为
和
，则
：
约为
A．9：4
B．6：1
C．3：2
D．1：1
【答案】A
【详解】设月球质量为
，半径为
，地球质量为M，半径为R。已知
，
根据万有引力等于重力得
则有
因此
…①
由题意从同样高度抛出
…②
联立①、②解得
在地球上的水平位移
在月球上的
因此得到
故A 正确，BCD 错误。
故选A。
考向五、与万有引力相关的临界问题
1、中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测的它
的自转周期为T=1/30s。问该中子星的最小密度应是多少才能维持位于赤道处的物体的稳定，
不至因自转而瓦解。（星体可视为均匀球体，引力常量
11
2
2
6.67 10
/
G
N m
kg
）
【答案】
14
1.27 10 kg
【解析】考虑中子是赤道处一块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体所需
的
向心力时，中子星才不会瓦解。
设中子星的密度为，质量为M ，半径为R，自转角速度为，位于赤道处的小块物
质质量为m，则有
R
m
R
GMm
2
2
①
T
2
②
3
4
3
M
R
③
由以上各式得
2
3
GT
④ 代入数据解得
14
1.27 10 kg
.
【总结升华】因“自转而瓦解”的意思是：万有引力不足以提供星球做匀速圆周运动所需
的向心力，就是自转的最大角速度或最小周期。
【高考解题速通】
1．（2025·山西太原·二模）航天器飞过行星表面，利用行星引力改变其速度和轨道的一种
技术叫做引力弹弓效应。某探测器原在半长轴为
的绕日椭圆轨道上运动，飞掠木星后进
入一个半长轴为
的绕日椭圆轨道。忽略其他行星的影响，下列说法正确的是（ ）
A．木星的引力对探测器做正功，探测器机械能减少
B．探测器在新轨道上的运行周期是在原轨道上的
倍
C．探测器在新轨道近日点的速率等于其在原轨道远日点的速率
D．探测器在新轨道上近日点的加速度小于其在新轨道上远日点的加速度
【答案】B
【详解】A．探测器从半长轴为
的绕日椭圆轨道上进入半长轴为
的绕日椭圆轨道，机
械能是增加的，即木星的引力对探测器做正功，探测器机械能增加，故A 错误；
B．根据开普勒第三定律
可得
解得
，故B 正确；
C．根据开普勒第二定律，探测器绕太阳沿椭圆轨道运动时，在近日点的速率大于它在远
日点的速率。探测器从半长轴为a 的绕日椭圆轨道进入半长轴为2a 的绕日椭圆轨道后，根
据题意，探测器机械能增加，其在新轨道近日点的速率也会增加，故探测器在新轨道近日
点的速率大于其在原轨道远日点的速率，故C 错误；
D．由牛顿第二定律可得
故得
由于
，故
，即探测器在新轨道上近日点的加速度大于其在新轨道上远日点
的加速度，故D 错误；
故选B。
2．（2025·北京昌平·二模）2025 年3 月26 日，我国在西昌卫星发射中心成功将“天链二
号04 星”发射升空，该星是地球同步轨道数据中继卫星。已知“天链二号04 星”的轨道
半径约为地球半径的6 倍，某卫星在近地圆轨道运行时周期为
。则“天链二号04 星”的
周期约为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设地球半径为R，根据开普勒第三定律有
联立解得“天链二号04 星”的周期
故选C。
3．（2025·重庆·三模）卫星甲是定点于地球赤道平面的地球同步卫星，卫星乙是地球极地
卫星，甲、乙均绕地球做匀速圆周运动。已知乙的轨道半径为r，甲的轨道半径为4r。某
时刻甲位于乙的正上方，则到下一次甲位于乙的正上方所经过的最短时间为（ ）
A．24h
B．12h
C．6h
D．3h
【答案】A
【详解】由开普勒第三定律可知，甲、乙绕地运行的周期之比
甲为地球同步卫星，周期为
，所以
由于甲、乙的运行轨道相互垂直，可知经过12h，当甲第一次运动到原来位置的对面时，
乙恰好回到原来的位置，此时甲不在乙的正上方；经过24h，当甲第一次回到原来的位置
时，乙正好也回到原来的位置，此时甲正好位于乙正上方。
故选A。
4．（2025·河北石家庄·模拟预测）中国古代所谓的“扫把星”说的是彗星，若某颗彗星绕
日运动的轨道为椭圆，平均周期约为p 年，近日点的速率为v1，近日点到太阳的距离约为
日地距离的q 倍。地球绕太阳运动的轨道为圆轨道，据此可知该彗星在远日点的速率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】根据开普勒第三定律
解得
近日点到太阳距离为
故远日点到太阳距离为
根据开普勒第二定律可得
联立解得
故选D。
5．（2021·山东·高考真题）从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由
地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9 倍，半径约为月球的2 倍，“祝融”
火星车的质量约为“玉兔”月球车的2 倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个
由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受陆平台的作用力大小之比
为（ ）
A．9 1∶
B．9 2∶
C．36 1∶
D．72 1∶
【答案】B
【详解】悬停时所受平台的作用力等于万有引力，根据
可得
故选B。
6．2019 年1 月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆，在探测器“奔向”月球的
过程中，用h 表示探测器与地球表面的距离，F 表示它所受的地球引力，能够描F 随h 变
化关系的图像是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】根据万有引力定律可得
可得h 越大，F 越小，且F 与h 不是线性关系，ABC 错误，D 正确。
故选D。
7．（2024·新疆河南·高考真题）天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其
运行，其中行星GJ1002c 的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07 倍，周期约为
0.06 年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的（ ）
A．0.001 倍
B．0.1 倍
C．10 倍
D．1000 倍
【答案】B
【知识点】根据已知量计算出天体的质量
【详解】设红矮星质量为M1，行星质量为m1，半径为r1，周期为T1；太阳的质量为M2，
地球质量为m2，到太阳距离为r2，周期为T2；根据万有引力定律有
联立可得
由于轨道半径约为日地距离的0.07 倍，周期约为0.06 年，可得
故选B。
8．（2021·全国乙卷·高考真题）科学家对银河系中心附近的恒星S2 进行了多年的持续观
测，给出1994 年到2002 年间S2 的位置如图所示。科学家认为S2 的运动轨迹是半长轴约
为
（太阳到地球的距离为
）的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这
项研究工作获得了2020 年诺贝尔物理学奖。若认为S2 所受的作用力主要为该大质量黑洞
的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由图可知，S2 绕黑洞的周期T=16 年，地球的公转周期T0=1 年，S2 绕黑洞做圆周
运动的半长轴r 与地球绕太阳做圆周运动的半径R 关系是
地球绕太阳的向心力由太阳对地球的引力提供，由向心力公式可知
解得太阳的质量为
根据开普勒第三定律，S2 绕黑洞以半长轴
绕椭圆运动，等效于以
绕黑
洞做圆周运动，而S2 绕黑洞的向心力由黑洞对它的万有引力提供，由向心力公式可知
解得黑洞的质量为
综上可得
故选B。
9．（2022·重庆·二模）2020 年11 月24 日，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭顺
利将嫦娥五号探测器送入预定轨道。嫦娥五号飞到月球后，轨道舱会继续在近月轨道运行。
若地球密度为月球密度的k 倍，则近地卫星与近月轨道舱的周期之比
为（ ）
A．
B．
C．k：1
D．1：k
【答案】B
【详解】近地卫星绕地球飞行，万有提供向心力，则有
可得
其中
则有
同理可得近月轨道舱的周期为
所以有
故B 正确，ACD 错误；
故选B。
10．（2023·河南开封·三模）假定月球为质量分布均匀的球体，其半径为
，在月球表面
测得重力加速度为
，设
为距离月球表面高度为时的重力加速度．当比
小得多时，
和
的关系式近似为（ ）[当
时，数学近似公式为
]
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】物体在月球表面时，有
物体距离月球表面高度为时，有
联立可得
可得
故选D。
11．（2022·上海杨浦·一模）在半径为R1的K 星球表面竖直向上提起一质量为m1的物体，
拉力F 与物体加速度a 的关系如图线1 所示。在半径为R2的T 星球表面竖直向上提起一质
量为m2的物体，拉力F 与物体加速度a 的关系如图线2 所示。设两星球密度相等，质量分
布均匀。则（ ）
A．m1：m2＝3：1，R1：R2＝1：2
B．m1：m2＝3：2，R1：R2＝3：1
C．m1：m2＝3：1，R1：R2＝2：3
D．m1：m2＝3：2，R1：R2＝2：1
【答案】A
【详解】物体在星球表面竖直向上加速，根据牛顿第二定律有
变形得
则图线F-a 的斜率表示物体的质量，则有
所以
当加速度a=0 时，拉力等于物体的重力，则有
则重力加速度之比为
根据物体在星球表面上，万有引力等于重力，则有
根据星球质量的计算公式可得
联立解得星球的半径
则
故选A。
12．（2021·福建·高考真题）一火星探测器着陆火星之前，需经历动力减速、悬停避障两
个阶段。在动力减速阶段，探测器速度大小由
减小到0，历时
。在悬停避障阶段，
探测器启用最大推力为
的变推力发动机，在距火星表面约百米高度处悬停，寻找着
陆点。已知火星半径约为地球半径的
，火星质量约为地球质量的
，地球表面重力加速
度大小取
，探测器在动力减速阶段的运动视为竖直向下的匀减速运动。求：
（1）在动力减速阶段，探测器的加速度大小和下降距离；
（2）在悬停避障阶段，能借助该变推力发动机实现悬停的探测器的最大质量。
【答案】（1）
，
；（2）
【详解】（1）设探测器在动力减速阶段所用时间为t，初速度大小为
，末速度大小为
，
加速度大小为a，由匀变速直线运动速度公式有
①
代入题给数据得
②
设探测器下降的距离为s，由匀变速直线运动位移公式有
③
联立②③式并代入题给数据得
④
（2）设火星的质量、半径和表面重力加速度大小分别为
、
和
，地球的质量、半
径和表面重力加速度大小分别为
、
和
由牛顿运动定律和万有引力定律，对质量为
m 的物体有
⑤
⑥
式中G 为引力常量。设变推力发动机的最大推力为F，能够悬停的火星探测器最大质量为
，由力的平衡条件有
⑦
联立⑤⑥⑦式并代入题给数据得
⑧
在悬停避障阶段，该变推力发动机能实现悬停的探测器的最大质量约为
。
