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2024 年高考一轮复习100 考点100 讲
第6 章 万有引力与航天
第6.1 讲 万有引力定律与开普勒定律
【知识点精讲】
一、开普勒三定律
定律
内容
图示或公式
开普勒第一定律(轨道
定律)
所有行星绕太阳运动的轨道
都是椭圆，太阳处在椭圆的
一个焦点上
开普勒第二定律(面积
定律)
对任意一个行星来说，它与
太阳的连线在相等的时间内
扫过的面积相等
开普勒第三定律(周期
定律)
所有行星的轨道的半长轴的
三次方跟它的公转周期的二
次方的比值都相等
＝k，k 是一个与行星无关的
常量
二、万有引力定律
1．内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘
积成正比，与它们之间距离r 的二次方成反比．
2．表达式
F＝G，G 为引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.
3．适用条件
(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离．
4．万有引力的“两点理解”和“两个推论”
(1)两点理解
①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力．
②地球上的物体(两极除外)受到的重力只是万有引力的一个分力．
(2)两个推论
①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F 引＝0.
②推论2：在匀质球体内部距离球心r 处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r 的同心球体(M′)对其
的万有引力，即F＝G.
1
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5．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F 表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F 向，如
图所示．
(1)在赤道上：G Mm
R
2 ＝mg1＋mω2R.
(2)在两极上：G Mm
R
2 ＝mg2.
(3)在一般位置：万有引力G Mm
R
2 等于重力mg 与向心力F 向的矢量和．
越靠近南北两极g 值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，
即GMm
R
2
＝mg.
【方法归纳】
1. 开普勒三定律的理解和应用
（1）．行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理．
（2）．开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动．
（3）．开普勒第三定律＝k 中，k 值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k 值不同．但该定律只能
用在同一中心天体的两星体之间．
2．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F 表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F 向．
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R.
(2)在两极上：G＝mg0.
(3)在一般位置：万有引力G 等于重力mg 与向心力F 向的矢量和．
越靠近南、北两极，g 值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，
即＝mg.
3．星体表面上的重力加速度
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：
mg＝GmM
R
2 ，得g＝GM
R
2 ，即GM＝gR2.
2
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(2)在地球上空距离地心r＝R＋h 处的重力加速度为g′，
mg′＝
，得g′＝
. 所以＝
.
4。 “填补法”求解万有引力
运用“填补法”解题的关键是紧扣万有引力定律的适用条件，先填补后运算，运用“填补法”解题主
要体现了等效思想。
[例] 如图所示，O1是一个半径为2R，质量为M 的密度均匀球体的球心，现在其内以O2为球心挖去
一个半径为R 的球，并在O2处放置一个质量为m 的质点。若已知质量分布均匀的薄球壳对壳内物体的引
力为零，则O1球剩余部分对O2处质点的万有引力为( )
A．
B．
C．
D．
[解析] 若将挖去的小球体用原材料补回，可知剩余部分对m 的吸引力等于完整大球体对m 的吸引力
与挖去小球体对m 的吸引力之差，由于质量分布均匀的薄球壳对壳内物体的引力为零，故O2处质点所受
的万有引力可等效于半径为R 的球对处于其表面质量为m 的质点的引力。易知半径为R 的球质量为M，则
由万有引力定律知道剩余部分对O2处质点的万有引力为，故A 正确。
【最新高考题精练】
1．（2022 新高考海南卷）火星与地球的质量比为a，半径比为b，则它们的第一字宙速度之比和表面的重
力加速度之比分别是（ ）
A．
B．
=
C．
D．
【参考答案】BC
【名师解析】由mg=G
可得火星与地球表面的重力加速度之比是
=
=
，选项A 错误C
3
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正确；由v1=
可得火星与地球的第一字宙速度之比是
=
=
， 选项B 正确D 错误。
2. （2021 高考全国乙卷）科学家对银河系中心附近的恒星S2 进行了多年的持续观测，给出1994 年到
2002 年间S2 的位置如图所示。科学家认为S2 的运动轨迹是半长轴为1000AU（太阳到地球的距离为
1AU）的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020 年诺贝尔物理学奖。若
认为S2 所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为
（ ）
A. 4×10
4 M
B. 4×10
6 M
C. 4×10
8 M
D. 4×10
10 M
【参考答案】B
【关键能力】 本题通过由1994 年到2002 年对恒星S2 观测位置图，结合万有引力提供向心力，考查考生
都天体运动的估算能力和灵活运用知识能力。（
【学科素养】本题考查的学科素养主要是物理观念中的运动和相互作用观念，考生要能够用万有引力提供
向心力列方程分析，能从物理学的运动和相互作用的视角分析天文观测数据，解决相关问题。
【解题思路】由1994 年到2002 年对恒星S2 观测位置图可知，恒星S2 绕黑洞运动的周期大约为T2=36 年，
半长轴为a=1000AU，设黑洞的质量为M 黑，恒星S2 质量为m2，由万有引力提供向心力，可得G
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=m2a（
）2；设地球质量为m，地球绕太阳运动的轨道半径为r=1AU，周期T1=1 年，由万有引力提供
向心力，可得G
=mr（
）2，联立解得黑洞质量M 黑=106M，选项B 正确。
【解题指导】由1994 年到2002 年对恒星S2 观测位置图得出恒星S2 绕黑洞运动的周期，把天体的椭圆轨
道运动简化为圆周运动，列方程估算得出银河系中黑洞的质量。
3. (2021 新高考福建)两位科学家因为在银河系中心发现了一个超大质量的致密天体而获得了2020 年诺贝
尔物理学奖.他们对一颗靠近银河系中心的恒星S2的位置变化进行了持续观测，记录到的S2的椭圆轨道如
图所示.图中O 为椭圆的一个焦点，椭圆偏心率（离心率）约为0.87.P、Q 分别为轨道的远银心点和近银心
点，Q 与O 的距离约为120AU（太阳到地球的距离为1AU），S2的运行周期约为16 年.假设S2的运动轨迹
主要受银河系中心致密天体的万有引力影响，根据上述数据及日常的天文知识，可以推出
A. S2与银河系中心致密天体的质量之比
B.银河系中心致密天体与太阳的质量之比
C. S2在P 点与Q 点的速度大小之比
D. S2在P 点与Q 点的加速度大小之比
【参考答案】B D
【解题思路】
设银河系中心超大质量的致密天体质量为M 银心，恒星S2绕银河系中心（银心）做椭圆轨道运动的椭圆半
长轴为a，半焦距为c，根据题述Q 与O 的距离约为120AU，可得a-c=120AU，又有椭圆偏心率（离心
率）约为c/a=0.87.联立可以解得a 和c，设想恒星S2绕银心做半径为a 的匀速圆周运动，由开普勒第三定律
可知周期也为TS2，因此G
=mS2a(
)2，对地球围绕太阳运动，有G
=m 地a(
)2，而
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a=120r，TS2=16T1，联立可解得银河系中心致密天体与太阳的质量之比，不能得出S2与银河系中心致密天
体的质量之比，选项A 错误B 正确；由于远银心点和近银心点轨迹的曲率半径相同，设为ρ,恒星S2 在远
银心点，由万有引力提供向心力，G
=mS2
，在近银心点由万有引力提供向心力，G
=mS2
，联立可解得S2在P 点与Q 点的速度大小之比为
=
，选项C 正确；在远银心点和近
银心点，由万有引力定律和牛顿第二定律，分别有G
=mS2aP，G
=mS2 aQ，联立可解得
S2在P 点与Q 点的加速度大小之比为
=
，选项D 正确。
【关键点拨】：解答此题的关键点主要有三：一是构造半径等于恒星S2 椭圆轨道半长轴的圆轨道，如图；
二是明确椭圆轨道远银心点和近银心点轨迹的曲率半径相同；三是在远银心点和近银心点所受万有引力不
同，向心加速度的表达式类似。
【一题多解】：选项C 也可以利用开普勒第二定律解答。开普勒第二定律，也称等面积定律，指的是太阳
系中太阳和运动中的行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积。推广到银河系，根据开普勒第二定律，
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有vP（a+c）= vQ（a-c），可得S2在P 点与Q 点的速度大小之比为
=
。
知识拓展：椭圆离心率的定义为椭圆上焦距与长轴的比值。离心率越大，椭圆越扁平；离心率越小，椭圆
越接近于圆形。
4．（2020 高考全国理综I）火星的质量约为地球质量的1/10，半径约为地球半径的1/2，则同一物体在火
星表面与在地球表面受到的引力的比值约为
A．0.2
B．0.4
C．2.0
D．2.5
【参考答案】B
【命题意图】 本题考查万有引力定律及其相关知识点，考查的核心素养是运动和力的物理观念。
【解题思路】由万有引力定律可得，质量为m 的物体在地球表面上时，受到的万有引力为F 地=G
，
质量为m 的物体在火星表面上时，受到的万有引力为F 火=G
， 二者的比值
=
=
=
=0.4，B 项正确ACD 错误。
5. （2020 高考江苏物理）甲、乙两颗人造卫星质量相等，均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2 倍.
下列应用公式进行的推论正确的有（ ）
A.由
可知，甲的速度是乙的
倍
B.由
可知，甲的向心加速度是乙的2 倍
C.由
可知，甲的向心力是乙的
D.由
可知，甲的周期是乙的
倍
【参考答案】CD
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【名师解析】卫星绕地球运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律和万有引力定律知
，
解得：线速度v=
，由此可知，甲的速度是乙的1/
，选项A 错误；根据牛顿第二定律和万有引
力定律知G
=mrω2，解得角速度ω=
，由此可知，甲的角速度是乙的1/2
，选项B 错误；
由
可知，甲的向心力是乙的
，选项C 正确；由开普勒定律
可知，甲的周期是乙的
倍，选项D 正确。
6.（2019 全国理综II 卷14）2019 年1 月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆，在探测器“奔向”
月球的过程中，用h 表示探测器与地球表面的距离，F 表示它所受的地球引力，能够描F 随h 变化关
系的图像是
【参考答案】.D
【命题意图】 本题考查万有引力及其相关知识点，考查的核心素养是以嫦娥四号成功在月球背面软着
陆为背景，提升民族自信，弘扬我国科技成就。
【解题思路】在嫦娥四号探测器“奔向” 月球过程中，根据万有引力定律，随着离开地面距离h 的增大，
所受地球引力一定不均匀减小，能够描述f 随h 变化关系正确的是D。
7.（2018 北京理综）若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知
月地距离约为地球半径60 倍的情况下，需要验证
A．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的1/602
8
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B．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的1/602
C．自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的1/6
D．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的1/60
【参考答案】 B
【名师解析】设月球质量为Myue，地球质量为M，苹果质量为m，则月球受到地球的万有引力为Fyue=G
，苹果受到地球的万有引力为F=G
，由于月球质量远远大于苹果质量，二者质量关系未知，
所以不能得出地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的1/602，选项A 错误；
根据牛顿第二定律：G
=Myueayue，G
=ma，整理可以得到：ayue=
a，故选项B 正确；在月
球表面处：G
=mgyue，，由于月球本身的半径大小未知，故无法求出月球表面和地面表面重力加速
度的关系，故选项C 错误；苹果在月球表面受到引力为：F’= G
，由于月球本身的半径大小未知，
故无法求出苹果在月球表面受到的引力与在地球表面引力受到的引力之间的关系，故选项D 错误。
点睛：本题考查万有引力相关知识，掌握万有引力公式，知道引力与距离的二次方成反比，即可求解。
8 (多选)(2019·全国卷Ⅰ·21)在星球M 上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P 轻放在弹簧上端，P
由静止向下运动，物体的加速度a 与弹簧的压缩量x 间的关系如图7 中实线所示．在另一星球N 上用完全
相同的弹簧，改用物体Q 完成同样的过程，其a－x 关系如图中虚线所示．假设两星球均为质量均匀分布
的球体．已知星球M 的半径是星球N 的3 倍，则( )
图7
A．M 与N 的密度相等
B．Q 的质量是P 的3 倍
C．Q 下落过程中的最大动能是P 的4 倍
D．Q 下落过程中弹簧的最大压缩量是P 的4 倍
【参考答案】 AC
【名师解析】
设物体P、Q 的质量分别为mP、mQ；星球M、N 的质量分别为M1、M2，半径分别为R1、R2，密度分别
为ρ1、ρ2；M、N 表面的重力加速度分别为g1、g2.在星球M 上，弹簧压缩量为0 时有mPg1＝3mPa0，所以g1
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＝3a0＝G，密度ρ1＝＝；在星球N 上，弹簧压缩量为0 时有mQg2＝mQa0，所以g2＝a0＝G，密度ρ2＝＝；因
为R1＝3R2，所以ρ1＝ρ2，选项A 正确；当物体的加速度为0 时有mPg1＝3mPa0＝kx0，mQg2＝mQa0＝2kx0，解
得mQ＝6mP，选项B 错误；根据a－x 图线与x 轴围成图形的面积和质量的乘积表示合外力做的功可知，
EkmP＝mPa0x0，EkmQ＝mQa0x0，所以EkmQ＝4EkmP，选项C 正确；根据运动的对称性可知，Q 下落时弹簧的最
大压缩量为4x0，P 下落时弹簧的最大压缩量为2x0，选项D 错误．
【最新模拟题精练】
1. (2023 云南部分重点高中期中)一卫星绕某一质量为M 的行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为
v。假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m 的物体受到的重力，物体静止时，弹簧测力
计的示数为（引力常量为G）（ ）
A.
B.
C.
D.
【参考答案】B
【名师解析】
设卫星的质量为
，由万有引力提供向心力，得
根据向心力公式
得
，故选B。
2. （2023 广州二模）已知地球同步卫星距地面的高度约为地球半径的6 倍，月球绕地球一圈的时间约为
27 天。如图，某时刻地球、月球和同步卫星的中心在一条直线，此时月球到同步卫星的距离与地球半径之
比约为（ ）
A. 28
B. 48
C. 56
D. 63
【参考答案】：C
【名师解析】：设月球围绕地球运行的轨道半径为
，同步卫星的运行轨道半径为
，根据开普勒第三
定律有
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其中有
，
，
联立解得
故此时月球到同步卫星的距离与地球半径之比约为
故选C。
3．（2023 江苏名校联考）百武彗星是人类第一次探测到发射X 射线的彗星，它的近日点仅0.1AU，周期
很长（200 年以上）。已知地球的轨道半径为1AU，只考虑行星与太阳间的作用力，说法正确的是
（ ）
A．百武彗星在近日点的速度比在远日点的速度小
B．百武彗星轨道的半长轴大于地球的轨道半径
C．太阳处在百武彗星椭圆轨道的中心点上
D．在远离太阳的过程中，百武彗星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积逐渐增大
【参考答案】B
【名师解析】根据机械能守恒定律，百武彗星在近日点的速度比在远日点的速度大，A 错误；由开普勒第
三定律，可知百武彗星轨道的半长轴大于地球的轨道半径，B 正确；太阳处在百武彗星椭圆轨道的一个焦
点上，C 错误；根据开普勒第二定律，在远离太阳的过程中，百武彗星与太阳的连线在相等时间内扫过的
面积都相等，D 错误。
4.（2023 浙江九校期中联考）当我们远古的祖先惊叹星空的玄妙时，他们就开始试图破译日月星辰等天文
现象的奥秘。下列叙述中正确的是（ ）
A. 人们观察到太阳东升西落，说明地球是静止不动的，是宇宙的中心
B 牛顿总结了万有引力定律，并测出了引力常量
C. 开普勒通过对第谷大量观测数据的深入研究，总结出了行星运动三大定律
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D. 天王星是人们根据万有引力定律计算出其轨道后才发现的，被称为“笔尖下的行星”
【参考答案】：C
【名师解析】人们观察到太阳东升西落，人们是以地球表面人为参考系，不能说明地球是静止不动的，是
宇宙的中心，A 错误；牛顿总结了万有引力定律，卡文迪许测出了引力常量，B 错误；开普勒通过对第谷
大量观测数据的深入研究，总结出了行星运动三大定律，C 正确；人们发泄天王星运动轨道有点古怪，猜
测在天王星外侧有一未知行星，亚当斯和勒维耶利用万有引力定律计算出了未知行星的轨道，人们才发现
海王星，被称为“笔尖下的行星”，D 错误。
5.（2023 山东烟台重点高中期中） 7. 地球沿椭圆轨道绕太阳运行，月球沿椭圆轨道绕地球运行。下列说
法正确的是（ ）
A. 地球位于月球运行轨道的中心
B. 地球与月球公转周期平方之比等于它们轨道半长轴立方之比
C. 地球在近日点的运行速度大于其在远日点的运行速度
D. 相同时间内，地球与太阳连线扫过的面积等于月球与地球连线扫过的面积
【参考答案】C
【名师解析】
根据开普勒第一定律，地球位于月球运行轨道的椭圆的一个焦点上，选项A 错误；
根据开普勒第三定律，因地球和月球的中心天体不同，则地球与月球公转周期平方之比不等于它们轨道半
长轴立方之比，选项B 错误；
根据开普勒第二定律可知，地球在近日点的运行速度大于其在远日点的运行速度，选项C 正确；
地球和月球的中心天体不同，则相同时间内，地球与太阳连线扫过的面积不一定等于月球与地球连线扫过
的面积，选项D 错误。
6.（2022 湖南衡阳期中）2022 年2 月4 日北京冬奥会开幕式以二十四节气为倒计时，最后定格于立春节气，
惊艳全球，二十四节气，代表着地球在公转轨道上的二十四个不同的位置，如图所示，从天体物理学可知
地球沿椭圆轨道绕太阳运动所处四个位置，分别对应我国的四个节气，以下说法正确的是（ ）
A. 地球绕太阳运行方向（正对纸面）是顺时针方向
B. 地球绕太阳做匀速率椭圆轨道运动
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C. 地球从夏至至秋分的时间小于地球公转周期的四分之一
D. 冬至时地球公转速度最大
【参考答案】D
【名师解析】
二十四节气中，夏至在春分后，秋分在夏至后，地球绕太阳运行方向（正对纸面）是逆时针方向。A 错误；
由开普勒第一定律知地球绕太阳运动的轨道是椭圆，由开普勒第二定律，地球与太阳的连线在相等时间内
扫过的面积相等，地球绕太阳是非匀速率椭圆轨道运动。B 错误；由开普勒第二定律，地球与太阳的连线
在相等时间内扫过的面积相等，可知地球在近地点比远地点转动的快，地球从夏至至秋分的时间大于地球
公转周期的四分之一。C 错误；由开普勒第二定律，地球与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等, 近
地点公转速度最快，即冬至时地球公转速度最大。D 正确。
7. （2023 云南昆明24 中二模）若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体。“蛟龙号”下潜深度
为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的加速度大小之比为
（质量分布均匀的球壳对内部物体的万有引力为零）（ ）
A.
B.
C.
D.
【参考答案】C
【名师解析】
设地球的密度为ρ，则在地球表面，物体受到的重力和地球的万有引力大小相等，有
由于地球的质量为
所以重力加速度的表达式可写成
质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d 的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等
于（R－d）的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙号”的重力加速度
所以有
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根据万有引力提供向心力有
G
＝ma
“天宫一号”所在处的重力加速度为
a＝
所以
，
故选C。
8. （2023 湖南名校期中）相关科研发现，近年地球的自转速率呈现加快趋势。这样的极细微差别，尽管
在人们的日常生活中无从体现，但却会在通讯、电力、导航等领域产生重要影响。由于地球自转加快引起
的影响，下列描述正确的是（ ）
A.地球同步卫星的高度要略调高一些
B.地球的第一宇宙速度不变
C.在深圳的物体重力减小，方向不变
D.在长沙的物体重力减小，方向改变
【参考答案】.BD
【名师解析】：地球自转加快，自转周期变短，根据
半径变小，高度要略调低一些，选项A 错误；
根据
地球的第一宇宙速度不变，选项B 正确；
向心力和重力的合力为万有引力，地球自转加快所需向心力变大，万有引力不变，重力等于万有引力与向
心力的矢量差，则除两极外重力大小和方向（赤道上重力方向不变）都会变化，选项C 错误，D 正确。
9（2022 山西太原二模）人类在不同的星球能跳多高?若人在地球上以某一速度跳起，其重心可上升的高度
为0.5m，那么他以同样的速度在水星跳起重心可上升1.3m，而在火星同样可上升1.3m。已知地球的半径
为R，水星的半径约为0.38R，火星的半径约为0.53R，可估算出（ ）
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A. 火星的质量为水星质量的
倍
B. 火星与水星的密度相等
C. 地球表面的重力加速度是水星表面重力加速度的
倍
D. 火星的第一宇宙速度是水星第一宇宙速度的
倍
【参考答案】D
【名师解析】根据
，因同样的速度在火星和水星上跳起的高度相等，可知g 火=g 水
根据
，可得
，
，选项A 错误；
根据
，可得
，选项B 错误；
根据
，可得
，选项C 错误；根据
可得
，可得
，选项D 正确。
10. （2022 山东枣庄一模）假设沿地轴的方向凿通一条贯穿地球两极的隧道，隧道极窄，地球仍可看作一
个球心为O、半径为R、质量分布均匀的球体。从隧道口P 点由静止释放一小球，下列说法正确的是（提
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示：一个带电金属圆球达到静电平衡时，电荷均匀分布在球外表面，球内部场强处处为0，外部某点场强
与一个位于球心、与球所带电荷量相等的点电荷在该点产生的场强相同。）（ ）
A. 小球先做匀加速运动，后做匀减速运动
B. 小球在O 点受到地球的引力最大
C. 小球以O 点为平衡位置做简谐运动
D. 小球与地球组成系统的引力势能先增加后减少
【参考答案】C
【名师解析】设小球距圆心
距离为
，地球的密度为
，小球的质量为
，根据题意，由万有引力公式
可得，小球下落过程中，受到的引力为
则小球下落过程中所受引力的大小与到地心的距离成正比，且方向指向地心，故小球以O 点为平衡位置做
简谐运动。故C 正确；根据牛顿定律有
，可得
可知，当小球下落时，在
点上方时，
越来越小，则
越来越小，到达
点时
，则
即此时引力为
，引力最小，在
点下方时，
越来越大，则
越来越大，则小球下落过程中，先做加速
度减小的加速运动，再做加速度增大的减速运动，故AB 错误；由C 分析可知，小球下落过程中，引力先
做正功，再做负功，则小球与地球组成系统的引力势能先减小后增大故D 错误。
11. （2022 山东四县区质检）已知月球半径为R，假设某宇航员在月球表面以初速度v0竖直上抛一物体，
测得物体上升
最大高度为h。由此可估算出，月球的卫星在接近月球表面的轨道环绕月球运行速度为（
）
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A.
B.
C.
D.
【参考答案】A
【名师解析】
在月球表面以初速度v0竖直上抛出一物体，根据
解得月球表面的加速度g=
根据
，解得月球的卫星在接近月球表面的轨道环绕月球运行速度
，故选A。
12. （2023 河南开封三模）假定月球为质量分布均匀的球体，其半径为
，在月球表面测得重力加速度为
，设
为距离月球表面高度为
时的重力加速度．当
比
小得多时，
和
的关系式近似为
（ ）[当
时，数学近似公式为
]
A.
B.
C.
D.
【参考答案】D
【名师解析】
【详解】物体在月球表面时，有
物体距离月球表面高度为
时，有
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联立可得
可得
故选D。
13. 火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
【参考答案】 C
【名师解析】 由开普勒第一定律(轨道定律)可知，太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A 错误．火星
和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，B 错误．根据开普勒第三定律(周期定
律)知太阳系中所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常数，C 正确．对于太
阳系某一个行星来说，其与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相等，不同行星在相同时间内扫过的面积
不相等，D 错误．
14 若地球半径为R，把地球看做质量分布均匀的球体．“蛟龙”号下潜深度为d，“天宫一号”轨道距
离地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的重力加速度之比为( )
A.
B.
C.
D.
【参考答案】 C
【名师解析】 设地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：g＝G.由于地球
的质量为：M＝ρ·πR3，所以重力加速度的表达式可写成：g＝＝＝πGρR.根据题意有，质量分布均匀的球壳
对壳内物体的引力为零，故在深度为d 的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(R－d)的球体在其
表面产生的万有引力，故“蛟龙”号的重力加速度g′＝πGρ(R－d)，所以有＝.根据万有引力提供向心力G
＝ma，“天宫一号”所在处的重力加速度为a＝，所以＝，＝，故C 正确，A、B、D 错误．
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15．（2023 广东广州名校联考）15．如图所示，在距一质量为m0、半径为R、密度均匀的大球体R 处有一
质量为m 的质点，此时大球体对质点的万有引力为F1，当从大球体中挖去一半径为
的小球体后（空腔的
表面与大球体表面相切），剩下部分对质点的万有引力为F2，求F1：F2。
【参考答案】．
【名师解析】质点与大球球心相距2R，其万有引力为F1，则有F1=
大球质量为M=ρ×
πR3
挖去的小球质量为M′=ρ×
π
即M′=
ρ×
πR3=
小球球心与质点间相距
，小球与质点间的万有引力为F1′=
则剩余部分对质点m 的万有引力为F2=F1-F1′=
-
=
故有
16. （2023 北京朝阳二模）无处不在的引力场，构建出一幅和谐而神秘的宇宙图景。
（1）地球附近的物体处在地球产生的引力场中。地球可视为质量分布均匀的球体。已知地球的质量为
M，引力常量为G。请类比电场强度的定义，写出距地心r 处的引力场强度g 的表达式。（已知r 大于地球
半径，结果用M、G 和r 表示）
（2）物体处于引力场中，就像电荷在电场中具有电势能一样，具有引力势能。
中国科学院南极天文中心的巡天望远镜追踪到由孤立的双中子星合并时产生的引力波。已知该双中子星的
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质量分别为
、
，且保持不变。在短时间内，可认为双中子星绕二者连线上的某一点做匀速圆周运动。
请分析说明在合并过程中，该双中子星系统的引力势能、运动的周期T 如何变化。
（3）我们可以在无法获知银河系总质量的情况下，研究太阳在银河系中所具有的引力势能。通过天文观
测距银心（即银河系的中心）为r 处的物质绕银心的旋转速度为v，根据
，可得到银河系在该处的
引力场强度g 的数值，并作出
图像，如图所示。已知太阳的质量
，太阳距离银心
。
a．某同学根据表达式
认为：引力场强度g 的大小与物质绕银心的旋转速度
成正比，与到银心的
距离r 成反比。请定性分析说明该同学的观点是否正确。
b．将物质距银心无穷远处的引力势能规定为零，请利用题中信息估算太阳所具有的引力势能
。
【参考答案】（1）
；（2）系统的引力势能减小，运动的周期减小；
（3）a．见解析；b．
【名师解析】
（1）根据类比，有
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（2）在电场中，在只有电场力做功时，当电场力做正功，电荷的电势能减小，动能增加，二者之和保持
不变；当电场力做负功，电荷的电势能增加，动能减小，二者之和保持不变。类比可知，在合并过程中，
中子星受到的引力做了正功，则该中子星系统的引力势能将减小，由于引力势能和动能之和保持不变，则
中子星的动能将增加，线速度将增大，同时由于运动半径的减小，所以运动的周期T 将减小。
（3）a．根据引力场强度的定义及万有引力提供向心力可得
整理得
由上式可知，引力场强度g 的大小与银心质量
成正比，与到银心的距离平方
成反比。表达式
只能作为一个替换的计算式使用，不能用于定性分析引力场强度g 的变化性质，因为它没有表达出引力场
强度g 的产生原因。
b．根据引力势能与动能之和保持不变可知，如果将物质距银心无穷远处的引力势能规定为零，则太阳在
当前位置所具有的动能，就等于太阳在银河系中所具有的引力势能
。由公式
可得太阳的速度平方为
由图可知，在
时，
，所以太阳的引力势能为
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