文档内容
第 07 讲 利用导数研究双变量问题(精讲
+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：分离双参，构造函数
高频考点二：糅合双参（比值糅合）
高频考点三：糅合双参（差值糅合）
高频考点四：变更主元法
高频考点五：指定主元法
高频考点六：利用根与系数的关系转单变量
高频考点七：利用对数平均不等式解决双变量问题
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第 07 讲 利用导数研究双变量问题（精练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆1、导数中求解双变量问题的一般步骤：
（1）先根据已知条件确定出变量 满足的条件；
（2）将待求的问题转化为关于 的函数问题，同时注意将双变量转化为单变量，具体有两种可行的方
法：①通过将所有涉及 的式子转化为关于 的式子，将问题转化为关于自变量 （ 亦可）的函数
问题；②通过 的乘积关系，用 表示 （用 表示 亦可），将双变量问题替换为 （或 ）的单变
量问题；
（3）构造关于 或 的新函数，同时根据已知条件确定出 或 的范围即为新函数定义域，借助新函数
的单调性和值域完成问题的分析求解.
2、破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等
式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·重庆市第七中学校高二阶段练习）已知函数 的定义域为 ，且对
恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·陕西·西安工业大学附中高三阶段练习（文））已知函数 ，若 且满
足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）若存在两个正实数x，y，使得等式2x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）＝0成立，
则实数a的取值范围为（ ）
A． B．C． D．
4．（2022·全国·高二）若函数 存在两个极值点 ， ，（ ），则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：分离双参，构造函数
1．（2022·全国·高二）设函数 ， .若对任何 ， ，恒成立，求
的取值范围______.
2．（2021·重庆巴蜀中学高三开学考试） ，均有 成立，则 的取值范围为
___________.
3．（2021·湖南省邵东市第一中学高二期中）已知函数 ，若 为区间 上的
任意实数，且对任意 ，总有 成立，则实数 的最小值为
______________．
4．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ， ．
(1)曲线 在点 处的切线与 轴平行，求实数 的值；
(2)讨论函数 的单调性；
(3)证明：若 ，则对任意 ， ， ，有 ．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ．(1)若函数 有两个极值点，求 的取值范围；
(2)证明：若 ，则对于任意的 ， ， ，有 ．
6．（2021·山东·高三阶段练习）设函数 ， .
（1）若曲线 在点 处的切线与直线 平行，求 的极小值；
（2）若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
高频考点二：糅合双参（比值糅合）
1．（2022·贵州·模拟预测（理））已知函数 有两个零点.
(1)求a的取值范围.
(2)记两个零点分别为x，x，证明： .
1 2
2．（2022·陕西·二模（理））已知函数 ．(1)当 ，求函数 在 的单调性；
(2) 有两个零点 ， ，且 ，求证： ．
3．（2022·宁夏·银川二中一模（理））已知函数 ， .
(1)若 ，求函数 的单调区间；
(2)若 ，且 ，证明： .
4．（2022·黑龙江·鹤岗一中高三期末（理））已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若 ，且 ，证明： .5．（2022·山西长治·高二阶段练习）已知函数 ．
(1)若 在 上单调递减，求实数a的取值范围．
(2)若 是方程 的两个不相等的实数根，证明： ．
高频考点三：糅合双参（差值糅合）
1．（2022·全国·高三专题练习）若 ，令 ，则 的最小值属于（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·内蒙古·赤峰二中高三阶段练习（理））已知函数 ， ．其
中 为自然对数的底数．
（1）若 ，讨论 的单调性；
（2）已知 ，函数 恰有两个不同的极值点 ， ，证明： ．3．（2022·天津滨海新·高三阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，若函数 ，求 的单调区间；
(3)当 时，若函数 恰有两个不同的极值点 、 ，且 ，求证：
.
高频考点四：变更主元法
在处理导数试题的过程中，我们经常会遇到涉及两个变量的不等式问题，比如一个变量为 ，另个一变量
（也可以是参数）为 .在这种情况下，我们潜意识里总会把函数看作是关于变量 的函数，希望通过利
用导数研究 的性质，从而得出结论.如果说 与 具有一定的关联，这种思维定势会为我们的解决问
题带来方便.但在绝大多数情况下， 与 是没有关联的，这个时候这种思维定势就会给我们的解题带来
障碍.此时，我们不妨转换一下视角，将字母 作为主要未知数，然后来解决问题.这种选择主要未知数
（简称主元）的方法，我们称之为变更主元法.
1．（2021·全国·高一专题练习）当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数 满足 ，且 的图象经过点
.
（1）求 的解析式：
（2）若对任意 ，不等式 恒成立，求实数x的取值范围.3．（2022·广东·高州市长坡中学高二阶段练习）已知函数
(1)求函数 的极值；
(2)若函数 的图象与直线 恰有三个交点，求实数 的取值范围；
(3)已知不等式 对任意 都成立，求实数 的取值范围．
4、(武汉市2021届高中毕业生三月质量检测)已知函数 .
(1)当 时,求 的最小值;
(2)证明:当 时, 恒成立.
高频考点五：指定主元法
1、已知 ，试比较 与 的大小，并证明.高频考点六：利用根与系数的关系转单变量
1．（2022·安徽合肥·高三期末（文））已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 有两个极值点 ， ，且 ，证明： ．
2．（2022·湖南常德·高三期末）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 有两个极值点 、 ，且 （ 为自然对数底数，且 ），求
的取值范围．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数
(1)讨论 的单调性；
(2)若 存在两个极值点 ， ，证明：4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)设 存在两个极值点 ，且 ，若 ，求证： .
高频考点七：利用对数平均不等式解决双变量问题
当 ， 时，有：
（当且仅当 时等号成立）
1、已知函数 ，如果 ，且 ，证明
2、已知函数 的图象与直线 交于不同的两点 ， ，求证 .第四部分：高考真题感悟
1．（2021·全国·高考真题）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .
2．（2011·湖南·高考真题（文））设函数
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有两个极值点 和 ，记过点 的直线的斜率为 ，问：是否存在 ，
使得 ？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由．第五部分：第 07 讲 利用导数研究双变量问题（精
练）
一、单选题
1．（2021·湖北·宜昌市夷陵中学高二阶段练习）已知函数 ， ，若 ，
t>0，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·安徽·屯溪一中高二期末（文））已知函数 ，且 有两个极值点 ，其中
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2019·辽宁葫芦岛·高三阶段练习（理））已知函数 ， ，若
， ， ，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·山西运城·高三期中（理））已知在函数 ， ，若对
， 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·黑龙江·双鸭山一中高二阶段练习（理））若对于任意的 ，都有 ，
则 的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
6．（2021·福建·莆田一中高二期末）已知 为自然对数的底数，若对任意 ，总存在唯一的 ，
使得 成立，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2021·全国·高二单元测试）已知实数 满足 ， ，则 _______．
8．（2021·江苏·高二单元测试）已知函数 ，当 ， 恒成立，则 的最大值为___________.
9．（2019·河南郑州·高二期中（理））已知函数 ， ，若 ，则 的
最小值为________.
10．（2018·湖南省宁远县第一中学高二阶段练习（理））设 ，函数 ，若
对任意的 ，都有 成立，则实数 的取值范围为_______.
三、解答题
11．（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（理））已知函数 .
(1)当 时，证明： ；
(2)若 的两个零点分别为 ，证明： .
12．（2022·新疆乌鲁木齐·二模（文））已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)设 ，若 ， ，且 ，使得 ，求 的最大值.
13．（2022·甘肃武威·模拟预测（理））已知 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，证明：函数 有且仅有两个零点 ，且 .14．（2022·山西长治·模拟预测（理））已知函数 .
(1)证明： ；
(2)若 有两个不相等的实数根 ，求证： .
15．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知函数 ，当 时， 恒成立．
(1)求实数a的最大值；
(2)若 ，证明：对任意 ， ．
