01卷 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式《过关检测卷》
－2022年高考一轮数学单元复习
第I卷（选择题）
一、单选题
1．已知 ，若 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据并集的结果，可得集合B，进而得到参数的取值范围；
【详解】
解：∵ ， ，
∴
∴ ．
故选：D．
2．设函数f（x）＝sin（ωx+φ）， ， ，若存在实
数φ，使得集合A∩B中恰好有7个元素，则ω（ω＞0）的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题意求出﹣4≤x≤4，结合正弦函数的性质可得 ，从而可求出ω的取值范围.【详解】
解：∵f′（x）＝0，∴f（x）是f（x）的最大值或最小值，
0 0
又f（x）＝sin（ωx+φ）的最大值或最小值在直线y＝±1上，
∴y＝±1代入 得， ，解得﹣4≤x≤4，
又存在实数φ，使得集合A∩B中恰好有7个元素，∴ ，且ω＞0，
解得 ，∴ω的取值范围是 ．
故选：B．
【点睛】
关键点睛：
本题的关键是求出 的取值范围，再结合三角函数的性质列关于ω的不等式.
3．命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．a≥4 B．a≤4
C．a≥5 D．a≤5
【答案】C
【分析】
先找出命题为真命题的充要条件 ，从集合的角度充分不必要条件应为 的真子集，可得
选项.
【详解】
命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题，即∀x∈[1，2]，a≥x2恒成立，只需a≥(x2)
max
＝4，故命题“∀x∈[1，
2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件为a≥4，结合选项可知，原命题为真的一个充分不必要条件为a≥5.
故选：C．
4．已知全集为R，集合 ， ，则（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】
由已知集合的描述，结合交、并、补运算即可判断各选项的正误
【详解】
A中，显然集合A并不是集合B的子集，错误.
B中，同样集合B并不是集合A的子集，错误.
C中， ，错误.
D中，由 ，则 ， ，正确.
故选：D．
5．若命题“ ， ”为假命题，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】A
【分析】
结合命题的否定与原命题真假对立，将原命题转化为命题的否定，结合二次函数的性质，即可计算m的范
围.
【详解】
若命题“ ， ”为假命题，
则命题“ ， ”为真命题，
即判别式 ，即 ，解得 .
故选：A.
【点睛】
本道题考查了命题的否定与原命题的关系，可以通过命题的否定，找出解题切入点，属于基础题.6．全称量词命题“ “ 的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
全称命题否定为特称命题，改量词否结论即可
【详解】
解：命题“ “ 的否定为“ ”，
故选：B
7．已知非空集合 是集合 的子集，若同时满足两个条件：（1）若 ，则 ；（2）若
，则 ；则称 是集合 的“互斥子集”，并规定 与 为不同的“互斥
子集组”，则集合 的不同“互斥子集组”的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
按 所含元素的个数分为“1+1型”、“1+2型”、“1+3型”、“2+2型”，分别求出相应的“互斥
子集组”数.
【详解】
①若 、 中各含一个元素时，“互斥子集组”数： 个
②若 含一个、 含两个元素时，“互斥子集组”数: 个③若 含一个、 含三个元素时，“互斥子集组”数: 个
④若 、 中各含两个元素时，“互斥子集组”数： 个.
综上共有“互斥子集组”数50个.
故选:D
【点睛】
此题关键在于恰当分类，属于中档题.
8．下列命题中的真命题是（ ）
A． ，
B．命题“ ”的否定
C．“直线 与直线 垂直”的充要条件是“它们的斜率之积一定等于-1”
D．“ ”是“方程 表示双曲线”的充分不必要条件
【答案】D
【分析】
对各选项逐一判断，利用特殊值判断ABC，利用充分条件与必要条件的定义判断D，即可选出正确答案．
【详解】
对于选项A，当 时， 不成立，故A错误；
对于选项B，命题“ ， ”的否定是“ ”，
当 不成立，故B错误；
对于选项C，当一直线斜率为0，另一直线斜率不存在时，
“它们的斜率之积一定等于-1”不成立，故C错误；
对于选项D，由方程 表示双曲线等价于 ，即 或 ，所以“ ”是“方程 表示双曲线”的充分不必要条件，故D
正确．
故选:D.
【点睛】
本题主要考查了命题真假的判断，考查了充要条件的概念，考查了学生对概念的理解．
9．若 ， 且 ，则 （ ）.
A． B． 或0 C． 或1或0 D． 或 或0
【答案】B
【分析】
利用条件 ，得 或 ，求解之后进行验证即可．
【详解】
解：因为 ， ，
若 ，则 或 ，解得x＝2或−2或1或0．
①当x＝0，集合A＝{1，4，0}，B＝{1，0}，满足 ．
②当x＝1，集合A＝{1，4，1}，不成立．
③当x＝2，集合A＝{1，4，2}，B＝{1，4}，满足 ．
④当x＝−2，集合A＝{1，4，−2}，B＝{1，4}，满足 ．
综上，x＝2或−2或0．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查集合关系的应用，考查分类讨论的思想，属于基础题．
10．有下列四个命题，其中真命题是（ ）．
A． ， B． ， ，C． ， ， D． ，
【答案】B
【分析】
对于选项A，令 即可验证其不正确；对于选项C、选项D，令 ，即可验证其均不正确，进而
可得出结果.
【详解】
对于选项A，令 ，则 ，故A错；
对于选项B，令 ，则 ， 显然成立，故B正确；
对于选项C，令 ，则 显然无解，故C错；
对于选项D，令 ，则 显然不成立，故D错.
故选B
【点睛】
本题主要考查命题真假的判定，用特殊值法验证即可，属于常考题型.
11．已知全集U=R,集合 和 关系的韦恩( )图如图所
示,则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无穷多个
【答案】A
【分析】
根据题意，分析可得阴影部分所示的集合为 ，求出集合 与 中的元素，分析可得选项.
【详解】
根据题意，可得阴影部分所示的集合为 ，的元素为正奇数，而在 内的正奇数有
所以集合 共有 个元素.
故选：A
【点睛】
本题考查集合的图表表示法，注意由韦恩图表分析集合间的关系，阴影部分所表示的集合.
12．已知数集A＝{a，a，…，a}(1≤a<a<…<a，n≥2)具有性质P：对任意的i，j(1≤i≤j≤n)，aa与 两数
1 2 n 1 2 n i j
中至少有一个属于A，则称集合A为“权集”，则( )
A．{1,3,4}为“权集” B．{1,2,3,6}为“权集”
C．“权集”中元素可以有0 D．“权集”中一定有元素1
【答案】B
【分析】
利用“权集”的定义对每一个选项逐一判断得解.
【详解】
由于3×4与 均不属于数集{1,3,4}，故A不正确；由于1×2,1×3,1×6,2×3， ， ， ， ， ， 都属于数集
{1,2,3,6}，故B正确；由“权集”的定义可知 需有意义，故不能有0，同时不一定有1，故C，D错误．
故答案为B
【点睛】
(1)本题主要考查新定义，意在考查学生对新定义的理解掌握和运用能力.(2)判断类似的题目，方法要灵活，
可以举反例说明命题是错误的，也可以举例说明它是正确的，也可以直接证明.
13．已知 ， ，若集合 ，则 的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】B
【分析】
根据集合相等列方程，根据元素互异性对解进行取舍，最后代入计算得结果.
【详解】因为 ，所以
故选：B
【点睛】
本题考查集合相等、集合元素互异性，考查基本分析求解能力，属基础题.
14．设集合 ， ．若 ，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据集合 ， ，知集合 与 没有共同元素，再根据数轴列出关系式，求解即可．
【详解】
因为 ，所以 ，又 ，所以如图可得
或 ，解得 或 ，即 的取值范围是 ．
故选：C
【点睛】
本题主要考查集合间的基本关系及简单运算，属于基础题．
15．设集合 ， ，则（ ）
A． B．MN C． D．【答案】B
【分析】
将集合M、N中表达式化为 、 ，再由此判断表达式中分子所表示集合的关系，即可确定M、
N的包含关系
【详解】
对于集合M： ，k∈Z，
对于集合N： ，k∈Z，
∵2k+1是奇数集，k+2是整数集
∴MN
故选：B
【点睛】
本题考查了集合的包含关系，由集合中元素的描述确定包含关系
16．设A、B是非空数集，定义：A B={a+b|a∈A，b∈B}，若A={1，2，3}，B={4，5，6}，则集合A B
的元素个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】
由已知集合及新定义的运算可求集合A B，即得到元素个数
【详解】
∵A B={a+b|a∈A，b∈B}，又A={1，2，3}，B={4，5，6}
∴A B={5，6，7，8，9}
故A B的元素个数为5个
故选：B
【点睛】本题考查了集合的概念，运用新定义求集合，并应用集合的元素的互异性确定元素，从而求得元素个数
二、多选题
17．下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（ ）
A．p：3＜m＜7；q：方程 的曲线是椭圆
B．p：a≥8；q：对∀x∈[1，3]不等式x2﹣a≤0恒成立
C．设{a}是首项为正数的等比数列，p：公比小于0；q：对任意的正整数n，a +a ＜0
n 2n﹣1 2n
D．已知空间向量 （0，1，﹣1）， （x，0，﹣1），p：x＝1；q：向量 与 的夹角是
【答案】ABC
【分析】
A：由椭圆的标准方程可得 的取值范围，从而可判断A；由不等式恒成立求出 的取值范围，即可判断
B；举出反例证明充分性不成立，通过等比数列的通项公式可证明必要性成立；
D：当夹角为 时，结合数量积的公式即可求出此时 的值，进而可判断D.
【详解】
解：A，若方程 的曲线是椭圆，则 ，即3＜m＜7且m≠5，
即“3＜m＜7”是“方程 的曲线是椭圆”的必要不充分条件；
B，∀x∈[1，3]不等式x2﹣a≤0恒成立等价于a≥x2恒成立，等价于a≥9；
∴“a≥8”是“对∀x∈[1，3]不等式x2﹣a≤0恒成立”必要不充分条件；
C：∵{a}是首项为正数的等比数列，公比为q，
n
∴当a＝1，q 时，满足q＜0，但此时a+a＝1 0，则a +a ＜0不成立，即充分性不成立，
1 1 2 2n﹣1 2n
反之若a +a ＜0，则aq2n﹣2+aq2n﹣1＜0，∵a＞0，
2n﹣1 2n 1 1 1
∴q2n﹣2（1+q）＜0，即1+q＜0，则q＜﹣1，即q＜0成立，即必要性成立，
则“q＜0”是“对任意的正整数n，a +a ＜0”的必要不充分条件．
2n﹣1 2nD：空间向量 （0，1，﹣1）， （x，0，﹣1），则 ，
∴ cos ，
解得x＝±1，故“x＝1”是“向量 与 的夹角是 ”的充分不必要条件．
故选：ABC．
【点睛】
结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若 是 的必要不充分条件，则 对应集合是 对应集合的真子集；
（2） 是 的充分不必要条件， 则 对应集合是 对应集合的真子集；
（3） 是 的充分必要条件，则 对应集合与 对应集合相等；
（4） 是 的既不充分又不必要条件， 对的集合与 对应集合互不包含．
18．“关于 的不等式 对 恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】
由不等式 对 恒成立，求得 ，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可
求解.
【详解】
由题意，关于 的不等式 对 恒成立，
则 ,解得 ，
对于选项A中，“ ”是“关于 的不等式 对 恒成立”的充要条件；对于选项B 中，“ ”是“关于 的不等式 对 恒成立”的必要不充分条件；
对于选项C中，“ ”是“关于 的不等式 对 恒成立”的充分不必要条件；
对于选项D中，“ ”是“关于 的不等式 对 恒成立”必要不充分条件.
故选：BD.
【点睛】
本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若 是 的必要不充分条件，则 对应集合是 对应集合的真子集；
（2） 是 的充分不必要条件， 则 对应集合是 对应集合的真子集；
（3） 是 的充分必要条件，则 对应集合与 对应集合相等.
19．已知全集 ，集合 、 满足 ，则下列选项正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】
根据题意，做出韦恩图，再依次讨论各选项即可得答案.
【详解】
解：根据题意得，集合 、 、 关系如图所示：
全集 ，集合 、 满足 ，
则 ， ， ， ．故选：BD．
20．对于集合 ，给出如下结论，其中正确的结论是（ ）
A．如果 ，那么
B．若 ，对于任意的 ，则
C．如果 ，那么
D．如果 ，那么
【答案】AC
【分析】
根据集合的表示法特点，对选项进行一一判断，即可得答案；
【详解】
对A， ，总是有 ，则 ，故A正确；
对B， ，若 ，则存在 ，使得 ，因为当
一个是偶数，一个是奇数时， 是奇数， 也是奇数，所以 也是奇数，显然
是偶数，故 ，故 ，故B错误；
对C，若 ，不妨设 ，则
，故 ，故C正确；对D，设
，则
，不满足集合 的定义，故D错误.
故选：AC.
【点睛】
本题考查集合描述法特点，数论的有关知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力.21．下列说法正确的是
A．“ ”是“ ”的必要不充分条件
B．若命题 ：某班所有男生都爱踢足球，则 ：某班至少有一个女生爱踢足球
C．“任意菱形的对角线一定相等”的否定是“菱形的对角线一定不相等”
D．“ ， ”是“一次函数 的图象交 轴于负半轴，交 轴于正半轴”的充要
条件
【答案】AD
【分析】
由 可得 或 ，结合充分必要条件的定义，即可判断 ；由全称命题的否定为特称命题可
判断 、 ；令 ， ，可得函数图象与 轴、 轴交点的坐标，结合充分必要条件定义可判断
．
【详解】
由 可得 或 ，可得“ ”是“ ”的必要不充分条件，故 正确；
若命题 ：某班所有男生都爱踢足球，则 ：某班至少有一个男生不爱踢足球，故 错误；
“任意菱形的对角线一定相等”的否定是“存在一个菱形的对角线不相等”，故 错误；
一次函数 的图象交 轴于负半轴，交 轴于正半轴，可得 ，即 ，
由 ，可得 ，即 ，则“ ， ”是
“一次函数 的图象交 轴于负半轴，交 轴于正半轴”的充要条件，故 正确．
故选： ．
【点睛】
本题考查命题的真假判断，主要是命题的否定和充分必要条件的判断，考查判断能力和运算能力，属于基
础题．
22．在下列命题中，真命题有（ ）
A．∃x∈N*，使x为29的约数B．∀x∈R，x2＋x＋2>0
C．存在锐角α，sin α＝1.5
D．已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3m}，则对于任意的n，m∈N*，都有A∩B
【答案】AB
【分析】
根据全称命题和特称命题，分别进行判断．
【详解】
A中命题为真命题．当x＝1时，x为29的约数成立；B中命题是真命题．x2＋x＋2＝(x＋ )2＋ >0恒成
立；C中命题为假命题．根据锐角三角函数的定义可知，对于锐角α，总有0<sin α<1；D中命题为假命题．
易知6∈A，6∈B，故A∩B≠∅．
故选：AB．
【点睛】
本题考查判断全称命题和特称命题的真假，要注意全称命题和特称命题的真假判断方法不相同，全称命题
为真需进行证明，特称命题为真只要举一例即可．
23．已知集合 ， ，则下列元素是集合 中元素的有（ ）
A．1 B．0
C．2 D．
【答案】ABC
【分析】
先解不等式 得集合 ，再根据集合交集运算即可得答案.
【详解】
解：先解不等式 得 ，即 ，
所以 ．
故选：ABC．
【点睛】
本题考查一元二次不等式的解法，集合的交集运算，是基础题.
24．已知集合 ，集合 ，则以下命题正确的有（ ）A． ， B． ，
C． 都有 D． 都有
【答案】AD
【分析】
由集合 ，集合 ，根据集合的包含关系判断及应用即可判断各选项的对错．
【详解】
，集合 ，
是 的真子集，
对A， ， ，故本选项正确；
对B， ， ，故此选项错误；
对C， 有 ，故此选项错误；
对D， 都有 ，故本选项正确；
故选：AD．
【点睛】
本题考查了集合的包含关系判断及应用，属于基础题，关键是掌握集合的包含关系的概念．
第II卷（非选择题）
三、填空题
25．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下：甲说：“罪犯在乙、丙、
丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙
说的是事实”，经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是
罪犯，由此可判断罪犯是________.
【答案】乙
【解析】
四人供词中，乙、丁意见一致，或同真或同假，若同真，即丙偷的，而四人有两人说的是真
话，甲、丙说的是假话，甲说“乙、丙、丁偷的”是假话，即乙、丙、丁没偷，相互矛盾；若同假，即不是丙偷的，则甲、丙说的是真话，甲说“乙、丙、丁三人之
中”，丙说“甲、乙两人中有一人是小偷”是真话， 可知犯罪的是乙.
【点评】本体是逻辑分析题，应结合题意，根据丁说“乙说的是事实”发现，乙、丁意见一
致，从而找到解题的突破口，四人中有两人说的是真话，因此针对乙、丁的供词同真和同假
分两种情况分别讨论分析得出结论.
26．甲､乙两人同时参加一次数学测试,共有20道选择题,每题均有4个选项,答对得3分,答错或不答得0分,
甲和乙都解答了所有的试题,经比较,他们只有2道题的选项不同,如果甲最终的得分为54分,那么乙的所有可
能的得分值组成的集合为________.
【答案】
【分析】
甲最终的得分为54分，可得：甲答对了20道题目中的18道，由于甲和乙都解答了所有的试题，甲必然有
2道题目答错了，又甲和乙有2道题的选项不同，则乙可能这两道题答对，答错，乙也可能这2道题与甲
一样，在甲正确的题目中乙可能有两道答错了，即可得到结论.
【详解】
因为20道选择题每题3分,甲最终的得分为54分,所以甲答错了2道题,又因为甲和乙有两道题的选项不同,
则他们最少有16道题的答案相同,设剩下的4道题正确答案为 ,甲的答案为 ,因为甲和乙有两道
题的选项不同,所以乙可能的答案为 , , , , 等,所以乙的所有可能的得分值
组成的集合为 ,故答案为 .
【点睛】
本题考查了集合的性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.
27．今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其他肉类.某天在市场中随机抽取100
名市民调查其购买肉类的情况，其中不买猪肉的有30位，买了肉的有90位，买了猪肉且买了其他肉的人
共25位，以这100个样本估计这一天该市只买了猪肉且没买其他肉的人数与全市人数的比值为_______
【答案】0.45
【分析】
根据题意，利用集合思想，得到只买猪肉的人数，即可得到答案.
【详解】由题意，随机抽取的100位市民中，只买了猪肉且没买其他肉的有 ，
由此估计该市只买了猪肉且没买其他肉的人数与全市人数的比值为 .
【点睛】
本题主要考查了集合思想的应用，以及集合元素关系的求解，其中解答中根据题设条件建立方程是解答的
关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
28．四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x
0
∈Q， ；③∃x
0
∈R， ；④∀x∈R，
4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．
【答案】1
【分析】
分别对给出的四个命题进行判断后可得结论．
【详解】
对于①，因为当 时， ，所以命题①是假命题．
对于②，由 得 ，是无理数，所以命题②是假命题．
对于③，由于对任意的实数 满足 都成立，所以命题③是真命题．
对于④，由原不等式得 ，所以命题④为假命题．
综上可得命题③为真命题．
故答案为1
【点睛】
本题考查命题真假的判定，常用的方法是进行推理判断和举反例的方法，考查对基础知识的理解和掌握，
属于容易题．
29．已知p：“ ”，q：“x=4”，则p是q的________条件.
【答案】必要不充分
【分析】
根据充分性、必要性的定义进行判断即可
【详解】根据题意，p：“x2-3x-4=0”，即x=4或-1，则有若q：x=4成立，则有p：“x2-3x-4=0”成立，反之若
p：“x2-3x-4=0”成立，则q：x=4不一定成立，则p是q的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分
【点睛】
本题考查了必要不充分条件的判断，属于基础题.
30．设全集 是实数集 ， 或 ， ，则图中阴影部分所表示的集
合是____________．
【答案】
【分析】
由 图可知，阴影部分为 ，根据补集运算求出 ，再根据交集运算，即可求出结果.
【详解】
由 图可知，阴影部分为 ，
∵ 或 ，∴
∴． .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了集合的交集、补集运算，以及 图得应用，属于基础题.
31．有下列命题：
①“若 ，则 且 ”的否命题；
②“矩形的对角线相等”的否命题；
③“若 ，则 的解集是 ”的逆命题；④“若 是无理数，则 是无理数”的逆否命题．
其中正确命题的序号是____________
【答案】①③④
【分析】
根据逆命题，否命题，逆否命题的概念，以及四种命题真假性之间的关系，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
对于①，“若 ，则 且 ”的逆命题为“若 且 ，则 ”
故逆命题为真命题，则否命题也为真，故①正确；
对于②，“矩形的对角线相等”的逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”为假命题，故其逆命题也为假，
故②错误；
对于③，其逆命题为：若 的解集是 ，则 ，当该不等式解集为 时，1.
时，不合题意，2. 解得 ，故逆命题为真，即③正确；
对于④，原命题为真，故逆否命题也为真，故④正确，即正确的序号为①③④.
故答案为：①③④.
【点睛】
本题主要考查判定四种命题的真假，属于基础题型.
32．设 或 ； 或 ，则 是 的________条件.
【答案】充分不必要
【分析】
求出 和 ，利用集合的包含关系判断即可.
【详解】
或 ， 或 ，则 ， .
，因此， 是 的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要.【点睛】
本题考查充分不必要条件的判断，考查推理能力，属于基础题.
33．命题“ ”的否定是______.
【答案】 ，
【分析】
利用全称命题的否是特称命题，直接写出命题的否定即可.
【详解】
由全称命题的否定可知，命题“ ”的否定是：“ ， ”.
故答案为： ， .
【点睛】
本题考查命题的否定的应用，全称命题与特称命题互为否定关系，考查基础知识的应用.
四、双空题
34．关于下列两个命题：设 是定义在 上的偶函数，且当 时， 单调，则方程
的所有根之和为______；对于 有性质 ：“对
时，必有 .现给定① ；②
；现与 对比，①中 、②中 同样也有性质 的序号为______.
【答案】 ②
【分析】
(1)对于 ，利用函数为偶函数可知关于y轴对称且 ，有 或
即可求所有根之和；(2)由命题“对 时，必有 ”知对于集合M上点 ，将点坐标都缩小到原来 仍在M上，即几何上这样M集合是平面中一个闭合的被
填满的面，A代表一个圆上的点集，B代表椭圆面的点集，即可知答案
【详解】
(1)∵ 是定义在 上的偶函数
∴当满足 时，有两种可能
当 与 在 轴同侧时，则 ，得 ，设方程的两个根为 ， ，显然
当 与 在 轴两侧时，则 ，得 ，设方程的两个根为 ， ，此时
显然满足方程 的所有根之和为
(2)现结合 的性质 来研究 、
对于① ，即简化为： ，易知点 在此
圆上，取 ，但 不在 上.于是①错误.
对于② ，即 是椭圆 上及内部的一切点，显然当 时，点 必在椭圆 内，则②具备性质
故答案为：-8；②
【点睛】
本题以两个独立命题形式给出，发散思维的能力，同时考查了考生解题思维的跳跃性和连续性及逻辑推理
能力，运算求解能力，综合应用能力，属于偏难.
五、解答题
35．已知集合 .
（1）若A是空集，求 的取值范围；
（2）若A中只有一个元素，求 的值，并求集合A；
（3）若A中至多有一个元素，求 的取值范围
【答案】（1） ；（2）当 时， ；当 时， ；（3） .
【分析】
（1）方程ax2﹣3x+2＝0无解，则 ，根据判别式即可求解；
（2）分a＝0和a≠0讨论即可；
（3）综合（1）（2）即可得出结论.
【详解】
（1）若A是空集，则方程ax2﹣3x+2＝0无解此时 ＝9-8a＜0即a
所以 的取值范围为
（2）若A中只有一个元素
则方程ax2﹣3x+2＝0有且只有一个实根
当a＝0时方程为一元一次方程，满足条件当a≠0，此时 ＝9﹣8a＝0，解得：a
∴a＝0或a
当 时， ；当 时，
（3）若A中至多只有一个元素，则A为空集，或有且只有一个元素
由（1），（2）得满足条件的a的取值范围是 .
36．已知集合 为全体实数集， 或 ， .
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求实数a的取值范围.
【答案】（1） 或 ；（2） .
【分析】
（1）先求 ，再根据并集定义求 ；（2）分 和 两种情况讨论 时，列
不等式，求 的取值范围.
【详解】
（1）当 时， ，所以 或
所以 或
（2）① ，即 时， ，此时满足 .
②当 ，即 时， ，
由 得 或 所以综上，实数 的取值范围为
37．设全集为 ， ， .
（1）求 ；
（2）求 .
【答案】（1） ；（2） 或 .
【分析】
（1）画出数轴图，数形结合即可求出；
（2）画出数轴图，数形结合可求出 ，再利用补集定义即可求出.
【详解】
（1）画出集合A和集合B表示的数轴图，
则由图可得 ；
（2）观察图形可得
或 .
38．设集合 ，不等式 的解集为 .
（1）当 时，求集合 ， .
（2）当 时，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ， ；（2） .
【分析】（1） 代入即可求得 ，解一元二次不等式 得 ；（2）注意讨论 与 的
两种情况，最后求解并集即可.
【详解】
（1）解：当 时， ，
解不等式 得： ，即 .
（2）解：若 ，则有：
① ，即 ，即 ，符合题意，
② ，有 ，解得： .
综合①②得： .
39．已知集合 ， ．
（1）若 ，求实数a，b满足的条件；
（2）若 ，求实数m的取值范围．
【答案】（1） ， ;（2） .
【分析】
（1）直接利用并集结果可得 ， ;
（2）根据 可得 ，再对集合 的解集情况进行分类讨论，即可得答案；
【详解】
解：（1） ； ，
∴ ， ;（2） ,
∴分情况讨论① ，即 时 得 ；
②若 ，即 ， 中只有一个元素1符合题意；
③若 ，即 时 得 ，∴
∴综上 ．
【点睛】
由集合间的基本关系求参数时，注意对可变的集合,分空集和不为空集两种情况.
40．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0}．
（1）若A∩B＝{2}，求实数a的值；
（2）若A∪B＝A，求实数a的取值范围；
（3）若U＝R，A∩(∁U B)＝A，求实数a的取值范围．
【答案】（1） －1或－3； （2） a≤－3 ；（3） a<－3或－3<a<－1－ 或－1－ <a<－1或－1<a<
－1＋ 或a>－1＋ .
【分析】
（1）根据题意可知 ，将 代入方程 求出a，再求出集合 ，根据集合
的运算结果验证a的值即可.
（2）根据题意可得 ，讨论 或 ，利用判断式求出实数a的取值范围即可.
（3）根据题意可得 ，讨论 或 ，解方程组即可求解.
【详解】
由题意知A＝{1，2}．
（1）∵A∩B＝{2}，∴2∈B，
将x＝2代入x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，得a2＋4a＋3＝0，所以a＝－1或a＝－3.当a＝－1时，B＝{－2，2}，满足条件；
当a＝－3时，B＝{2}，也满足条件．
综上可得，a的值为－1或－3.
（2）∵A∪B＝A，∴B⊆A.
对于方程x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，
①当Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)<0，
即a<－3时，B＝∅，满足条件；
②当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}，满足条件；
③当Δ>0，即a>－3时，B＝A＝{1，2}才能满足条件，这是不可能成立的．
综上可知，a的取值范围是a≤－3.
（3）∵A∩(∁U B)＝A，∴A⊆∁U B，∴A∩B＝∅.
对于方程x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，
①当Δ<0，即a<－3时，B＝∅，满足条件．
②当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}，A∩B＝{2}，不满足条件．
③当Δ>0，即a>－3时，只需1∉B且2∉B即可．
将x＝2代入x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，得a＝－1或a＝－3；
将x＝1代入x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，得a＝－1± ，∴a≠－1，a≠－3且a≠－1± ，
综上，a的取值范围是a<－3或－3<a<－1－ 或－1－ <a<－1或－1<a<－1＋ 或a>－1＋ .
41．已知集合 ， .
（1）当 时，求 ， ；
（2）当 ， 时，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ， ；（2） .
【分析】
（1）将 代入集合 ，解出 ，从而求出 .再求出 ，与集合 一起计算出
；（2）解出集合 ，由 得 ，由子集关系可求得参数的范围.
【详解】
（1）当 时， ，即
解得 ，即 ，则
，
又 或 ，
；
（2）由 解得 ，
又 ， ，即 ，
由 得 ，
， ，
，即 的取值范围是 .
【点睛】
关键点睛：本题考查了指数不等式的求解，以及集合的运算，由包含关系求参数范围.其中 转化
为 是一个关键，再由其求出参数范围.
42．已知函数 .
（1）若f（x）＜k的解集为{x|﹣3＜x＜﹣2}，求实数k的值；
（2）若∀x
1
∈[2，4]，都∃x
2
∈[2，4]，使f（x
1
）≥g（x
2
）成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1） ；（2）【分析】
（1）由f（x）＜k，整理得：kx2﹣x+6k＞0，然后，利用韦达定理进行求解
（2）把题目的成立条件转化为f（x） ≥g（x） ，进而分别求出，函数f（x）在区间[2，4]上的最小
最小值 最小值
值和函数g（x）在区间[2，4]上的最小值即可
【详解】
（1）证明：由f（x）＜k得： k，整理得：kx2﹣x+6k＞0，因为解集为{x|﹣3＜x＜﹣2}，所以 k＜
0，所以方程kx2﹣x+6k＝0的根是﹣3，﹣2，∴ 2+（﹣3），∴k ；
所以实数k的值是 ；
（2）由题意可得，f（x） ≥g（x） ，
最小值 最小值
∀x∈[2，4]，f（x） 在区间[2， ]为增函数，[ ，4]为减函数，f（2） ，f（4）
1
，
所以函数f（x）在区间[2，4]上的最小值是f（4） ；
函数g（x）开口向上，且对称轴x＝﹣m，
①当﹣m≤2，即m≥﹣2，g（x） ＝g（2）＝4+4m ⇒m ，解得：﹣2 ；
最小值
②当2＜﹣m＜4，即﹣4＜m＜﹣2，g（x） ＝g（﹣m）＝m2﹣2m2 ⇒m≤﹣1或m≥1，所以﹣4
最小值
＜m＜﹣2；
③﹣m≥4，即m≤﹣4，g（x） ＝g（4）＝16+8m ，解得：m ，所以m≤﹣4；
最小值综上所述，m的取值范围：（﹣∞， ].
【点睛】
关键点睛：本题解题的关键有两点：分别在于：1.把题目的成立条件转化为f（x） ≥g（x） ，2.通
最小值 最小值
过对 进行分类讨论，求出函数g（x）在区间[2，4]上的最小值
43．设集合 ， .
（1）若 ，求 ；
（2）若“ ”是“ ”的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
【答案】（1） ；（2） ；
【分析】
（1）由集合描述求集合 、 ，根据集合交运算求 ；（2）由充分不必要条件知 ⫋ ，即可求m
的取值范围.
【详解】
，
（1） 时， ，
∴ ；
（2）“ ”是“ ”的充分不必要条件，即 ⫋ ，
又 且 ，
∴ ，解得 ；
【点睛】
本题考查了集合的基本运算，及根据充分不必要条件得到集合的包含关系，进而求参数范围，属于基础题.
44．设命题P：实数x满足 ；命题q：实数x满足 .（1）若 ，且p，q都为真，求实数x的取值范围；
（2）若 ，且q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）根据一元二次不等式和绝对值不等式的解法，分别求得命题 ，再结合命题 都为真时，即可
求解实数的取值范围；
（2）根据一元二次不等式和绝对值不等式的解法，分别求得命题 ，由 是 的充分不必要条件，转
化为集合的包含关系，即可求解.
【详解】
（1）由不等式 ，可得 ，
当 时，解得 ，即p为真时， ，
由 ，可得 ，解得 ，即q为真时， ，
若 都为真时，实数x的取值范围是 .
（2）由不等式 ，可得 ，
因为 ，所以 ，即p为真时，不等式的解集为 ，
又由不等式 ，可得 ，即q为真时，不等式的解集为 ，
设 ，
因为 是 的充分不必要条件，可得集合 是 的真子集，则 ，解得 ，
所以实数m的取值范围是 .
【点睛】本题主要考查了根据复数命题的真假，以及必要不充分条件求解参数的取值范围，以及一元二次不等式和
绝对值不等式的求解，其中解答中熟记不等式的解法，求得命题 是解答的关键，着重考查推理与运算
能力.
45．已知集合
（1）若 ，求 ；
（2）若 是 的充分条件，求实数a的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）由集合描述可得 ， ，根据集合交运算即可求 ；（2）由
是 的充分条件知 列不等式组即可求a的范围.
【详解】
（1） ，
当 时， ，
则 ；
（2）∵ ，
∴
是 的充分条件，
，，解得 ，
即实数a的取值范围是 .
【点睛】
本题考查了集合的关系以及基本运算，首先根据集合描述写出集合，利用交运算求交集，再由充分条件得
到包含关系，列不等式组求参数范围.
46．如图，已知顶点为 的抛物线 与x轴交于A，B两点，直线 过顶
点C和点B．
（1）求m的值；
（2）求函数 的解析式
（3）抛物线上是否存在点M，使得 ？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2） ；（3） 或 ；
【分析】
（1）将 代入 ，即可得答案；
（2）将 代入直线的解析式得出点B的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可；
（3）分M在BC上方和下方两种情况进行解答即可；
【详解】（1）将 代入 可得： ；
（2）将 代入 得： ，
所以点 的坐标为 ，
将 ， 代入 中，
可得： ， ，
解得： ， ，
二次函数的解析式为： ；
（3）存在，分以下两种情况：
若 在 的上方，设 交 轴于点 ，则 ，
，
设 为 ，代入 ，可得
联立两个方程可得： ，
解得：所以 ；
若 在 下方，设 交 轴于点 ，则 ，
，
，
联立两个方程可得： ，解得： ，
，
综上所述： 的坐标为 或 ；
【点睛】
本题考查二次函数的综合题，需要掌握待定系数法求二次函数的解析式.
47．已知全集 ,集合 ,
（1）求 和
（2）求
【答案】(1) , ;
(2)
【分析】
根据集合的基本运算求解即可.
【详解】
(1)由 , 得 ,
(2)由 得 ,故【点睛】
本题主要考查了集合的基本运算,属于基础题型.
48．若A＝{3,5}，B＝{x|x2＋mx＋n＝0}，A∪B＝A，A∩B＝{5}，求m，n的值．
【答案】
【分析】
由题意，A∪B＝A，A∩B＝{5}，求得B＝{5}，进而得到方程x2＋mx＋n＝0只有一个根为5，列出方程组，
即可求解.
【详解】
解：∵A∪B＝A，A∩B＝{5}，A＝{3,5}，
∴B＝{5}．
∴方程x2＋mx＋n＝0只有一个根为5，
∴
∴解得
【点睛】
本题主要考查了集合的交集、并集的应用，其中解答中熟记集合的交集、并集的基本运算，转化为方程的
根求解是解答的关键，着重考查了转化思想的应用，以及推理与运算能力.
49．已知集合 ，集合 .
（1）当 时，求 ；
（2）设 ，若“ ”是“ ”的必要不充分条件，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ， ；（2） .
【分析】
（1） 时，求出集合 与集合 ，利用集合运算性质即可得出．
（2） 时， ， ， ．根据“ ”是“ ”的必要不充分条件，可得 ，
即可得出．【详解】
解：（1）当 时， ，集合 ，
所以 .
（2）因为 ，所以 ， ，
因为“ ”是“ ”的必要不充分条件，所以 ，
所以 解得： .
【点睛】
本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、集合运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础
题．
50．已知m>0，p：-2≤x≤6，q：2-m≤x≤2+m．
（1）已知p是q成立的必要不充分条件，求实数m的取值范围;
（2）若 q是 p成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【答案】（1）(0，4)；（2）(4，+∞)．
【分析】
（1）本小题根据p是q成立的必要不充分条件建立不等式组，即可解题；
（2）本小题根据题意判断出(-∞，2-m)∪(2+m，+∞)是(-∞，-2)∪(6，+∞)的真子集，再建立不等式组解题即
可.
【详解】
（1）∵p是q成立的必要不充分条件，
∴q⇒p且p q，
则[2-m，2+m]是[-2，6]的真子集，
有 解得0<m≤4．
又当m=4时，[2-m，2+m]=[-2，6]，不合题意，舍去，∴m的取值范围是(0，4)．
（2）∵ q是 p成立的充分不必要条件，
∴ q⇒ p且 p推不出 q，则(-∞，2-m)∪(2+m，+∞)是(-∞，-2)∪(6，+∞)的真子集，则 解得m≥4．
又当m=4时，两集合相等，不合题意，舍去，
∴m的取值范围是(4，+∞)．
【点睛】
本题考查集合的包含关系与充分条件和必要条件之间的联系，是中档题
