文档内容
专题 15.2 分式的乘法和除法
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 分式乘法】................................................................................................................................................1
【考点二 分式除法】................................................................................................................................................3
【考点三 分式乘除混合运算】................................................................................................................................7
【考点四 分式乘方】................................................................................................................................................8
【考点五 含乘方的分式乘除混合运算】................................................................................................................9
【考点六 分式乘除混合运算中化简求值】..........................................................................................................12
【过关检测】............................................................................................................................................................14
【典型例题】
【考点一 分式乘法】
例题：（24-25八年级上·北京房山·期中）计算： ．
【答案】
【知识点】分式乘法
【分析】本题主要考查了分式的乘法计算，直接根据分式的乘法计算法则求解即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·四川乐山·期末）化简 的结果为 ．
【答案】
【知识点】分式乘法【分析】本题考查了分式的乘法，先将第二个分式的分子、分母因式分解，然后约分化简即可．
【详解】解：原式
，
故答案为： ．
2．（2024七年级下·浙江·专题练习）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】分式乘法、分式乘方
【分析】本题考查了分式的乘除混合运算．
（1 ）先乘方，再计算乘除．
（2 ）先把分子分母因式分解，然后约分即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：．
3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】分式乘法
【分析】利用分式的乘法法则计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）；
（4）
．
【点睛】本题考查分式的乘法，掌握分式的乘法法则是解题的关键．
【考点二 分式除法】
例题：（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【知识点】分式乘方、分式除法、分式乘法、负整数指数幂
【分析】（ ）先对括号内进行因式分解，再计算分式除法即可；
（ ）先进行因式分解，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果；
（ ）根据分式的乘方，负整数指数幂，分式乘除运算法则计算即可；
本题考查了分式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·上海·期中）化简：
【答案】
【知识点】分式除法
【分析】本题考查了分式的除法运算，解题的关键是掌握分式的除法运算法则．先将分式的分子和分母分
别因式分解，再根据分式的除法运算法则计算即可．
【详解】解：
2．（24-25八年级上·全国·单元测试）化简：
【答案】【知识点】分式除法
【分析】本题考查分式除法，熟练掌握分式除法运算法则是解题的关键．
将每一个分式分子分母分解因式，把除法变成乘法，然后约分即可．
【详解】解：原式
．
3．（2024·江苏连云港·二模）计算 ．
【答案】
【知识点】分式除法
【分析】本题主要考查了分式的除法运算，根据分式的除法运算法则即可求出答案，熟练掌握运用运算法
则是解决此题的关键．
【详解】
．
4．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】分式除法
【分析】本题考查分式的除法运算，掌握分式的运算法则是解题的关键．
（1）先将分子分母因式分解，然后将除法转化成乘法，然后求解即可；
（2）先将分子分母因式分解，然后将除法转化成乘法，然后求解即可．【详解】（1）
；
（2）
．
5．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】分式除法、分式乘法
【分析】（1）根据分式的乘法运算法则计算即可；
（2）根据分式的除法运算法则计算即可；
（3）根据分式的除法运算法则计算即可．【详解】（1）原式 ；
（2）原式 ；
（3）原式 ．
【点睛】本题考查分式的乘法和除法．熟练掌握分式的乘法和除法运算法则是解题关键．
【考点三 分式乘除混合运算】
例题：（23-24八年级上·全国·课时练习）计算：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】先把除法变成乘法，再根据分式的基本性质约分即可得到答案．
【详解】（1）解：原式 ；
（2）解：原式 ．
【点睛】本题主要考查了分式的乘除混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·全国·课时练习）计算：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先把除法转化为乘法，再根据分式的乘法法则计算即可；
（2）先把除法转化为乘法，再根据分式的乘法法则计算即可．
【详解】（1） ．
（2）
【点睛】此题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2．（23-24八年级上·全国·课时练习）计算：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用乘法公式，分式的性质进行化简即可求解；
（2）运用乘法公式，分式的性质进行化简即可求解．
【详解】（1）解： ．
（2）解： ．
【点睛】本题主要考查分式的乘除运算，正确约分是解题的关键．
【考点四 分式乘方】
例题：（2024·河北邯郸·模拟预测）化简： ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的运算；
先算分式的乘方，再算分式的乘法即可．【详解】解：原式 ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）计算： ．
1
【答案】 / x/
8
【分析】本题考查分式的混合运算，掌握分式乘方和分式乘法的运算法则是解题关键．
先算乘方，然后再算乘法．
【详解】解： ，
故答案为： ．
2．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： ．
【答案】
【分析】先计算分式的乘方，再进行乘除运算即可求解．
【详解】解：原式
故答案为：
【点睛】本题考查分式的乘方、分式的乘除混合运算．掌握相关运算法则是解题关键．
【考点五 含乘方的分式乘除混合运算】
例题：（23-24八年级下·全国·课后作业）计算：
(1) ； (2) ．【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的混合运算，属于常考题型，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
（1）先计算分式的乘方，再根据分式的乘除法则解答即可；
（2）先计算分式的乘方，再根据分式的乘除法则解答即可．
【详解】（1）
；
（2） ．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．【分析】
本题考查了分式的运算，掌握分式的运算法则，运算顺序是解题的关键．
（1）先把除法变成乘法，再利用分式的乘法法则计算；
（2）先算乘方，再算分式的乘法即可；
（3）先因式分解，把除法变乘法，再利用分式的乘法法则计算．
【详解】（1）
解：原式
．
（2）
解：原式
．
（3）
解：原式
2．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算：
(1) ；
(2) ；(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了分式的混合运算，属于常考题型，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
（1）先计算分式的乘方，再根据分式的乘除法则解答即可；
（2）先计算分式的乘方，再根据分式的乘除法则解答即可；
（3）先计算分式的乘方，再根据分式的乘除法则解答即可．
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）．
【考点六 分式乘除混合运算中化简求值】
例题：（23-24八年级上·全国·课时练习）先化简，再求值： ，其中 .
【答案】 ，-2
【分析】先根据分式的乘除混合运算法则化简，再代值计算.
【详解】解：原式
；
当 时，原式 .
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的乘除混合运算法则、准确计算是解题关键.
【变式训练】
1．（2023·湖北恩施·模拟预测）先化简，再求值： ，其中
【答案】 ，
【分析】将分子和分母因式分解，将除法转化为乘法，约分计算，再将x值代入计算即可．
【详解】解：,
当 时，原式 ．
【点睛】此题主要考查了分式的乘除法，正确化简分式是解题关键．
2．（23-24八年级上·全国·课时练习）先化简，再求值： ，其中 ，
．
【答案】
【分析】先算乘方，然后计算乘除化简分式，最后代入数值计算解题．
【详解】解：
．
当 ， 时，
【点睛】本题考查分式的混合运算，掌握运算顺序和运算法则是解题的关键．【过关检测】
一、单选题
1．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式乘法
【分析】本题考查了分式的乘法，理解并掌握分式的性质，及乘法运算法则是解题的关键．
根据分式乘法运算法则计算即可求解．
【详解】解： ，
故选：C ．
2．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）计算下列四个算式：① ；② ；③ ；④ ，
其结果是分式的是（ ）．
A．①③ B．①④ C．②④ D．③④
【答案】B
【知识点】分式的判断、分式乘法、分式除法
【分析】本题考查了分式的定义，分式的运算，两个整式相除且分母含有未知数的式子为分式，据此进行
逐个分析，即可作答．
【详解】解： ，故①是分式；
，故②不是分式；
，故③不是分式；
，故④是分式；
故选：B3．（24-25八年级上·河北衡水·阶段练习）如果 的运算结果为整式，则被遮挡的式子可
能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式除法
【分析】本题考查分式的除法，熟练掌握分式的除法法则是解题的关键．设被遮挡的式子为t，则根据分
式的除法法则可求出结果为 ，则t中一定含有 的单项式，即可选择．
【详解】解：设被遮挡的式子为t，
则 ．
∵原式的运算结果为整式，
∴t中一定含有 的单项式，
∴只有B选项符合题意．
故选B．
4．（23-24八年级上·广西河池·期末）下列各式计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分式除法、分式乘法
【分析】本题主要考查了分式的乘除运算．根据分式的乘除运算法则计算，即可求解．
【详解】解：A、 ，故本选项正确，不符合题意；
B、 ，故本选项正确，不符合题意；C、 ，故本选项正确，不符合题意；
D、 ，故本选项错误，符合题意；
故选：D．
5．（23-24八年级上·河北邢台·期中）已知 ，关于甲、乙、丙的说法，下列判断正确
的是（ ）
甲： 的计算结果为 ；
乙：当 时， ；
丙：当 时， 的值为正数
A．乙错，丙对 B．甲和乙都对 C．甲对，丙错 D．甲错，丙对
【答案】C
【知识点】分式乘除混合运算、分式的求值
【分析】此题考查了分式的乘除运算，分式的求值，首先将分式化简即可判定甲，然后将 代入求解
即可判断乙，然后根据x的范围即可判定A的正负，解题的关键是熟练掌握分式的乘除运算法则．
【详解】
，故甲对；
当 时， ，故分式无意义，故乙错；
当 时，
，
∴ ，故丙错．
故选：C．
二、填空题6．（23-24八年级上·北京延庆·期中）计算：（1） = ；（2） = ．
【答案】 ； ．
【知识点】分式除法、分式乘法
【分析】（ ）根据分式的乘法法则计算即可；
（ ）根据分式的除法法则计算即可．
【详解】（ ）原式 ；
（ ）原式 ，
．
【点睛】此题考查了分式的乘除运算，解题的关键是掌握相应的运算法则及其应用．
7．（23-24八年级上·山东威海·期末）若 ，则 等于 ．
【答案】
【知识点】分式除法
【分析】本题主要考查了分式的除法计算，根据分式的除法计算法则求出 的结果即可得到
答案．
【详解】解：∵ ，
∴
，
故答案为： ．
8．（2024八年级上·全国·专题练习）如果 （ ） ，那么括号内应填写的分式是 ．
【答案】【知识点】分式乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据除式=被除式÷商列式，再进
行运算即可．
【详解】解：由题意得： ，
故答案为： ．
9．（24-25八年级上·河北唐山·期中）有依次排列的两个不为零的代数 ， ，且 ，
， ， ，依次类推，若 ，用含 （ 为正整数）的式子表示 ，则 ．
【答案】
【知识点】分式除法
【分析】本题考查了分式运算规律探究，通过计算可得 ，据此即可求解，通过计算
找到数字的变化规律是解题的关键．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
，，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
10．（2024·天津河北·模拟预测）有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘2，再除以它与1的和，多
次重复进行这种运算的过程如下：
则第n次的运算结果是 (用含字母x和n的代数式表示)．
【答案】
【知识点】分式除法、用代数式表示数、图形的规律
【分析】此题考查了分式的规律题，根据分式的除法法则逐项计算，得到规律即可．
【详解】解：根据题意得 ；
；
；
……
根据以上规律可得： ．
三、解答题
11．（24-25八年级上·山东济南·期中）计算(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】分式乘除混合运算、分式除法
【分析】本题主要考查了分式的除法计算，分式的乘除法计算：
（1）先把两个分式的分子和分母都分解因式，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案；
（2）先把第一个分式的分子分解因式，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
12．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ．【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【知识点】含乘方的分式乘除混合运算
【分析】此题考查了分式的乘除混合运算，关键是掌握运算法则．
(1) 分子的积作积的分子，分母的积作积的分母再约分即可；
(2)先算乘方，再把除法变为乘法同时进行因式分解，约分即可得到答案．
(3) 先把除法运算转化成乘法运算，把分子分母分解因式再进行分式乘法运算即可．
【详解】（1）解： ，
（2）解：
；
（3）解：
．
13．（24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ；(2) ．
【知识点】分式乘除混合运算
【分析】（ ）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再计算分式乘法即可；
（ ）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再计算分式乘法即可；
此题了考查分式的乘除运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
14．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)2(2)
(3)
(4)
【知识点】分式乘除混合运算
【分析】此题了考查分式的乘除运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
（1）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再约去分子分母中的公因式即可；
（2）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再约去分子分母中的公因式即可；
（3）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再约去分子分母中的公因式即可；
（4）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再约去分子分母中的公因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；（4）解：
．
15．（23-24八年级下·江西吉安·期末）先化简： ，并在1、 、0、2四个数中选择一个
适合的数作为x的值代入求值．
【答案】 ，
【知识点】分式除法
【分析】本题考查的是分式的除法运算及化简求值，先化简计算，再选取合适的值代入计算即可．
【详解】解：
，
，
当 时， ．
16．（23-24八年级下·河北张家口·期中）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是每人
只能看到前一人给的式子，并进一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示：
但老师最后说，结果是错的，请你确定接力中出错的同学，并写出正确的过程．
【答案】乙、丁同学在接力中出错，正确答案为
【知识点】分式乘除混合运算
【分析】本题考查的是分式的混合运算，掌握分式的乘除法法则、分式的约分法则是解题的关键．
根据分式的乘除法法则计算即可．【详解】解：乙、丁同学在接力中出错．
正确的过程：
．
17．（23-24八年级下·江西吉安·阶段练习）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式．例如：
．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为
“假分式”例如 ， 是假分式．当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例
如： ， 是真分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和例如：
．
(1)分式 是______（填“真”或“假”）分式．
(2)将假分式 化为整式与真分式的和的形式．
(3)若分式 的值为整数，求x的整数值．
【答案】(1)假
(2)
(3) 或
【知识点】新定义下的实数运算、分式除法
【分析】本题考查新定义，分式的化简，分式的值．理解新定义是解题的关键．（1）根据“假分式”定义判定即可；
（2）将分式变形 ，再化简即可．
（3）根据 ，再根据 的值为整数， x为整数，则 ，求解即可．
【详解】（1）解：∵分子x的次数与分母 中字母x的次数都要是1，相等，
∴分式 是假分式，
故答案为：假．
（2）解：
；
（3）解：由（2）知 ，
又∵ 的值为整数，x为整数，
∴ ，
∴ 或 ．
18．（23-24九年级下·江苏盐城·期中）阅读下面材料并解答问题材料：在处理某些分式问题时，“分离常
数法”是常用的变形技巧之一．分离常数法是将分式分成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式．
通过分式分离常数法可以将复杂的分式简化为一个更简单的形式．
如：若分式 的值为整数，求整数x的值．
我们先将该分式变形： ，因为 的值为整数，所以只要
的值为整数，而分子是个常数，所以只要 是1的约数即可，即 ，所以 或 ．
(1)将下列分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式：
① ，②(2)应用：①若分式 的值为整数，求整数x的值；
②设 ， ， ，其中 ，比较m、n、p的大小．
(3)拓展：已知x、y满足 ，且x、y为正整数，求x、y的值．
【答案】(1) ，
(2)① 或2或 或4；②
(3) 或
【知识点】分式除法、求使分式值为整数时未知数的整数值、因式分解的应用、新定义下的实数运算
【分析】（1）利用“分离常数法”求解即可；
（2）①先利用“分离常数法”得 ，再根据分式值为整数得 或 ，求
解即可；
②先利用“分离常数法”得 ， ， ，再根据 ，得出 ，从而
得 ，即可得出结论；
（3）先将方程变形为 ，再根据x、y为正整数，得到 或 ，
求解即可．
【详解】（1）解：① ；
②
故答案为：① ；② ．
（2）解：① ，∵分式值为整数，x为整数，
∴ 或 ，
∴ 或2或 或4；
②∵ ，
，
，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：
∵x、y为正整数
∴ 或
解得： 或 ．
【点睛】本题考查分式运算，新定义问题，因式分解的应用，比较分式的大小，属材料阅读题目，解题的
关键是正确理解新定义以及分式的运算，属于中等题型．
