文档内容
专题15.3 分式方程及应用（9个考点）
【考点1:分式方程定义】
【考点2:分式方程的解】
【考点3:解分式方程】
【考点4:分式方程的增根】
【考点5: 分式方程应用-工程问题】
【考点6:分式方程应用-行程问题】
【考点7:分式方程应用-销售问题】
【考点8: 分式方程应用-方案问题】
【考点9: 分式方程应用-其他问题】
【考点1:分式方程定义】
1．下列各式中是关于x的分式方程的是（ ）
x 1
A．2x=4 B．x2+1= y C． +1=0 D． =2
2 x+1
【答案】D
A
【分析】本题考查的是分式方程的定义，分式方程的定义：①形如 的式子；②其中A，B均为整式，
B
且B中含有字母.根据分式方程的定义，即可得出答案.
x
【详解】解：A. 2x=4，B. x2+1= y，C. +1=0都是整式方程，故不符合题意；
2
1
D.
=2是分式方程，故该选项正确，符合题意；
x+1
故选：D．
1 2x+1 1−3x x x x 2x
2．下列关于x的方程：① =1；② =1+ ；③ + =1；④ −3=a+4；⑤ ，是分式方
x 3 4 b b a π
程的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键，根据定义逐个分析判
断即可．
1
【详解】① =1分母中含有未知数，是分式方程；
x
2x+1 1−3x
② =1+ ，分母中不含有未知数，不是分式方程；
3 4
x x
③关于x的方程 + =1分母b是常数，分母中不含有未知数，不是分式方程；
b b
x
④关于x的方程 −3=a+4，分母a是常数，分母中不含有未知数，不是分式方程；
a
2x
⑤ 不是等式，且分母中π是常数，不是分式方程，
π
综上所述：是分式方程的有1个，
故选：A．
3．下列关于x的方程是分式方程的是（ ）
3+x x x+1 3+x x 5−x
A． =1− B． =2+x C． + =1 D． =1
2 3 5+a π 2 2+x
【答案】D
【分析】本题考查的知识点是分式方程的定义，解题的关键是熟练的掌握分式方程的定义．根据分式
方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程进行判断．
3+x x
【详解】解：A． 方程 =1− 分母中不含未知数，故不是分式方程；
2 3
x+1
B． 方程 =2+x分母中不含未知数x，故不是分式方程；
5+a
3+x x
C． 方程 + =1分母中不含表示未知数的字母，π是常数，不是分式方程；
π 2
5−x
D． 方程 =1分母中含未知数x，故是分式方程．
2+x
故答案选D．
2 m
4．关于x的分式方程 = （m>3，且m为整数）的解为整数，则m的可能取值的和为（ ）
x−3 x
A．15 B．17 C．22 D．28
【答案】B【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程得出
3m 6
x= =3+ ，结合m>3，且m为整数，x为整数，得出m可取4，5，8，即可得解．
m−2 m−2
2 m
【详解】解： = ，
x−3 x
去分母得：2x=m(x−3)，
去括号得：2x=mx−3m，
移项得：(2−m)x=−3m，
3m 6
系数化为1得：x= =3+ ，
m−2 m−2
∵m>3，且m为整数，x为整数，
∴m−2=2,3,6
∴m可取4，5，8，
∴m的可能取值的和为4+5+8=17，
故选：B．
【考点2:分式方程的解】
a 3
5．关于x的分式方程 + =1的解为正数，则字母a的取值范围为（ ）
x−1 1−x
A．a>2 B．a<2 C．a>2且a≠3 D．a>3且a≠2
【答案】C
【分析】本题主要考查了解分式方程以及分式方程有意义的条件，将a看做已知数求出分式方程的解得
到x的值，根据解为正数列出不等式，求出不等式的解集即可得到a的范围．
a 3
【详解】解： + =1
x−1 1−x
分式方程去分母得：a−3=x−1，
解得：x=a−2，
根据题意得：a−2>0即a>2．
又∵x−1≠0，
∴x≠1，
∴a−2≠1，
解得∶a≠3，∴的取值范围为a>2且a≠3．
故选：C．
5 a+x
6．已知分式方程 +1= 的解为x=3，则a的值为 ．
x+2 x+2
【答案】7
【分析】本题考查了分式方程解的意义，将x=3代入分式方程即可得出答案．
5 a+x
【详解】解：∵分式方程 +1= 的解为x=3，
x+2 x+2
5 a+3
∴ +1= ，
3+2 3+2
解得：a=7，
故答案为：7．
y+a 2a
7．若关于y的分式方程 + =4的解是正数，求a的取值范围．
y−2 2−y
【答案】a的取值范围为a<8且a≠2．
【分析】本题主要考查了解分式方程，先根据解分式方程的一般步骤求出y的表达式，然后根据分式方
程的解为正数列不等式求解即可，根据分式方程解的情况求参数的范围，掌握解分式方程的一般步骤
是解题的关键．
y+a 2a
【详解】解： + =4，
y−2 2−y
y+a 2a
− =4，
y−2 y−2
y+a−2a=4(y−2)，
y−a=4 y−8，
8−a
y= ；
3
y+a 2a
∵关于y的分式方程 + =4的解是正数，
y−2 2−y
8−a
{ >0)
3
∴ ，
8−a
≠2
3
解得：a<8且a≠2，
∴a的取值范围为a<8且a≠2．x−4 k
8．如果关于x的方程 = 的解为非负数，求k的取值范围
x−1 1−x
【答案】k≤4且k≠3
【分析】本题考查分式方程的解以及解分式方程，掌握分式方程的解法是正确解答的前提．将分式方
程化为整式方程，求出整式方程的解，使整式方程的解是非负数，结合分式方程有意义进行求解即可．
x−4 k
【详解】解：关于x的分式方程 = 化为整式方程得，
x−1 1−x
x−4=−k，
解得x=−k+4，
由于分式方程的解为非负数，即−k+4≥0，
所以k≤4，
而x=1是分式方程的增根，当x=1时，k=3，
因此k的取值范围为k≤4且k≠3．
x−3 x+2
9．解分式方程： = ．
x+2 x+3
13
【答案】x=−
4
【详解】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用去分母将原方程化为整式
方程，结合完全平方公式和平方差公式解得x的值后进行检验即可．
【解答】解：原方程去分母得：(x−3)(x+3)=(x+2) 2，
整理得：x2−9=x2+4x+4，
即4x=−13，
13
解得：x=− ，
4
13
检验：当x=− 时，(x+2)(x+3)≠0，
4
13
故原方程的解是x=− ．
4
【考点3:解分式方程】
10．解下列分式方程：
1 5
(1) = ；
x−1 x1 1−x
(2) +3= ．
x−2 2−x
5
【答案】(1)x=
4
(2)原方程无解
【分析】本题考查解分式方程，
（1）在方程两边同乘以x(x−1)，将原方程化为整式方程，解方程后再验根，即可得解；
（2）在方程两边同乘以(x−2)，将原方程化为整式方程，解方程后再验根，即可得解；
熟练掌握分式方程的解法的一般步骤，注意对所得的解进行检验是解题的关键．
【详解】（1）解：在方程两边同乘以x(x−1)，
得：x=5(x−1)，
5
解得：x= ，
4
5 5 (5 )
检验：当x= 时， × −1 ≠0，
4 4 4
5
∴x= 是原方程的解；
4
（2）在方程两边同乘以(x−2)，
得：1+3(x−2)=−(1−x)，
解得：x=2，
检验：当x=2时，2−2=0，
∴x=2是原方程的增解，
∴原方程无解．
11．解分式方程：
x−2 16
(1) −1= ；
x+2 x2−4
2x 1
(2) = +1．
x+3 x+3
【答案】(1)原方程无解
(2)x=4
【分析】本题考查解分式方程，
（1）根据解分式方程的方法求解即可；
（2）根据解分式方程的方法求解即可．x−2 16
【详解】（1）解： −1= ，
x+2 x2−4
去分母得，(x−2) 2−(x2−4)=16，
去括号得，x2−4x+4−x2+4=16，
移项、合并同类项得，−4x=8，
化系数为1得，x=−2，
把x=−2代入x2−4= (−2) 2−4=0，是原方程增根，
∴原方程无解．
2x 1
（2）解： = +1，
x+3 x+3
去分母得，2x=1+x+3，
移项、合并同类项得，x=4，
把x=4代入x+3= 4+3=7≠0，
∴x=4是原方程的解．
12．解分式方程：
x+1 4
(1) − =1；
x−1 x2−1
2x+2 x+2 x2−2
(2) − = ．
x x−2 x2−2x
【答案】(1)原分式方程无解
1
(2)x=−
2
【分析】本题主要考查了解分式方程，
对于（1），先去分母，再去括号，移项合并同类项，求出解，然后检验即可；
对于（2），仿照（1）解答即可．
【详解】（1）解：两边同时乘(x+1)(x−1)得：(x+1) 2−4=x2−1，
去括号，得x2+2x+1−4=x2−1，
移项，合并同类项，得2x=2，
解得：x=1，
检验：当x=1时，(x+1)(x−1)=0，∴原分式方程无解；
（2）方程两边同时乘x(x−2)得：(x−2)(2x+2)−x(x+2)=x2−2，
去括号，得2x2−2x−4−x2−2x=x2−2，
移项，合并同类项，得4x=−2，
1
解得：x=− ，
2
1
检验：x=− 是原分式方程的解．
2
x−1 2
13．解分式方程： + =1．
x−3 3x−x2
【答案】x=1
【分析】本题考查了解分式方程，先去分母，合并同类项，即可求解，熟练掌握解分式方程是解题的
关键．
x−1 2
【详解】解：
+ =1
，
x−3 3x−x2
∴x2−x−2=x2−3x，
∴2x=2，
解得：x=1，
经检验，x=1是分式方程的解．
14．解分式方程：
−1 3−x
(1) +3= ；
x−2 2−x
2 x+2
(2)
+ =−1
x2−1 1−x
【答案】(1)无解；
1
(2)x=−
3
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意验根
（1）根据解分式方程的步骤先去分母，再解整式方程求解即可；
（2）根据解分式方程的步骤先去分母，再解整式方程求解即可．
【详解】（1）解：去分母得，−1+3(x−2)=−3+x
解得，x=2
当x=2时，x−2=0 ，所以原方程无解；
（2）解：去分母得，2−(x+2)(x+1)=−x2+1
1
解得，x=−
3
1
当x=− 时，x2−1≠0 ，
3
1
所以x=− 是原方程的解；
3
【考点4:分式方程的增根】
x m
15．若关于x的分式方程 =2− 有增根，则m=（ ）
x−3 3−x
A．1 B．−1 C．3 D．−3
【答案】C
【分析】本题考查了分式方程的增根，将分式方程化为整式方程得x=2(x−3)+m，由分式方程有增
根的条件得x=3，将其代入整式方程即可求解；理解增根满足的条件：“①增根是化简后对应整式方
程的根，②使最简公分母的值为零；”是解题的关键．
【详解】解：去分母得，
x=2(x−3)+m，
∵原方程有增根，
∴x−3=0，
解得：x=3，
∴ 3=2(3−3)+m，
解得：m=3，
故选：C．
mx+1
16．若关于x的分式方程 =1有增根，则m的值是（ ）
x−2
1 1
A．− B．1 C．− 或0 D．0或1
2 2
【答案】A
【分析】本题考查分式方程增根问题．根据题意变形为整式方程，再将增根x=2代入即可得到本题答
案．mx+1
【详解】解：∵关于x的分式方程 =1有增根，
x−2
∴mx+1=x−2，
∵x=2是方程的增根，
1
∴2m+1=2−2，解得：m=− ，
2
故选：A．
4 a
17．若分式方程 − =1有增根，则它的增根是 ．
(x+1)(x−1) x−1
【答案】x=1
【分析】本题主要考查了分式方程的增根．熟练掌握增根的意义和产生过程，是解决问题的关键．去
分母化分式方程为整式方程，让最简公分母(x+1)(x−1)=0，得到x=1或x=−1，然后代入整式方程
算出a的值，即可确定增根．
4 a
【详解】解：由 − =1，
(x+1)(x−1) x−1
去分母，得4−a(x+1)=(x+1)(x−1)，
∵分式方程有增根，
∴(x+1)(x−1)=0，
∴x=1或x=−1，
当x=1时，
4−2a=0，
解得a=2；
当x=−1时，
4−0=0，
矛盾，a不存在．
故答案为：x=1．
m 2x
18．如果关于x的分式方程 + =1有增根，那么m的值为 ．
x−2 2−x
【答案】4
【分析】本题考查了分式方程的增根，解题的关键是熟练掌握增根的概念，可按如下步骤进行：①化
分式方程为整式方程；②让最简公分母为0确定增根；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值，
据此解答即可．m 2x
【详解】解： + =1，
x−2 2−x
去分母得：m−2x=x−2，
m+2
即x= ，
3
m 2x
∵关于x的分式方程 + =1有增根，
x−2 2−x
∴ x−2=0，即x=2，
m+2
∴ =2，
3
解得：m=4．
故答案为：4．
x+1 a
19．若关于x的方程 +2= 有增根，则a的值是 ．
x−1 x−1
【答案】2
【分析】此题考查了分式方程无解的情况，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程时，扩
大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．分式方程
去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根得出x−1=0，求出x的值，代入整式方程即可求出a的
值．
x+1 a
【详解】解： +2= ，
x−1 x−1
分式方程去分母得：x+1+2(x−1)=a，
即3x−1=a，
由分式方程有增根得：x−1=0，
解得：x=1，
将x=1代入整式方程3x−1=a得：3−1=a，
解得：a=2．
故答案为：2．
m x−4
20．若关于x的方程 = 有增根，则m= ．
5−x x−5
【答案】−1
【分析】本题考查了分式方程的增根和解分式方程，根据增根是化为整式方程后产生的不适合分式方
程的根，确定增根的可能值，让最简公分母x−5=0即可，正确理解增根的定义及熟练掌握知识点的
应用是解题的关键．m x−4
【详解】解： = ，
5−x x−5
−m=x−4，
解得x=4−m，
∵分式方程的最简公分母是x−5，原方程有增根，
∴x−5=0，
∴增根是x=5=4−m，
∴m=−1，
故答案为：−1．
2 a
21．已知关于x的方程 − =5．
x−1 1−x
(1)当a=3时，解方程；
(2)若该方程有增根，求a的值．
【答案】(1)x=2
(2)a=−2
【分析】本题主要考查了解分式方程、分式方程的增根等知识点，掌握解分式方程的方法和步骤是解
答本题的关键．
（1）将a=3代入方程，然后解分式方程即可；
7+a
（2）先将分式方程化成整式方程，然后将x=1代入x= 求得a即可解答．
5
2 3
【详解】（1）当a=3时，原方程为： − =5，
x−1 1−x
方程两边同乘(x−1)，得，5=5(x−1),
解得：x=2，
检验：当x=2时，x−1≠0，
∴x=2是原分式方程的解．
2 a
（2） − =5
x−1 1−x
方程两边同乘(x−1)，得，
2+a=5(x−1)
7+a
解得：x= ，
5
∵方程有增根，
∴x=17+a
当x=1时，代入x= 中，
5
解得：a=−2．
∴ a的值为：−2．
2 mx 1
22．已知关于x的分式方程 + =
x−2 (x−2)(x+3) x+3
(1)若该方程有增根，求m的值；
(2)若该方程无解，求m的值．
5
【答案】(1)m=−5或m=
3
5
(2)m=−5或m= 或m=−1
3
【分析】本题考查了分式方程的解和增根，（1）先把分式方程化成整式方程，再根据分式方程有增
根的条件可得增根为x=2或x=−3，即可求解；
5
（2）由（1）可知，当m=−5或m= 时，该方程有增根，即无解，再根据分式方程无解的条件可得
3
当m+1=0时，x无意义即无解，即可求解．
【详解】（1）解：化成整式方程得，2(x+3)+mx=x−2，
即(m+1)x=−8，
若该方程有增根，则增根为x=2或x=−3，
当x=2时，2(m+1)=−8，解得m=−5，
5
当x=−3时，−3(m+1)=−8，解得m= ，
3
5
综上，当m=−5或m= 时，该方程有增根；
3
5
（2）解：由（1）可知，当m=−5或m= 时，该方程有增根，即无解，
3
去分母后的整式方程为：(m+1)x=−8，
当m+1=0时，即m=−1时，x无意义即无解，
5
综上知：若原分式方程无解，则m=−5或m= 或m=−1．
3
【考点5: 分式方程应用-工程问题】
23．维修某段公路，现计划由甲、乙两工程队来完成，已知甲、乙两工程队合作6个月，可完成工程7
的 ；甲工程队先独做6个月，剩下的由乙工程队独做8个月才能完成．
8
(1)甲、乙两工程队单独完成此工程各需几个月？
(2)已知甲工程队每月费用为20万元，乙工程队每月费用为10万元．现要求15个月内完工，且施工总
费用最低，如果甲、乙两工程队单独施工，那么甲、乙两工程队各应施工多长时间？
【答案】(1)甲工程队单独完成此工程需12个月，乙工程队单独完成此工程需16个月
(2)甲工程队应施工3个月，乙工程队应施工12个月
【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用：
（1）先求出两个工程队合作的效率，设甲工程队单独完成此工程需x个月，根据甲工程队先独做6个
月，剩下的由乙工程队独做8个月才能完成，列出分式方程进行求解即可；
( y ) 1 ( 4 )
（2）设甲工程队施工y个月，则乙工程队施工 1− ÷ = 16− y 个月，根据题意，列出不等
12 16 3
式求出y的范围，再根据施工总费用最低进行判断即可．
7 7
【详解】（1）解：由题意，得：甲乙两队合作的效率为： ÷6= ，
8 48
( 7 1)
设甲单独完成此工程需要x个月，则乙的工效为 − ，由题意，得：
48 x
1 ( 7 1)
6⋅ +8 − =1，
x 48 x
解得：x=12，经检验，x=12是原方程的的解，
( 7 1 )
∴1÷ − =16，
48 12
答：甲工程队单独完成此工程需12个月，乙工程队单独完成此工程需16个月；
( y ) 1 ( 4 )
（2）解：设甲工程队施工y个月，则乙工程队施工 1− ÷ = 16− y 个月，
12 16 3
( 4 )
由题意，得：y+ 16− y ≤15，
3
解得：y≥3；
∵甲队每月费用20万元，乙队每月费用10万元，10万元<20万元，
∴在要求完成时间内，甲工程队施工时间越短，施工总费用越低，∴当甲工程队施工3个月时，剩下的由乙做需要的费用最低，
4
乙工程队施工的月为：16− ×3=12（个）月，
3
答：施工总费用最低时，甲工程队施工3个月，乙工程队施工12个月．
24．某服装厂计划生产4500套男士西装，现安排甲、乙两个小组开始生产，两个小组生产的西装的总和等
于计划生产的总和．已知甲组负责生产的西装数量的5倍比乙组负责生产的西装数量多900套．
(1)请问甲、乙两个小组分别负责生产的西装是多少套？
(2)若乙组每天生产的套数是甲组每天生产套数的2倍，如果两个组同时开始生产，那么乙组比甲组多
用5天完工，问甲、乙两个小组每天各生产多少套西装？
【答案】(1)甲组负责生产的西装数量为900套，乙组负责生产的西装数量为3600套
(2)甲组每天生产的西装数量为180套，乙组每天生产的西装数量为360套
【分析】本题考查了分式方程的应用，二元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量
关系．
（1）设甲组负责生产的西装数量为x套，乙组负责生产的西装数量为y套，根据题意列出方程组即可
求解；
（2）设甲组每天生产的西装数量为m套，则乙组每天生产的西装数量为2m套，根据“乙组比甲组多
用5天完工”，列出分式方程即可求解．
【详解】（1）解：设甲组负责生产的西装数量为x套，乙组负责生产的西装数量为y套，
{x+ y=4500)
根据题意可得： ，
5x−y=900
{ x=900 )
解得： ，
y=3600
∴甲组负责生产的西装数量为900套，乙组负责生产的西装数量为3600套；
（2）解：设甲组每天生产的西装数量为m套，则乙组每天生产的西装数量为2m套，
900 3600
根据题意可得： +5= ，
m 2m
解得：m=180，
经检验，m=180是原方程的解，且符合题意，
则2m=2×180=360，
∴甲组每天生产的西装数量为180套，乙组每天生产的西装数量为360套．
25．科技改变世界，为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线，一条某型号的自动
分拣流水线每小时分拣的包裹量是1名工人每小时分拣包裹量的4倍，分拣6000件包裹，用一条自动
分拣流水线分拣比1名工人分拣少用7.5小时．(1)一条自动分拣流水线每小时能分拣多少件包裹？
(2)五一劳动节将至，某转运中心预计每日需分拣的包裹量高达576000件，该中心原有该型号的自动
分拣流水线5条，进行24小时作业，还有36名工人，每天分拣8小时．现准备购买该型号的自动分拣
流水线进行24小时作业以解决分拣需求，则至少应再购买多少条？
【答案】(1)一条自动分拣流水线每小时能分拣2400件包裹
(2)至少应再购买2条自动分拣流水线
【分析】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，
（1）设1名工人每小时分拣x件包裹，这条自动分拣流水线每小时分拣4x件包裹，用一条自动分拣
流水线分拣比1名工人分拣少用7.5小时，据此列方程，解方程并检验即可得到答案；
（2）设再购买该型号的自动分拣流水线y条，预计每日需分拣的包裹量高达576000件，据此列出不
等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：设1名工人每小时分拣x件包裹，这条自动分拣流水线每小时分拣4x件包裹，
6000 6000
根据题意，得 − =7.5，
x 4x
解得x=600，
检验x=600是原分式方程的解，
∴4x=2400
答：一条自动分拣流水线每小时能分拣2400件包裹；
（2）设再购买该型号的自动分拣流水线y条，根据题意，得
24×2400(5+ y)+36×600×8≥576000
解得y≥2，
答：至少应再购买2条自动分拣流水线
26．某小区为尽快排除内涝的积水，快速恢复正常生活，需铺设一段全长为300米的临时排水管道，
为了减少施工对小区内群众生活造成的影响，实际施工时每小时的工作效率比原计划增加25%，结果
提前1.5小时完成铺设任务．求原计划每小时铺设管道多少米？
【答案】40米
【分析】本题主要考查了分式方程的应用．设原计划每小时铺设管道x米，根据题意，列出方程，即
可求解．
【详解】解：设原计划每小时铺设管道x米．
300 300
− =1.5
x (1+25%)x解得x=40．
经检验x=40是原方程的解且符合题意．
答：原计划每小时铺设管道40米．
48．为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠2000米，由甲、乙两个施工队同时开工合作修建，直至
完工．甲施工队每天修建灌溉水渠100米．乙施工队修建160米后，通过技术更新，每天比原来多修
建20%．灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？
【答案】乙施工队原来每天修建灌溉水渠86米．
【分析】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程的运用．
设乙施工队原来每天修建灌溉水渠m米，则技术更新后每天修建水渠(1+20%)m米，根据题意，列出
方程，解出方程，即可．
【详解】解：设乙施工队原来每天修建灌溉水渠m米，则技术更新后每天修建水渠(1+20%)m米，
两施工队修建的长度为2000÷2=1000（米），
160 1000−160 1000
+ =
由题意得： ，
m (1+20%)m 100
解得：m=86，
经检验，m=86是原分式方程的解，且符合题意，
答：乙施工队原来每天修建灌溉水渠86米．
27．某市为了治理污水，需铺设一段全长为4200米的污水排放管道，铺了1200米后，为了尽量减少施工
对城市交通所造成的影响，承包商安排工人每天加班，每天的工作量比原来提高了25%，共用60天完
成了全部任务．
(1)求原来每天铺设多少米管道？
(2)若承包商安排工人加班后每天支付给工人的工资增加了20%，完成整个工程后承包商共支付工人工
资238000元，请问安排工人加班前每天需支付工人工资多少元？
【答案】(1)原来每天铺设60米管道．
(2)安排工人加班前每天需支付工人工资3500元．
【分析】本题考查的知识点是分式方程、一元一次方程，解题关键是正确理解题意并列出对应方程．
（1）设原来每天铺设x米管道，则安排工人加班后每天铺设(1+25%)x米管道，根据题意列出分式方
程后求解即可，注意分式方程需检验；
（2）设安排工人加班前每天需支付工人工资y元，则安排工人加班后每天需支付工人工资(1+20%)y
元，根据题意列出一元一次方程后求解即可．
【详解】（1）解：设原来每天铺设x米管道，则安排工人加班后每天铺设(1+25%)x米管道，1200 4200−1200
根据题意得：
+ =60，
x (1+25%)x
解得：x=60，
经检验，x=60是所列方程的解，且符合题意．
答：原来每天铺设60米管道．
（2）解：设安排工人加班前每天需支付工人工资y元，则安排工人加班后每天需支付工人工资
(1+20%)y元，
1200 4200−1200
根据题意得：
y+ ×(1+20%)y=238000，
60 (1+25%)×60
即20 y+40×(1+20%)y=238000，
解得：y=3500．
答：安排工人加班前每天需支付工人工资3500元．
【考点6:分式方程应用-行程问题】
28．甲、乙两地之间的高速公路全长100千米，比原来国道的长度减少了20千米，高速公路通车后，
某长途汽车的行驶速度提高了40千米/时，从甲地到乙地的行驶时间缩短了一半，求该长途汽车在高
速公路上行驶的速度．
【答案】该长途汽车在高速公路上行驶的速度100千米/时．
【分析】本题主要考查分式方程的应用，解此题的关键在于根据题意设出未知数，找到题中相等关系
的量列出方程，注意一定要验根．设长途汽车在原来国道上行驶的速度为x千米/时，则再高速公路行
驶的速度为(x+40)千米/时，根据“甲地到乙地的行驶时间缩短了一半”列出关于x的分式方程，然
后求解方程即可．
【详解】解：设长途汽车在原来行驶的速度为x千米/时，则在高速公路行驶的速度为(x+40)千米/时，
100+20 2×100
根据题意可列方程为： = ，
x x+40
解得x=60
经检验，x=60是分式方程的解且符合题意，
x+40=60+40=100，
答：该长途汽车在高速公路上行驶的速度100千米/时．
29．甲、乙两船从相距300km的A,B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180km时与从B地逆流
航行的乙船相遇，水流速度为6km/h,若甲、乙两船在静水中的速度相同，求两船在静水中的速度．
【答案】两船在静水中的速度为30km/h【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．设两船在静水
180 300−180
中的速度为x km/h，根据两船行驶时间相同可得得： = ，解方程并检验可得答案．
x+6 x−6
【详解】解：设两船在静水中的速度为xkm/h,
180 300−180
根据题意得： = ，
x+6 x−6
解得x=30，
经检验，x=30是原分式方程的解，且符合题意．
答：两船在静水中的速度为30km/h．
30．为了提高道路的通行效率，阳泉市对大连街五渡口至保晋路口实行了灯控路口智能化改造，优化了交
通信号灯配时，驾驶员只要控制好车速，便能达到“一路绿灯”的效果．据了解，该路段总长约4.2
公里，改造后通过该路段的车辆的平均行驶速度提高了60%，平均行驶时间减少了3分钟，求改造前
通过该路段车辆的平均速度．
【答案】改造前通过该路段车辆的平均速度是31.5千米∕小时．
【分析】本题考查分式方程的应用．设改造前通过该路段车辆的平均速度x千米/小时，则改造后通过
该路段车辆的平均速度是(1+60%)x千米/小时，根据“行驶4.2千米，平均行驶时间减少了3分钟”
列出方程并解答．
【详解】解：设改造前通过该路段车辆的平均速度x千米/小时，则改造后通过该路段车辆的平均速度
是(1+60%)x千米/小时，
4.2 3 4.2
+ =
由题意，得 ．
(1+60%)x 60 x
解得：x=31.5．
经检验，x=31.5是所列方程的根，且符合题意．
答：改造前通过该路段车辆的平均速度是31.5千米∕小时．
31．贵州有“桥梁博物馆”的美誉．世界第一高桥—北盘江大桥位于中国云南省和贵州省的交界处，桥面
到江面的垂直距离为565.4米，全长约为1341米．在大桥建成未营运之前，甲、乙两名工程师从桥的
一端走到另一端，甲工程师步行先走12分钟后，乙工程师骑自行车出发，结果他们同时到达．已知骑
自行车的速度是步行速度的3倍，求甲工程师步行的速度和乙工程师骑自行车的速度．【答案】甲工程师步行的速度为74.5米/分；乙工程师骑自行车的速度为223.5米/分
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设甲工程师步行的速度为每分钟x米，则乙工程师骑自行
车的速度为每分钟3x米，根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：设甲工程师步行的速度为每分钟x米，则乙工程师骑自行车的速度为每分钟3x米．根据
题意，
1341 1341
得 = +12，
x 3x
解得x=74.5，
经检验x=74.5是原分式方程的解，
74.5×3=223.5．
答：甲工程师步行的速度为74.5米/分；乙工程师骑自行车的速度为223.5米/分．
32．列方程解应用题：
八年级学生去距学校3200米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了3分钟后，其余学生乘汽
车出发，结果汽车比自行车提前1分钟到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的
速度．
【答案】24km/h
【分析】本题考查了分式方程的应用．熟练掌握分式方程的应用是解题的关键．
3.2 3.2 1 3
设骑车学生的速度为xkm/h，则汽车的速度是2xkm/h，依题意得， − = + ，计算求解，
x 2x 60 60
然后作答即可．
【详解】解：设骑车学生的速度为xkm/h，则汽车的速度是2xkm/h，
3.2 3.2 1 3
依题意得， − = + ，
x 2x 60 60
解得：x=24．
经检验：x=24是原方程的解．
答：骑车学生的速度为24km/h．
【考点7:分式方程应用-销售问题】
33．“绿水青山就是金山银山”，为了绿色发展，某林场计划购买甲、乙两种树苗，已知购买一株甲
种树苗的进价比一株乙种树苗的进价少3元，用3000元购进甲种树苗的数量是用3200元购进乙种树
苗的数量的1.5倍．
(1)求每株甲种树苗，每株乙种树苗的进价分别为多少元？(2)相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为90%和95%．为保证绿化效果，林场决定再购买甲、
乙两种树苗共100株．若要使这批树苗的成活率不低于93%，且购买树苗的总费用最低，应如何选购
树苗？
【答案】(1)每株甲种树苗的进价为5元，则乙种树苗的进价为8元．
(2)应选择购买乙种树苗60棵．购买甲种树苗40棵．
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用以及一元一次不等式的应用．
（1）设每株甲种树苗的进价为x元，则乙种树苗的进价为(x+3)元，根据用3000元购进甲种树苗的
数量是用3200元购进乙种树苗的数量的1.5倍列出分式方程求解即可．
（2）设应购买乙种树苗m棵，则甲种数树苗为(100−m)棵，根据题意列出关于m的一元一次不等式，
求解，再根据甲乙种数苗的单价即可得出结论．
【详解】（1）解：设每株甲种树苗的进价为x元，则乙种树苗的进价为(x+3)元，
3000 3200
根据题意有： =1.5× ，
x x+3
解得：x=5
经检验，x=5是分式方程的解，
∴x+3=5+3=8，
∴每株甲种树苗的进价为5元，则乙种树苗的进价为8元．
（2）解：设应购买乙种树苗m棵，则甲种数树苗为(100−m)棵，
根据题意有：95%m+90%(100−m)≥93%×100，
解得：m≥60，
∵甲种树苗的进价为5元，则乙种树苗的进价为8元，
∴乙种树苗购买的数量越小，总费用越低，
故应选择购买乙种树苗60棵．购买甲种树苗40棵．
34．某工厂有40名工人，生产甲、乙两种摩托车配套零件，每个工人每天能加工甲种零件30个，或乙种
零件20个．
(1)若1个甲零件和2个乙零件配套成一个完整的部件，应怎样安排工人才能使一天生产的零件正好配
套？
(2)该工厂将这种完整的部件销售给摩配公司，一月份的销售总额为30万元，受市场影响，二月份该
工厂将一个完整部件的销售单价在一月份的基础上提高了20%，销量比一月份少了500个，结果二月
份的销售总额比一月份多了3万元，求一月份每个完整部件的销售单价为多少元？
【答案】(1)应安排10名工人生产甲零部件，30名工人生产乙零部件，才能使生产出来的两种零部件刚好配套
(2)一月份每个完整部件的销售单价为50元
【分析】该题主要考查了分式方程和一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找出等量关系式．
（1）设应安排x名工人生产甲零部件，(40−x)名工人生产乙零部件，根据题意列出方程求解即可；
（2）设一月份每个完整部件的销售单价为y万元，则二月份每个完整部件的销售单价为(1+20%)y万
元，根据题意列出方程求解即可
【详解】（1）解：设应安排x名工人生产甲零部件，(40−x)名工人生产乙零部件，才能使生产出来
的两种零部件刚好配套．
20(40−x)
依题意，得30x= ．
2
解得x=10，所以40−x=30．
答：应安排10名工人生产甲零部件，30名工人生产乙零部件，才能使生产出来的两种零部件刚好配
套．
（2）解：设一月份每个完整部件的销售单价为y万元，则二月份每个完整部件的销售单价为
(1+20%)y万元，
30 30+3
依题意，得 − =500，
y (1+20%)y
解得：y=0.005万元=50元，
经检验：y=0.005是方程的解，且符合题意，
故一月份每个完整部件的销售单价为50元．
35．春晚吉祥物“龙辰辰”发布后，某超市及时订购了甲、乙两种型号的“龙辰辰”布偶．已知用440元
购进甲的数量是用180元购进乙的数量的2倍，每件甲的进价比乙多8元．
(1)求甲、乙两种型号每件进价分别是多少元？
(2)该超市共购进甲、乙两种布偶200个，然后将甲、乙的售价分别定价为60元和50元，全部销售完后
共获利3040元，求购进甲种型号布偶多少个？
【答案】(1)甲种型号每件进价是44元，乙种型号每件进价是36元
(2)购进甲种型号布偶120个
【分析】本题考查一元一次方程，分式方程的应用，解题的关键是理解题意，掌握进价、销售量、利
润之间的关系．
（1）甲种型号每件进价是x元，则乙种型号每件进价是(x−8)元，列出方程求解即可；
（2）根据利润=（售价−进价）×数量进行求解即可．
【详解】（1）解：设甲种型号每件进价是x元，则乙种型号每件进价是(x−8)元，440 180
由题意得： =2× ，
x x−8
解得：x=44，
经检验，x=44是原方程的解，且符合题意，
∴x−8=44−8=36，
答：甲种型号每件进价是44元，乙种型号每件进价是36元；
（2）设购进甲种型号布偶y个，则购进乙种型号布偶(200−y)个，
由题意得：(60−44)y+(50−36)(200−y)=3040，
解得：y=120，
答：购进甲种型号布偶120个．
36．为响应政府号召“推进生态文明，建设绿色城市”，某校组织师生开展了植树活动，在活动之前，学
校决定购买甲、乙两种树苗．已知用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同，
乙种树苗比甲种树苗每棵少6元．求甲、乙两种树苗每棵分别多少元？
【答案】甲种树苗每棵40元，乙种树苗每棵34元．
【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系．
设甲种树苗每棵x元，则乙种树苗每棵(x−6)元．根据“用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购
买乙种树苗的棵数相同”列出分式方程求解即可；
【详解】解：设甲种树苗每棵x元，则乙种树苗每棵(x−6)元．
800 680
依题意列方程得， = ，
x x−6
800x−4800=680x，
解得x=40，
经检验x=40是原方程的根．
当x=40时，x−6=34．
答：甲种树苗每棵40元，乙种树苗每棵34元．
37．全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，电器商社从厂家购进了A，B两种型
号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元
购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．
(1)求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？
(2)电器商社决定用不超过14000元从厂家购进A，B两种型号的空气净化器共10台，且B型空气净化
器的台数少于A型空气净化器的台数，问电器商社有几种进货方案？如果两种型号的空气净化器在进
价的基础上都加价50％销售，请你在上述方案中选一个方案使得电器商社在销售完10台空气净化器能获得最多利润．
【答案】(1)每台B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元；
(2)一种方案，且最多利润为6900元
【分析】（1）设每台B种空气净化器为x元，A种净化器为(x+300)元，根据用6000元购进B种空气
净化器的数量与用7500元购进A种空气净化器的数量相同，列方程求解；
{1500x+1200(10−x)≤14000)
（2）根据题意列出不等式 ，进行解答即可；
10−x320
解得：20
