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专题 15.2 解分式方程的综合
◆ 思想方法
分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每
一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并
非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：
1. 不重（互斥性）不漏（完备性）；
2. 按同一标准划分（同一性）；
3. 逐级分类（逐级性）。
◆ 知识点总
结
一、分式方程
1．分式方程：分母中含有未知数的方程。
2．分式方程的解法思路：去分母（乘分母最小公倍数）将分式方程先转化为整式方程，再按照整式方程
的技巧求解方程。
3．分式方程解方程的步骤：
①利用等式的性质去分母，将分式方程转换为整式方程；
②解整式方程；
③验根--检验整式方程解得的根是否符合分式方程；
④作答。
◆ 典例分析
a b−x
【典例1】已知，关于x的分式方程 − =1．
2x+3 x−5
（1）当a=2，b=1时，求分式方程的解；
a b−x
（2）当a=1时，求b为何值时，分式方程 − =1无解；
2x+3 x−5
a b−x
（3）若b=0，a为正整数，分式方程 − =1的解为整数时，求a的值．
2x+3 x−5
【思路点拨】
（1）将a，b的值代入分式方程，解分式方程即可得到答案；（2）把a的值代入分式方程，将分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值使分式方程无解即可；
（3）把b=0代入分式方程，将分式方程化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和a为正整数即
可确定a的值．
【解题过程】
a b−x
（1）解：把a=2，b=1代入分式方程 − =1中，
2x+3 x−5
2 1−x
得： − =1，
2x+3 x−5
方程两边同时乘以(2x+3)(x−5)，
得：2(x−5)−(1−x)(2x+3)=(2x+3)(x−5)，
去括号得：2x2+3x−13=2x2−7x−15，
移项合并同类项得：10x=−2，
1
系数化为1得：x=− ，
5
1
检验：把x=− 代入(2x+3)(x−5)≠0，
5
1
所以原分式方程的解是x=− ；
5
a b−x
（2）解：把a=1代入分式方程 − =1，
2x+3 x−5
1 b−x
得： − =1，
2x+3 x−5
方程两边同时乘以(2x+3)(x−5)，
得：(x−5)−(b−x)(2x+3)=(2x+3)(x−5)，
去括号得：x−5+2x2+3x−2bx−3b=2x2−7x−15，
移项合并同类项得：(11−2b)x=3b−10，
11
①当11−2b=0时，即b= ，方程无解，
2
3b−10
②当11−2b≠0时，x= ，
11−2b
3 3b−10 3
x=− 时，分式方程无解，即 =− ，b不存在；
2 11−2b 2
3b−10
x=5时，分式方程无解，即 =5，b=5，
11−2b11 a b−x
综上所述，b= 或b=5时，分式方程 − =1无解；
2 2x+3 x−5
a b−x
（3）解：把b=0代入分式方程 − =1中，
2x+3 x−5
a x
得： + =1，
2x+3 x−5
方程两边同时乘以(2x+3)(x−5)，
得：a(x−5)+x(2x+3)=(2x+3)(x−5)，
5a−15
整理得：x= ，
a+10
5a−15 65
∵x= =5− ，且a为正整数，x为整数，
a+10 a+10
∴a+10必为65的因数，a+10≥11，
∵65=5×13，
∴65的因数有1，5，13，65，
∵1，5小于11，
∴ a+10可以取13，65这两个数，对应地，方程的解x为0，4，对应地，a的值为3，55，
∴满足条件的a可取3，55这两个数．
◆ 学霸必刷
a
1．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）已知关于x的分式方程 =1，对于该方程的解，甲、乙两人有以
x+1
下说法：甲：若方程的解是负数，则a<1；乙：当a>1时，方程的解是正数．关于甲、乙两人的说法，正
确的是（ ）
A．甲、乙都对 B．只有甲对 C．只有乙对 D．甲、乙都错
【思路点拨】
本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键．根据解分式方程的方法可得x=a+1，
根据正负数，可得x>0，由此即可求解．
【解题过程】
a
解： =1，
x+1
去分母得，a=x+1，且x+1≠0，∴x=a−1，且x≠−1，
当x<0时，a−1<0，且a−1≠−1，
∴a<1且a≠0，
∴当方程的解为负数时，a<1且a≠0，
∴甲的说法错误；
当x>0时，a−1>0，
∴a>1，
∴当a>1时，方程的解为正数，
∴乙的说法正确；
∴甲说法错误、乙说法正确，
故选：C．
a b−x
2．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）若a=3b且a、b为正整数，当分式方程 − =1的解
2x+3 x−5
为整数时，所有符合条件的b的值和为（ ）
A．277 B．240 C．272 D．256
【思路点拨】
此题考查了分式方程的解的含义，正确的计算与检验是解本题的关键．把a=3b代入方程，再解方程可得
18b−15 195 3
x= =18− ，且x≠− ，x≠5；b≠−10，再分类讨论即可得到答案．
b+10 b+10 2
【解题过程】
a b−x
解：∵ − =1，a=3b，
2x+3 x−5
3b b−x
∴ − =1，
2x+3 x−5
两边都乘以(2x+3)(x−5)，得
3b(x−5)−(2x+3)(b−x)=(2x+3)(x−5)，
18b−15 195 3
解得x= =18− ，且x≠− ，x≠5；b≠−10，
b+10 b+10 2
18b−15 3 18b−15
∴ ≠− 且 ≠5，
b+10 2 b+10
20
解得：b≠ ，b≠5，
11a b−x
∵正整数b使关于x的分式方程 − =1的解为整数，
2x+3 x−5
∴b+10>10，
∴b+10=13或15或39或65或195，
即b=3或5或29或55或185，
其中b=5不符合题意，
∴3+29+55+185=272，
故选C．
3．（22-23八年级下·四川遂宁·阶段练习）若整数a使得关于x的不等式组¿解集为x>1，使得关于y的分
a y−5
式方程 ＝ +2的解为正数，则所有满足条件的整数a的和为（ ）
y−1 y−1
A．﹣21 B．﹣20 C．﹣17 D．﹣16
【思路点拨】
首先解不等式组并根据不等式组的解集，确定a的取值范围，再根据分式方程的解是正数确定a的取值范
围，注意排除增根的情况，最后两个a的取值范围合并，就可以算出所有整数a的和．
【解题过程】
5x+3
解：解不等式x+3< ，得x>1，
2
3a+1
解不等式x−1≥3(a−x)，得x≥ ，
4
∵该不等式组的解集为x>1，
3a+1
∴ ≤1，解得a≤1，
4
a y−5
∵关于y的分式方程 ＝ +2的解为正数，
y−1 y−1
∴a= y−5+2(y−1)，
a+7
∴y= >0且y≠1，解得a>−7且a≠−4，
3
∴a的取值范围为−7
2 2
5−ay 3
−1= 有整数解，则满足条件的整数a的值为（ ）
2−y y−2
A．2或3 B．2或7 C．3或7 D．2或3或7
【思路点拨】
本题考查一元一次不等式组的解，分式方程的解，先解不等式组，再解分式方程，从而确定a的取值，进
而解决此题．
【解题过程】
3x+5 x+3
{ ≤ )
4 2 { x≤1 )
解不等式组 ，得 ，
1 x+a x>a−1
x+ >
2 2
∵不等式组无解，
∴a−1≥1，
∴a≥2，
5−ay 3
分式方程 −1= ，
2−y y−2
方程的两边同时乘(y−2)，
得，ay−5−y+2=3，
整理得，(a−1)y=6，
6
∴y= ，
a−1
∵方程有整数解，
∴a−1=±1或±2或±3或±6，
∴a=2或a=0或a=3或a=−1或a=4或a=−2或a=7或a=−5，
∵a≥2，y≠2，
∴a≠4，
∴a=2或a=3或a=7，
故选：D．
1 x−a
5．（2022八年级上·全国·专题练习）若整数a使关于x的分式方程 + =1的解为非负整数，且使
x−3 3−x{ y+5 ≤ y )
关于y的不等式组 3 2 至多有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
y−3>2(y−a)
A．24 B．12 C．6 D．4
【思路点拨】
先解一元一次不等式组，再根据不等式组至多有3个整数解，确定求出a的范围；再解分式方程，根据分
式方程有非负整数解，确定a的值即可解答．
【解题过程】
y+5 y
解：解不等式 ≤ 得：y≥10，
3 2
解不等式y−3>2(y−a)得：y<2a−3，
∴10≤ y<2a−3
∵不等式组至多有3个整数解，
∴2a−3≤13，
∴a≤8．
1 x−a
方程 + =1，
x−3 3−x
a+4
1−x+a=x−3，解得：x=
2
∵分式方程有非负整数解，
∴x≥0（x为非负整数）且x≠3，
a+4 a+4
∴ ≥0且 ≠3，
2 2
∴a≥−4的偶数且a≠2，
∴−4≤a≤8且a≠2且a为偶数，
∴符合条件的所有整数a的值为：−4，−2，0，4，6，8．
∴符合条件的所有整数．a的和是：12．
故选：B．
{ y−2≤
y+2
)
6．（22-23九年级上·重庆渝中·期末）若关于y的不等式组 3 有且只有2个奇数解，且关于x
4 y+1−m≥0
1 m
的分式方程3− = 的解为非负数，则符合条件的所有整数m的和为（ ）
1−x x−1A．3 B．4 C．11 D．12
【思路点拨】
先解一元一次不等式组，再解分式方程，从而确定m的值，进而解决此题．
【解题过程】
y+2
解：∵y−2≤ ，
3
∴3 y−6≤ y+2，
∴2y≤8，
∴y≤4，
∵4 y+1−m≥0，
∴4 y≥m−1，
m−1
∴y≥ ，
4
{ y−2≤
y+2
)
∵关于y的不等式组 3 有且只有2个奇数解，
4 y+1−m≥0
m−1
∴−1< ≤1，
4
∴−4−4)
7
即 ，
k−21
<−1
7
解得−7 ，则a的取值范围是 ．
2 3
【思路点拨】
本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，熟练掌握解分式方程已经解不等式的方法是本题的一个难
2x+3 a−3
点．首先要解关于x的分式方程 − =1，求出方程的解，根据解满足不等式，可以得到一个关
1−x x−1
于a的不等式，就可以求出a的范围．
【解题过程】
2x+3 a−3
解： − =1，
1−x x−1
2x+3+a−3=1，
1−a
x= (a≠−2)，
3
x−1 1+x
解不等式 +2> ，
2 3
3(x−1)+12>2(1+x)
3x−3+12>2+2x
得x>−7．
2x+3 a−3 x−1 1+x
∵关于x的分式方程 − =1的解满足不等式 +2> ，
1−x x−1 2 31−a
∴ >−7，
3
∴a<22，
∴a的取值范围是a<22且a≠−2．
10．（23-24八年级上·四川成都·期中）现有一列数：a ，a ，a ，a ，⋅⋅⋅，a ，a （n为正整数），
1 2 3 4 n−1 n
1 1 1 1 97
规定a =2，a −a =4，a −a =6，⋅⋅⋅，a −a =2n(n≥2)，若 + + ⋅⋅⋅ = ，则n的
1 2 1 3 2 n n−1 a a a a 198
2 3 4 n
值为 .
【思路点拨】
本题考查了解分式方程，先观察数列的规律，根据已知的关系，通过错项相加的方法，求出a 的通项公
n
式：a =n(n+1)，再根据此公式，对分式方程的左边进行裂项，化简分式方程，最后可求出n的值，通过
n
错项相加法得到a =n(n+1)是解题的关键．
n
【解题过程】
解：∵a =2，a −a =4，a −a =6，⋅⋅⋅，a −a =2n(n≥2)，
1 2 1 3 2 n n−1
∴以上各式左右两边分别相加得，
a +a −a +a −a +⋯+a −a =2+4+6+⋯+2n，
1 2 1 3 2 n n−1
(2+2n)n
∴a = =n(n+1)，
n 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴ = = − ， = = − ，⋯， = = − ，
a 2×3 2 3 a 3×4 3 4 a n(n+1) n n+1
2 3 n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴ + + +⋅⋅⋅+ = − + − + − +⋯+ − = − ，
a a a a 2 3 3 4 4 5 n n+1 2 n+1
2 3 4 n
1 1 1 1 97
∵ + + ⋅⋅⋅ = ，
a a a a 198
2 3 4 n
1 1 97
∴ − = ，
2 n+1 198
1 1
∴ = ，
n+1 99
∴n=98，
经检验，n=98是原分式方程的解，
∴n=98，
故答案为：98．1 a2+3a+1
11．（23-24八年级上·全国·课时练习）解关于x的分式方程x+ = ？
4x−6 2a
【思路点拨】
1 1 1
将原方程变形为(2x−3)+ =a+ ，得到2x−3=a或2x−3= ，进行计算并检验即可得到答案．
2x−3 a a
【解题过程】
1 a2+3a+1
解：方程两边同乘以2，得2x+ = ，
2x−3 a
1 a2+3a+1
方程两边同减3，得2x−3+ = −3，
2x−3 a
1 1
即(2x−3)+ =a+ ，
2x−3 a
1
∴2x−3=a或2x−3= ，
a
a+3 3a+1
解得：x = ，x = ，
1 2 2 2a
a+3 3a+1
经检验，x = ，x = 均是原分式方程的解，
1 2 2 2a
a+3 3a+1
∴原分式方程的解为：x = ，x = ．
1 2 2 2a
x x 2x 4x
12．（2024八年级·全国·竞赛）解分式方程 + + + =0．
1−x 1+x 1+x2 1+x4
【思路点拨】
本题考查解分式方程，熟练掌握因式分解解分式方程是解题的关键，利用因式分解（提公因式法）化简方
程，由于1−x8≠0，即可得到方程的解．
【解题过程】
x x 2x 4x
解：
+ + + =0，
1−x 1+x 1+x2 1+x4
x(1+x) x(1−x) 2x 4x
+ + + =0，
(1−x)(1+x) (1−x)(1+x) 1+x2 1+x4
2x 2x 4x
+ + =0，
1−x2 1+x2 1+x4
2x(1+x2) 2x(1−x2)
4x
+ + =0，
(1−x2)(1+x2) (1−x2)(1+x2) 1+x44x 4x
+ =0，
1−x4 1+x4
4x(1+x4) 4x(1−x4)
+ =0，
(1−x4)(1+x4) (1−x4)(1+x4)
8x
=0，
1−x8
∵1−x8≠0，
∴x=0，
经检验x=0是原方程的根．
1 1 1 1 1
13．（2023八年级上·全国·专题练习）解方程： + + + = ．
3x 15x 35x 63x x+1
【思路点拨】
本题考查了解分式方程；本题不是直接去分母，而是先“裂项”，把方程左边化简，再去分母解分式方
程；首先根据“裂项”的方法化简方程左边，然后把分式方程化为整式方程，计算即可．解本题的关键在
于充分利用运算规律计算．
【解题过程】
1 1 1 1 1
解： + + + =
3x 15x 35x 63x x+1
1 (1 1 1 1 ) 1
⋅ + + + = ，
x 3 15 35 63 x+1
1 ( 1 1 1 1 ) 1
⋅ + + + = ，
x 1×3 3×5 5×7 7×9 x+1
1 ( 1 1 1 1 1 1 1) 1
1− + − + − + − = ，
2x 3 3 5 5 7 7 9 x+1
1 ( 1) 1
1− = ，
2x 9 x+1
1 8 1
⋅ = ，
2x 9 x+1
4 1
= ，
9x x+1
9x=4x+4，
5x=4，
4
x= ，
54
检验：x= 是原分式方程的解，
5
4
∴原方程的解为x= ．
5
14．（2024八年级·全国·竞赛）解方程组¿
【思路点拨】
本题考查分式方程组的解法，将原方程组进行合理的变形是正确解决本题的关键．
先将原方程组的每一个方程左右两边的分子、分母交换位置，化简，再利用换元法得一个三元一次方程
组，最后得分式方程进而求得每一个未知数．
【解题过程】
解：将方程组中各方程先取倒数，得
¿
1 1 1
设A＝ ，B＝ ，C＝ ，
x+1 y+1 z+1
则¿，
解得¿，
即¿，
解得¿．
19
经检验，x=7，y= ，z=23分别是原分式方程的解．
5
3 6 mx
15．（22-23八年级下·陕西西安·阶段练习）已知关于x的方程： + = ，若方程的解
x+1 x−1 (x+1)(x−1)
为整数，求整数m的值．
【思路点拨】
−3
先按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出x= ，再根据方程的解为整数得
9−m
3
到 是整数，据此求解即可．
m−9
【解题过程】
3 6 mx
+ =
解：
x+1 x−1 (x+1)(x−1)
去分母得：3(x−1)+6(x+1)=mx，
去括号得：3x−3+6x+6=mx，移项得：3x+6x−mx=3−6，
合并同类项：(9−m)x=−3，
−3
系数化为1得：x= ，
9−m
∵方程的解为整数，
3
∴ 是整数，
m−9
又∵分式要有意义，
∴(x+1)(x−1)≠0，
∴x≠±1，即m−9≠±3
∴m−9=±1，
∴m=10或m=8．
ax+b
16．（22-23七年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于x的方程 =b，其中a，b均为整数且a≠0．
x−1
（1）若方程有增根，则a，b满足怎样的数量关系？
（2）若x=a是方程的解，求b的值．
【思路点拨】
（1）由分式方程有增根，得到x−1=0，求出x的值即为增根；
ax+b 4
（2）将x=a代入 =b求得b=a+2+ ，根据题意可得a−2=±1或±2或±4，分别带入求得b的值
x−1 a−2
即可．
【解题过程】
（1）解：由分式方程有增根，得到x−1=0，
解得：x=1，
将分式方程化为整式方程：ax+b=b(x−1)，
整理得：(a−b)x+2b=0，
将x=1代入(a−b)x+2b=0得：a+b=0，
即若方程有增根，则a+b=0．
（2）解：∵x=a是方程的解，
ax+b a2+b
将x=a代入 =b得： =b，
x−1 a−1
整理得：a2−ab+2b=0，a2
∴b= ，
a−2
a2−4+4 4
∴b= =a+2+ ，且a≠2
a−2 a−2
∵a，b均为整数且a≠0，
∴a−2=±1或2或−2（舍去）或±4，
a2 1
当a−2=−1时，即a=1，b= = =−1；
a−2 −1
a2 32
当a−2=1时，即a=3，b= = =9；
a−2 1
a2 42
当a−2=2时，即a=4 b= = =8
a−2 4−2
a2 (−2) 2
当a−2=−4时，即a=−2，b= = =−1；
a−2 −4
a2 62
当a−2=4时，即a=6，b= = =9；
a−2 4
综上，b的值为−1或9或8．
mn
17．（22-23八年级下·江苏苏州·期中）我们定义：形如x+ =m+n（m，n不为零），且两个解分别为
x
x =m，x =n的方程称为“十字分式方程”．
1 2
6 2×3
例如x+ =5为十字分式方程，可化为x+ =2+3，∴x =2，x =3．
x x 1 2
7 (−1)×(−7)
再如x+ =−8为十字分式方程，可化为x+ =(−1)+(−7)．∴x =−1，x =−7．
x x 1 2
应用上面的结论解答下列问题：
12
（1）若x+ =−7为十字分式方程，则x =______，x =______．
x 1 2
6 b a
（2）若十字分式方程x− =−5的两个解分别为x =a，x =b，求 + +1的值．
x 1 2 a b
2023k−2022k2
（3）若关于x的十字分式方程x− =2023k−2022的两个解分别为x ，x （k>2，
x−1 1 2
x +4044
x >x ），求 1 的值．
1 2 x
2
【思路点拨】(−3)×(−4)
（1）将方程改写成x+ =(−3)+(−4)，再根据十字分式方程的定义作答即可；
x
b a (a+b) 2
（2）先根据十字分式方程的定义求出ab=−6，a+b=−5，再化简 + +1得 −1，最后代入计
a b ab
算求解即可；
（3）先根据十字分式方程的定义以及k、x 、x 的取值范围求出x −1=2022k−2023，x −1=k，即
1 2 1 2
x =2022k−2022，x =k+1，然后代入求解即可．
1 2
【解题过程】
12 (−3)×(−4)
（1）解：∵方程x+ =−7是十字分式方程，可化为x+ =(−3)+(−4)，
x x
∴x =−3，x =−4，
1 2
故答案为：−3，−4．
6
（2）解：∵十字分式方程x− =−5的两个解分别为x =a，x =b，
x 1 2
∴ab=−6，a+b=−5，
b a b2+a2 (a+b) 2−2ab (a+b) 2
∵ + +1= +1 = +1 = −1，
a b ab ab ab
(−5) 2 31
∴原式= −1 =− ．
−6 6
2023k−2022k2
（3）解：方程x− =2023k−2022是十字分式方程，可化为
x−1
2023k−2022k2
x−1− =2023k−2022−1，
x−1
∴(x −1)(x −1)=−(2023k−2022k2)=k(2022k−2023)，
1 2
(x −1)+(x −1)=2023k−2023=k+(2022k−2023)，
1 2
∵k>2，x >x ，
1 2
∴x −1=2022k−2023，x −1=k，即x =2022k−2022，x =k+1，
1 2 1 2
x +4044 2022k−2022+4044 2022(k+1)
代入 1 得， = =2022，
x k+1 k+1
2x +4044
1
∴ 的值为2022．
x
2
1 1 1 1 1 1
18．（22-23八年级上·山东淄博·期中）仔细观察下面的变形规律： = − ， = − ，
1×2 1 2 2×3 2 3
1 1 1
= − ，……解答下面的问题：
3×4 3 4
1 1
（1）总结规律：已知n为正整数，请将 和 写成上面式子的形式；
n(n+1) n(n+2)
（2）类比发现：
1 1 1 1 1 1 1 1
计算 + + +⋯+ 与 + + +⋯+ 的结果；
1×2 2×3 3×4 2021×2022 2×4 4×6 6×8 2020×2022
（3）知识迁移：解关于n（n为正整数）的分式方程：
1 1 1 1 n+100
+ + +⋯+ = ；
1×3 3×5 5×7 (2n−1)(2n+1) 2n+202
1 1 1 1 1
（4）规律应用：化简 + + + +⋯+ ．
1×3 2×4 3×5 4×6 n(n+2)
【思路点拨】
（1）根据题目中的规律，写出结果即可；
（2）利用解析（1）中得出的规律进行计算即可；
（3）先化简方程左边的式子，然后解分式方程即可；
（4）利用解析（1）中的规律进行变形计算即可．
【解题过程】
1 1 1
（1）解：∵ = − ，
1×2 1 2
1 1 1
= − ，
2×3 2 3
1 1 1
= − ，……
3×4 3 4
1 1 1
∴ = − ，
n(n+1) n n+1
1 1(1 1 )
= − ；
n(n+2) 2 n n+2
1 1 1 1
（2）解： + + +⋯+
1×2 2×3 3×4 2021×20221 1 1 1 1 1 1
=1− + − + − +⋯+ −
2 2 3 3 4 2021 2022
1
=1−
2022
2021
= ；
2022
1 1 1 1
+ + +…
2×4 4×6 6×8 2020×2022
1(1 1 1 1 1 1 1 1 )
= − + − + − ⋯+ −
2 2 4 4 6 6 8 2020 2022
1 (1 1 )
= × −
2 2 2022
505
= ．
2022
1(1 1 1 1 1 1 1 1 ) n+100
（3）解：方程变为 − + − + − +⋯+ − = ，
2 1 3 3 5 5 7 2n−1 2n+1 2n+202
1( 1 ) n+100
即： 1− = ，
2 2n+1 2n+202
去分母得：2n2+202n=(2n+1)(n+100)，
解得：n=100，
检验：因为n为正整数，原方程分母不会为零；
所以原方程的根式n=100．
1 1 1 1 1
（4）解： + + + +⋯+
1×3 2×4 3×5 4×6 n(n+2)
1(1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) 1( 1 1 1 )
= − + − + − + − +⋯+ − + − = 1+ − −
2 1 3 2 4 3 5 4 6 n−1 n+1 n n+2 2 2 n+1 n+2
n(3n+5)
= ．
4(n+1)(n+2)
19．（22-23八年级上·湖南长沙·期末）如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为
x 1 x+1
“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式M= ，N= ，M+N= =1，则M与N互为
x+1 x+1 x+1
“和整分式”，“和整值”k=1．x−7 x2+6x+9
（1）已知分式A= ，B= ，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若
x−2 x2+x−6
是，请求出“和整值”k；
3x−4 G
（2）已知分式C= ，D= ，C与D互为“和整分式”，且“和整值”k=3，若x为正整数，
x−2 x2−4
分式D的值为正整数t．
①求G所代表的代数式；
②求x的值；
3x−5 mx−3
（3）在（2）的条件下，已知分式P= ，Q= ，且P+Q=t，若该关于x的方程无解，求实数
x−3 3−x
m的值．
【思路点拨】
（1）先计算A+B，再根据结果可得结果；
3x2+2x−8+G
（2）①先求解C+D= ，结合新定义可得3x2+2x−8+G=3(x−2)(x+2)=3x2−12，
(x−2)(x+2)
2
从而可得答案；②由D=− ，且分式D的值为正整数t．x为正整数，可得x−2=−1或x−2=−2，从
x−2
而可得答案；
2 3x−5−mx+3
（3）由题意可得：t=D=− =2，可得 =2，整理得：(1−m)x=−4，由方程无解，
1−2 x−3
可得1−m=0或方程有增根x=3，再分两种情况求解即可．
【解题过程】
x−7 x2+6x+9
（1）解：∵A= ，B= ，
x−2 x2+x−6
x−7 x2+6x+9
∴A+B= +
x−2 x2+x−6
x−7 (x+3) 2
= +
x−2 (x+3)(x−2)
x−7 x+3
= +
x−2 x−22(x−2)
=
x−2
=2．
∴A与B是互为“和整分式”， “和整值”k=2；
3x−4 G
（2）①∵C= ，D= ，
x−2 x2−4
(3x−4)(x+2) G
∴C+D= +
(x−2)(x+2) (x−2)(x+2)
3x2+2x−8+G
=
(x−2)(x+2)
∵C与D互为“和整分式”，且“和整值”k=3，
∴3x2+2x−8+G=3(x−2)(x+2)=3x2−12，
∴G=3x2−12−3x2−2x+8=−2x−4；
G −2(x+2) 2
②∵D= = =− ，且分式D的值为正整数t．x为正整数，
x2−4 (x+2)(x−2) x−2
∴x−2=−1或x−2=−2，
∴x=1（x=0舍去）；
2
（3）由题意可得：t=D=− =2，
1−2
3x−5 mx−3
∴P+Q= + =2，
x−3 3−x
3x−5−mx+3
∴ =2，
x−3
∴(3−m)x−2=2x−6，
整理得：(1−m)x=−4，
∵方程无解，
∴1−m=0或方程有增根x=3，
解得：m=1，
当1−m≠0，方程有增根x=3，
−4
∴ =3，
1−m
7
解得：m= ，
3
7
综上：m的值为：1或 ．
3a
20．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）新定义：如果两个实数a,b使得关于x的分式方程 +1=b的解
x
1 a
是x= 成立，那么我们就把实数a,b组成的数对[a,b)称为关于x的分式方程 +1=b的一个“关联数
a+b x
对”．
2 1 1
例如：a=2,b=−5使得关于x的分式方程 +1=−5的解是x= =− 成立，所以数对[2,−5)就是
x 2+(−5) 3
a
关于x的分式方程 +1=b的一个“关联数对”．
x
a
（1）判断下列数对是否为关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”. 若不
x
是，打“×”．
①[−1,−1)（ ）；②[3,4)（ ）；
③[2,−5)（ ）； ④[1,1)（ ）；
a
（2）若数对[n2−3,−n2)是关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”，求n的值；
x
a
（3）若数对[m−k,k)（m≠−1且m≠0，k≠1）是关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”，且关于x的
x
−2m
方程kx−m+1= x有整数解，求整数m的值．
m+1
【思路点拨】
本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“关联数对”的定
义是解题的关键．
（1）根据“关联数对”定义分别判断即可；
（2）根据“关联数对”定义计算即可；
（3）根据“关联数对”定义，结合方程的解为整数，计算即可．
【解题过程】
1 1
（1）解：当a=−1，b=−1时，分式方程为− +1=−1，x= ，
x 2
1 1 1
∵ =− ≠ ，
−1−1 2 2
a
∴①[−1,−1)不是关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”；
x3
当a=3，b=4时，分式方程为 +1=4，
x
解得：x=1，
1 1
∵ = ≠1，
3+4 7
a
∴②[3,4)不是关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”；
x
2
当a=2，b=−5时，分式方程为 +1=−5，
x
1
解得x=− ，
3
1 1
∵ =− ，
2+(−5) 3
a
∴③[2,−5)是关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”；
x
1
当a=1，b=1时，分式方程为 +1=1，
x
此方程无解，
a
∴④[1,1)是关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”；
x
故答案为：①×；②×；③√；④×．
a
（2）解：∵数对[n❑ 2−3,−n❑ 2)是关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”，
x
n2−3
∴ +1=−n2，
x
3−n2
解得：x= ，
n2+1
1 3−n2
∴ = ，
n2−3−n2 n2+1
解得n=±❑√5；
a
（3）解：∵数对[m−k，k](m≠−1且m≠0，k≠1)是关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”，
x
m−k 1 1
∴ +1=k，x= = ，
x m−k+k m∴m(m−k)+1=k，
m2+1
解得k= ，
m+1
−2m
∵kx−m+1= x可化为k(m+1)x−m(m+1)+(m+1)=−2mx，
m+1
∴(m+1) 2x=(m+1)(m−1)，
m−1 m+1−2 2
解得：x= = =1− ，
m+1 m+1 m+1
∵方程有整数解，
∴整数m+1=±1,±2，即m=0,−2,1,−3，
又m≠0，k≠1，
∴m+1≠m2+1
∴m=−2,−3．
