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专题11 圆中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、婆罗摩笈多（定理）模型
圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模
型（阿基米德折弦（定理）模型、婆罗摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型）进行梳理及对应试题分析，
方便掌握。
模型1.阿基米德折弦模型
【模型解读】折弦:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。
一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点。
如图1所示，AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BC>AB，M是 的中点，则从M
向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD。
M
C M C M C H M C
B
D B D B D G B D G
F
A
A A A
图1 图2 图3 图4
常见证明的方法：
1）补短法：如图2，如图，延长DB至F，使BF=BA；
2）截长法：如图3，在CD上截取DG=DB；
3）垂线法：如图4，作MH⊥射线AB，垂足为H。
1．（2023·山西·九年级专题练习）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米
德折弦定理：如图1，AB和BC组成圆的折弦，AB＞BC，M是弧ABC的中点，MF⊥AB于F，则AF＝
FB+BC．
如图2，△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，BD＝1，作DE⊥AB交△ABC的外接圆于
E，连接EA，则∠EAC＝ °．例2．（2023·广东九年级期中如图，AB和BC是 的两条弦（即ABC是圆的一条折弦）， ，M
是 的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，若 ， ，则CD的
长为（ ）．
A． B． C． D．
例3．（2023·山东济宁·校考二模）阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大
数学王子，在后世的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容．《阿基米德全集》的第一题就是阿基米德的
折弦定理．
【定理内容】一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折
弦的中点．
【定理模型】如图①，已知AB和BC是 的两条弦（即折线ABC是 的一条折弦）， ，M是
的中点，那么从M向弦BC作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即 ．
下面是运用“补短法”证明 的部分证明过程：
如图②，延长DB至点F，使 ，连接MF，AB，MC，MA，AC，…
【定理证明】按照上面思路，写出剩余部分的证明过程．【问题解决】如图③， 内接于 ，已知 ，D为 上一点，连接AD，DC，
， ，求 的周长．
例4．（2022上·江苏盐城·九年级统考期中）【了解概念】我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有
公共端点的线段组成的图形．如图1，线段 、 组成折线段 ．若点 在折线段 上，
，则称点 是折线段 的中点．
【理解应用】（1）如图2， 的半径为2， 是 的切线， 为切点，点 是折线段 的中点．若
，则 ______；
【定理证明】（2）阿基米德折弦定理：如图3， 和 是 的两条弦（即折线段 是圆的一条折
弦）， ，点 是 的中点，从 向 作垂线，垂足为 ，求证： 是折弦 的中点；
【变式探究】（3）如图4，若点 是 的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则 、 、 之
间存在怎样的数量关系？请直接写出结论．
【灵活应用】（4）如图5， 是 的直径，点 为 上一定点，点 为 上一动点，且满足
，若 ， ，则 ______________．例5．（2023·河南商丘·统考二模）阅读下面材料，完成相应的任务：
阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一、《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解
古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的．其中论述了阿基米德折弦定理：从圆
周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，称之为该圆的一条折弦．一个圆中一条由两长度不同的弦组成
的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．
如图1，AB和BC是 的两条弦（即ABC是圆的一条折弦）， ．M是弧 的中点，则从M
向 所作垂线之垂足D是折弦 的中点，即 ．
小明认为可以利用“截长法”，如图2：在线段 上从C点截取一段线段 ，连接
．
小丽认为可以利用“垂线法”，如图3：过点M作 于点H，连接
任务：(1)请你从小明和小丽的方法中任选一种证明思路，继续书写出证明过程，(2)就图3证明： ．
模型2.婆罗摩笈多（定理）模型
【模型解读】婆罗摩笈多（Brahmagupta）是七世纪时的印度数学家。
婆罗摩笈多定理：如果一个圆内接四边形的对角线互相垂直相交，那么从交点向某一边所引垂线的反向延
长线必经过这条边对边的中点。
图1 图2 图3
如图1，ABCD为圆内接四边形，对角线AC和BD垂直相交，交点为E，过点E作BC的垂线EF，延长FE
与AD交于点G；则点G是AD的中点。
如图2，所示已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED，作BH//AE交AG的延长线于点H，（1）S =S ；
△ACD △ABE
（2）若AF⊥CD，则G为BE中点。2、如图3，已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED，在AF的延长线取点H，使得AF=FH；（1）
S =S ；（2）若F为CD中点，则AG⊥BE。
△ACD △ABE
例1．（2022·河南三门峡·校考一模）阅读下列相关材料，并完成相应的任务．
婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，曾经提出了“婆罗摩笈多
定理”，也称“布拉美古塔定理”．
定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对
边”．
按图写出这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程；
已知：________________________________________________________________________________，
求证：________________________________________________________________________________，
证明：________________________________________________________________________________．
例2．（2023·重庆·统考一模）阅读下列相关材料，并完成相应的任务．婆罗摩笈多是古印度著名的数学
家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定
理”．定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对
边”．任务：（1）按图（1）写出了这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程；
已知：__________________ 求证：_________________证明：
（2）如图（2），在 中，弦 于M，连接 分别是 上的点，
于 于H，当M是 中点时，直接写出四边形 是怎样的特殊四边形：
__________．
课后专项训练
1．（2023山东·校考二模）阿基米德折弦定理：如图1， 和 是 的两条弦（即折线 是圆的一
条折弦）， ， 是弧 的中点，则从 向 所作垂线的垂足 是折弦 的中点，即
．请应用阿基米德折弦定理解决问题：如图2，已知等边 内接于 ， ， 为
上一点， ， 于点 ，则 的周长是 ．2．（2023.广东.九年级期中）如图， 是劣弧， 是 的中点， 为 上任意一点．自 向 弦
引垂线，垂足为 ，求证： ．
3．（2023·浙江·九年级校联考期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理，阿基米德
（公元前287年一公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，
静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯，牛顿并列为世界三大
数学家．
阿拉伯Al﹣Binmi（973年一1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣
Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是
的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．
小明同学运用“截长法”和三角形全等来证明CD＝AB+BD，过程如下：
证明：如图2所示，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是 的中点，∴MA＝MC，…(1)请按照上述思路，写出该证明的剩余部分；(2)如图3，在⊙O中，BD =CD，DE⊥AC，若AB = 4，AC =
10，则AE的长度为 _________；(3)如图4，已知等边 ABC内接于⊙O，AB = 8，D为 上一点，
∠ABD = 45°，AE⊥BD于点E，求 BDC的周长．
4．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）请阅读下面材料，并完成相应的任务．
阿基米德（ ，公元前287-公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、
高斯并称为三大数学王子．
阿基米德折弦定理：如图1， 和 是 的两条弦（即折线 是圆的一条折弦）， ．M是
的中点，则从点M向 所作垂线的垂足D是折弦 的中点，即 ．
这个定理有很多证明方法，下面是运用“垂线法”证明 的部分证明过程．证明：如图2，过点M作 射线AB，垂足为点H，连接 ．
∵M是 的中点，∴ ．
任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(2)如图3，已知等边三角形 内接于 ，D为 上一点， ． 于点E， ，
连接 ，求 的周长．
5．（2023·山东济宁·济宁学院附属中学校考二模）阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、
高斯并称为三大数学王子．在后世的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容．前苏联在1964年根据阿尔·
比鲁尼本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．
【定理内容】一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折
弦的中点．
【定理模型】如图①，已知 和 是 的两条弦（即折线 是 的一条折弦）， ，M是
的中点，那么从M向弦 作垂线的垂足D是折弦 的中点，即 ．
下面是运用“补短法”证明 的部分证明过程：
如图②，延长 至点F，使 ，连接 ，…
【定理证明】(1)按照上面思路，写出剩余部分的证明过程．【问题解决】(2)如图③， 内接于 ，已知 ，D为 上一点，连接 ，
， ，求 的周长．
6．（2023·山东·九年级专题练习）阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务．
在《阿基米德全集》中记述了伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出的关于圆的一些问
题，其中有这样一个问题：如图1， 和 是 的两条弦（即折线 是圆的一条折弦），
， 是 的中点，则从点 向 所作垂线的垂足 是折弦 的中点，即 ．其部分证
明过程如下：证明：如图2，在 上截取 ，连接 ， ， 和 ．
∵ 是 的中点，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，……
任务：(1)补全证明过程，(2)如图3，在 中， ， ，若 ， ， ，则
到 的距离是____________， 到 的距离是____________， 的半径是____________．
7．（2023·河南·模拟预测）阅读材料，并完成相应任务．
问题背景：在《阿基米德全集》中记述了伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出的关于圆
的一些问题，其中有这样一个问题：如图1，AB和BC是 的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），，点M是 的中点，则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即 ．
(1)如图2，牛牛同学尝试运用“截长法”说明“ ”，于是他在CD上截取 ，连接
MA，MB，ME，MC．请根据牛牛的思路完成证明过程；
(2)如图3，在 中， ， ，若 ，则AE的长度为_______．
8．（2022·山东临沂·统考一模）（1）如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），
BC>AB，点M是 的中点，MD⊥BC，垂足为D．求证：CD＝DB+BA．
（2）如图2，BC是半⊙O的直径，点A是半圆上一定点，点D是半圆上一动点，且满足∠DAC＝45°，若
AB＝5，⊙O的半径为6.5，①请在图2上作出D点，说明理由；②结合（1）的结论，求AD的长．
9．（2023·山西·校联考模拟预测）阅读以下材料，并按要求完成相应任务：
婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古代印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树．他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“古拉美古塔定
理”，该定理的内容及部分证明过程如下：
古拉美古塔定理：如图1，四边形 内接于 ，对角线 ，垂足为点 ，直线 ，垂
足为点 ，并且交直线 于点 ，则 ．
证明：∵ ， ，∴
∴ ， ．∴ ．
∵ ，∴ ．（依据）
又∵ ，∴ ．∴ ．……
任务：（1）上述证明过程中的依据是______；（2）将上述证明过程补充完整；
（3）古拉美古塔定理的逆命题：如图，四边形 内接于 ，对角线 ，垂足为点 ，直线
交 于点 ，交 于点 ．若 ，则 ．请证明该命题．
10．（2023·江苏宿迁·统考二模）【阅读】婆罗摩笈多是七世纪印度数学家，他曾提出一个定理：若圆内
接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边．
证明：如图1所示内接于圆的四边形 的对角线 互相垂直，垂足为点 ，过点 的直线垂直
于 ，垂足为点 ，与边 交于点 ，由垂直关系得 ， ，所以 ，由同弧所对的圆周角相等得 ，所以 ，则 ，同
理， ，故 ；
【思考】命题“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为
（填“真命题”，“假命题”）；
【探究】（1）如图2， 和 为共顶点的等腰直角三角形， ，过点 的直
线垂直于 ，垂足为点 ，与边 交于点 ．证明：点 是 的中点；
（2）如图3， 和 为共顶点的等腰直角三角形 ，点 是 的中点，连接
交 于点 ，若 ，求 的长．
11．（2023·山西太原·九年级山西大附中校考阶段练习）阅读下列材料，完成相应的任务
婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运
算规则、二次方程等方面均有建树，特别是在研究一阶和二阶不定方程方面作出了巨大贡献．他曾经提出
了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“古拉美古塔定理”．该定理的内容及部分证明过程如下：
古拉美古塔定理：已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为M，直线ME⊥BC，垂
足为E，并且交直线AD于点F，则AF＝FD．
证明：∵AC⊥BD，ME⊥BC
∴∠CME+∠C＝90°，∠CBD+∠C＝90°
∴∠CBD＝∠CME
∴ ，∠CME＝∠AMF∴∠CAD＝∠AMF
∴AF＝MF …
任务：（1）材料中划横线部分短缺的条件为： ；（2）请用符号语言将下面“布拉美古塔定理”的
逆命题补充完整，并证明该逆命题的正确性：已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂
足为M，F为AD上一点，直线FM交BC于点E，① ．求证：② ．证明：
12．（2023·广东佛山·统考三模）探索应用
材料一：如图1，在 ABC中，AB＝c，BC＝a，∠B＝θ，用c和θ表示BC边上的高为 ，用a．c和θ
表示 ABC的面积为△ ．
材料△二：如图2，已知∠C＝∠P，求证：CF•BF＝QF•PF．材料三：蝴蝶定理（ButterflyTheorem）是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一，最早出现在1815年，由
W．G．霍纳提出证明，定理的图形象一只蝴蝶．
定理：如图3，M为弦PQ的中点，过M作弦AB和CD，连结AD和BC交PQ分别于点E和F，则ME＝
MF．
证明：设∠A＝∠C＝α，∠B＝∠D＝β，∠DMP＝∠CMQ＝γ，∠AMP＝∠BMQ＝ρ，
PM＝MQ＝a，ME＝x，MF＝y 由
即
化简得：MF2•AE•ED＝ME2•CF•FB 则有： ,
又∵CF•FB＝QF•FP，AE•ED＝PE•EQ，
∴ ，即
即 ，从而x＝y，ME＝MF．
请运用蝴蝶定理的证明方法解决下面的问题：
如图4，B、C为线段PQ上的两点，且BP＝CQ，A为PQ外一动点，且满足∠BAP＝∠CAQ，判断 PAQ
的形状，并证明你的结论． △
13．（2022·河南驻马店·统考三模）阅读以下材料，并完成相应的任务：西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延
长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）．数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理．如图1，
已知 内接于⊙O，点P在⊙O上（不与点A、B、C重合），过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂
足分别为D，E，F求证：点D，E，F在同一条直线上
以下是他们的证明过程：
如图1，连接PB，PC，DE，EF，取PC的中点Q，连接QE，QF，
则 （依据1），
∴E，F，P，C四点共圆．∴ （依据2）．
又∵ ，∴ ．
∵ ，∴B，D，P，E四点共圆．
∴ （依据3）．
∵ ，∴ （依据4）．
∴点D，E，F在同一条直线上．
任务：(1)填空：①依据1指的的是中点的定义及______；②依据2指的是______；
③依据3指的是______；④依据4指的是______．
(2)善于思考的小英发现当点P是 的中点时， ．请你利用图2证明该结论的正确性．
14．（2022·河南平顶山·统考二模）阅读下面的材料，完成相应的任务：在1815年某杂志上刊登了这样一个命题：如图，圆O中的弦AB的中点为G，过点G任作两弦CD，EF，
弦FC，ED分别交AB于P，Q，则PG=QG．由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，故称“蝴蝶定理”、
是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一．
任务：(1)如图1，AB为⊙O的任一弦．
①若G为弦AB的中点，连接OG，则OG与AB的位置关系为______；
②若OG⊥AB，判断AG与BG之间的数量关系，并说明理由．
(2)下面是“蝴蝶定理”的证明过程（部分），请补充完整．
证明：过O作OM⊥FC于点M，ON⊥DE于点N，
连接OP，OQ，MG，NG，OG，
由任务（1）可知：CF=2MC，ED=2NE，OG⊥AB且∠OMC=∠OGP=90°，∠ONQ=∠OGQ=90°，
∵∠F=∠D，∠C=∠E，∴ FGC∽ DGE，
△ △
即 ，又 ，
取PO的中点O′，在四边形MOGP中，
∵∠OMC=∠OGP=90°，∴MO′=OO′=PO′，GO′=OO′=PO′，
即：MO′=OO′=GO′=PO′，∴M，O，G，P四点在以O′为圆心的一个圆上，
∴∠1=∠2（同弧所对的圆周角相等），同理：∠3=∠4，
_____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________
15．（2022·河南安阳·统考一模）阅读下列材料，并完成相应的任务．西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延
长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）．
某数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理．
如图（1），已知 内接于 ，点P在 上（不与点A，B，C重合），过点P分别作 ， ，
的垂线，垂足分别为．点D，E，F求证：点D，E，F在同一条直线上．
如下是他们的证明过程（不完整）：
如图（1），连接 ， ， ， ，取 的中点Q，连接 ， ，则
，（依据1）
∴点E，F，P，C四点共圆，∴ ．（依据2）
又∵ ，∴ ．
同上可得点B，D，P，E四点共圆，……
任务：(1)填空：①依据1指的是中点的定义及________；②依据2指的是________．
(2)请将证明过程补充完整．(3)善于思考的小虎发现当点P是 的中点时， ，请你利用图（2）
证明该结论的正确性．
16．（2023·北京·九年级阶段练习）问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是 的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中
点，即CD=AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．
证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG
∵M是 的中点，
∴MA=MC……
请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
实践应用：
（1）如图3，已知△ABC内接于⊙O，BC＞AB＞AC，D是 的中点，依据阿基米德折弦定理可得图中某
三条线段的等量关系为BE=CE+ACBE=CE+AC；
（2）如图4，已知等腰△ABC内接于⊙O，AB=AC，D为 上一点，连接DB，∠ACD=45°，AE⊥CD于点
E，△BCD的周长为4 +2，BC=2，请求出AC的长．17．（2022春·江苏九年级课时练习）小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完
成探究．（1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在 中， 是劣弧 的中点，直
线 于点 ，则 ．请证明此结论；
（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2， ， 组成 的一
条折弦． 是劣弧 的中点，直线 于点 ，则 ．可以通过延长 、 相交于点
，再连接 证明结论成立．请写出证明过程；
（3）如图3， ， 组成 的一条折弦，若 是优弧 的中点，直线 于点 ，则 ，
与 之间存在怎样的数量关系？请写出证明过程．
