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重难点突破 12 与圆有关的 6 种模型
（四点共圆、圆幂定理、垂径定理、定弦定角、定角定高、
阿基米德折弦定理）目 录
题型01 四点共圆
题型02 圆幂定理
题型03 垂径定理
题型04 定弦定角
题型05 定角定高模型（探照灯模型）
题型06 阿基米德折弦定理
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题型 01 四点共圆
1. 四点共圆的判定
判定方法 图形 证明过程
若四个点到一个定点的距离相 到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上
等，则这四个点共圆（圆的定 D （圆的定义）
A
义）.
O
适用范围：题目出现共端点，等 C
线段时，可利用圆的定义构造辅 B
助圆.
若一个四边形的一组对角互补， D 反证法
A
则这个四边形的四个点共圆.
O
B
C
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若一个四边形的外角等于它的内 D 反证法
A
对角，则这个四边形的四个点共
圆.
O
B
C E
同侧共边三角形且公共边所对角 A D 反证法
相等的四个顶点共圆.
O
B
C
连接AO、OD
共斜边的两个直角三角形的四个 A D
A
顶点共圆. 根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
B 可得AO=BO=CO=DO
适用范围：双直角三角形共斜边 O C B O C
模型. ∴点A、B、C、D四点共圆
D
在△APB和△CPD中
在⊙O中，若弦AB、CD相交于点
C
P,且AP•DP=BP•CP，则A,B,C,D A AP•DP=BP•CP
2
四点共圆（相交弦定理的逆定
13 4
理） P ∠3=∠4
B
O D ∴△APB∽△CPD ∴∠1=∠2
则A、B、C、D四点共圆
在△APC和△DPB中
在⊙O中，若AB、CD两线段延长 P
A
后 相 交 于 点 P, 且 3 AP•BP=CP•DP
AP•BP=DP•CP，则A,B,C,D四点 2 C
共圆（割线定理） B 1 O ∠P=∠P ∴△APC∽△DPB
∴∠1=∠3 而∠2+∠3=180°
D ∴∠1+∠2=180°
则A、B、C、D四点共圆
若四边形两组对边乘积的和等于 C
对角线的乘积，则四边形的四个
D
顶点共圆(托勒密定理的逆定
理).
O
B
A
【扩展】
托勒密定理：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.
证明:过点C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，
AC AD
∴△ACD∽△BCP.∴ = ，则AC·BP=AD·BC ①.
BC BP
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∵∠1=∠2 ∴∠1+∠ACP=∠2+∠ACP 则∠ACB=∠DCP 而∠5=∠6
AC AB
∴△ACB∽△DCP.∴ = ，则AC·DP=AB·CD ②.
CD DP
①+②得 AC(BP+DP)=AB·CD+AD·BC.即AC·BD=AB·CD+AD·BC
C
C
2
2 1
1 D
D 6
6
P
P 3
3
4 B
4 B 5
5
A
A
2. 四点共圆的性质
1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等（如下图1，∠BAC=∠BDC）；
2）圆内接四边形的对角互补（如下图2，∠1=∠2）；
3) 圆内接四边形的外角等于内对角（如下图3，∠1=∠3）.
1．（2020·山东东营·东营市实验中学校考三模）如图放置的两个正方形，大正方形ABCD边长为a，小正
方形CEFG边长为b（a＞b），M在BC边上，且BM＝b，连接AM，MF，MF交CG于点P，将△ABM
绕点A旋转至△ADN，将△MEF绕点F旋转至△NGF．给出以下五个结论：①∠AND＝∠MPC；②
b2
CP=b− ；③△ABM≌△NGF；④S =a2+b2 ；⑤A，M，P，D四点共圆．其中正确的个数是
a 四 边 形AMFN
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2023·浙江宁波·校考一模）如图，Rt△ABC中，AB=AC=12√2，Rt△ADE中，AD=AE=6√2，
直线BD与CE交于P，当∠EAD绕点A任意旋转的过程中，P到直线AB距离的最大值是 ．
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3．（2019·浙江嘉兴·统考二模）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝1，AE⊥AD，交BC
于点E，EA平分∠BED．
（1）CD的长是 ；
（2）当点F是AC中点时，四边形ABCD的周长是 ．
4．（2021上·山东烟台·九年级统考期中）如图，平面直角坐标系中，点A、B坐标分别为（3，0）、
（0，4），点C是x轴正半轴上一点，连接BC．过点A垂直于AB的直线与过点C垂直于BC的直线交于
点D，连接BD，则sin∠BDC的值是 ．
5．（2023下·湖北武汉·九年级校考阶段练习）问题提出 如图1，点E为等腰△ABC内一点，AB=AC，
∠BAC=α，将AE绕着点A逆时针旋转α得到AD，求证：△ABE≌△ACD．
尝试应用 如图2，点D为等腰Rt△ABC外一点，AB=AC，BD⊥CD，过点A的直线分别交DB的延长
1
线和CD的延长线于点N，M，求证：S +S = AN⋅AM．
△ABN △ACM 2
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问题拓展 如图3，△ABC中，AB=AC，点D，E分别在边AC，BC上，∠BDA=∠BEA=60°，AE，
BD交于点H．若CE=a，AH=b，直接写出BE的长度（用含a，b的式子）．
6．（2022上·江苏盐城·九年级校考期中）如图，以点P(−1,0)为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C
的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），AD=2，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB．
(1)求B、C两点的坐标；
(2)请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；
(3)动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，
点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变
化？若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．
7．（2022·辽宁葫芦岛·统考一模）射线AB与直线CD交于点E，∠AED＝60°，点F在直线CD上运动，
连接AF，线段AF绕点A顺时针旋转60°得到AG，连接FG，EG，过点G作GH⊥AB于点H．
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(1)如图1，点F和点G都在射线AB的同侧时，EG与GH的数量关系是______；
(2)如图2，点F和点G在射线AB的两侧时，线段EF，AE，GH之间有怎么样的数量关系？并证明你的结
论；
(3)若点F和点G都在射线AB的同侧，AE=1，EF=2，请直接写出HG的长．
8．（2021·福建·校联考二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为E，CF⊥AB
于点F，直线CF与直线BD于点G．
（1）若点G在⊙O内，如图1，求证：G和D关于直线AC对称；
（2）连接AG，若AG=BC，且AG与⊙O相切，如图2，求∠ABC的度数．
9．（2021上·上海徐汇·九年级统考期中）如图，已知Rt△ABC和Rt△CDE，∠ACB=∠CDE=90°，
∠CAB=∠CED，AC=8，BC=6，点D在边AB上，射线CE交射线BA于点F．
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（1）如图，当点F在边AB上时，联结AE．
①求证：AE∥BC；
1
②若EF= CF，求BD的长；
2
（2）设直线AE与直线CD交于点P，若△PCE为等腰三角形，求BF的长．
10．（2022·河南安阳·统考一模）阅读下列材料，并完成相应的任务．
西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延
长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）．
某数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理．
如图（1），已知△ABC内接于⊙O，点P在⊙O上（不与点A，B，C重合），过点P分别作AB，BC
，AC的垂线，垂足分别为．点D，E，F求证：点D，E，F在同一条直线上．
如下是他们的证明过程（不完整）：
1
如图（1），连接PB，PC，DE，EF，取PC的中点Q，连接QE，QF，则EQ=FQ= PC=PQ=CQ
2
，（依据1）
∴点E，F，P，C四点共圆，∴∠FCP+∠FEP=180°．（依据2）
又∵∠ACP+∠ABP=180°，
∴∠FEP=∠ABP．
同上可得点B，D，P，E四点共圆，
……
任务：
(1)填空：
①依据1指的是中点的定义及________；
②依据2指的是________．
(2)请将证明过程补充完整．
(3)善于思考的小虎发现当点P是B´C的中点时，BD=CF，请你利用图（2）证明该结论的正确性．
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11．（2023·山东日照·统考中考真题）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得
出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题：
如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（60°<α<180°）．点D是BC边上的一动点（点D不与B，
C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转α到线段AE，连接BE．
(1)求证：A，E，B，D四点共圆；
(2)如图2，当AD=CD时，⊙O是四边形AEBD的外接圆，求证：AC是⊙O的切线；
(3)已知α=120°，BC=6，点M是边BC的中点，此时⊙P是四边形AEBD的外接圆，直接写出圆心P
与点M距离的最小值．
12．（2022·贵州遵义·统考中考真题）探究与实践
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继
续利用上述结论进行探究．
提出问题：
如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B=∠D，那么A，B，C，D
四点在同一个圆上．
探究展示：
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如图2，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE则
∠AEC+∠D=180°（依据1）
∵∠B=∠D
∴∠AEC+∠B=180°
∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上（依据2）
∴点A，B，C，E四点在同一个圆上
(1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1：__________；依据2：__________．
(2)图3，在四边形ABCD中，∠1=∠2，∠3=45°，则∠4的度数为__________．
(3)拓展探究：如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，点D在BC上（不与BC的中点重合），连接
AD．作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，DE．
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①求证：A，D，B，E四点共圆；
②若AB=2√2，AD⋅AF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．
13．（2023·河南周口·校联考一模）请阅读以下材料，完成相应任务．
我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？
李雷经过实践探究发现了如下结论：
如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线
段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）．
已知：如图1，点C，D是线段AB同侧两点，且∠ACB=∠ADB．
求证：点A，B，C，D四点共圆．
证明：作ΔABC的外接圆⊙O，假设点D在⊙O外或在⊙O内．
如图2，若点D在⊙O外．设AD与⊙O交于点E，连接BE，
则∠ACB=∠AEB（依据一），
又∵∠AEB=∠ADB+∠DBE（依据二），
∴∠ACB=∠ADB+∠DBE．
∴∠ACB>∠ADB．这与已知条件“∠ACB=∠ADB”矛盾，故点D在⊙O外不成立；
如图3，若点D在⊙O内，……
（请同学们补充完整省略的部分证明过程）
综上所述，作△ABC的外接圆⊙O，点D在⊙O上，即点A，B，C，D四点共圆．
(1)填空：将材料中依据一、依据二补充完整；
依据一： ；
依据二： ．
(2)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(3)填空：如图4，在四边形ABCD中，∠ABD=∠ACD，对角线AC，BD交于点E，E为AC中点，若
BD=6，BE=4，则AC= ．
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题型 02 圆幂定理
【模型介绍】相交弦定理、切割线定理和割线定理统称为圆幂定理.
1. 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.
已知 图形 结论 证明过程
C 在△APB和△CPD中
【基础】在⊙O A
2 AP•DP=BP•CP ∠1=∠2（同弧所对圆周角相
中，弦AB、CD相
13 4
交于点P P 等）
B
O D ∠3=∠4 ∴△APB∽△CPD
AP BP
∴ = 则AP•DP=BP•CP
CP DP
【进阶】在⊙O M C BP•CP=MP•NP 同上
中，OP 所在直线
=(r-OP)( r+OP)
与⊙O 交于 M、N
两点，r为⊙O的 B P O = r2−OP2
半径
N
2. 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等.
已知 图形 结论 证明过程
【基础】在⊙O AP•BP 连接AC、BD
中，弦AB、CD相 =CP•DP
通过已知条件证明
交于点P，且点P
△APC∽△DPB
在圆外
AP CP
∴ = 则AP•BP=CP•DP
DP BP
（请尝试连接 AD，BC 自行证
明）
【进阶】若从圆外 P AP•BP 同上
一点P引圆的两条 A
M =MP•NP
割线PAB和PMN，
且割线PMN经过圆 B =(OP-r)( OP+r)
心，r 为⊙O 的半
O = OP2-r2
径
N
3. 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角
度数.
已知 图形 结论 证明过程
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线段AB切⊙O于 B 1 连接OB、OD，则∠4=∠5
∠1=∠2= ∠3
点B，线段BC、CD 2
1 ∵线段AB切⊙O于点B
为⊙O的弦
∴∠1+∠4=90°
O
2
C D A ∵∠3+∠4+∠5=180°
∴∠3+2∠4=180°又∵∠3=2∠2
B
∴∠2+∠4=90°
4 1
1
3 ∴∠1=∠2 则∠1=∠2= ∠3
O 5 2
2
C D A
4. 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.
已知 图形 结论 证明过程
如图，线段 ADC是 B AB2=AD•AC ∵∠1=∠2（弦切角定理模型），
⊙O 的一条割线，
1 ∠A=∠A
AB是⊙O的一条切
线， 2 O ∴△ABD∽△ACB
切点为点B C D A
AB AD
∴ = 则AB2=AD•AC
AC AB
1）切割线定理
14．（2023上·山西吕梁·九年级校考期末）阅读与思考：阅读下列材料，并完成相应的任务．
米勒定理
米勒（1436−1476）是德国的数学家，是欧洲最有影响的数学家之一，米勒发表的《三角全书》，是使
得三角学在欧洲取得独立地位的第一部系统性著作．下面是米勒定理（又称切割线定理）的证明过程
已知：如图1，PA与⊙O相切于点A，PB与⊙O相交于点B，C．
求证：PA2=PB⋅PC．
证明：如图2，连接AC，OA，OC．
∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∴∠1+∠2=90°．
∵OA=OC，
∴∠2=∠3．
∵∠O+∠2+∠3=180°，
∴∠O+2∠2=180°．
∵A´C=A´C，
∴∠O=2∠B，
∴2∠B+2∠2=180°，
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∴∠B+∠2=90°，
∴∠1=∠B，
……
任务：
(1)请完成剩余的证明过程
(2)应用：如图3，PA是⊙O的切线，PC经过⊙O的圆心O，且PB=OB=2，割线PDE交⊙O于点D，
E，PE=5，求PD的长．
15．（2022·广东深圳·深圳市宝安中学（集团）校考三模）弗朗索瓦·韦达是十六世纪法国最杰出的数学家
之一，最早提出“切割线定理”（圆幂定理之一），指的是从圆外一点引圆的切线和割线，则切线长是这
点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，下面紧跟着圆的切线作图的思路尝试证明与运用．
(1)作图（保留作图痕迹）：
已知AB是圆O的直径，点P是BA延长线上的一点，
①作线段OP的中垂线MN交OP于点Q；
②以Q为圆心，PQ为半径作圆，交圆O于点E、F；
③连接PE和PF；
试说明PE是圆O切线的理由．
(2)计算：
若圆O半径OB=4，PB=14，尝试证明“切割线定理”并计算出PE的长度．
16．（2022·河南驻马店·校联考三模）复习巩固
切线：直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切，我们把这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切
点.如图1，直线l 为⊙O的切线
1
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割线：直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交，我们把这条直线叫做圆的割线.如图1，直线l 为
2
⊙O的割线
切线长：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.
阅读材料
《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所普的一部数学著作.它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公
设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书其中第三卷命题36一2圆幂定理（切割线定
理）内容如下：
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.为了
说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，
并写出证明过程
已知：如图2，A是⊙O外一点， ．
求证：
[提示]辅助线可先考虑作⊙O的直径DE．
17．（2021·河南新乡·河南师大附中校考三模）圆幂定理是平面几何中最重要的定理之一，它包含了相交
弦定理、切割线定理、割线定理以及它们推论，其中切割线定理的内容是：从圆外一点引圆的切线和割线，
切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
喜欢思考的天天在了解这个定理之后尝试给出证明，下面是他的部分证明过程：
已知；如图①，点P为⊙O外一点，切线PA与圆相切于点A，割线PBC与圆相交于点B、C．
求证：PA2=PB⋅PC
证明：如图③，连接AB、AC、BO、AO，
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∵PA切⊙O于点A，
∴PA⊥AO，即∠PAB+∠BAO=90°，
……
阅读以上材料，完成下列问题：
（1）请帮助天天补充完成以上证明过程；
（2）如图②，割线PDE与圆交于点D、E，且PB=BC=4，PE=7，求DE的长．
18．（2023上·黑龙江绥化·九年级统考期末）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，过点C的切线与直径
AB的延长线相交于点P，连接PD．
(1)求证：PD是⊙O的切线；
(2)求证：PD2=PB·PA．
2)相交弦定理
19．（2023上·浙江·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，若AE=2，BE=8，
CE=2DE，则O到CD的距离为 ．
20．（2022·江苏无锡·统考中考真题）如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点
（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．
(1)求证△CED∽△BAD；
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(2)当DC=2AD时，求CE的长．
21．（2023·河南信阳·校考三模）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．
(1)为了说明相交弦定理正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”“求证”，请补充完整，
并写出证明过程．已知：如图①，弦AB，CD交于点P，求证：______________．
(2)如图②，已知AB是⊙O的直径，AB与弦CD交于点P，且AB⊥CD于点P，过D作⊙O的切线，交
BA的延长线于E，D为切点，若AP=2，⊙O的半径为5，求AE的长．
22．（2023·江西宜春·统考模拟预测）阅读与思考
九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆
内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相
应的任务．
圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．
已知：如图1，⊙O的两弦AB，CD相交于点P．
求证：AP⋅BP=CP⋅DP．
证明：
如图1，连接AC，BD．
∵∠C=∠B，∠A=∠D．
∴△APC∽△DPB，（根据）
AP
∴ =@，
DP
∴AP⋅BP=CP⋅DP，
∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．
任务：
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(1)请将上述证明过程补充完整．
根据：____________；@：____________．
(2)小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10cm，PA=4cm，
OP=5cm，求⊙O的半径．
23．（2023·山西吕梁·校考模拟预测）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到与圆交点的两条线段长的比例中项．
证明过程如下：
如图1：已知：点P是⊙O外一点，PF是切线，F是切点，PBA是割线，点A，B是它与⊙O的交点，求
证：PF2=PA·PB
证明：连接FO并延长交⊙O于C，连接AF，BF，BC，
∵PF是⊙O的切线，∴ ∠PFC=90°（依据________________________________)
∵CF是⊙O的直径，∴ ∠CBF=90°（依据_______________________________)
∴ ∠C+∠CFB=90° ∴ ∠C=∠PFB
又∵∠C=∠A（依据_____________________________________)
∴ ∠A=∠PFB
. . . . . .
任务：
(1)完成材料证明部分中的“依据”，填入空格．
(2)把证明过程补充完整．
(3)定理应用：
已知PT为⊙O的切线，T是切点，PBA是⊙O的割线，交OC于D，CT为⊙O的直径，
OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB的长．
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3)割线定理
24．（2021上·九年级单元测试）如图，割线PAB、PCD分别交⊙O于AB和CD，若PC=2，CD=16，
PA:AB=1:2，则AB= ．
25．（2020下·四川成都·九年级成都七中校考阶段练习）如图，PAB为⊙O的割线，且PA=AB=3，PO
交⊙O于点C，若PC=2，则⊙O的半径的长为 ．
26．（2023·全国·九年级假期作业）如图：PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA·PB=30，PC=3，则
CD的长为（ ）
A．10 B．7 C．5√10 D．3
27．（2019·浙江杭州·模拟预测）如图，过点P引圆的两条割线PAB和PCD，分别交圆于点A,B和C,D，
PA PC PA PC PA PD
连结AC,BD，则在下列各比例式中，① = ；② = ；③ = ，成立的有
PB PD PD PB AC BD
（把你认为成立的比例式的序号都填上）．
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28．（2023·河南周口·校考三模）阅读与思考
学习了圆的相关知识后，某数学兴趣小组的同学们进行了如下探究活动，请仔细阅读，并完成相应任务．
割线定理
如图，A是⊙O外一点，过点A作直线AC，AE分别交⊙O于点B，C，D，E，则有
AB⋅AC=AD⋅AE．
证明：如图，连接BE，DC．
∵∠BCD=∠BED（依据：①________________），∠CAD=∠EAB，
∴△ACD∼△AEB．
AD
∴ = ②_________________．
AB
∴AB⋅AC=AD⋅AE．
任务：
(1)上述阅读材料中①处应填的内容是________，②处应填的内容是_______．
(2)兴趣小组的同学们继续思考，当直线AE与圆相切时，是否仍有类似的结论．请将下列已知、求证补充
完整，并给出证明．
已知：如图，A是⊙O外一点，过点A的直线交⊙O于点B，C，__________．
求证：AE2＝ ___________．
29．（2021·河南洛阳·统考二模）我们知道，直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离．当直线与圆
有两个公共点（即直线与圆相交）时，这条直线就叫做圆的割线．割线也有一些相关的定理．比如，割线
定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等．下面给出了不完整的定
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理“证明一”，请补充完整．
已知：如图①，过⊙O外一点P作⊙O的两条割线，一条交⊙O于A、B点，另一条交⊙O于C、D点．
求证：PA⋅PB=PC⋅PD．
证明一：连接AD、BC，
∵∠A和∠C为B´D所对的圆周角，∴______．
又∵∠P=∠P，∴______，∴______．
即PA⋅PB=PC⋅PD．
研究后发现，如图②，如果连接AC、BD，即可得到学习过的圆内接四边形ABDC．那么或许割线定理
也可以用圆内接四边形的性质来证明．请根据提示，独立完成证明二．
证明二：连接AC、BD，
30．（2022下·河南洛阳·九年级统考期中）圆幂定理是平面几何中最重要的定理之一，它包含了相交弦定
理、切割线定理、割线定理以及它们的推论，其中切割线定理的内容是：从圆外一点引圆的切线和割线，
切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．你能给出证明吗？
下面是证明的开头：
已知：如图①，点P为⊙O外一点，切线PA与圆相切于A，割线PBC与圆相交于点B、C．
求证：PA2＝PB•PC
证明：如图②，连接AB、AC、B0、AO，
因为PA切⊙0于点A，
∴．PA⊥AO，∠PAB＋∠BAO＝90°．
阅读以上材料，完成下列问题：
(1)补充完成上面的证明过程；
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(2)如图③，割线PDE与⊙O交于D、E，且PB＝BC＝4，PE＝7，求DE的长．
题型 03 垂径定理
C
A O E B
⏜ ⏜ ⏜ ⏜
如图，可得①AB过圆心 ②AB⊥CD ③CE=DE ④ AC=AD ⑤ BC=BD
D
【总结】垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（被平分的
弦不是直径）（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧，若已知五个条件中的两个，那么可推出其
中三个，简称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理.
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度；
2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分.
31．（2022·河南许昌·统考一模）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，则下列结论不一定成立的
是（ ）
A．AE＝BE B．OE＝DE C．A´C=B´C D．A´D=B´D
32．（2023·浙江·模拟预测）如图，CD是⊙O是直径，AB是弦且不是直径，CD⊥AB，则下列结论不
一定正确的是（ ）
A．AE=BE B．OE=DE C．AO=CO D．A´D=B´D
33．（2022·广东佛山·统考一模）如图， O中，半径OC＝2，弦AB垂直平分OC，则AB的长是
（ ） ⊙
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A．3 B．4 C．2√3 D．4√3
34．（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨风华中学校考模拟预测）如图，在⊙O中，OD⊥AB于点D，AD的长
为3cm，则弦AB的长为（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
35．（2019·新疆乌鲁木齐·校联考一模）如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，
∠E=22.5°，AB=4，则半径OB等于（ ）
A．√2 B．2 C．2√2 D．3
36．（2022·河南南阳·统考一模）如图，⊙O的半径为4．将⊙O的一部分沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过
圆心O．则这条劣弧的弧长为 ．
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题型 04 定弦定角
【模型介绍】因为同圆或等圆中等弦所对的圆周角相等，所以当弦的长度保持不变和弦所对应的角度大小
固定时，动点的轨迹就是圆或者圆弧.
【模型解析】两定(A，B)一动(P)，AB长固定，∠APB固定
P（动点）
P（动点）
α
α
O
2α
A（定点）
B（定点）A（定点） B（定点）
如图，已知AB为定线段，P为动点，且∠APB=α，则A、B、P三点必共圆，或称为点P一定在以AB为
弦的某一个圆上，且这个圆是固定的，圆心在线段AB的垂直平分线上，动点P的运动轨迹为关于线段AB
对称的圆弧上（①∠APB<90°，在线段AB对称的优弧上运动 ②∠APB>90°，在线段AB对称的劣弧上运
动），但不包括A、B两点.
定弦定角问题常应用于求线段的“最值”，问题的关键就在于找到运动过程中必存在的定线段，及这条线
段关于某一动点的张角为定值，由张角的变化，去寻找这三点所构成的定圆.
【解题技巧】
1）找到不变的张角(∠APB)所对的-定弦(AB);
2）定角定弦定圆心和半径;
3）作出外接圆;
4）计算半径并分析.
5）当△ABP是以AB为底的等腰三角形时, △ABP的面积和周长最大.
[口诀] 见定长→找所对定角→知定圆→找圆心→现“圆”形(一找、二定、三画、四析).
【证明】在△ABP中, ∠P=α,AB=2x. P
1）求△ABP中AB边所对的高的最值. α
2）求△ABP面积的最值.
【提示】这个模型就是我们所谓的定角定弦模型,也就是在一个三角 形中一个角
2x
A B
和它的对边保持不变,在AB边固定的同时,虽然∠P的大小不变,但顶 点P的位置
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可以发生变化P,由于同弧所对的圆周角不变,故顶点P可以在△ABP的外接圆的AB这段弦所对的圆弧上运
动（不包括A,B点）.当高线PC过圆心时有最大的高,即h≤P D=OP +OD.(此时P,O,D三点共线)
1 1
【证明过程】
P P
P 1 P 1
O
O O
α
A C D B A C D B A D B
作△ABP的外接圆圆O，连接AO，BO，PO,过点O作AB⊥OD于点D
∵∠APB=α ∴∠AOB=2α 而△AOD≌△BOD ∴∠AOD=∠BOD=α AD=BD=x
AD x xcosα
在Rt△AOD中，AO= = DO=AOcosα= 又∵AO=OP
sinα sinα sinα 1
x xcosα x
PC≤PD=OP+OD= + = (1+cosα) （当P与P1重合时等号成立）
1 1 sinα sinα sinα
1 1 1 x x2
S △ABP = 2 •PC•AB≤ 2 •P 1 D•AB= 2 • sinα (1+cosα) •2x= sinα (1+cosα)
37．（2023·浙江杭州·统考二模）如图，已知△ABC内接于⊙O，∠BAC=θ(0<θ<60°)，BC=6，点P
为△ABC的重心，当点A到BC的距离最大时，线段PO的长为（ ）
1 2 2 1
A． − B． −
tanθ sinθ tanθ sinθ
C． tanθ−2sinθ D．2tanθ−sinθ
38．（2023·安徽亳州·统考模拟预测）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BC=8，AC=4√2．
（1）当AB=AC时，∠CAD= °；
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（2）当△ACD面积最大时，则AD= ．
3
39．（2020·四川德阳·统考一模）如图，已知直线y= x−3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以
4
C(0,1)为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA、PB，当ΔPAB的面积最大时，点P的坐标为 ．
40．（2023·河南安阳·统考二模）如图，⊙O的半径为2cm，弦AB=2√3cm，C是弦AB所对的优弧AD´ B
上一个动点，则图中阴影部分的面积之和的最小值是 cm2．
41．（2023上·江苏扬州·九年级校考期末）【学习心得】
小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以
使问题变得非常容易．
例如：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是ΔABC外一点，且AD=AC，求∠BDC的度
数．若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆⊙A，则C，D两点必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，
∠BDC是⊙A的圆周角，则∠BDC=45°．
(1)【初步运用】如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=24°，求∠BAC的度数；
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(2)【方法迁移】如图，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得∠APB=30°（不
写作法，保留作图痕迹）；
(3)【问题拓展】
①如图，已知矩形ABCD，AB=2，BC=m，M为CD上的点．若满足∠AMB=45°的点M恰好有两个，
则m的取值范围为______．
②如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD是BC边上的高，且BD=6，CD=2，求AD的长．
42．（2023·广东深圳·校考模拟预测）【问题情境】
（1）爱探究的小明在做数学题时遇到这样一个问题：如图1，AB是⊙O的直径，P是⊙O上的一动点，
若AB=6，则△PAB面积的最大值为 ．请帮小明直接填空；
【模型归纳】
（2）小明在完成填空后，对上面问题中模型进行如下归纳：如图2，AB是⊙O的弦，P是⊙O优弧上的
一动点，过P点作PC⊥AB于C点，当且仅当PC经过圆心O时，PC最大．请帮助小明完成这个结论的证
明；
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【模型应用】
（3）如图3是四边形休闲区域设计示意图ABCD，已知∠BAD=∠BCD=90°，CB=CD，休闲区域内
原有一条笔直小路AC的长为80米，现为了市民在该区域内散步方便，准备再修一条长为30米的小路MN，
满足点M在边AB上，点N在小路AC上．按设计要求需要给图中阴影区域（即△ACD与四边形MBCN，
小路宽度忽略不计）种植花卉，为了节约成本且满足设计需求，阴影部分的面积要尽可能的小．请问，是
否存在符合设计要求的方案？若存在，请直接写出阴影部分面积的最小值；若不存在，请说明理由．
43．（2022·陕西西安·校考模拟预测）【学习新知】
（1）如图1，已知半径为3的⊙O外，有一点P，满足PO=4，则点P与⊙O上任意一点Q的连线PQ最小
值为______，PQ最大值为______．
（2）如图2，在△ABC中，AB=4，∠C=30°，求△ABC的最大面积．
【应用新知】
（3）如图3，在等边△ABC中，AB=BC=AC=4，点E为AB中点，点D、F分别在BC、AC上，且
BD=3，连接DE、DF，∠EDF=60°，请问在△ABC内部是否存在一个P点，使得∠EPF=120°，且
满足到点A的距离最小，若存在，求出AP的最小值；若不存在，说明理由．
44．（2023·陕西西安·西安市第六中学校考模拟预测）问题提出
（1）如图1，△ABC内接于⊙O，BC=6，∠BAC=60°，则⊙O的半径为 ．
问题探究
（2）如图2，已知矩形ABCD，AB=4√3，BC=6，P是矩形ABCD内一点，且∠BPC=60°，连接AP，
求AP的最小值．
解决问题
（3）如图3，小乐家有一个四边形菜地ABCD，他打算种植油菜花，为了提高产量，他计划改造四边形菜
地，在改造的过程中始终要满足BC=8米，∠BAD=135°，AD⊥DC，且AD=DC，求改造后四边形
菜地面积的最大值．
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题型 05 定角定高模型（探照灯模型）
【模型介绍】如图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值(定高)，∠BAC为定角，则BC有最小值，
即△ABC的面积有最小值.因为其形像探照灯，所以也叫探照灯模型.
在△ABC 中，∠BAC=α(定角)，AD 是 BC 边上的高，且 AD=h (定高)，则当△ABC 是等腰三角形
(AB=AC)时，BC的长最小，△ABC的面积最小，△ABC的周长最小.
A A
h h O
B D C B D E C
证明思路：如图，△ABC作BC的外接圆⊙0，连接OA，OB，OC，
过点O作 OE⊥BC于点E, 设⊙0的半径为r，则∠BOE=∠BAC=α∴BC=2BE=2OBsinα=2r•sinα
h
∵OA+OE≥AD(当且仅当点A，O，E三点共线时,等号成立)，∴r+r•cosα≥h，即r≥ ，
1+cosα
2hsinα
当取等号时r有最小值，此时BC的长最小，所以BC=2BM=2r•sinα≥
1+cosα
【解题思路】
1. 作定角定高三角形外接圆，并设外接圆半径为r，用r表示圆心到底边距离及底边长;
2. 根据“半径+弦心距≥定高”，求r的取值范围;
3. 计算底边范围从而求得面积最小值.
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45．（2020·陕西西安·西北工业大学附属中学校考一模）如图，已知在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，连
接AC、BD交于点E，EC＝2AE＝4，若BE＝2ED，则BD的最大值为 ．
46．（2023·陕西咸阳·校考二模）【问题提出】（1）如图①，AB为⊙O的一条弦，圆心O到弦AB的距
离为4，若⊙O的半径为7，则⊙O上的点到弦AB的距离最大值为_______；
【问题探究】（2）如图②，在△ABC中，∠BAC=60°,AD为BC边上的高，若AD=6，求△ABC面积
的最小值；
【问题解决】（3）“双减”是党中央、国务院作出的重大决策部署，实施一年多来，工作进展平稳，取
得了阶段性成效，为了进一步落实双减政策，丰富学生的课余生活，某校拟建立一块综合实践基地，如图
③，△ABC为基地的大致规划示意图，其中∠ABC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点P为BC上一
点，学校计划将四边形ABPD部分修建为农业实践基地，并沿BD铺设一条人行走道，△CDP部分修建为
兴趣活动基地．根据规划要求，BD=80√2米，∠CDP=45°．且农业实践基地部分（四边形ABPD）的
面积应尽可能小，问四边形ABPD的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理
由．
47．（2020·陕西·统考二模）问题探究
（1）如图1．在△ABC中，BC=8，D为BC上一点，AD=6．则△ABC面积的最大值是_______．
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC=60°，AG为BC边上的高，⊙O为△ABC的外接圆，若AG=3，试
判断BC是否存在最小值？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由．
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问题解决：
如图3，王老先生有一块矩形地ABCD，AB=6√2+12，BC=6√2+6，现在他想利用这块地建一个四边
形鱼塘AMFN，且满足点E在CD上，AD=DE，点F在BC上，且CF=6，点M在AE上，点N在AB上，
∠MFN=90°，这个四边形AMFN的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请
说明理由．
48．（2023·重庆·模拟预测）在直角△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，点D是△ABC外一点，连
接AD，以AD为边作等边△ADF．
(1)如图1，当点F在线段BC上，DF交AC于点M，且AF平分∠BAC，若AF=√6+√2，求△ADM的面
积；
(2)如图2，连接FB并延长至点E，使得FB=BE，连接CE、DE、CD，证明：DE=√3CD；
(3)如图3，旋转△ADF使得DF落在∠ABC的角平分线上，M、N分别是射线BA、BC上的动点，且始终
满足∠MDN=60°，连接MN，若BC=√2，请直接写出△MDN的面积最小值．
49．（2016上·江苏无锡·九年级阶段练习）若一个三角形的三个顶点均在一个图形的不同的边上，则称此
三角形为该图形的内接三角形．
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（1）在图①中画出△ABC的一个内接直角三角形；
（2）如图②，已知△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝45°，AB＝8，AD为BC边上的高，探究以D为一个
顶点作△ABC的内接三角形，其周长是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由；
（3）如图③，△ABC为等腰直角三角形，∠C＝90°，AC＝６，试探究：△ABC的内接等腰直角三角形
的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
50．（2022·陕西西安·统考二模）【问题研究】
（1）若等边△ABC边长为4，则△ABC的面积为______；
（2）如图1，在△ABC中，∠ACB=60°，CD为AB边上的高，若CD=4，试判断△ABC的面积是否存
在最小值．若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【问题解决】
（3）如图2，四边形ABCD中，AB=AD=4√2，∠B=45°，∠C=60°，∠D=135°，点E、F分别为
边BC、CD上的动点，且∠EAF=∠C，求四边形AECF面积的最大值．
题型 06 阿基米德折弦定理
阿基米德折弦定理：一个圆中一条折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影， 就
M
是折弦的中点。 A B
D
如图，AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，AB>BC，点M是弧
O
C
ABC的中点，过点M作MD⊥AB于点D,则AD=DB+BC，AB-BC=2DB。
常见证明方法：
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1）截长法：如图，在AD上取一点E，使AE=BC
2）补短法：延长AB至点E，使BE=BC
3）垂线法：过点M作BC垂线交BC延长线于点E
4）作辅助圆法：连接AM、CM，以点M为圆心，MA为半径作⊙M,延长AB交⊙M于点E，连接CE
M M
A B A B E
E D D
O O
C C
作法一 M E 作法二 M E M
B
E
A
A B A B D
D D
O
O O C
C C
作法四
作法三
45．（2020·陕西西安·西北工业大学附属中学校考一模）如图，已知在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，连
接AC、BD交于点E，EC＝2AE＝4，若BE＝2ED，则BD的最大值为 ．
46．（2023·陕西咸阳·校考二模）【问题提出】（1）如图①，AB为⊙O的一条弦，圆心O到弦AB的距
离为4，若⊙O的半径为7，则⊙O上的点到弦AB的距离最大值为_______；
【问题探究】（2）如图②，在△ABC中，∠BAC=60°,AD为BC边上的高，若AD=6，求△ABC面积
的最小值；
【问题解决】（3）“双减”是党中央、国务院作出的重大决策部署，实施一年多来，工作进展平稳，取
得了阶段性成效，为了进一步落实双减政策，丰富学生的课余生活，某校拟建立一块综合实践基地，如图
③，△ABC为基地的大致规划示意图，其中∠ABC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点P为BC上一
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点，学校计划将四边形ABPD部分修建为农业实践基地，并沿BD铺设一条人行走道，△CDP部分修建为
兴趣活动基地．根据规划要求，BD=80√2米，∠CDP=45°．且农业实践基地部分（四边形ABPD）的
面积应尽可能小，问四边形ABPD的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理
由．
47．（2020·陕西·统考二模）问题探究
（1）如图1．在△ABC中，BC=8，D为BC上一点，AD=6．则△ABC面积的最大值是_______．
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC=60°，AG为BC边上的高，⊙O为△ABC的外接圆，若AG=3，试
判断BC是否存在最小值？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由．
问题解决：
如图3，王老先生有一块矩形地ABCD，AB=6√2+12，BC=6√2+6，现在他想利用这块地建一个四边
形鱼塘AMFN，且满足点E在CD上，AD=DE，点F在BC上，且CF=6，点M在AE上，点N在AB上，
∠MFN=90°，这个四边形AMFN的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请
说明理由．
48．（2023·重庆·模拟预测）在直角△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，点D是△ABC外一点，连
接AD，以AD为边作等边△ADF．
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(1)如图1，当点F在线段BC上，DF交AC于点M，且AF平分∠BAC，若AF=√6+√2，求△ADM的面
积；
(2)如图2，连接FB并延长至点E，使得FB=BE，连接CE、DE、CD，证明：DE=√3CD；
(3)如图3，旋转△ADF使得DF落在∠ABC的角平分线上，M、N分别是射线BA、BC上的动点，且始终
满足∠MDN=60°，连接MN，若BC=√2，请直接写出△MDN的面积最小值．
49．（2016上·江苏无锡·九年级阶段练习）若一个三角形的三个顶点均在一个图形的不同的边上，则称此
三角形为该图形的内接三角形．
（1）在图①中画出△ABC的一个内接直角三角形；
（2）如图②，已知△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝45°，AB＝8，AD为BC边上的高，探究以D为一个
顶点作△ABC的内接三角形，其周长是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由；
（3）如图③，△ABC为等腰直角三角形，∠C＝90°，AC＝６，试探究：△ABC的内接等腰直角三角形
的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
50．（2022·陕西西安·统考二模）【问题研究】
（1）若等边△ABC边长为4，则△ABC的面积为______；
（2）如图1，在△ABC中，∠ACB=60°，CD为AB边上的高，若CD=4，试判断△ABC的面积是否存
在最小值．若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【问题解决】
（3）如图2，四边形ABCD中，AB=AD=4√2，∠B=45°，∠C=60°，∠D=135°，点E、F分别为
边BC、CD上的动点，且∠EAF=∠C，求四边形AECF面积的最大值．
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