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专题16 全等三角形模型之婆罗摩笈多模型
婆罗摩笈多（Brahmagupta）是七世纪时的印度数学家，在世时间约是公元 598年 ~ 660年。他
编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》。《婆罗摩修正体系》中有关数学的部分涉及到有关三角
形、四边形、零、负数、一阶和二阶方程的研究，《肯达克迪迦》则是天文方面的著作，研究了关于
月食、日食、行星的合等问题。他提出的一些概念在世界数学史上也有很高的地位，比如负数。以他
命名的婆罗摩笈多定理又称“布拉美古塔”定理。本专题我们讲的就是由婆罗摩笈多定理演化而来的“婆
罗摩笈多”模型。
.........................................................................................................................................................................................2
模型1.“婆罗摩笈多”模型.............................................................................................................................2
....................................................................................................................................................8
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒
置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样
才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法
的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中
提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，
因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在
几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解
每一个题型，做到活学活用！模型1.“婆罗摩笈多”模型
婆罗摩笈多定理：如果一个圆内接四边形（即对角互补的四边形）的对角线互相垂直且相交，那么从
交点向某一边所引垂线的反向延长线必经过这条边对边的中点（反之亦能成立）。
模型特征：（1）△BCP和△ADP是两个等腰直角三角形，且直角顶点重合.
模型1）知中点证垂直
条件：分别以三角形ABC的边AB、AC为边，向三角形外侧外做正方形 ABDE和正方形ACFG，N为
EG的中点，M、A、N三点共线。结论：AM⊥BC；BC=2AN；S =S 。
ABC AEG
△ △
证明：（倍长中线法）延长AN到W，使NW=NA，连接EW。
在∆WEN和∆AGN中，NW=NA（已作），∠WNE=∠ANG（对顶角），EN=GN（已知）
∴∆WEN≌ ∆AGN(SAS)，∴EW=GA，∠EWN=∠GAN。
∵∠EWN=∠GAN∴EW//GA，∴∠WEA+∠EAG=180°(平行线同旁内角)。
∵∠GAC=90°，∠EAB=90°，∴∠EAG+∠CAB=180°，∴∠WEA=∠CAB。∵EW=GA，又∵GA=AC，∴EW=AC。
在∆EWA和∆ACB中：EA=AB，∠WEA=∠CAB，EW=AC，∴∆EWA ≌ ∆ACB(SAS)。
∴WA=CB，∠EAW=∠ABC，∵∆ABC ≌ ∆EAW， ∴S = S 。
∆EWA ∆ACB
∵∆WEN≌ ∆AGN， ∴S = S ，∴S =S =S +S =S +S =S 。
∆WEN ∆AGN ∆ACB ∆EWA ∆AEN ∆EWN ∆AEN ∆AGN AEG
△
∵WN=AN，∴BC=2AN ，∵∠WAB=∠EAB+∠EAW。
又∵∠WAB=∠ABM+∠AMB（三角形外角性质），∴∠EAB+∠EAW=∠ABM+∠AMB。
∵∠EAW=∠ABC（∠ABC即∠ABM），∴∠EAB+∠ABM=∠ABM+∠AMB。
∴∠EAB=∠AMB，∴∠AMB=90°，即AM⊥BC。
模型2）知垂直证中点
条件：分别以∆ABC的边AB、AC为边，向三角形外侧外做正方形ABDE和正方形ACFG，AM⊥BC。
结论：N为EG的中点；BC=2AN ；S =S 。
ABC AEG
△ △
证明：（法1:平行线法）作EW//AG，交AN的延长线于W，∵EW//AG，∴∠WEA+∠EAG=180°，
∵∠EAB和∠GAC为正方形的角，所以两个角均为90°，∴∠EAG+∠BAC=180°，
∴∠WEA=∠BAC，∵EW//AG，∴∠EWN=∠GAN，
∵ ∠ GAN+∠ MAC =90° ， ∵ AM⊥ BC ， ∴ ∠ MAC+∠ MCA=90° ， ∴ ∠ MCA=∠ GAN ，
∴∠MCA=∠EWN，
在∆ABC和∆EAW中，∠BCA=∠AWE，∠CAB=∠WEA，AB=EA，∴∆ABC ≌ ∆EAW(AAS) ，
∴AW=BC，∴WE=CA，∵CA=AG，∴WE=AG，∵EW//AG，∴∠WEN=∠AGN，
在∆WEN和∆AGN中，∠WEN=∠AGN，WE=AG，∠ENW=GNA，∴∆WEN≌ ∆AGN (ASA)，
∴EN=GN，即N为EG的中点，∴WN=AN，∴BC=AW=2AN，
∵∆ABC ≌ ∆EAW，∴S = S ，∵∆WEN≌ ∆AGN， ∴S = S ，
∆EWA ∆ACB ∆WEN ∆AGN
∴S =S =S +S =S +S =S 。
∆ACB ∆EWA ∆AEN ∆EWN ∆AEN ∆AGN AEG
△（法2:三垂直模型法）作EX⊥AN，交AN的延长线于X，作GY⊥AN，将AN于Y。
∵AM⊥BC，∴∠ABM+∠BAM=90°，∵∠EAB=90°，∴∠EAN+∠BAM=90°，∴∠ABM=∠EAN
在Rt∆ABM和Rt∆EAX中，∵∠ABM=∠EAN，∴∠AEX=∠BAM；
在Rt∆ABM和Rt∆EAX中，∠BAM=∠AEX，AB=EA，∠ABM=∠EAX；
∴Rt∆ABM ≌Rt∆EAX （ASA），∴AM=EX，同理可证：∴Rt∆AYG ≌Rt∆CMA （ASA），∴GY=AM；
∵AM=EX，∴GY=EX，在Rt∆EXN和Rt∆GYN中，∠ENX=∠GNY，∠EXN=∠GYN，EX =GY；
∴Rt∆EXN ≌ Rt∆GYN（AAS），∴EN=GN，即N为EG的中点；
∵Rt∆ABM ≌Rt∆EAX ，∴S =S ，BM=AX，∵Rt∆AYG ≌Rt∆CMA，∴S =S ，CM=AY；
∆ABM ∆EAX ∆AYG ∆CMA
∵Rt∆EXN ≌ Rt∆GYN，∴S = S ，XN=YN；
∆EXN ∆GYN
∴S =S +S =S +S =S +S +S -S =S ；
ABC ∆ABM ∆CMA ∆EAX ∆AYG ∆EAN ∆ENX ∆ANG ∆GNY ∆AEG
△
∴BC=BM+CM=AX+AY=AN+NX+AN-YN=2AN。
其实该模型也可以模仿 模型1）中的倍长中线法，有兴趣的同学们可以自己去尝试以下哦！
例1．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，点 的坐标为 ，点 为 轴的负半轴上的一个动
点，分别以 ， 为直角边在第三、第四象限作等腰 、等腰 ，连接 交 轴于 点，
当点 在 轴上移动时，则 的长度为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例2．（2024·重庆渝中·二模）如图，以 的边 、 为边向外作正方形 和正方形 ，连接 、 相交于点 ，连接 、 ，取 中点 ，连接 并延长交 于点 ．下列结论：
① ；② ；③ 平分 ；④ ；⑤ ．其中正确的结论有
（填写编号）．
例3．（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰 中， ， ，点 ， 分别
在 ， 上， ，连接 ， ，取 中点 ，连接 ．
(1)求证： ， ；(2)将 绕点 顺时针旋转到图2的位置．
①请直接写出 与 的位置关系：___________________；②求证： ．
例4．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）（1）如图1，MN⊥PQ于N， ABC是等腰直角三角形，
△，等腰直角 ABC的顶点C、B分别在射线MN，射线NQ上滑动（顶点C、B与点N不重合）
在滑动过程中，点A到直△线MN的距离AH CN（填“＞”、“＜”或“＝”）．
（2）如图2，在（1）的条件下，等腰直角 ECF中， ，且 ECF的顶点C、F也分别在射线
NM、射线NP上滑动（顶点C、F与点N不△重合），连接AE交MN于点△D，试探究AD与ED的数量关系，
并证明你的结论．
（3）如图2， ， ，在 ECF和 ABC保持原来滑动状态的过程中， ACE的面积是否
有最大值？若有，请求出 ACE的最大面积△并求此△时BF的长度；若 ACE的面积没有最△大值，请说明理
由． △ △
例5．（2024·湖北·二模）【特例发现】如图1，在△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以
AB，AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt ABE和等腰Rt ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别
为P、Q．求证：EP=FQ． △ △
【延伸拓展】如图2，在△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB，AC为直角边，向
△ABC外作Rt ABE和Rt ACF，射线GA交EF于点H．若AB=kAE，AC=kAF，请思考HE与HF之间的
数量关系，并直△接写出你的△结论．
【深入探究】如图3，在△ABC中，G是BC边上任意一点，以A为顶点，向△ABC外作任意△ABE和
△ACF，射线GA交EF于点H．若∠EAB=∠AGB，∠FAC=∠AGC，AB=kAE，AC=kAF，上一问的结论还
成立吗？并证明你的结论．【应用推广】在上一问的条件下，设大小恒定的角∠IHJ分别与△AEF的两边AE、AF分别交于点M、N，
若△ABC为腰长等于4的等腰三角形，其中∠BAC=120°，且∠IHJ=∠AGB=θ=60°，k=2；
求证：当∠IHJ在旋转过程中，△EMH、△HMN和△FNH均相似，并直接写出线段MN的最小值（请在答
题卡的备用图中补全作图）．
例6．（23-24九年级上·福建厦门·期中）定义：如图13，在 中，把 绕点A顺时针旋转 （
）得到 ，把 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接 ．当 时，我们称
是 的“旋补三角形”， 边 上的中线 叫做 的“旋补中线”，点A叫做
“旋补中心”．
(1)在图1中， 是 的“旋补三角形”， 是 的“旋补中线”，若 为等边三角形，
则 与 的数量关系为： ______ ．
(2) 在图2中，当 为任意三角形时，猜想 与 的数量关系，并给予证明．
(3)如图3，在四边形 中， ， ， ， ， ．若四边形内部恰好
存在一点P，使 是 的“旋补三角形”，请直接写出 的“旋补中线”长是____________．1．（23-24九年级上·浙江温州·期中）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他研究过对角线互
相垂直的圆内接四边形，我们把这类四边形称为“婆氏四边形”．如图，在 中，四边形 是“婆
氏四边形”，对角线 相交于点E，过点E作 于点H，延长 交 于点F，则 的值
为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24九年级下·江西南昌·期末）婆罗摩笈多是公元7世纪的古印度伟大数学家，曾研究对角线互相
垂直的圆内接四边形，我们把这类四边形称为“婆罗摩笈多四边形”．如图，四边形 是 的内接
四边形，且是“婆罗摩笈多四边形”、若 ，则 的半径为 ．3．（23-24八年级·江苏·假期作业）如图，以 的边 ， 为腰分别向外作等腰直角 、
，连接 ， ， ，过点A的直线 分别交线段 ， 于点 ， ，以下说法：①当
时， ；② ；③当直线 时，点 为线段 的中点．正确的有
．（填序号）
4．（2024·湖北黄石·模拟预测）如图，以 ABC的边AC、BC为边向外作正方形ACDE和正方形BCGF，
连接AG、BD相交于点O，连接CO、DG，△取AB中点M，连接MC并延长交DG于点N．下列结论：
①AG＝BD；②MN⊥DG；③CO平分∠DCG；④S ABC＝S CDG；⑤∠AOC＝45°．其中正确的结论有
△ △
（填写编号）．
5．（2024·河南新乡·模拟预测）阅读下列材料，完成相应的任务．
婆罗摩笈多定理：如图，四边形 内接于 ，对角线 ，垂足为M，如果直线 ，垂
足为E，并且交边AD于点F，那么 ．证明：∵ ， ，∴ ， ．∴ ．
又∵ ① ，（同弧所对的圆周角相等）
，∴ ．∴ ② ．…
任务：(1)材料中①处缺少的条件为______，②处缺少的条件为______；
(2)根据材料，应用婆罗摩笈多定理解决下面试题：
如图，已知 中， ， ， 分别交 于点D，E，连接 交
于点P．过点P作 ，分别交 于点M，N．若 ，求 的长．
6．（2024·湖北·一模）问题背景：数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题：如图（1），在
中， ， ，求 边上的中线 的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，作 关于点 中心对称的图形，其中点 的对应
点是点 ．请你帮助小明完成画图和后面的解答．
尝试运用：如图（2）， 是 的中线， ， ， ，试判断线段
与 的关系，并加以证明．迁移拓展：如图（3）， 是 的中线， ， ，直接用含 的代数式
写出 与 之间的面积关系．
7．（2023福建·模拟预测）求证：对角线互相垂直圆内接四边形，自对角线的交点向一边作垂线，其延长
线必平分对边．要求：（1）在给出的圆内接四边形作出PE⊥BC于点E，并延长EP与AD交于点F，不写
作法，保留作图痕迹（2）利用（1）中所作的图形写出已知、求证和证明过程．
8．（23-24九年级上·山西临汾·期末）阅读下列材料，完成相应的任务．
婆罗摩笈多（Brahmagup1a）是古印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运
算规则、二次方程等方面均有建树，特别是在研究一阶和二阶不定方程方面作出了巨大贡献．他曾经提出
了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“布拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下：
布拉美古塔定理：已知：如图1，四边形 内接于 ，对角线 ，垂足为 ，点 为 的
中点，连结 并延长，交 于点 ，则 ．
证明： ， ， ， （依据），
，…(1)上述证明过程中的依据是指______．(2)请补全上述证明过程．
(3)请利用布拉美古塔定理完成如下问题：如图2，三角形 内接于 ， ，点
是弧 的中点， ，请直接写出线段 的长度．
9．（23-24九年级上·山西长治·期末）阅读与思考
阅读下列材料，完成相应的任务．
婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古印度著名的数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算数运
算法则、二次方程等方面均有建树，特别在研究一阶和二阶不定方程方面作出了巨大贡献，他曾提出了
“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“布拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下．
婆罗摩笈多定理：如图，已知四边形 内接于 ，对角线 ， ， 相交于点M，如果
直线 ，垂足为E，并且交边 于点F，那么 ．
证明： ， ， ． ．
又 _______， ， ．…
任务：(1)材料中横线部分缺少的条件为_______________．(2)补全后面的证明过程．10．（2024·江西·模拟预测）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和
负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把对角线
互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”．
(1)若平行四边形ABCD是“婆氏四边形”，则四边形ABCD是______．（填序号）①矩形；②菱形；③正
方形．(2)如图1，四边形ABCD为 的内接四边形，连接AC，BD，OA，OB，OC，OD，已知
．求证：四边形ABCD是“婆氏四边形”．
(3)如图2，在 中， ，以AB为弦的 交AC于点D，交BC于点E，连接DE，AE，
BD， ， ，若四边形ABED是“婆氏四边形”，求DE的长．
11．（23-24九年级上·河南新乡·期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．
（1）如图1，在 ABC中，∠BAC＝90°， ＝k，直线l经过点A，BD⊥直线I，CE上直线l，垂足分别
为D、E．求证： ＝k．
（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1）中的条件做以下修改：在 ABC中， ＝k，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为
任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在 ABC中，沿
ABC的边AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG， ＝ ＝ ，AH是BC边上的高，延长HA交EG
于点I．①求证：I是EG的中点．②直接写出线段BC与AI之间的数量关系： ．
12．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）【方法回顾】如图1，在 中，D，E分别是边 的中点，
小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长 到点F，使
，连接 ，证明 ，再证四边形 是平行四边形即得证．
（1）上述证明过程中：
①证明 的依据是（ ）
A． B． C． D．
②证明四边形 是平行四边形的依据是______；
【类比迁移】（2）如图2， 是 的中线， 交 于点E，交 于点F，且 ，求证：
．小明发现可以类比材料中的思路进行证明．
证明：如图2，延长 至点G，使 ，连接 ，…请根据小明的思路完成证明过程；
【理解运用】（3）如图3，四边形 与四边形 均为正方形，连接 、 ，点P是 的中点，
连接 ．请判断线段 与 的数量关系及位置关系，并说明理由：
（4）如图4，四边形 是一片草坪， 、 是等腰直角三角形， ，
为锐角，已知 m， 的面积为 ．计划修建一条经过点A的笔直小路 ，其中
点G在 边上， 的延长线经过 中点F．若小路每米造价500元，则修建小路的总造价为______元．13．（2024·重庆·校考一模）我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）
得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B'C'，当a+β＝180°时，我们称△AB'C'是△ABC的
“旋补三角形”，△AB'C边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”．(1)[特例感知]在图2，图3中，△AB'C′是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．
①如图2，当△ABC为等边三角形，且BC＝6时，则AD长为 ．
②如图3，当∠BAC＝90°，且BC＝7时，则AD长为 ．
(2)[猜想论证]在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．（如果你没
有找到证明思路，可以考虑延长AD或延长B'A，…）
(3)[拓展应用]如图4，在四边形ABCD中，∠BCD＝150°，AB＝12，CD＝6，以CD为边在四边形ABCD内
部作等边△PCD，连接AP，BP．若△PAD是△PBC的“旋补三角形”，请直接写出△PBC的“旋补中
线”长及四边形ABCD的边AD长．
14．（2024·广东·校考一模）情境观察：将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如
图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A′)、B在同一条直线
上，如图2所示．观察图2可知：与BC相等的线段是 ▲ ，∠CAC′= ▲ °．
问题探究：如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC
外作等腰Rt ABE和等腰Rt ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q. 试探究EP与FQ之
间的数量关系△，并证明你的结△论.拓展延伸：如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形
ACNF，射线GA交EF于点H. 若AB= k AE，AC= k AF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.
15．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）综合与实践：数学实践课堂上，张老师从一道基础题入手，通过不断
变化题目，引导学生们发现解决此类问题的图形中的基本图形，进而通过构造基本图形，解决问题．
(1)基础题：如图1， 于点B， 于点D，P是 上一点， ．
①若 ，则 与 的关系为 ．②若 ，且 ，则 ．
(2)构造应用①如图2，点E是正方形 边 上一点， 与 交于点G，连
接 ，请直接写出 °．
②如图3，沿 的边 向外作矩形 和矩形 ， ，连接 是
边上的高，延长 交 于点K，求证：K是 中点，并直接写出 与 的数量关系： ．
(3)综合应用：如图4，在矩形 中， ，点E是边 上的动点（点E不与点A、D重
合），连接 ，过点E作 ，交 于点F，连接 ，过点B作 ，垂足为G，点M是
边的中点．请直接写出当 值最小时 的值为： ．
16．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）综合与实践
【问题情境】我们定义：如图（a），在 中，把 绕点 顺时针旋转 得到 ，把
绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ．当 时，我们称 是 的“旋补三角形”， 的边 上的中线 叫做 的“旋补中线”，点 叫做“旋补中心”．
【特例感知】（1）在图（b）和图（c）中， 是 的“旋补三角形”， 是 的“旋补
中线”．
①如图（b），当 为等边三角形时， 与 的数量关系为 __________ ；
②如图（c），当 ， 时，则 长为__________．
【猜想论证】（2）如图（a），当 为任意三角形时，猜想 与 的数量关系，并给予证明．
【拓展应用】（3）如图（d），在四边形 中， ， ， ， ，
．在四边形内部是否存在点 ，使 是 的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求出
的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．
17．（2024·山西太原·三模）请阅读下面的材料，并解答问题．
婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就，他编著了《婆
罗摩修正体系》《肯达克迪迦》，婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，其中有著名
的婆罗摩笈多定理．婆罗摩笈多定理：圆的内接四边形 的对角线 与 垂直相交于M，过点M
的直线与边 分别相交于点F、E．则有下两个结论：
如果 ，那么 ；如果 ，那么 ．
数学课上，赵老师带领大家对该定理的第一条进行了探究．
证明： ， ，即 ， ， ，
在 中， ， ……
请解答以下问题：(1)请完成所给材料的证明过程；(2)请证明结论（2）；
(3)应用：如图圆O中，半径为4，A，B，C，D为圆上的点， ，连接 交于点
F，过点F作 于E，延长 交 于G，则 的长度为______．18．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图1，等腰 和等腰 中， ，
， ，点 、 、 、 在一条直线上．当点 和点 重合时，等腰 静止
不动，等腰 从 出发，沿线段 方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当 点与 点重合时，
停止运动．设运动时间为 秒 ．1）请填空：当 、12、14秒时， 的长度分别为 、 、
；
2）在等腰 的运动过程中，设等腰 和等腰 重叠部分的面积为 ，请直接写出 与
的函数关系式和相应的自变量 的取值范围；
3）如图2，当 点与 点重合时，将等腰 绕点 顺时针转 角（ ），连接 、
，过点 作 ，延长 ．①求证： ；②若 ，求 的长度．
