专题4.2一次函数与最值问题（强化）（解析版）_北师大初中数学_8上-北师大版初中数学_旧版_06专项讲练

专题 4.2 一次函数与最值问题 【例题精讲】 【例1】如图，直线 与 轴， 轴分别交于点 和点 ， ， 分别为线段 ， 的中点， 为 上一动点，当 的值最小时，点 的坐标为 A． B． C． D． 【解答】解：作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，此时 值最 小，最小值为 ，如图． 令 中 ，则 ， 点 的坐标为 ； 令 中 ，则 ，解得： ，点 的坐标为 ． 点 、 分别为线段 、 的中点， 点 ，点 ． 点 和点 关于 轴对称， 点 的坐标为 ． 设直线 的解析式为 ， 直线 过点 ， ， ，解得 ， 直线 的解析式为 ． 令 ，则 ，解得： ， 点 的坐标为 ． 故选： ． 【例2】如图，在平面直角坐标系中， 、 ，动点 在直线 上，动点 在 轴上，则 的最小值为 ．【解答】解：作 点关于 轴的对称点 ，作 于 ，连接 交 轴于点 ， 此时 ， 点 的坐标为 ． ． 由直线 可知 ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． ． 故答案为： ．【例3】如图，直线 过点 ，与 轴交于点 ， 的平分线交 轴于 点 ，过点 作直线 的垂线，交 轴于点 ，垂足是点 ． （1）求点 和点 的坐标； （2）求直线 的函数关系式； （3）设点 是 轴上一动点，当 的值最小时，请直接写出点 的坐标． 【解答】解：（1）把点 代入 ，得 ， ， ， ，， 在 中， ， ． 平分 ， ， ， ， ， ， ， ， ． 设 ，则 ， 在 中， 由勾股定理知， ， ， 解得， ， ； （2） ， ， ， ， ， ，， 的坐标 ， ， 设直线 的函数关系式为 ， ，解得： ， 直线 的函数关系式为 ； （3）作点 关于 轴对称的点 ，连接 交 轴于点 ，即为所求的点 ，此时， 的值最小，过点 作 于 ， ， ， ， ， ， ， 直线 的函数关系式为 ，， ， ， ， 设 的解析式为 ， ，解得： ， 的解析式为 ， 当 时， ， 点 的坐标为 ． 【题组训练】 3．在平面直角坐标系中， 点坐标为 ，在 轴上有一动点 ，直线 上有一动 点 ，则 的周长的最小值 A． B． C．10 D．40 【解答】解：作点 关于 轴的对称点 ，作点 关于直线 的对称点 ， 连接 交直线 于点 ，交 轴于点 ， 如图，由轴对称可得 ， ， 的周长的最小值为 ， 故选： ． 5．如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 和点 ，点 和点 分别是线段 ， 的中点，点 为线段 上的一动点，则 值最小时点 的坐标是 A． B． C． D． 【解答】解：作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，此时 值最 小，如图所示 当 时， ， 点 的坐标为 ；当 时， ， 解得： ， 点 的坐标为 ． 又 点 和点 分别是线段 ， 的中点， 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， 点 的坐标为 ． 设直线 的函数解析式为 ， 将 ， 代入 得： ， 解得： ， 直线 的函数解析式为 ． 当 时， ， 解得： ， 点 的坐标为 ． 故选： ．6．如图，直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点， 、 分别为线段 、 的中点， 为 上一动点，当 的值最小时，点 的坐标为 A． ， B． C． ， D． 【解答】解：作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，此时 值最 小，如图． 令 中 ，则 ， 点 的坐标为 ； 令 中 ，则 ，解得： ，点 的坐标为 ． 点 、 分别为线段 、 的中点， 点 ，点 ． 点 和点 关于 轴对称， 点 的坐标为 ． 设直线 的解析式为 ， 直线 过点 ， ， ，解得： ， 直线 的解析式为 ． 令 ，则 ，解得： ， 点 的坐标为 ， ． 故选： ． 7．如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 和点 ，点 、 分别为线段 、 的中点，点 为 上一动点， 值最小时点 的坐标为A． B． C． D． ， 【解答】解：作 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于 ，此时 的值最小， ， 当 时， ， 当 时， ， 所以 的坐标是 ， 点的坐标是 ， 即 ， ， 为 的中点， 为 的中点， 点的坐标是 ， 点的坐标是 ， 点 的坐标是 ， 设直线 的解析式是 ， 把 、 的坐标代入得： ， 解得： ， ，即 ， 当 时， ， 解得： ， 即点 的坐标是 ， ， 故选： ． 8．如图，在平面直角坐标系中，线段 所在直线的解析式为 ， 是 的 中点， 是 上一动点，则 的最小值是 A． B． C． D． 【解答】解：作点 关于 的对称点 ，连接 交 于 ， 此时， 的值最小，最小值为 的长， 线段 所在直线的解析式为 ， ， ， ， ，是 的中点， ， 点 关于 的对称点 ， ， ， ， 四边形 是正方形， ， 的最小值是 ． 故选： ． 9．如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 和点 ，点 为线段 的中点，点 、 分别为线段 、 上的动点， 的值最小值为 ． 【解答】解：作点 关于 轴的对称点 ，过点 作 于点 ，则此时 值最小， 最小的最小值为 ，如图． 令 中 ，则 ， 点 的坐标为 ；令 中 ，则 ，解得： ， 点 的坐标为 ． ， ， 为等腰直角三角形， ， 点 分别为线段 的中点， 点 ． 点 和点 关于 轴对称， 点 的坐标为 ， ， ， 的最小值为 ， 故答案为： ． 10．如图，在平面直角坐标系 中，点 在 轴的正半轴上，点 在 轴的正半轴上，， ． （1）求直线 的解析式； （2）若点 是直线 上的动点，当 时，求点 的坐标； （3）若点 是线段 的中点，点 ，求 的最小值． 【解答】解：（1）设直线 的解析式为 ， 点 在 轴的正半轴上，点 在 轴的正半轴上， ， ． ， ， ， 解得 ， 直线 的解析式为 ； （2）设 的坐标为 ． ， 则 ，， ， ， 解得 或12， 所以点 的坐标是 或 ； （3）如图，由已知可得点 在直线 上， 令 ，则 ． 直线 经过点 ． 令 ，则 ， 直线与 轴的交点 ． ． 为等腰直角三角形． ． 作点 关于直线 的对称点 ，连结 ， 则 ， ， ．， ， ， 当点 、 、 三点共线时， ，此时 的值最小． 点 是 的中点， ， ， 过点 作 ，垂足为 ，由 ． ， ． ． 的最小值是 ． 11．在平面直角坐标系中，直线 经过点 和点 ．点 的横坐标为 ，点 为 线段 的中点． （1）求直线 的解析式； （2）如图1，若点 为线段 上的一个动点，当 的值最小时，求出点 坐标； （3）在（2）的条件下，点 在线段 上，当 时，求点 的横坐标．【解答】解：（1）设直线 解析式为 ，将 ， 代入得： ， 解得 ， 直线 解析式为 ； （2）作 关于 轴的对称点 ，连接 交线段 于 ，如图： ，点 为线段 的中点， ， 关于 轴的对称点 ，， ， ， 而 、 、 共线， 此时 最小，即 最小， 在 中，令 得 ， ， ， 设直线 解析式为 ，将 、 ， 代入得： ， 解得 ， 直线 解析式为 ， 在 中，令 得 ， ． （3）设 ， ， 又 ， ， ， ， ， 当 时，如图：， 解得 ， 此时 横坐标为1． 12．综合与探究 如图，正方形 的边长为2，点 为坐标原点，边 ， 分别在 轴， 轴上，点 是 的中点，点 是线段 上一点，如果将 沿直线 对折，使点 的对应 点 恰好落在 所在的直线上． （1）若点 是正方形 的顶点，即当点 在点 时，点 的位置是点 ， 所在的直线是 ；当点 在点 时，点 的位置是点 ， 所在直线的函 数解析式是 ． （2）若点 不是正方形 的顶点，用你所学的数学知识求 所在直线的函数解析 式． （3）在（2）的情况下， 轴上是否存在一点 ，使 的周长有最小值？若存在，请 求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）：由轴对称的性质可得，若点 是端点，即当点 在 点时， 点 的位置关系是点 ， 所在的直线是 轴； 当点 在 点时， ， 点的位置关系是点 ， 所在的直线表达式是 ． 故答案为： ； 轴； ； ． （2）如图，连接 ． 正方形 的边长为2，点 是 的中点， ， ． 根据勾股定理，得 ．由折叠的性质可知， ， ． ． 根据勾股定理，得 ． 设点 ，则 ， ， ， ． 根据勾股定理，得 ， 即 ， 解得 ， 点 的坐标为 ， ， 经过原点， 设 所在直线的函数解析式为 ． 将 ， 代入， 得 ， 解得 ． 所在直线的函数解析式是 ． （3）存在．若使 的周长有最小值，即 最小． 点 关于 轴的对称点 ， 设直线 的函数解析式为 ．将点 ，点 ， ， 得 ， 解得 ， 直线 的函数解析式为 ， 当 时， ， 点 的坐标为 ， ． 13．如图，在平面直角坐标系内，直线 分别交 轴、 轴于点 ， ，直线 与直线 交于点 ， 为 轴上一动点． （1）点 坐标 ，点 坐标 ； （2）求点 的坐标； （3）当 的值最小时，求此时点 的坐标，并求出这个最小值． 【解答】解：（1）在 中，当 时， ，当 时， ， ， ，故答案为： ， ； （2）联立直线 ， 的表达式，得 ，解得 ． 所以点 的坐标为 ； （3）作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，此时 最小， 如图： 设直线 的表达式为 把 ， 代入得， ，解得 ， 所以直线 的表达式为 ． 当 时， 所以点 的坐标为 ， 此时 ． 过点 作 轴于点 ． 点 的坐标为 ， ， ， ， 所以 ．所以当 的值最小时，点 的坐标为 ，这个最小值为 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与 轴， 轴分别交于 ， 两点，与正比例函数 的图象交于点 ，点 的横坐标为4． （1）求 的值； （2）当 时，请根据图象直接写出 的取值范围； （3）若有动点 ，当 取最小值时，求 的值． 【解答】解：（1）在 中，令 得 ， ， 把 代入 得： ， ， 答： 的值是6； （2）由图象可得：当 时， 的取值范围是 ； （3）作 关于直线 的对称点 ，如图：、 关于直线 对称， ， ， ， 在线段 上时， 最小，即 最小， 由（1）知 ， ， 设直线 为 ，将 代入得： ，解得 ， 直线 为 ， 将 代入 得： ， 解得 ， 答： 的值是 ． 16．定义：对于平面直角坐标系 中的点 和直线 ，我们称点 是直线 的反关联点，直线 是点 的反关联直线．特别地，当 时，直线 的反关联点为 ．已知点 ， ， ． （1）点 的反关联直线的解析式为 ，直线 的反关联点的坐标为 ； （2）设直线 的反关联点为点 ． ①若点 在直线 上，则 的最小值为 ； ②若点 在点 的反关联直线上，且 ，求点 的坐标． 【解答】解：（1） ， 点 的反关联直线的解析式为： ， ， ， 直线 的解析式为 ， 直线 的反关联点的坐标为 ， 故答案为： ， ． （2）由（1）可知， ． ①如图，作点 关于直线 的对称点 ，连接 交 于 ，连接 ，此时 的值最小，， ， 的最小值 ． 故答案为： ． ②设 ． 由题意： ， 解得 ， ， 或 ， ． 17．如图， 、 轴于点 ， 轴于点 ， 为 的中点，直线交 轴于点 ． （1）求直线 的函数关系式； （2）过点 作 且交 轴于点 ，求证： ； （3）点 是直线 上的一个动点，求得 的最小值为 （请直接写出答 案）． 【解答】解：（1） ， 轴， 轴， ，四边形 是正方形， ， 设直线 解析式为 ， ， 解得 ， ； （2） 是 的中点， ， 四边形 是正方形，， 在 和 中， ， ， ， ， ， 垂直平分 ， ， ， ； （3）连接 交直线 于点 ， 垂直平分 ， 点 与点 关于直线 对称， ， ， 的最小值为 的长， ， ， ，的最小值为 ． 18．如图1，在平面直角坐标系 中，已知平行四边形 的顶点 为坐标原点，顶 点 在 轴的正半轴上， 、 在第一象限内，且 ， ， ． （1）顶点 的坐标为 ，顶点 的坐标为 ； （2）设对角线 、 交于点 ，在 轴上有一点 ， 轴上有一长为1个单位 长度的可以左右平移的线段 ，点 在点 的左侧，连接 、 ，求 的最小值； （3）如图2，若直线 过点 ，且把平行四边形 的面积分成 的 两部分，请直接写出直线 的函数解析式． 【解答】解：（1）延长 交 轴于点 ，在平行四边形 中， ， ， ， ， ， ， ， ， 顶点 的坐标为 ，顶点 的坐标为 ， 故答案为： ， ； （2）将点 向右平移1个单位长度得点 ，连接 交 轴于点 ， ， 又由平移性质可得 ， 四边形 是平行四边形， ，当点 ， ， 三点共线时， 有最小值， 此时 ， 四边形 是平行四边形， 是 的中点， ， ， ， ， ， 的最小值为 ； （3）设直线 分别交 轴于点 ，交直线 于点 ， 直线 过点 ， ， 在 中， 当 时， ，当 时， ， ， ， ， ， ， ， ， ①当 时， ， 解得： ， 直线 的函数解析式为： ， ②当 时， ， 解得： ， 直线 的函数解析式为： ， 综上，直线 的函数解析式为： 或 ． 19．如图，直线 与 轴， 轴分别交于点 ， ，直线 与 直线 相交于点 ， ． （1）求直线 和 的解析式； （2）求 的面积； （3）点 为 轴上的一动点，连接 ， ．当 的值最小时，则点 的坐标是 ． 【解答】解：（1） ， 代入 得： ，解得 ， 直线 的解析式为： ， ， 代入 得： ， ， ， ， 代入 得： ，解得 ， 直线 的解析式为： ； （2） ， ， 而 ， ，的面积 ； （3）作 关于 轴的对称点 ，连接 ，交 轴于 ，连接 ，如图： 关于 轴的对称点 ， ， 的值最小即是 的值最小， 此时 、 、 共线，即 与 重合， ， 关于 轴的对称点 ， ， 而 ， ， 设 解析式为 ，则 ， 解得： ， 解析式为 ， 令 得 ，，即 的值最小时，则点 的坐标是 ， 故答案为： ． 20．已知一次函数 的图象过 ， 两点，且与 轴交于 点． （1）求此一次函数的解析式； （2）求 的面积； （3）已知点 在 轴上，若使 的值最小，求点 的坐标及 的最小值． 【解答】解：（1）把 ， 代入一次函数解析式， 得： ，解得： ， 则此一次函数的解析式为 ； （2）对于一次函数 ， 令 ，得到 ， ，； （3）如图，作 点关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，则 的值最小． ， ． 设直线 的解析式为 ． 则 ，解得 ， 直线 的解析式为 ， 当 时， ，解得 ， 点 的坐标为 ， ， 的最小值为 ．