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专题 4.2 一次函数与最值问题
【例题精讲】
【例1】如图，直线 与 轴， 轴分别交于点 和点 ， ， 分别为线段 ，
的中点， 为 上一动点，当 的值最小时，点 的坐标为
A． B． C． D．
【例2】如图，在平面直角坐标系中， 、 ，动点 在直线 上，动点
在 轴上，则 的最小值为 ．【例3】如图，直线 过点 ，与 轴交于点 ， 的平分线交 轴
于点 ，过点 作直线 的垂线，交 轴于点 ，垂足是点 ．
（1）求点 和点 的坐标；
（2）求直线 的函数关系式；
（3）设点 是 轴上一动点，当 的值最小时，请直接写出点 的坐标．
【题组训练】
3．在平面直角坐标系中， 点坐标为 ，在 轴上有一动点 ，直线 上有一动
点 ，则 的周长的最小值
A． B． C．10 D．40
5．如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 和点 ，点 和点 分别是线段
， 的中点，点 为线段 上的一动点，则 值最小时点 的坐标是A． B． C． D．6．如图，直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点， 、 分别为线段 、
的中点， 为 上一动点，当 的值最小时，点 的坐标为
A． ， B． C． ， D．
7．如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 和点 ，点 、 分别为线段 、
的中点，点 为 上一动点， 值最小时点 的坐标为
A． B． C． D． ，
8．如图，在平面直角坐标系中，线段 所在直线的解析式为 ， 是 的中
点， 是 上一动点，则 的最小值是A． B． C． D．
9．如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 和点 ，点 为线段 的中点，点 、
分别为线段 、 上的动点， 的值最小值为 ．10．如图，在平面直角坐标系 中，点 在 轴的正半轴上，点 在 轴的正半轴上，
， ．
（1）求直线 的解析式；
（2）若点 是直线 上的动点，当 时，求点 的坐标；
（3）若点 是线段 的中点，点 ，求 的最小值．11．在平面直角坐标系中，直线 经过点 和点 ．点 的横坐标为 ，点 为
线段 的中点．
（1）求直线 的解析式；
（2）如图1，若点 为线段 上的一个动点，当 的值最小时，求出点 坐标；
（3）在（2）的条件下，点 在线段 上，当 时，求点 的横坐标．12．综合与探究
如图，正方形 的边长为2，点 为坐标原点，边 ， 分别在 轴， 轴上，点
是 的中点，点 是线段 上一点，如果将 沿直线 对折，使点 的对应点
恰好落在 所在的直线上．
（1）若点 是正方形 的顶点，即当点 在点 时，点 的位置是点 ，
所在的直线是 ；当点 在点 时，点 的位置是点 ， 所在直
线的函数解析式是 ．
（2）若点 不是正方形 的顶点，用你所学的数学知识求 所在直线的函数解析式．
（3）在（2）的情况下， 轴上是否存在一点 ，使 的周长有最小值？若存在，请
求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，在平面直角坐标系内，直线 分别交 轴、 轴于点 ， ，直线
与直线 交于点 ， 为 轴上一动点．
（1）点 坐标 ，点 坐标 ；
（2）求点 的坐标；
（3）当 的值最小时，求此时点 的坐标，并求出这个最小值．14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与 轴， 轴分别交于 ，
两点，与正比例函数 的图象交于点 ，点 的横坐标为4．
（1）求 的值；
（2）当 时，请根据图象直接写出 的取值范围；
（3）若有动点 ，当 取最小值时，求 的值．16．定义：对于平面直角坐标系 中的点 和直线 ，我们称点 是直线
的反关联点，直线 是点 的反关联直线．特别地，当 时，直线
的反关联点为 ．已知点 ， ， ．
（1）点 的反关联直线的解析式为 ，直线 的反关联点的坐标为 ；
（2）设直线 的反关联点为点 ．
①若点 在直线 上，则 的最小值为 ；
②若点 在点 的反关联直线上，且 ，求点 的坐标．17．如图， 、 轴于点 ， 轴于点 ， 为 的中点，直线
交 轴于点 ．
（1）求直线 的函数关系式；
（2）过点 作 且交 轴于点 ，求证： ；
（3）点 是直线 上的一个动点，求得 的最小值为 （请直接写出答
案）．18．如图1，在平面直角坐标系 中，已知平行四边形 的顶点 为坐标原点，顶
点 在 轴的正半轴上， 、 在第一象限内，且 ， ， ．
（1）顶点 的坐标为 ，顶点 的坐标为 ；
（2）设对角线 、 交于点 ，在 轴上有一点 ， 轴上有一长为1个单位长
度的可以左右平移的线段 ，点 在点 的左侧，连接 、 ，求 的最
小值；
（3）如图2，若直线 过点 ，且把平行四边形 的面积分成 的
两部分，请直接写出直线 的函数解析式．19．如图，直线 与 轴， 轴分别交于点 ， ，直线
与直线 相交于点 ， ．
（1）求直线 和 的解析式；
（2）求 的面积；
（3）点 为 轴上的一动点，连接 ， ．当 的值最小时，则点 的坐标
是 ．20．已知一次函数 的图象过 ， 两点，且与 轴交于 点．
（1）求此一次函数的解析式；
（2）求 的面积；
（3）已知点 在 轴上，若使 的值最小，求点 的坐标及 的最小值．
