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专题4.25 一次函数知识点精选题专题训练2
一、填空题
知识点十三、一次函数中整体思想求值
1．点 在函数 的图象上，则代数式 的值等于________．
2．点P（a，b）在函数 的图象上，则代数式 的值等于_________．
3．若点 在一次函数 的图象上，则代数式 的值为_______．
知识点十四、由一次函数增减性求最值
4．已知一次函数 ，当 时， 的最大值是______．
5．已知关于 的一次函数 ，当 时， 的最大值为 ，则 的
值为___．
6．已知一次函数 ，当 时，y的最小值等于_____．
7．已知函数 ，当 时，y有最大值6，则 ________．
知识点十五、数形结合求最值
8．已知直线y＝ x+2与函数y＝ 的 图象交于A，B两点（点A在点B的左
边）．
（1）点A的坐标是_____；
（2）已知O是坐标原点，现把两个函数图象水平向右平移m个单位，点A，B平移后的对
应点分别为A′，B′，连结OA′，OB′．当m＝_____时，|OA'﹣OB'|取最大值．
9．已知一次函数y＝kx+3﹣2k，当k变化时，原点到一次函数y＝kx+（3﹣2k）的图象的最
大距离为_____．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C是y轴
上一个动点，且点A，B，C三点不在同一条直线上，当 的周长最小时，点C的坐标
是_______．11．（1）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（ ，1），（1，2），将
线段AB平移，若平移后A的对应点为C（ ， ），则B的对应点D的坐标为________；
（2）已知非负数 ， 满足条件 ，若 ，则 的最大值与最小值的和为
____________．
12．在如图所示的平面直角坐标系中，点 是直线 上的动点， ，B(2，0)是
轴上的两点，则 的最小值为______．
13．如图，在平面直角坐标系中，A(0，1)，B(3， )，P为x轴上一动点，则PA＋PB最
小时点P的坐标为________．
14．如图，已知点C（﹣2，0），一次函数y＝x＋6的图象与x轴，y轴分别交于A，B两
点，E，F分别是线段OB，AB上的动点，当CE＋EF的值最小时，点F的坐标为___．知识点十六、一次函数应用求（利润）最值
15．在“抗疫”期间，某药店计划一次购进 两种型号的口罩共200盒，每盒A型口罩
的销售利润为7.5元，每盒B型口罩的销售利润为10元，若要求B型口罩的进货量不超过
A型口罩的3倍，且完全售出后利润不少于1870元，则该药店在此次进货中获得的最大利
润是________元．
16．某店家进一批应季时装共400件，要在六周内卖完，每件时装成本500元．前两周每
件按1000元标价出售，每周只卖出20件．为了将时装尽快销售完，店家进行了一次调查
并得出每周时装销售数量与时装价格折扣的关系如下：
价格折扣 原价 9折 8折 7折 6折 5折
每周销售数量（单位：
20 25 40 90 100 150
件）
为盈利最大，店家选择将时装打________折销售，后四周最多盈利_________元．
17．我市认真落实国家“精准扶贫”政策，计划在对口帮扶的贫困县种植甲、乙两种火龙
果共100亩，根据市场调查，甲、乙两种火龙果每亩的种植成本分别为0.9万元、1.1万元，
每亩的销售额分别为2万元、2.5万元，如果要求种植成本不少于98万元，但不超过100
万元，且所有火龙果能全部售出，则该县在此项目中获得的最大利润是_____万元．（利润
＝销售额﹣种植成本）
知识点十七、一次函数与几何折叠问题
18．如图，直线 与 轴， 轴分别交于 两点，把 沿着直线 翻折
后得到 ，则点 的坐标是 ___________ .19．如图，一次函数 的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是x轴正半轴
上的一个动点，连接BP，将△OBP沿BP翻折，点O恰好落在AB上，则点P的坐标为
______．
20．如图，直线 与x轴、y轴分别相交于点A，B，点C在y轴上，将 沿
AC折叠，点O恰好落在直线AB上，则点C的坐标为_________．
21．在平面直角坐标系中，已知直线y x＋3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在
线段OB上，把△ABC沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，则点C的坐标是_____．
22．如图所示，直线 分别与 ， 轴交于 ， 两点， 为线段 上一点，连
接 ，将 沿 翻折，点 的对应点 恰好落在 轴上，则点 的坐标为______．知识点十八、一次函数与几何图形求取值范围
23．如图，直角坐标系中，点 是 轴正半轴上的一个动点，过点 作 轴的平行线，
分别与直线 、直线 交于 两点以 为边向右侧作正方形 ．当点
在正方形 内部时， 的取值范围是_______________．
24．如图，在平面直角坐标系中，正方形 的边长为1， 轴，点 的坐标为
，若直线 与正方形的边（包括顶点）有交点，则 的取值范围是
_____________．
25．如图，在平面直角坐标系中，点M是直线y=﹣x上的动点，过点M作MN⊥x轴，交
直线y=x于点N，当MN≤8时，设点M的横坐标为m，则m的取值范围为_______．知识点十九、一次函数增减性问题
26．在一次函数y=（2﹣k）x+1中，y随x的增大而增大，则k的取值范围为___．
27．已知 是直线 上的相异两点，若 ，
则m的取值范围是_______．
28．定义：对于函数y＝f（x），如果当a≤x≤b时，m≤y≤n，且满足n﹣m＝k（b﹣a）（k
是常数），那么称此函数为“k级函数”．如：正比例函数y＝﹣3x，当1≤x≤3时，﹣9≤y≤
﹣3，则﹣3﹣（﹣9）＝k（3﹣1），求得k＝3，所以函数y＝﹣3x为“3级函数”．如果
一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5）为“k级函数”，那么k的值是_____．
29．若 ，且 ，则 的取值范围为______．
30．一次函数y=（2a-3）x+a+2（a为常数）的图像，在-1≤x≤1的一段都在x轴上方，则a
的取值范围是________
知识点二十、一次函数图象与坐标轴的交点问题
31．如图，点 在直线 上，直线与 轴的交点为 ，那么 的面积为
____.
32．如图，把直线y＝﹣2x向上平移后，分别交y轴、x轴于A、B两点，直线AB经过点
（m，n）且2m+n＝6，则点O到线段AB的距离为_____．知识点二十一、一次函数一次方程
33．如图，已知一次函数 的图象为直线，则关于x的方程 的解
______．
34．直线 过点 ，则方程 的解是______．
35．一次函数 （k，b为常数， )的图象如图所示，根据图象信息可得到关于x
的方程 的解为__________.
36．若一次函数 的图象如图所示，那么关于 的方程 的解是______．
知识点二十二、一次函数一次方程组
37．在教学活动中我们知道，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，如图，已知直线y＝ax﹣6过点P（﹣4，﹣2），则关于x、y的方程组 的解是__．
38．如图，一次函数 与正比例函数 的图象交于点P（－2，－1），则关于
的方程 的解是_________．
39．一次函数 的图象上一部分点的坐标见下表：
0 1 2 3
2 5
正比例函数的关系式为 ，则方程组 的解为 ________．
40．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于
点P，根据图象可知，方程x+5＝ax+b的解是_________．
41．如图，一次函数y＝kx＋b的图象经过A（1，2），B（0，1）两点，与x轴交于点C，
则△AOC的面积为____．知识点二十三、一次函数的大小比较
42．点 和点 在直线 上，则m与n的大小关系是_________．
43．已知一次函数 的图象上有两点， ， ，且 ，则
与 的大小关系是________．
44．若点 与点 都在一次函数 的图象上，则 ________ .
（填“＞”、“＜”或“＝”）
45．如图，直线y=-x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为-2．则下列结论：①m＜0，
n＞0；②直线y=nx+4n一定经过点（-4，0）；③m与n满足m=2n-2；④当x＞-2时，
nx+4n＞-x+m，其中正确结论的个数是____个．
知识点二十三、一次函数图象与x轴夹角
46．如图，直线y=﹣ x+3与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C，线段OA上
的点Q以每秒1个长度单位的速度从点O出发向点A作匀速运动，运动时间为t秒，连接
CQ．若△OQC是等腰直角三角形，则t的值为_____．47．如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点 ，且与x轴的夹角为 ，则直线l
与坐标轴所围成的三角形的周长是_________．
48．如图，点 的坐标为 ，过点 作 轴的垂线交过原点与 轴夹角为 的直线 于
点 ，以原点 为圆心， 的长为半径画弧交 轴正半轴于点 ；再过点 作 轴的垂
线交直线 于点 ，以原点 为圆心，以 的长为半径画弧交 轴正半轴于点 ……按
此做法进行下去，则点 的坐标是_____．
49．如图，已知边长为1的正方形OABC在直角坐标系中，B、C两点在第二象限内，OA
与 轴的夹角为60°，则点B的坐标为 ________ ．知识点二十三、一次函数图象与几何问题
50．如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P在x
轴上运动，则 PC＋PB的最小值为___．
51．如图所示，直线y＝x+4与两坐标轴分别交于A，B两点，点C是OB的中点，D，E分
别是直线AB和y轴上的动点，则 CDE周长的最小值是____________．
52．如图，把 放在平面直角坐标系内，其中 ， ，点 ， 的
坐标分别为 ， ，将 沿 轴向右平移，当点 落在直线 上时，线
段 扫过的面积为______ ．53．如图，正方形 的顶点 、 分别在坐标轴的正半轴上，点 是第一象限内直线
上的一点，则点 的坐标为______．
54．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的
一个动点，当 最大时，点C的坐标是________．
55．如图，直线y＝﹣2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，射线AP⊥AB于点A若点C
是射线AP上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角线与
△AOB全等，则OD的长为_________________．56．如图，直线AB的解析式为y= x+4，与y轴交于点A，与x轴交于点B，点P为线段
AB上的一个动点，作PE⊥y轴于点E，PF⊥x轴于点F，连接EF，则线段EF的最小值为
_____．
57．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（﹣2，
6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为
________．
知识点二十四、一次函数与行程问题
58．“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一
场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（x表示乌龟从起点出发所行的时间，
y 表示乌龟所行的路程，y 表示兔子所行的路程）．有下列说法：
1 2①“龟兔再次赛跑”的路程为1000米；
②兔子和乌龟同时从起点出发；
③乌龟在途中休息了10分钟；
④兔子在途中750米处追上乌龟．
其中正确的说法是_____．（把你认为正确说法的序号都填上）
59．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步600米，先到终点的人原
地休息.已知甲先出发2秒.在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t
（秒）之间的关系如图所示，则b=_____.
60．星期天，小明上午8：00从家里出发，骑车到图书馆去借书，再骑车回到家．他离家
的距离y（千米）与时间t（分钟）的关系如图所示，则上午8：45小明离家的距离是__千
米．
知识点二十五、一次函数与不等式
61．已知一次函数 的图象如图所示，则关于x的不等式 的解集为
__________．62．如图，一次函数 与一次函数 的图像相交于点 ，则关于 的不等式
的解集为______．
63．如图，直线l 的解析式为y＝kx＋b，与y轴交于点A（0，6），直线l 的解析式为y＝
2 1
2x，两直线相交于点P（m，4）．
（1）m的值是____；
（2）直线l 的解析式为____；
2
（3）不等式2x＜kx＋b的解集是____．
64．一次函数 与 的图象如图所示，则 的解集为______．65．某公司新产品上市 天全部售完，图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关
系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是
__________元．
参考答案
1．5
【分析】把P(a，b)代入函数 ，得到 ，则 ，将 改
写为 ，再将 整体代入求值即可．
解：∵点P(a，b)在函数 的图象上
∴ ，即 ．
∵ ，
∴ ．
故答案为：5．【点拨】本题考查一次函数图象上点的坐标特征以及代数式求值，掌握一次函数图象上点
的坐标满足其解析式是解题的关键．
2．2021.
【分析】把点P的坐标代入一次函数解析式，得出 ，将 代入 中
计算即可．
解：∵点P（a，b）在函数 的图象上，
∴ ，
∴
故答案为：2021．
【点拨】本题主要考查了一次函数的图像性质，结合代数式求值是解题的关键．
3．4
【分析】将 代入 ，得到 ，再计算平方，利用完全平方公式得
到 ，由此整理解题即可
解：将 代入 得 ，
两边同时平方可得 ，即 ，
，
代数式
故答案为：4．
【点拨】本题考查一次函数、代数式的值等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识
是解题关键．
4．5
【分析】根据一次函数的增减性确定．
解：∵一次函数 中，k= -2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵ ，
∴当x=-1时，函数y有最大值，此时y=2+3=5，
故答案为：5．
【点拨】本题考查了一次函数的增减性，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
5．
【分析】分 和 两种情况讨论，根据一次函数点的性质即可列式解答；
解：当2m-3＞0时，即 时，y随x的增大而增大，当x=5时， 的最大值为
，解得：m= ＜ 不合题意；
当2m-3＜0时，即 时，y随x的增大而减小，当x=0时， 的最大值为
，解得：m= ＜ ；
∴ 的值为 ；
【点拨】本题考查了一次函数的最值，利用函数的增减性得出函数的最值，分类讨论是解
题关键．
6．-3
【分析】根据一次函数的性质即可得答案．
解：∵一次函数 中， ＞0，
∴y随x的增大而增大，
∵ ，
∴当x=-3时，y有最小值，最小值为 =-3，
故答案为：-3
【点拨】本题考查一次函数的性质，对于一次函数y=kx+b（k≠0），当k＞0时，图象过一、
三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象过二、四象限，y随x的增大而减小；熟练
掌握一次函数的性质是解题关键．
7． 或
【分析】分类讨论：分k为正和k为负两种情况．当k为正时，y随x的增大而增大，此时
函数在x=4处取得最大值，从而可求得k的值；当k为负时，y随x的增大而减小，此时函数在x=-2处取得最大值，从而可求得k的值．
解：（1）当k为正时，y随x的增大而增大，此时函数在x=4处取得最大值，即4k+1=6
解得：k= ；
（2）当k为负时，y随x的增大而减小，此时函数在x=-2处取得最大值，即−2k+1=6
解得：k=
故答案为： 或
【点拨】本题考查了一次函数的增减性质，关键要对k的取值进行分类讨论．
8．（ ）； 6．
【分析】（1）分别求解如下两个方程组 ， ，再根据已知条件即可
得答案；
（2）当O、A′、B′三点共线时，|OA'﹣OB'|取最大值．即直线 平移后过原点即可，
平移的距离为m，平移后的直线为 把原点坐标代入计算即可．
解：（1）联立 ，解得 ，则交点坐标为（ ），
联立 ，解得 ，则交点坐标为（ ），
又点A在点B的左边，所以A（ ），
故答案为：（ ）；
（2）当O、A′、B′三点共线时，|OA'﹣OB'|取最大值．
即直线 平移后过原点即可，平移的距离为m，平移后的直线为 ，
则 ，
解得 ，
当m＝6时，|OA'﹣OB'|取最大值．
故答案为：6．
【点拨】本题考查一次函数与分段函数综合问题，会识别分段函数与一次函数的交点在哪
一分支上，会利用平移解决最大距离问题是解题关．
9． ．
【分析】根据题意可知，一次函数图像过定点A，求出A的坐标，当原点到直线y=kx+3-2k
的距离为OA时，原点到直线y=kx+3-2k的距离为最大，根据A的坐标求出OA即可．
解：一次函数y＝（x﹣2）k+3中，令x＝2，则y＝2k+3-2k=3，
∴一次函数图像过定点A(2，3)，
∴当OA垂直于直线y=kx+3-2k时
此时原点到直线y=kx+3-2k的距离最大
∴OA= = 为最大距离．
故答案为
【点拨】本题考查一次函数图像和坐标的性质以及求点到直线的距离．正确找出一次函数
过恒定点A(2，3)是解题关键．
10．（0，5）
【分析】作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点C，此时CA+CB最小，由点A
的坐标可得出点A′的坐标，由点A′，B的坐标，利用待定系数法可求出直线A′B的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标．
解：作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点C，此时CA+CB最小，如图所示．
∵点A的坐标为（2，7），
∴点A′的坐标为（-2，7）．
设直线A′B的解析式为y=kx+b（k≠0），
将A′（-2，7），B（5，0）代入y=kx+b，得： ，
解得： ，
∴直线A′B的解析式为y=-x+5．
当x=0时，y=-1×0+5=5，
∴点C的坐标为（0，5）．
故答案为：（0，5）．
【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴
对称-最短路线问题，利用三角形的三边关系（或两点之间线段最短），确定点C的位置是
解题的关键．
11．(0，1) 0
【分析】(1)根据A（ ，1）移动后变成C（ ， ）可知A向左平移1个单位，向下平
移1个单位，由此可求出点D的坐标；
(2)由 可得 ，进而得到 ，且 ，将
看成是 的一次函数，利用一次函数的性质求解即可．
解：(1)由题意可知：A（-1，1）移动后变成C（-2，0）可知A向左平移1个单位，向下平
移1个单位，且B点平移规律与A点一样，
∴D点坐标(0，1)，故答案为：(0，1)；
(2) 由 可得 ，且 ， 为非负数，
∴ ，
∴ ，
此时可以将 看成是 的一次函数，且2>0，
故 随着 的增大而增大，
∴ =10时， 有最大值为2×10-10=10，
当 =0时， 有最小值为2×0-10=-10，
故 的最大值与最小值的和为：10+(-10)=0,
故答案为：0．
【点拨】本题考查了图形的平移规律和一次函数的增减性求最值问题，注意：图形上的所
有点的平移方式是一样的，一次函数中当k>0时，y随x的增大而增大，当k<0时，y随x
的增大而减小．
12．
【分析】根据直线y=x的性质作点A关于直线y=x的对称点交y轴于点C，连接BC交直线
y=x于一点即是点P，此时 的值最小，利用勾股定理求出BC即可.
解：如图，直线y=x是第一三象限的角平分线，
作点A关于直线y=x的对称点交y轴于点C，连接BC交直线y=x于一点即是点P，此时
的值最小，即是线段BC，
∵点A（1,0），
∴点C（0,1），即OC=1，
∵B（2,0），
∴OB=2，
∴PA+PB=BC= ,
故答案为： .【点拨】此题考查一次函数的性质，对称点的坐标，最短路径问题，勾股定理，正确确定
出P点的位置是解题的关键．
13．（2，0）
【分析】先作出点A关于x轴对称的点A′（0，-1），再连接A′B交x轴于点P，利用待定
系数法求出直线A′B的解析式，进而可得点P坐标．
解：先作出点A关于x轴对称的点A′（0，-1），再连接A′B交x轴于点P，则点P即为所
求．
由题中条件设直线A′B的解析式为y=kx+b，可得
，
解得 ，
即直线A′B的解析式为y= x-1，
当y=0时，与x轴的交点坐标（2，0）．
故答案为（2，0）．
14．（-2，4）
【分析】如图，作点C关于OB的对称点C′（2，0），过点C′作C′F⊥AB交OB于E，则FC′＝FE+CE的最小值，根据直线AB的解析式为y＝x+6，得到∠BAO=45°，可得C′OE是
等腰直角三角形，求出点E坐标，求出FC′解析式，联立方程组即可．
解：作点C关于OB的对称点C′（2，0），过点C′作C′F⊥AB交OB于E，则FC′＝FE+CE
的最小值，
一次函数y＝x＋6的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，
则A点坐标为（-6，0），B点坐标为（0，6），
∴OB=OA=6，
∴∠BAO=45°，
∴∠E C′O=45°，
∴OE=OC′=2，
设FC′的解析式为y＝kx+b，把（2，0）和（0,2）代入得，
，解得， ，
FC′的解析式为y＝-x+2，和y＝x＋6联立方程组得，
，解得 ，
点F的坐标为（-2，4）．
故答案为：（-2，4）
【点拨】本题考查了最短路径和一次函数的交点问题 ，解题关键是利用轴对称和垂线段最
短确定点的位置，利用一次函数解析式求出点的坐标．
15．1875
【分析】设A型口罩购买m盒，则B型口罩购买（200-m）盒，根据“B型口罩的进货量不
超过A型口罩的3倍，且完全售出后利润不少于1870元”，即可得出关于m的一元一次不
等式组，解之即可得出m的取值范围，设销售总利润为w元，根据总利润=每盒利润×销售数量（购买数量），即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最
值问题．
解：A型口罩购买m盒，则B型口罩购买（200-m）盒，
依题意，得：
，
解得：50≤m≤52．
设销售总利润为w元，则w=7.5m+10(200-m)=-2.5m+2000，
∵k=-2.5＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=50时，w取得最大值，
∴购买A型口罩50盒，B型口罩150盒时，完全售出后获得的利润最大，最大值为w=-2.5
+2000=1875(元)．
故答案为：1875．
【点拨】本题考查了一元一次不等式组的应用以及一次函数的性质，解题的关键是根据各
数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组和一次函数关系式．
16．七 72000
【分析】根据题意，分析出折扣应该在8折以下，然后列出折扣与利润的一次函数表达式，
利用一次函数的性质即可得出结论．
解：设后四周的利润为w，折扣为x，
由题意，前两周已售出40件，
∴剩余360件应在余下4周内售完，
由表格分析可知，折扣在8折及以下时，无法满足尽快售完的条件，
∴要满足条件应该选择8折以上的折扣，
∴ ，
其中， ，
∵ ，
∴w随x的增大而增大，
∴当 时，w取最大值，此时 ，
∴当折扣为7折时，后四周利润最大，最大利润为72000元，故答案为：7；72000．
【点拨】本题考查一次函数的实际应用问题，准确建立一次函数解析式并分析出自变量的
取值范围是解题关键．
17．125
【分析】设甲种火龙果种植 亩，乙钟火龙果种植 亩，此项目获得利润 ，根据
题意列出不等式求出 的范围，然后根据题意列出 与 的函数关系即可求出答案．
解：设甲种火龙果种植 亩，乙钟火龙果种植 亩，此项目获得利润 ，
甲、乙两种火龙果每亩利润为1.1万元，1.4万元，
由题意可知： ，
解得： ，
此项目获得利润 ，
∵
∴ 随 的增大而减小，
∴当 时，
的最大值为 万元，
故答案为：125．
【点拨】本题考查一元一次不等式和一次函数，熟悉相关性质是解题的关键．
18．( ，3)
解：
如图，过点O'作O'C⊥OA，垂足为C.
∵点A是直线与x轴的交点，
又∵当y=0时， ，
∴ ，
∴点A的坐标为( , 0)，∴OA= .
∵点B是直线与y轴的交点，
又∵当x=0时， ，
∴点B的坐标为(0, 2)，
∴OB=2.
∴在Rt△AOB中， .
∵在Rt△AOB中，AB=4，OB=2，即 ，
∴∠OAB=30°.
∵△AOB沿直线AB翻折得到△AO'B，
∴△AOB≌△AO'B，
∴∠O'AB=∠OAB=30°，O'A=OA= .
∴∠OAO'=∠OAB+∠O'AB=60°，即∠CAO'=60°，
∴在Rt△O'CA中，∠AO'C=90°-∠CAO'=90°-60°=30°，
∴在Rt△O'CA中， ， ，
∴OC=OA-AC= - = .
∵OC= ，O'C=3，
∴点O'的坐标为( , 3).
故本题应填写：( , 3).
点睛：
本题综合考查了一次函数和轴对称的相关知识. 在本题中，含30°角的直角三角形是解题的
关键. 由轴对称而引入的全等三角形是解决本题的重要条件. 在求解点的坐标的相关题目中，
作垂直于坐标轴的线段是常用的辅助线作法. 求解点的坐标常常与求解这些垂直于坐标轴
的线段密切相关，要注意这种解题的思路.19．( ，0)
【分析】过P作PC⊥AB于C，设OP=x，由一次函数解析式求出点A、B坐标，进而求得
OA、OB、AB，由折叠性质得PC=OP=x，BC=OB，在Rt△APC中，由勾股定理即可求解．
解：过P作PC⊥AB于C，设OP=x，
当x=0时，y=8，
当y=0时，由 得：x=6，
∴OA=6，OB=8，
∴AB= ，
由折叠性质得：PC=OP=x，BC=OB=8，
∴AP=6﹣x，AC=AB﹣BC=10﹣8=2，
在Rt△APC中，由勾股定理得：
，
解得：x= ，
∴点P的坐标为（ ，0），
故答案为：（ ，0）．
【点拨】本题考查了翻折变换、一次函数图象与x轴的交点问题、勾股定理、解一元一次
方程，解答的关键是掌握翻折的性质，运用勾股定理列出方程解决问题．20．. 或
【分析】分当C在线段OB上和当C在射线BO上两种情况，利用勾股定理求解即可．
解：如图所示，当C在线段OB上时，D为三角形AOC沿AC翻折O落到AB上的对应点，
由翻折的性质可得CD=OC，∠BDC=∠ADC=∠AOB=90°，AO=AD，
∵直线 与x轴、y轴分别相交于点A，B，
∴A（3，0），B（0，4），
∴OB=4，OA=AD=3，
∴ ，
∴ ，
设OC=CD=x，则BC=4-x，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴C（0， ）
如图所示，当C在射线BO上时，设OC=CD=x，则BC=4+x，BD=5+3=8，
同理可以得到 ，
∴ ，
解得 ，∴C（0，-6），
故答案为：（0， ）或（0，-6）．
【点拨】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点，翻折的性质，勾股定理，解题的关键
在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
21．(0， )
【分析】设C的坐标为（0，a），过C作CD⊥AB于D，先求出A，B的坐标，分别为
（4，0），（0，3），得到AB的长，再根据折叠的性质得到AC平分∠OAB，得到
CD=CO=a，DA=OA=4，则DB=5-4=1，BC=3-a，在Rt△BCD中，利用勾股定理得到a的
方程，解方程求出a即可．
解：由题意可设C的坐标为（0，a），
过C作CD⊥AB于D，如图，
对于直线y x＋3，
当x=0，得y=3，当y=0，x=4，
∴A（4，0），B（0，3），即OA=4，OB=3，
∴AB=5，
又∵坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，
∴AC平分∠OAB，
∴CD=CO=a，则BC=3-a，
∴DA=OA=4，
∴DB=5-4=1，
在Rt△BCD中，DC2+BD2=BC2，
∴a2+12=（3-a）2，解得a= ，
∴点C的坐标为（0， ），
故答案为：（0， ）．
【点拨】本题考查了求直线与坐标轴交点的坐标的方法：分别令x=0或y=0，求对应的y
或x的值；也考查了折叠的性质和勾股定理，得出A，B坐标是解题关键．
22．
【分析】先求出直线 与坐标轴的交点坐标，得到OB和OA的长，再利用勾股
定理求出AB的长，设 ，利用折叠的性质和勾股定理，在 中列式求出x的
值，得到C点坐标．
解：令 ，则 ，
∴ ，
令 ，则 ，解得 ，
∴ ，∴ ， ，
根据勾股定理， ，
∵折叠，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，即 ，解得 ，
∴ ．
故答案是： ．
【点拨】本题考查一次函数，解题的关键是利用数形结合的思想，先求出一次函数图象与
坐标轴的交点坐标，再根据折叠的性质结合勾股定理的方程思想列式求值．
23．
【分析】根据题意得 ， ，继而解得 ，此时点C的
横坐标为 ，由点 在正方形ABCD内部，可得 ，且 ，据此解得 的取值范
围即可．
解： 当AB//y轴，点 是 轴正半轴上的一个动点，
， ，
点C的横坐标为 ，
点 在正方形ABCD内部，，且
解得 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查一次函数、解一元一次不等式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解
题关键．
24．
【分析】根据正方形的性质求得A、C的坐标，分别代入y=kx中，即可求得k的取值，根
据取值范围即可判断．
解：∵正方形ABCD的边长为1，点A（1，1），．
∴B（2，1），D（1，2），
当直线y=kx经过点D时，则2=k-1，k=3
当直线y=kx经过点B时，则1=2k-1，解得k=1，
∴若直线y=kx-1与正方形ABCD的边有交点，则k取值为：1≤k≤3，
故答案为：1≤k≤3．
【点拨】此题考查一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象和系数的关系，正方形的
性质，解题关键是求出点A、C的坐标，掌握正方形的性质．
25．﹣4≤m≤4
【分析】此题涉及的知识点是根据平面直角坐标系建立不等式，先确定出M，N的坐标，
进而得出MN=|2m|，即可建立不等式，解不等式即可得出结论.
解：∵点M在直线y=﹣x上，
∴M（m，﹣m），
∵MN⊥x轴，且点N在直线y=x上，
∴N（m，m），
∴MN=|﹣m﹣m|=|2m|，
∵MN≤8，
∴|2m|≤8，
∴﹣4≤m≤4，
故答案为﹣4≤m≤4．
【点拨】此题重点考查学生对于平面直角坐标系的性质，根据平面直角坐标系建立不等式，熟练掌握不等式计算方法是解题的关键．
26．k＜2．
解：∵在一次函数y=（2﹣k）x+1中，y随x的增大而增大，
∴2﹣k＞0，解得k＜2．
故答案为：k＜2．
【点拨】本题考查一次函数图象与系数的关系．
27．m＜1
【分析】由（x-x）（y-y）＜0可得出y随x的增大而减小，利用一次函数的性质可得出
1 2 1 2
m-1＜0，解之即可得出m的取值范围．
解：∵（x-x）（y-y）＜0，
1 2 1 2
∴y随x的增大而减小，
∴m-1＜0，
∴m＜1．
故答案为：m＜1．
【点拨】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的
增大而减小”是解题的关键．
28．2
【分析】先根据一次函数的性质求出对应的y的取值范围，再根据k级函数的定义解答即
可．
解：∵一次函数y＝2x﹣1，1≤x≤5，
∴1≤y≤9，
∵一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5）为“k级函数”，
∴9－1=k（5－1），解得：k＝2；
故答案为：2．
【点拨】本题是新定义试题，主要考查了对“k级函数”的理解和一次函数的性质，正确
理解“k级函数”的概念、熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
29．
【分析】根据 可得y＝﹣2x+1，k＝﹣2＜0进而得出，当y＝0时，x取得最大值，
当y＝1时，x取得最小值，将y＝0和y＝1代入解析式，可得答案．解：根据 可得y＝﹣2x+1，
∴k＝﹣2＜0
∵ ，
∴当y＝0时，x取得最大值，且最大值为 ，
当y＝1时，x取得最小值，且最小值为0，
∴
故答案为： ．
【点拨】此题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
30． ＜a＜5或 ＜a＜
【分析】根据一次函数y=（2a-3）x+a+2的图象在-1≤x≤1的一段都在x轴的上方，由一次
函数的性质，则有2a-3≠0，再分2a-3＞0和2a-3＜0来讨论，解得即可．
解：因为y=（2a-3）x+a+2是一次函数，
所以2a-3≠0，a≠ ，
当2a-3＞0时，y随x的增大而增大，由x=-1得：y=-a+5，
根据函数的图象在x轴的上方，则有-a+5＞0，
解得： ＜a＜5．
当2a-3＜0时，y随x的增大而减小，由x=1得：y=3a-1，根据函数的图象在x轴的上方，
则有：3a-1＞0，解得： ＜a＜ ．
故答案为： ＜a＜5或 ＜a＜ ．
【点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式，属于基础题，转化为解不等式的问题是
解决本题的关键．
31．4
【解析】
【分析】根据直线y=-2x+4的解析式首先求出B的坐标，然后求出OB的长，再利用A的
坐标可以求出△AOB的面积．解：∵y=−2x-4，
∴当x=0时，y=-4，
∴B(0,-4)，
∴OB=4，
而A(a,2)，
∴S△ = ×OB×2=4
【点拨】本题考查一次函数，熟练掌握计算法则是解题关键.
32．
【解析】
【分析】平移时k的值不变，只有b发生变化．再把相应的点代入即可求得直线AB的解析
式，结合勾股定理求得AB的长度，然后利用等面积法求得h的值．
解：如图，设点O到线段AB的距离为h，
原直线y＝﹣2x中的k＝﹣2，向上平移后得到了新直线，那么新直线的k＝﹣2．
∵直线AB经过点（m，n），且2m+n＝6．
∴直线AB经过点（m，6﹣2m）．
可设新直线的解析式为y＝﹣2x+b，
1
把点（m，6﹣2m）代到y＝﹣2x+b 中，可得b＝6，
1 1
∴直线AB的解析式是y＝﹣2x+6．
∴A（0，6），B（3，0）．
∴OA＝6，OB＝3．
∴AB＝ ＝3 ．
∴ ×3 h＝ ×6×3，
∴h＝ ．
故答案是： ．【点拨】本题考查一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数解析式，勾股定理及面
积法求线段的长，注意在求直线平移后的解析式时要注意平移k值不变．
33．4．
解：根据图象可得，一次函数y=ax+b的图象经过（4，1）点，
因此关于x的方程ax+b=1的解x=4．
故答案是4．
【点拨】本题考查一次函数与一元一次方程，利用数形结合思想解题是关键．
34．
【分析】所求方程的解，即为函数y＝ax＋b图象与x轴交点横坐标，确定出解即可．
解：方程ax＋b＝0的解，即为函数y＝ax＋b图象与x轴交点的横坐标，
∵直线y＝ax＋b过B（−3，0），
∴方程ax＋b＝0的解是x＝−3，
故答案为： ．
【点拨】此题考查了一次函数与一元一次方程，任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0
（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0
时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax＋b确定它与x轴的交点的
横坐标的值．
35．x＝3
【分析】直接根据图象找到y＝kx＋b＝4的自变量的值即可．
解：观察图象知道一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）的图象经过点（3，4），
所以关于x的方程kx＋b＝4的解为x＝3，
故答案为：x＝3．
【点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式，能结合图象确定方程的解是解答本题的
关键．
36．【分析】根据一次函数y=kx+b与x轴的交点坐标即为对应方程的解.
解：∵一次函数y=kx+b与x的交点坐标是（2，0），
∴关于x的方程kx+b=0的解是：x=2.
故答案为2.
【点拨】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，理解一次函数y=kx+b与x轴的
交点坐标即为对应方程的解是解答本题的关键.
37．
【分析】先判断点 在直线 上，则点 为直线 与 的交
点，根据一次函数与二元一次方程组的关系即可得到关于 、 的方程组 的解．
解： 时， ，
点 在直线 上，
方程组 的解为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是使方程组中两个
方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，
因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
38．
【分析】根据一次函数y＝ax+b和正比例y＝kx的图象可知，点P就是一次函数y＝ax+b和
正比例y＝kx的交点，即方程 的解．
解：根据题意可知，方程 的解就是一次函数y＝ax+b和正比例y＝kx的图象的交
点P的横坐标，由一次函数y＝ax+b和正比例y＝kx的图象，得方程 的解是．
故答案为： ．
【点拨】此题很简单，解答此题的关键是熟知方程组的解与一次函数y＝ax+b和正比例y＝
kx的图象交点P之间的联系，考查了学生对题意的理解能力．
39．2
【分析】根据函数图象上的坐标，可以求出 和 的值，然后把 、 的值代入方程组即可
求得 的值．
解：点 ， 是函数图象上的点，
∴ ，
把 代入方程，可得： ，
∴ ，把②代入①得： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了根据函数图象与坐标求 、 的值，熟练掌握一次函数与二元一次
方程组的关系是解题关键．
40．x＝20
【分析】根据一次函数图象的交点即为两直线解析式所组成的方程组的解，即可得出答案．
解：根据图象可知两直线的交点坐标为 ，
∴方程 的解是 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查一次函数与一元一次方程的关系．掌握该一元次一方程的解即为两直线
交点的横坐标是解答本题的关键．
41．1
【分析】根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出直线AB的解析式，代入y＝0求出
与之对应的x值，进而可得出点C的坐标及OC的长，再利用三角形的面积公式即可求出
△AOC的面积．
解：将A（1，2），B（0，1）代入y＝kx＋b，得： ，解得： ，
∴直线AB的解析式为y＝x＋1．
当y＝0时，x＋1＝0，解得：x＝−1，
∴点C的坐标为（−1，0），OC＝1，
∴S ＝ OC•y ＝ ×1×2＝1．
△AOC A
故答案为：1．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三
角形的面积，根据点A，B的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式是解题的关键．
42．m＜n
【分析】先根据直线的解析式判断出函数的增减性，再根据两点的横坐标大小即可得出结
论．
解：∵直线 中，k=2＞0，
∴此函数y随着x的增大而增大，
∵ ＜2，
∴m＜n．
故答案为：m＜n．
【点拨】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的增减性是解答此题
的关键．
43．
【分析】由 ，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合 ，可求出
．
解： ，
随 的增大而减小，
又 ，
．故答案为： ．
【点拨】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的
增大而减小”是解题的关键．
44．>
【解析】
【分析】根据一次函数的性质可知， 的变化趋势是y随着x的增大而增大，
从而可判断答案．
解：∵
∴ 的变化趋势是y随着x的增大而增大，
∵3>2
∴y＞y，
1 2
故答案为＞．
【点拨】本题考查一次函数图象上点的特征，解题的关键是正确理解一次函数的变化趋势．
45．4
【分析】①由直线y＝−x＋m与y轴交于负半轴，可得m＜0；y＝nx＋4n（n≠0）的图象从
左往右逐渐上升，可得n＞0，即可判断结论①正确；
②将x＝−4代入y＝nx＋4n，求出y＝0，即可判断结论②正确；
③代入交点坐标整理即可判断结论③正确；
④观察函数图象，可知当x＞−2时，直线y＝nx＋4n在直线y＝−x＋m的上方，即nx＋4n
＞−x＋m，即可判断结论④正确．
解：①∵直线y＝−x＋m与y轴交于负半轴，∴m＜0；
∵y＝nx＋4n（n≠0）的图象从左往右逐渐上升，∴n＞0，
故结论①正确；
②将x＝−4代入y＝nx＋4n，得y＝−4n＋4n＝0，
∴直线y＝nx＋4n一定经过点（−4，0）．
故结论②正确；
③∵直线y＝−x＋m与y＝nx＋4n（n≠0）的交点的横坐标为−2，
∴当x＝−2时，y＝2＋m＝−2n＋4n，
∴m＝2n−2．故结论③正确；
④∵当x＞−2时，直线y＝nx＋4n在直线y＝−x＋m的上方，
∴当x＞−2时，nx＋4n＞−x＋m，
故结论④正确．
故答案为：4．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数与一元一次不等式以及一次
函数的图象，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
46．2或4
【分析】先求出点C坐标，然后分为两种情况，画出图形，根据等腰三角形的性质求出即
可.
解：∵由 ，得 ，
∴C（2，2）；
如图1，当∠CQO=90°，CQ=OQ，
∵C（2，2），
∴OQ=CQ=2，
∴t=2；
如图2，当∠OCQ=90°，OC=CQ，
过C作CM⊥OA于M，
∵C（2，2），
∴CM=OM=2，
∴QM=OM=2，
∴t=2+2=4，
即t的值为2或4，
故答案为2或4.【点拨】本题考查了一次函数与二元一次方程组、等腰直角三角形等知识，综合性比较强，
熟练掌握相关知识、运用分类讨论以及数形结合思想是解题的关键.
47．4+4
【分析】先求得A点坐标，解直角三角形求得OB和AB，进而即可求得直线l与坐标轴所
围成的三角形的周长．
解：过点C作CD⊥OA于点D，
∵直线经过点（1， ），且与x轴的夹角为30°，
∴CD= ，OD=1，
∴AD= CD= ，
∴OA=OD +AD=4，
∴点A的坐标为(4，0)，
∴OB= ，
∴AB=2OB= ，∴直线l与坐标轴所围成的三角形的周长=4+ + =4+4 ，
故答案为：4+4 ．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解直角三角形等，求得线段的长度是
解题的关键．
48．
【分析】先根据一次函数方程式求出B 点的坐标，再根据B 点的坐标求出A 点的坐标，
1 1 2
得出B 的坐标，以此类推总结规律便可求出点B 的坐标．
2 2019
解：∵过点A 作x轴的垂线交过原点与x轴夹角为 的直线l于点B ，OA =2，
1 1 1
∴∠B OA =60 ，∴∠OB A=30
1 1 1 1
∴OB = OA =4，B A=
1 1 1 1
∴B （2， ）
1
∴直线y＝ x，
以原O为圆心，OB 长为半径画弧x轴于点A，则OA ＝OB ，
1 2 2 1
∵OA＝4，
2
∴点A 的坐标为（4，0），
2
∴B 的坐标为（4，4 ），即（22，22× ），
2
OA =
3
∴点A 的坐标为（8，0），B （8，8 ），
3 3
……，
以此类推便可得出点A 的坐标为（2 ，0），点B 的坐标为 ；
2019 2019 2019
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了点的坐标规律、一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理等知识；
由题意得出规律是解题的关键．49．
【分析】如图，作BF⊥y轴于F，根据30度角所对直角边等于斜边的一半和勾股定理求出
AD，OD，BF，DF即可解决问题．
解：如图，作BF⊥y轴于F，
∵OA与x轴的夹角为60°，
∴∠AOD=90°-60°=30°，
∴OD=2AD，OA=1，
∴AD2+12=（2AD）2，
∴AD= ，
∴OD=2AD= ，
∴BD=AB-AD=1- ，
在Rt△BDF中，∠DBF=∠AOD=30°，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵点B在第二象限，
∴点B的坐标为（ ， ）．
故答案为：（ ， ）．
【点拨】本题考查正方形的性质，坐标与图形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键
是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
50．4
解：思路引领：过P作PD⊥AB于D，依据△AOB是等腰直角三角形，可得∠BAO＝
∠ABO＝45°＝∠BPD，进而得到△BDP是等腰直角三角形，故PD PB，当C，P，D
在同一直线上时，CD⊥AB，PC+PD的最小值等于垂线段CD的长，求得CD的长，即可得
出结论．
答案详解：如图所示，过P作PD⊥AB于D，
∵直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，
令x＝0，则y＝﹣3；令y＝0，则x＝3，
∴A（0，﹣3），B（3，0），
∴AO＝BO＝3，
又∵∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，
∴△BDP是等腰直角三角形，∴PD PB，
∴ PC+PB （PC PB） （PC+PD），
当C，P，D在同一直线上，即CD⊥AB时，PC+PD的值最小，最小值等于垂线段CD的
长，
此时，△ACD是等腰直角三角形，
又∵点C（0，1）在y轴上，
∴AC＝1+3＝4，
∴CD AC＝2 ，
即PC+PD的最小值为 ，
∴ PC+PB的最小值为 4，
故答案为：4．
51．
【分析】作点 关于 的对称点 ，关于 的对称点 ，连接 ， ，FB，FG，
由轴对称的性质，可得 ， ，故当点 ， ， ， 在同一直线上时，
的周长 ，此时 周长最小，依据勾股定理
即可得到 的长，进而得到 周长的最小值．
解：如图，作点 关于 的对称点 ，关于 的对称点 ，连接 ， ，FB，
FG，直线 与两坐标轴分别交于 、 两点，
∴令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝－4，
， ，
∴ ，
又∵点 是 的中点，
∴ ，
∵点C与点G关于 对称，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
，
又∵点C与点F关于AB对称，
， ， ，
，
∵ ， ，
∴ 的周长 ，
当点 ， ， ， 在同一直线上时， 的周长最小，为FG的长，
∵在 中， ，
周长的最小值是 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，轴对称 最短问题，等腰直角三角形的
判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是利用轴对称的性质找到点 、点 位置，属于中考常考题型．
52．16
【分析】先根据勾股定理求出C点的坐标，得到C 的纵坐标为4，与直线 相交，
1
可得C 坐标，由此推出CC 距离，再求出四边形BCC B 的面积即可．
1 1 1 1
解：∵A（1，0），B（4，0）
∴AB=3
∵ ，∠CAB=90°，
∴
∴C（1，4），
∴C 的纵坐标为4，
1
∴把 代入 解得 ，
∴CC =4，
1
∴ ，
故答案为：16．
【点拨】考查勾股定理及平移的概念，熟练掌握平移口诀为本题的关键．
53．
【分析】根据正方形的性质可得点B的横纵坐标相等计算即可；
解：由题可知：点B在直线 上且点B是正方形ABCD的一个顶点，
设 ，∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ；
故答案是 ．
【点拨】本题主要考查了一次函数的性质、正方形的性质，准确计算是解题的关键．
54．（0，6）
【分析】由 推出当A、B、C三点共线时， 的值最大，求出直线
AB的解析式即可解决问题．
解：由题可知， ，
∴当A、B、C三点共线时， 的值最大，
设直线AB的解析式为 ，
将A(1，4)，B(3，0)代入得： ，
解得： ，
∴ ，
当 时， ，
∴当 的值最大时，点C坐标为(0，6)．
故答案为：(0，6)．
【点拨】本题考查了坐标与图形的性质，三角形的三边关系，一次函数的应用等知识，灵
活运用三角形的三边关系，熟练掌握一次函数解析式求法是解题的关键．
55．1+ 或3．
【分析】先求得OA＝1，OB＝2，根据勾股定理得到AB＝ ，①当∠ACD＝90°时，如图1，②当∠ADC＝90°时，如图2，根据全等三角形的性质即可得到结论．
解：在y＝﹣2x+2中，
当x＝0，则y＝2，当y＝0，则x＝1，
∴OA＝1，OB＝2，由勾股定理得AB＝ ，
①当∠ACD＝90°时，如图1，
∵△AOB≌△DCA，
∴AD＝AB＝ ，
∴OD＝1+ ；
②当∠ADC＝90°时，如图2，
∵AP⊥AB，
∴∠BAP＝∠AOB＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝∠CAD+∠BAO＝90°，
∴∠ABO＝∠CAD，
∵△AOB≌△CDA，
∴AD＝OB＝2，
∴OA+AD＝3，
综上所述：OD的长为1+ 或3．故答案为：1+ 或3．
【点拨】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，勾股定理的应用和全等三角形的性质
等知识，分类讨论，确定对应关系是解题关键．
56．
【解析】
【分析】在一次函数y= x+4中，分别令x=0， y=0，解相应方程，可求得A、B两点的
坐标，由矩形的性质可知EF=OP，可知当OP最小时，则EF有最小值，由垂线段最短可知
当OP⊥AB时，满足条件，根据直角三角形面积的不同表示方法可求得OP的长，即可求得
EF的最小值．
解：∵一次函数y= x+4中，令x=0，则y=4，令y=0，则x=-3，
∴A（0，4），B（-3，0），
∵PE⊥y轴于点E，PF⊥x轴于点F，
∴四边形PEOF是矩形，且EF=OP，
∵O为定点，P在线段上AB运动，
∴当OP⊥AB时，OP取得最小值，此时EF最小，
∵A（0，4），点B坐标为（-3，0），
∴OA=4，O B=3，
由勾股定理得：AB= =5，
∵AB·OP=AO·BO=2S ，
△OAB
∴OP= ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，勾股定理、矩形的判定与性质、最值
问题等，熟练掌握相关知识、确定出OP的最小值是解题的关键．
57．（2，2）
【分析】先用待定系数法求得直线AB的解析式，再求得点C的坐标，由此可得正方形的
边长，可求得点E和点D的坐标，再根据平移可得点E的对应点的纵坐标，进而求得点E的对应点的坐标，从而可求得答案．
解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵顶点A，B的坐标分别为（﹣2，6）和（7，0）．
∴ ，
∴ ，
∴y＝﹣ x+ ，
∵∠ACB＝90°，边BC在x轴上，
∴C点的坐标为（﹣2，0），
∴正方形OCDE的边长为2，
∴E（0，2），D（﹣2，2），
设点E沿x轴平移后落在AB边上的坐标为（a，2），
则点D沿x轴平移后的对应点的坐标为（a﹣2，2），
∵y＝﹣ x+ ，
∴2＝﹣ a+ ，
∴a＝4，
∴a﹣2＝2，
∴当点E落在AB边上时，点D的坐标为（2，2），
故答案为：（2，2）．
【点拨】本题考查了待定系数法求函数关系式，正方形的性质，坐标与图形性质，根据向
右平移可得对应点的纵坐标不变是解题的关键．
58．①③④解：根据图象可知：
龟兔再次赛跑的路程为1000米，故①正确；
兔子在乌龟跑了40分钟之后开始跑，故②错误；
乌龟在30～40分钟时的路程为0，故这10分钟乌龟没有跑在休息，故③正确；
y=20x﹣200（40≤x≤60），y=100x﹣4000（40≤x≤50），当y=y 时，兔子追上乌龟，
1 2 1 2
此时20x﹣200=100x﹣4000，解得：x=47.5，
y=y=750米，即兔子在途中750米处追上乌龟，故④正确，
1 2
综上可得①③④正确.
59．192
解：由函数图象可以分别求出甲的速度为8÷2=4米/秒，
乙的速度为600÷100=6米/秒，
∴乙追上甲的时间a=8÷（6-4）=4，
b表示乙出发后到达终点的最大距离，
因此可以得出b=600-4×102=192米．
故答案为：192.
【点拨】本题考查了行程问题的数量关系的运用，追击问题在实际生活中的运用，一次函
数的图象的性质的运用，解答时认真分析函数图象的意义是解答本题的关键．
60．1.5．
【分析】首先设当40≤t≤60时，距离y（千米）与时间t（分钟）的函数关系为y=kt+b，然
后再把（40，2）（60，0）代入可得关于k、b的方程组，解出k、b的值，进而可得函数
解析式，再把t=45代入即可．
解：设当40≤t≤60时，距离y（千米）与时间t（分钟）的函数关系为y=kt+b．
∵图象经过（40，2）（60，0），
∴ ，解得： ，
∴y与t的函数关系式为y=﹣ ，
当t=45时，y=﹣ ×45+6=1.5．
故答案为1.5．
【点拨】本题主要考查了一次函数的应用，关键是正确理解题意，掌握待定系数法求出函数解析式．
61．
【分析】将不等式 化为 ，可得此时一次函数图象位于直线 的上方，
即可求解．
解：∵ ，
∴ ，
∴此时一次函数图象位于直线 的上方，观察图象，可得此时 ，
∴关于x的不等式 的解集为 ．
故答案为：
【点拨】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，利用数形结合思想解答是解
题的关键．
62．
【分析】关于 的不等式 即为： ，观察函数图象即可解决．
解：由函数图象知，函数 的图象在函数 的图象上方时，有 ，
此时 ；
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，关键是从数与形两个方面理解一
次函数与一元一次不等式的关系．
63．2； y=-x＋6； x<2；
【分析】(1)把点P的坐标代入直线l 的解析式求出m的值，即可得解；
1
(2)根据点P、A的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式即可；
(3)根据l 的图象在l 的图像的上方解答即可．
2 1
解：(1) ∵点P在直线l：y=2x上，
1
∴4=2m，解得：m=2，
(2)将点A(0，6)和点P(2，4)代入l 的解析式为y＝kx＋b中得到： ，
2
解得：k=-1，b=6，
∴直线l 的解析式为 y=-x＋6，
2 ：
(3)∵2x＜kx＋b，
∴l 的图象在l 的图像的上方，
2 1由图像可知，不等式2x＜kx＋b的解集是：x<2．
【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一元一次不等式与一次函数的关系，
熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．
64．
【分析】结合函数图象，写出直线y=mx+n在直线y=-x+a的下方时所对应的自变量的范围
1 2
即可．
解：根据图象得，当x＜3时，y＜y，
1 2
所以mx+n＜-x+a的解集为x＜3．
故答案为：x＜3．
【点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数
y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直
线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
65．1800
【分析】从图1和图2中可知，当t=30时，日销售量达到最大，每件产品的销售利润也达
到最大，所以由日销售利润=销售量×每件产品销售利润即可求解．
解：由图1知，当天数t=30时，市场日销售量达到最大60件；
从图2知，当天数t=30时，每件产品销售利润达到最大30元，
所以当天数t=30时，市场的日销售利润最大，最大利润为60×30=1800元，
故答案为：1800
【点拨】本题考查一次函数的实际应用，也考查了学生的观察能力、理解能力和解决实际
问题的能力，仔细审题，利用数形结合法理解题目已知信息是解答的关键．
