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专题4.2 一次函数与正比例函数（能力提升）（解析版）
一、选择题。
1．（2022春•南关区校级月考）已知一次函数y＝kx+b，当0≤x≤2时，对应的函数值y的
取值范围是﹣2≤y≤4，则k的值为（ ）
A．3 B．﹣3
C．3或﹣3 D．k的值不确定
【答案】C。
【解答】解：当k＞0时，y随x的增大而增大，即一次函数为增函数，
∴当x＝0时，y＝﹣2，当x＝2时，y＝4，
代入一次函数解析式y＝kx+b得： 解得 k＝3；
当k＜0时，y随x的增大而减小，即一次函数为减函数，
∴当x＝0时，y＝4，当x＝2时，y＝﹣2，
代入一次函数解析式y＝kx+b得： ，
解得 k＝﹣3．
故选：C．
2．（2022春•勃利县期末）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的为（ ）
A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝﹣ D．y＝
【答案】C。
【解答】解；A、是正比例函数，故A错误；
B、是反比例函数，故错误；
C、是一次函数，故C正确；
D、是反比例函数，故D错误；
故选：C．
3．（2021春•南通期中）如图，一长为5m，宽为2m的长方形木板，现要在长边上截去长
为xm的一部分，则剩余木板的面积（空白部分）y（m2）与x（m）的函数关系式为
（0≤x＜5）（ ）A．y＝10﹣x B．y＝5x C．y＝2x D．y＝﹣2x+10
【答案】D。
【解答】解：由题意可得：y＝2（5﹣x）
＝10﹣2x．
故选：D．
4．（2021春•防城区月考）在①y＝﹣8x；②y＝﹣ ；③y＝ +1；④y＝﹣8x2+6；
⑤y＝﹣0.5x﹣1中，一次函数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B。
【解答】解：①y＝﹣8x属于一次函数；
②y＝﹣ 属于反比例函数；
③y＝ +1不属于一次函数；
④y＝﹣8x2+6属于二次函数；
⑤y＝﹣0.5x﹣1属于一次函数，
∴一次函数有2个，
故选：B．
5．（2022•市南区校级二模）若关于x的方程﹣2x+b＝0的解为x＝2，则直线y＝﹣2x+b一
定经过点（ ）
A．（2，0） B．（0，3） C．（4，0） D．（2，5）
【答案】A。
【解答】解：由方程的解可知：当x＝2时，﹣2x+b＝0，即当x＝2，y＝0，
∴直线y＝﹣2x+b的图象一定经过点（2，0），
故选：A．
6．（2022春•长葛市期末）如图，直线 y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可
知，关于x的方程x+5＝ax+b的解是（ ）A．x＝20 B．x＝25 C．x＝20或25 D．x＝﹣20
【答案】A。
【解答】解：∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25），
∴x+5＝ax+b的解是x＝20，
即方程x+5＝ax+b的解是x＝20，
故选：A．
7．（2021•蕉岭县模拟）在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+b（m，b均为常数）与正
比例函数 y＝nx（n 为常数）的图象如图所示，则关于 x 的方程 mx＝nx﹣b 的解为
（ ）
A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x＝1 D．x＝﹣1
【答案】A。
【解答】解：∵两条直线的交点坐标为（3，﹣1），
∴关于x的方程mx＝nx﹣b的解为x＝3，
故选：A．
8．（2021秋•霍邱县期中）在下列函数关系中：①y＝kx，②y＝ x，③y＝x2﹣（x﹣
1）x，④y＝x2+1，⑤y＝22﹣x，一定是一次函数的个数有（ ）
A．3个 B．2个 C．4个 D．5个
【答案】A。【解答】解：①y＝kx当k＝0时原式不是函数；
②y＝ x是一次函数；
③由于y＝x2﹣（x﹣1）x＝x，则y＝x2﹣（x﹣1）x是一次函数；
④y＝x2+1自变量次数不为1，故不是一次函数；
⑤y＝22﹣x是一次函数．
故选：A．
9．（2021春•普陀区校级期中）下列函数中，一次函数是（ ）
A． B．y＝﹣2x
C．y＝x2+2 D．y＝mx+n（m，n是常数）
【答案】B。
【解答】解：A． 右边不是整式，不是一次函数，不符合题意；
B．y＝﹣2x是一次函数，符合题意；
C．y＝x2+2中自变量的次数为2，不是一次函数，不符合题意；
D．y＝mx+n（m，n是常数）中m＝0时，不是一次函数，不符合题意；
故选：B．
10．（2021秋•碑林区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（2，4），B
（1，2），C（5，2），直线l经过点A，它将△ABC分成面积相等的两部分，则直线l
的表达式为（ ）
A．y＝﹣2x+6 B．y＝﹣2x+8 C．y＝2x+8 D．y＝﹣x+6
【答案】B。
【解答】解：∵直线l平分△ABC面积，
∴直线l经过BC中点，
∵B（1，2），C（5，2），∴BC中点坐标为（3，2），
设直线解析式为y＝kx+b，
将（2，4），（3，2）代入y＝kx+b得 ，
解得 ，
∴y＝﹣2x+8．
故选：B．
二、填空题。
11．（2022春•聊城期末）若正比例函数y＝kx（k≠0）经过点 ，则k＝
．
【答案】﹣ 。
【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）经过点（﹣1， ），
∴ ＝﹣k即k＝﹣ ，
∴该正比例函数的解析式为y＝﹣ x．
故答案为：﹣ ．
12．（2021春•新市区校级期末）同一平面直角坐标系中，一次函数y＝k x+b的图象与一
1
次函数y＝k x的图象如图所示，则关于x的方程k x+b＝k x的解为 x ＝﹣ 1 ．
2 1 2
【答案】x＝﹣1。
【解答】解：由函数图象，得两直线的交点坐标是（﹣1，﹣2），
所以，关于x的方程k x+b＝k x的解为x＝﹣1，
1 2
故答案为x＝﹣1．
13．（2021秋•柯桥区期末）新定义：[a，b]为一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”为[3，m﹣2]的一次函数是正比例函数，则点（1﹣m，
1+m）在第 二 象限．
【答案】二。
【解答】解：∵“关联数”为[3，m﹣2]的一次函数是正比例函数，
∴y＝3x+m﹣2是正比例函数，
∴m﹣2＝0，
解得：m＝2，
则1﹣m＝﹣1，1+m＝3，
故点（1﹣m，1+m）在第二象限．
故答案为：二．
14．（2021秋•济南期中）如图，直线y＝ax+b过点A（0，3）和点B（﹣2，0），则方程
ax+b＝0的解是 x ＝﹣ 2 ．
【答案】x＝﹣2。
【解答】解：∵直线y＝ax+b过点B（﹣2，0），
∴方程ax+b＝0的解是x＝﹣2，
故答案为x＝﹣2．
15．（2021秋•重庆期中）某音像社对外出租的光盘的收费方法是：每张光盘出租后的头
两天，每天收0.8元，以后每天收0.5元，那么一张光盘在出租后n天（n≥2）应收租金
（ 0. 5 n +0. 6 ） 元．
【答案】（0.5n+0.6）。
【解答】解：当租了n天（n≥2），则应收钱数：
0.8×2+（n﹣2）×0.5，
＝1.6+0.5n﹣1，
＝0.5n+0.6（元）．
答：共收租金（0.5n+0.6）元．
故答案为：（0.5n+0.6）．
16．（2021•永嘉县校级模拟）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（0， ），点B为x轴的正半轴上一动点，作直线AB，△ABO与△ABC关于直线AB对称，点D，E分
别为AO，AB的中点，连接DE并延长交BC所在直线于点F，连接CE，当∠CEF为直
角时，则直线AB的函数表达式为 y ＝ ．
【答案】y＝﹣ x+ 。
【解答】解：∵△ABO与△ABC关于直线AB对称，
∴∠ACB＝∠AOB＝90°，
∵点E是AB的中点，
∴CE＝BE＝BA，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠ECA+∠ECF＝90°，∠ECF+∠CFE＝90°
∴∠CFE＝∠BAC，
而点D，E分别为AO，AB的中点，
∴DF∥OB，
∴∠CFE＝∠CBO＝2∠CBA＝2∠ABO，
∵△ABO与△ABC关于直线AB对称，
∴△ABO≌△ABC，
∴∠OAB＝∠CAB＝2∠ABO，
∴∠ABO＝30°，
而点A的坐标为（0， ），即OA＝ ，
∴OB＝3即点B的坐标为（3，0），
于是可设直线AB的函数表达式为y＝kx+b，代入A、B两点坐标得
解得k＝﹣ ，b＝ ，故答案为y＝﹣ x+ ．
17．（2022春•邵阳期末）当m＝ 3 ， 0 ，﹣ 时，y＝（m﹣3）x2m+1+4x﹣5（x≠0）是
一次函数．
【答案】3，0，﹣ 。
【解答】解：①由y＝（m﹣3）x2m+1+4x﹣5是一次函数，得
m﹣3＝0．
解得m＝3；
② ，解得m＝0；
③2m+1＝0，解得：m＝﹣ ；
当m＝3，0，﹣ 时，y＝（m﹣3）x2m+1+4x﹣5是一次函数，
故答案为：3，0，﹣ ．
18．（2021春•化州市期中）一个水库的水位在最近5h内持续上涨．下表记录了这5h内6
个时间点的水位高度，其中x表示时间，y表示水位高度．
x/h 0 1 2 3 4 5
y/m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5
根据表格中水位的变化规律，则y与x的函数表达式为 y ＝ 0. 3 x + 3 ．
【答案】y＝0.3x+3。
【解答】解：设y与x的函数表达式为y＝kx+b，由记录表得：
，
解得： ．故y与x的函数表达式为y＝0.3x+3．
故答案为：y＝0.3x+3．
三、解答题。
19．（2022春•钦北区期末）已知一次函数的图象经过点（﹣4，9）和点（6，3），求这
个函数的解析式．
【解答】解：设函数解析式为y＝kx+b，
∵一次函数的图象经过点（﹣4，9）和点（6，3），
∴ ，
解得 ，
所以，这个函数的解析式为y＝﹣ x+ ．
20．（2021春•科左中旗期末）已知y＝（m+1）x2﹣|m|+n+4
（1）当m、n取何值时，y是x的一次函数？
（2）当m、n取何值时，y是x的正比例函数？
【解答】解：（1）根据一次函数的定义，得：2﹣|m|＝1，
解得m＝±1．
又∵m+1≠0即m≠﹣1，
∴当m＝1，n为任意实数时，这个函数是一次函数；
（2）根据正比例函数的定义，得：2﹣|m|＝1，n+4＝0，
解得m＝±1，n＝﹣4，
又∵m+1≠0即m≠﹣1，
∴当m＝1，n＝﹣4时，这个函数是正比例函数．
21．（2021春•增城区月考）已知函数y＝（m﹣1）x+1﹣m2．
（1）当m为何值时，这个函数是关于x的一次函数？
（2）当m为何值时，这个函数是关于x的正比例函数？
【解答】解：（1）∵函数y＝（m﹣1）x+1﹣m2是关于x的一次函数，
∴m﹣1≠0，
解得m≠1，
即当m为不等于1的值时，这个函数是关于x的一次函数；（2）∵函数y＝（m﹣1）x+1﹣m2是关于x的正比例函数，
∴m﹣1≠0且1﹣m2＝0，
解得m＝﹣1，
即当m为﹣1时，这个函数是关于x的正比例函数．
22．（2021秋•利辛县期中）已知y+2与x成正比例，且x＝﹣2时，y＝0．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）画出函数的图象；
（3）观察图象，当x取何值时，y≥0？
（4）若点（m，6）在该函数的图象上，求m的值．
【解答】解：（1）设y+2＝kx（k是常数，且k≠0）
当x＝﹣2时，y＝0．所以0+2＝k•（﹣2），
解得：k＝﹣1．
所以函数关系式为y+2＝﹣x，即：y＝﹣x﹣2；
（2）
（3）由函数图象可知，当x≤﹣2时，y≥0；
（4）因为点（m，6）在该函数的图象上，所以6＝﹣m﹣2，
解得：m＝﹣8．
23．（2022春•长沙期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴的正半轴上，点B
在x轴的正半轴上，OA＝OB＝10．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点P是直线AB上的一点，且P的横坐标为4，C（6，0），求△OPC的面积．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的正半轴上，OA＝OB＝10．
∴A（0，10），B（10，0），
∴ ，
解是k＝﹣1，b＝10，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+10；
（2）∵P在直线AB上，且横坐标为4，
∴将x＝4代入y＝﹣x+10中，得y＝﹣4+10＝6，
∴P（4，6），
∵C（6，0），
∴OC＝6，
∴S△OPC ＝ ．
24．（2021春•南昌期中）如图，在平面直角坐标系中，已知A（4，0），B（0，3），点
P是直线AB上位于第二象限内的一个动点，过点P作PC⊥x轴于点C，记点P关于y
轴的对称点为Q．
（1）求直线AB的表达式；
（2）若QO＝QA，求P点的坐标．
【解答】解：（1）设直线AB表达式为y＝kx+b
将A（4，0）B（0，3）分别代入y＝kx+b得 ，解得 ．
则直线AB表达式为y＝﹣ x+3；
（2）∵QA＝QO，OA＝4，
∴点Q的横坐标为2，
∵点P与点Q关于y轴对称
∴点P的横坐标为﹣2，
代入y＝﹣ x+3得，y＝﹣ ×（﹣2）+3＝ ，
∴P（﹣2， ）．
25．（2021春•惠安县期中）已知y﹣3与3x+1成正比例，且x＝2时，y＝6.5．
（1）求y与x之间的函数关系式，并指出它是什么函数；
（2）若点（a，2）在这个函数的图象上，求a．
【解答】解：（1）设y﹣3＝k（3x+1）（k≠0），
将（2，6.5）代入y﹣3＝k（3x+1），
6.5﹣3＝7k，解得：k＝0.5，
∴y与x之间的函数关系式为y＝1.5x+3.5，它是一次函数．
（2）∵点（a，2）在这个函数的图象上，
∴2＝1.5a+3.5，
∴a＝﹣1．
26．（2021春•亭湖区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y＝﹣x+3与过点A
1
（﹣3，0）的直线l 交于点P（﹣1，m），与x轴交于点B．
2
（1）求直线l 的函数表达式；
2
（2）点M在直线l 上，MN∥y轴，交直线l 于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．
2 1
【解答】解：（1）∵直线l ：y＝﹣x+3与直线l 交于点P（﹣1，m），
1 2∴m＝﹣（﹣1）+3＝4，
即P（﹣1，4），
又∵l 过点A（﹣3，0）和点P（﹣1，4），
2
设直线l 的解析式为y＝kx+b，
2
∴ ，
解得
∴直线l 的解析式为y＝2x+6；
2
（2）在y＝﹣x+3中，令y＝0，得x＝3，
∴B（3，0），
AB＝3﹣（﹣3）＝6，
设M（a，2a+6），
由MN∥y轴，得N（a，﹣a+3），
MN＝|（2a+6）﹣（﹣a+3）|＝AB＝6，
即：3a+3＝6或3a+3＝﹣6，
解得a＝1或a＝﹣3，
∴M（1，8）或（﹣3，0）
