文档内容
专题4.2.4 相似三角形应用（知识解读）
【直击考点】
【学习目标】
1、理解并掌握用不同方法构造相似三角形测高的原理
2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，掌握把实际问题抽象为数学问题方法.
【知识点梳理】
考点1 利用相似三角形测量高度
测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比
例相等”的原理解决.
注意：测量旗杆的高度的几种方法：
平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法
考点2 利用相似三角形测量距离
测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段 DC、BD、CE的距离（长度），根
据相似三角形的性质，求出AB的长.
2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算
AB的长.注意：
1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际
距离;
2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时
刻，两物体影子之比等于其对应高的比;
3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;
4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．
【典例分析】
【考点1 利用相似三角形测量高度】
【典例1】（2022•陕西模拟）西安世园会标志性雕塑《水龙》，内部为钢结构，外包镜面
不锈钢，既像一股水花，又似一条飞龙，既蕴含了上善若水的中国传统理念，又有巨龙
腾飞的时代精神．小刚同学想利用所学知识测量该雕塑的高度AB，如图，他在距离B
点48米的点C处水平放置了一个小平面镜，并沿着BC方向移动，当移动到点E处时，
他刚好在小平面镜内看到雕塑的顶端A的像，此时，测得CE＝2米，小刚眼睛与地面的
距离DE＝1.5米．已知点B、C、E在同一水平直线上，且AB⊥BE、DE⊥BE，求雕塑
的高度AB．（小平面镜的大小忽略不计）
【变式1-1】（2022•澄城县一模）雨过天晴，小李急忙跑到室外呼吸新鲜空气，广场上E处有一处积水，如图，若小李站在 D处距积水2米，他正好从水面上看到距他约 10米
的前方一棵树的顶端A的影子已知点D、E、B在同一直线上，AB⊥BD，CD⊥BD，小
李的眼睛到地面的距离CD为1.6米，求树AB的高．（∠CED＝AEB，积水水面大小忽
略不计）
【变式1-2】（2021秋•泸西县期末）如图，直立在B处的标杆AB＝2.9米，小爱站在F处，
眼睛E处看到标杆顶A，树顶C在同一条直线上（人，标杆和树在同一平面内，且点
F，B，D在同一条直线上）．已知BD＝6米，FB＝2米，EF＝1.7米，求树高CD．
【变式1-3】（2022•新城区校级二模）小丽想利用所学知识测量旗杆AB的高度，如图，
小丽在自家窗边看见旗杆和住宅楼之间有一棵大树DE，小丽通过调整自己的位置，发
现半蹲于窗边，眼睛位于C处时，恰好看到旗杆顶端A、大树顶端D在一条直线上，小
丽用测距仪测得眼睛到大树和旗杆的水平距离 CH、CG分别为7米、28米，眼睛到地
面的距离CF为3.5米，已知大树DE的高度为7米，CG∥BF交AB于点G，AB⊥BF于
点B，DE⊥BF于点E，交CG于点H，CF⊥BF于点F．求旗杆AB的高度．
【典例2】（2021秋•山阴县期末）如图，利用标杆BE测量建筑物CD的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m，AC＝28m，点A，E，D在同一直线上，点B在AC上．求
该建筑物CD的高度．
【变式2-1】（2021秋•金牛区期末）某数学兴趣小组在测量学校旗杆的高度时，让一名同
学直立在点F处，手拿一块直角三角板CDE，保持斜边CE与地面BF平行，延长CE交
AB于点G，如图，并沿着射线CD的方向观察，刚好看到旗杆的顶端A点，已知该同学
的身高CF为1.6米，点F到旗杆底端的距离BF为12米，CE＝50cm，CD＝40cm，求
旗杆AB的高度．
【变式2-2】（2021•南通）如图，利用标杆 DE测量楼高，点A，D，B在同一直线上，
DE⊥AC，BC⊥AC，垂足分别为E，C．若测得AE＝1m，DE＝1.5m，CE＝5m，楼高
BC是多少？
【典例3】（2021秋•牡丹区期末）学完了《图形的相似》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一古建筑AB的高度（如图1）．如图2，在地面BC上取E，G
两点，分别竖立两根高为2m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为23m，并且古建筑
AB，标杆EF和GH在同一竖直平面内，从标杆EF后退2m到D处，从D处观察A点，
A，F，D三点成一线；从标杆GH后退4m到C处，从C处观察A点，A，H，C三点也
成一线．请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该古建筑的高度．
【变式3-1】（2022•灞桥区校级三模）某校社会实践小组为了测量古塔的高度，在地面上
C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，古
塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝1.2米，将标杆向后平移到点G处，这时地
面上的点F，标杆的顶端点H，古塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点
E，点C与古塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝1.8米，CG＝20米，请你根
据以上数据，计算古塔的高度AB．
【变式3-2】（2021•雁塔区校级二模）如图，建筑物BC上有一根旗杆AB，小芳计划用学过的知识测量该建筑物的高度，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小
树FD，小芳沿CD后退，发现地面上的点E、树顶F、旗杆顶端A恰好在一条直线上，
继续后退，发现地面上的点G、树顶F、建筑物顶端B恰好在一条直线上，已知旗杆AB
＝3米，FD＝4米，DE＝5米，EG＝1.5米，点A、B、C在一条直线上，点C、D、E、
G在一条直线上，AC、FD均垂直于CG，请你帮助小芳求出这座建筑物的高BC．
【考点2 利用相似三角形测量距离】
【典例4】（2021•柳南区校级模拟）我们知道当人们的视线与物体的表面互相垂直且视线
恰好落在物体中心位置时的视觉效果最佳，如图是小然站在地面MN欣赏悬挂在墙壁
PM上的油画AD（PM⊥MN）的示意图，设油画AD与墙壁的夹角∠PAD＝ ，此时小然
的眼睛与油画底部A处于同一水平线上，视线恰好落在油画的中心位置E处α ，且与AD
垂直．已知油画的长度AD为100cm．
（1）视线∠ABD的度数为 2 ．（用含 的式子表示）
（2）当小然到墙壁PM的距离AαB＝250cm时α，求油画顶部点D到墙壁PM的距离．
（3）当油画底部A处位置不变，油画AD与墙壁的夹角逐渐减小时，小然为了保证欣赏
油画的视觉效果最佳，他应该更靠近墙壁 PM，还是不动或者远离墙壁PM？（直接回
答即可）
【变式4-1】（2021秋•市中区期中）为了估计河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，设BC与AE交于点
D，如图所示测得BD＝120m，DC＝40m，EC＝30m，那么这条河的大致宽度是多少米？
【变式4-2】（2021春•任城区期末）如图，矩形ABCD为台球桌面，AD＝260cm，AB＝
130cm，球目前在E点位置，AE＝60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经
过反弹后，球刚好弹到D点位置．求BF的长．
【变式4-3】（2021秋•高阳县期末）如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，
地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点 G处，手电筒的光从平面
镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度
DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板
的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、
D在同一水平面上．
（1）求BC的长．
（2）求灯泡到地面的高度AG．专题4.2.4 相似三角形应用（知识解读）
【直击考点】
【学习目标】
1、理解并掌握用不同方法构造相似三角形测高的原理
2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，掌握把实际问题抽象为数学问题方法.
【知识点梳理】
考点1 利用相似三角形测量高度
测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比
例相等”的原理解决.
注意：测量旗杆的高度的几种方法：
平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法
考点2 利用相似三角形测量距离
测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段 DC、BD、CE的距离（长度），根
据相似三角形的性质，求出AB的长.
2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算
AB的长.注意：
1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际
距离;
2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时
刻，两物体影子之比等于其对应高的比;
3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;
4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．
【典例分析】
【考点1 利用相似三角形测量高度】
【典例1】（2022•陕西模拟）西安世园会标志性雕塑《水龙》，内部为钢结构，外包镜面
不锈钢，既像一股水花，又似一条飞龙，既蕴含了上善若水的中国传统理念，又有巨龙
腾飞的时代精神．小刚同学想利用所学知识测量该雕塑的高度AB，如图，他在距离B
点48米的点C处水平放置了一个小平面镜，并沿着BC方向移动，当移动到点E处时，
他刚好在小平面镜内看到雕塑的顶端A的像，此时，测得CE＝2米，小刚眼睛与地面的
距离DE＝1.5米．已知点B、C、E在同一水平直线上，且AB⊥BE、DE⊥BE，求雕塑
的高度AB．（小平面镜的大小忽略不计）
【解答】解：根据题意，得∠ACB＝∠DCE．
∵AB⊥BE，DE⊥BE，
∴∠ABC＝∠DEC＝90°．
∴△ABC∽△DEC．
∴ ＝ ．
∵BC＝48米，CE＝2米，DE＝1.5米，∴ ＝ ．
解得AB＝36．
答：雕塑的高度AB是36米
【变式1-1】（2022•澄城县一模）雨过天晴，小李急忙跑到室外呼吸新鲜空气，广场上E
处有一处积水，如图，若小李站在 D处距积水2米，他正好从水面上看到距他约 10米
的前方一棵树的顶端A的影子已知点D、E、B在同一直线上，AB⊥BD，CD⊥BD，小
李的眼睛到地面的距离CD为1.6米，求树AB的高．（∠CED＝AEB，积水水面大小忽
略不计）
【解答】解：由题意得：△CDE∽△ABE，
∴ ＝ ，
∵CD＝1.6米，DE＝2米，BE＝8米，
即： ＝ ，
解得：AB＝6.4，
答：树高大约是6.4米．
【变式1-2】（2021秋•泸西县期末）如图，直立在B处的标杆AB＝2.9米，小爱站在F处，
眼睛E处看到标杆顶A，树顶C在同一条直线上（人，标杆和树在同一平面内，且点
F，B，D在同一条直线上）．已知BD＝6米，FB＝2米，EF＝1.7米，求树高CD．
【解答】解：过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，如下图所示：
由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，∵EH⊥CD，EH⊥AB，
∴四边形EFDH为矩形，
∴EF＝GB＝DH＝1.7米，EG＝FB＝2米，GH＝BD＝6米，
∴AG＝AB﹣GB＝2.9﹣1.7＝1.2（米），
∵EH⊥CD，EH⊥AB，
∴AG∥CH，
∴△AEG∽△CEH，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得CH＝4.8，
∴CD＝CH+DH＝4.8+1.7＝6.5（米）．
答：树高CD为6.5米．
【变式1-3】（2022•新城区校级二模）小丽想利用所学知识测量旗杆AB的高度，如图，
小丽在自家窗边看见旗杆和住宅楼之间有一棵大树DE，小丽通过调整自己的位置，发
现半蹲于窗边，眼睛位于C处时，恰好看到旗杆顶端A、大树顶端D在一条直线上，小
丽用测距仪测得眼睛到大树和旗杆的水平距离 CH、CG分别为7米、28米，眼睛到地
面的距离CF为3.5米，已知大树DE的高度为7米，CG∥BF交AB于点G，AB⊥BF于
点B，DE⊥BF于点E，交CG于点H，CF⊥BF于点F．求旗杆AB的高度．
【解答】解：由题意知BG＝HE＝CF＝3.5米，∴DH＝DE﹣CF＝7﹣3.5＝3.5（米），
∵AB⊥BF，DE⊥BF，
∴AG∥DH，
∴△CDH∽△CAG，
∴ ＝ ，
即 ，
∴AG＝14米，
∴AB＝AG+GB＝14+3.5＝17.5（米），
∴旗杆AB的高度为17.5米．
【典例2】（2021秋•山阴县期末）如图，利用标杆BE测量建筑物CD的高度．已知标杆
BE高1.2m，测得AB＝1.6m，AC＝28m，点A，E，D在同一直线上，点B在AC上．求
该建筑物CD的高度．
【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴∠EBA＝∠DCA＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△EBA∽△DCA，
∴ ，
∵BE＝1.2，AB＝1.6，AC＝28，
∴ ，
∴CD＝21，
∴该建筑物CD的高度是21m．
【变式2-1】（2021秋•金牛区期末）某数学兴趣小组在测量学校旗杆的高度时，让一名同
学直立在点F处，手拿一块直角三角板CDE，保持斜边CE与地面BF平行，延长CE交
AB于点G，如图，并沿着射线CD的方向观察，刚好看到旗杆的顶端A点，已知该同学
的身高CF为1.6米，点F到旗杆底端的距离BF为12米，CE＝50cm，CD＝40cm，求旗杆AB的高度．
【解答】解：由题意得：CF⊥BF，AB⊥BF，CG⊥AB，
∴∠BFC＝∠ABF＝BGC＝90°，
∴四边形CFBG是矩形，
∴CG＝FB＝12m，CF＝GB＝1.6m，
∵∠CDE＝90°，CE＝50cm，CD＝40cm，
∴DE＝ ＝ ＝30cm，
∵∠CDE＝∠CGA＝90°，∠DCE＝∠ACG，
∴△CDE∽△CGA，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴GA＝9m，
∴AB＝AG+BG＝9+1.6＝10.6m，
答：旗杆AB的高度为10.6米．
【变式2-2】（2021•南通）如图，利用标杆 DE测量楼高，点A，D，B在同一直线上，
DE⊥AC，BC⊥AC，垂足分别为E，C．若测得AE＝1m，DE＝1.5m，CE＝5m，楼高
BC是多少？
【解答】解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴BC＝9（m），
答：楼高BC是9m．
【典例3】（2021秋•牡丹区期末）学完了《图形的相似》这一章后，某中学数学实践小组
决定利用所学知识去测量一古建筑AB的高度（如图1）．如图2，在地面BC上取E，G
两点，分别竖立两根高为2m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为23m，并且古建筑
AB，标杆EF和GH在同一竖直平面内，从标杆EF后退2m到D处，从D处观察A点，
A，F，D三点成一线；从标杆GH后退4m到C处，从C处观察A点，A，H，C三点也
成一线．请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该古建筑的高度．
【解答】解：设BE＝ym，由题意可知，
△ABD∽△FED，△ABC∽△HGC，
∴ ＝ ， ＝ ，
∵EF＝HG＝2，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得：y＝23（m），
则 ＝ ，即 ＝ ，解得：AB＝25（m），
答：该古建筑的高度为25米．
【变式3-1】（2022•灞桥区校级三模）某校社会实践小组为了测量古塔的高度，在地面上
C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，古
塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝1.2米，将标杆向后平移到点G处，这时地
面上的点F，标杆的顶端点H，古塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点
E，点C与古塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝1.8米，CG＝20米，请你根
据以上数据，计算古塔的高度AB．
【解答】解：根据题意得，△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，
∴ ＝ ，
∵DC＝HG，
∴ ，
∴ ，
∴CA＝40（米），
∴ ＝ ，
∴AB≈68.7米，
答：古塔的高度AB约为68.7米．【变式3-2】（2021•雁塔区校级二模）如图，建筑物BC上有一根旗杆AB，小芳计划用学
过的知识测量该建筑物的高度，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小
树FD，小芳沿CD后退，发现地面上的点E、树顶F、旗杆顶端A恰好在一条直线上，
继续后退，发现地面上的点G、树顶F、建筑物顶端B恰好在一条直线上，已知旗杆AB
＝3米，FD＝4米，DE＝5米，EG＝1.5米，点A、B、C在一条直线上，点C、D、E、
G在一条直线上，AC、FD均垂直于CG，请你帮助小芳求出这座建筑物的高BC．
【解答】解：由题意可得，∠ACE＝∠EDF＝90°，∠AEC＝∠FED，
∴△ACE∽△FDE，
∴ ，
即 ，
∴CD＝ ，
由题意可得，∠BCG＝∠FDG＝90°，∠BGC＝∠FGD，
∴△BCG∽△FDG，
∴ ，
即 ，
∴6.5BC＝4（CD+6.5），
∴6.5BC＝4× ，
∴BC＝14（米），
∴这座建筑物的高BC为14米．
【考点2 利用相似三角形测量距离】【典例4】（2021•柳南区校级模拟）我们知道当人们的视线与物体的表面互相垂直且视线
恰好落在物体中心位置时的视觉效果最佳，如图是小然站在地面MN欣赏悬挂在墙壁
PM上的油画AD（PM⊥MN）的示意图，设油画AD与墙壁的夹角∠PAD＝ ，此时小然
的眼睛与油画底部A处于同一水平线上，视线恰好落在油画的中心位置E处α ，且与AD
垂直．已知油画的长度AD为100cm．
（1）视线∠ABD的度数为 2 ．（用含 的式子表示）
（2）当小然到墙壁PM的距离AαB＝250cm时α，求油画顶部点D到墙壁PM的距离．
（3）当油画底部A处位置不变，油画AD与墙壁的夹角逐渐减小时，小然为了保证欣赏
油画的视觉效果最佳，他应该更靠近墙壁 PM，还是不动或者远离墙壁PM？（直接回
答即可）
【解答】解：（1）连接BD，
∵AE⊥BE，PM⊥MN，AB∥MN，
∴AB⊥PM，
∴∠PAB＝90°，∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝∠PAD＝90°﹣∠BAE＝ ，
∵AE＝DE，BE⊥AD， α
∴AB＝BD，
∴∠ABE＝∠DBE，
∴∠ABD＝∠DBE+∠ABE＝2 ，
故答案为：2 ； α
（2）过点Dα作DC⊥PM交PM于点C，
由题意得AB＝250cm，AD＝100cm，
则AE＝50cm，∵∠CAD＝∠ABE＝ ，∠ACD＝∠AEB＝90°，
∴△ACD∽△BEA，α
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴CD＝20（cm），
∴油画顶部到墙壁的距离CD是20cm；
（3）当油画底部A处位置不变，油画AD与墙壁的夹角逐渐减小时，小然为了保证欣赏
油画的视觉效果最佳，他应该远离墙壁PM．
【变式4-1】（2021秋•市中区期中）为了估计河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定
一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，设BC与AE交于点
D，如图所示测得BD＝120m，DC＝40m，EC＝30m，那么这条河的大致宽度是多少米？
【解答】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴△ABD∽△ECD，
∴AB：CE＝BD：CD，
即AB：30＝120：40，
∴AB＝90（m），
即这条河的大致宽度是90m
【变式4-2】（2021春•任城区期末）如图，矩形ABCD为台球桌面，AD＝260cm，AB＝130cm，球目前在E点位置，AE＝60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经
过反弹后，球刚好弹到D点位置．求BF的长．
【解答】解：如图，在矩形ABCD中：∠DFC＝∠EFB，∠EBF＝∠FCD＝90°，
∴△BEF∽△CDF；
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得：BF＝91．
即：BF的长度是91cm．
【变式4-3】（2021秋•高阳县期末）如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，
地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点 G处，手电筒的光从平面
镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度
DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板
的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、
D在同一水平面上．
（1）求BC的长．
（2）求灯泡到地面的高度AG．
【解答】解：（1）由题意可得：FC∥DE，
则△BFC∽BED，
故 ，
即 ，
解得：BC＝3；
（2）∵AC＝5.4m，∴AB＝5.4﹣3＝2.4（m），
∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，
∴∠FBC＝∠GBA，
又∵∠FCB＝∠GAB，
∴△BGA∽△BFC，
∴ ＝ ，
∴ ，
解得：AG＝1.2（m），
答：灯泡到地面的高度AG为1.2m．
