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专题 4.2 全等三角形
识别全等图形
【例1】观察下面的6组图形，其中是全等图形的有
A．3组 B．4组 C．5组 D．6组
【变式训练1】下列各组图形中，属于全等图形的是
A． B．
C． D．
【变式训练2】下列各选项中的两个图形属于全等形的是
A． B．
C． D．
【变式训练3】下列图形中被虚线分成的两部分不是全等形的是A． B．
C． D．
全等的判断
【例2】工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角，如图，在 的
两边 、 上分别取 ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点 、 重
合，这时过角尺顶点 的射线 就是 的平分线．这里构造全等三角形的依据是
A． B． C． D．
【变式训练1】我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸
伞的张开示意图， ， ，则 的依据是
A． B． C． D．
【变式训练2】如图，已知 ， ，要证 ，证明中判定两个三角形全
等的依据是A．角角角 B．角边角 C．边角边 D．角角边
【变式训练3】如图，已知 ， ，使能得到 ，这所依据的是
A． B． C． D．
【例3】如图，点 在 上， ， ，则补充下列条件，不一定能使
的是
A． B． C． D．
【变式训练1】如图， ， ，欲证 ，则可增加的条件时
A． B． C． D．
【变式训练2】如图，已知 ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是
A． B． C． D．
【变式训练3】如图，在 和 中， ， ，添加下列条件中的一
个仍无法证明 的是
A． B． C． D．
求线段长度
【例4】如图， 是 上一点， 交 于点 ， ， ，若 ，
，则 的长是
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练1】如图，已知点 、 、 、 在同一条直线上， ， ，
，如果 ， ，那么 的长等于A．1 B． C．2 D．3
【变式训练2】如图，直线 上有三个正方形 、 、 ，若正方形 、 的边长分别为4
和6，则正方形 的面积为
A．26 B．49 C．52 D．64
【变式训练3】如图，在 中， ， ，垂足分别为 ， ， ，
交于点 ，已知 ， ，则 的长是
A．1 B． C．2 D．
求对应角度
【例5】如图，在 与 中，点 在 上， ， ， ，
交 于点 ， ，则A． B． C． D．
【变式训练1】如图，在 和 中， ， ， ，则
A． B． C． D．
【变式训练2】如图，已知 ， ， ，则 的度数为
A． B． C． D．
【变式训练3】如图， 是 平分线上的一点， 于点 ， 于点 ，
连结 ，若 ，则
A． B． C． D．平移型型全等证明题
【例6】如图，已知 ， ， ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的度数．
【变式训练1】如图，点 、 、 、 在同一直线上，点 、 在 的异侧，
， ， ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的度数．
【变式训练2】已知，如图 、 、 、 在同一条直线上， ， ，
．
求证：（1） ；
（2） ．对称型全等证明题
【例7】如图，点 ， ， ， 在同一条直线上， ， ， ，
与 交于点 ．
求证：（1） ；
（2） ．
【变式训练1】如图， 平分 ， ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的度数．【变式训练2】如图：点 、 在 上， ， ， ， 与 交
于点 ．过点 作 ，垂足为 ．
（1）求证： ；
（2）求证： ．
旋转型全等证明题
【例8】如图， ， ， ，点 在 边上．
（1）求证： ．
（2）若 ，求 的度数．【变式训练1】如图，点 在 上， ， 交于点 ， ， ，
．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数．
【变式训练2】如图，在 中， ， ，点 为 内一点，
， 为 延长线上的一点，且 ．
（1）求证 平分 ；
（2）请判断 ， ， 之间的数量关系，并说明理由．尺规作图（一个角与已知角相等）
【例9】已知： ， （如图）．
（1）求作：以 为一边，作 ．（要求：仅用直尺和圆规作图，不写作法，
保留作图痕迹）
（2）若 ， ，则 的度数为 ．
【变式训练1】如图，在 中， ．
（1）尺规作图：在 的内部作射线 ，交 于 ，使得 ；（不写
作法，保留作图痕迹）
（2）若（1）中 ， ，求 的长．【变式训练2】如图，在 中， ． 平分 ．
（1）尺规作图：以 为顶点，作 ，交线段 于点 （不写作法，保留
作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图中，连接 ，猜想 与 的数量关系，并加以证明．
尺规作图（角平分线）
【例10】如图， 中， ， 于 ．
（1）尺规作图：作 的角平分线，交 于点 ，交 于点 （保留作图痕迹，不
写作法）；（2）若 ，求 的度数．
【变式训练1】如图，在 中， ．
（1）作 的平分线 交边 于点 ．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在（1）的条件下，若 ，求 的度数．
【变式训练2】在给出的图形中，完成以下作图（尺规作图，保留作图痕迹）
①作 的平分线 ，交 于点 ；
②延长 到 ，使 ，连接 ．全等三角形的应用
【例11】小琪同学在数学实践活动课上，老师要求她利用所学几何知识测量出学校门前小
河的宽度（即图中 的长），经过思考探究，小琪设计方案如下：
如图，先测量出 ， ，点 、 、 在同一直线上，点 ， ，
在同一直线上，测量出 ，小琪就知道河面宽度 的长了．则你认为河宽 是多
少？请说明理由．
【变式训练1】如图， ， 两点分别位于一个池塘的两端，小明通过构造 与
来测量 ， 间的距离，其中 ， ．那么量出的 的长度就是
的距离．请你判断小明这个方法正确与否，并给出相应理由．【变式训练2】王强同学用10块高度都是 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直
的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板 ，点 在
上，点 和 分别与木墙的顶端重合．
（1）求证： ；
（2）求两堵木墙之间的距离．
【变式训练3】小明利用一根 长的竿子来测量路灯的高度．他的方法是这样的：在路灯
前选一点 ，使 ，并测得 ，然后把竖直的竿子 在 的
延长线上移动，使 ，此时量得 ．根据这些数据，小明计算出了路灯的高度．你知道小明计算的路灯的高度是多少？为什么？
