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4.1 认识三角形
1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线
段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内
角，简称三角形的角。
2、三角形的表示：三角形用符号“Δ”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ΔABC”，读作“三
角形ABC”。
3、三角形的三边关系：
（1）三角形的两边之和大于第三边。（2）三角形的两边之差小于第三边。（三角形的第三边大于
两边之差小于两边之和）（3）作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定
第三边的范围。③证明线段不等关系。
4、三角形的内角的关系：
（1）三角形三个内角和等于180°（2）直角三角形的两个锐角互余。
5、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。四边形具有
不稳定性。
6、三角形的分类：
(1)三角形按边分类：
不等边三角形
三角形 底和腰不相等的等腰三角形
等腰三角形
等边三角形
(2)三角形按角分类：
直角三角形（有一个角为直角的三角形）
三角形 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）
斜三角形
钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）
把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角
三角形。
7、三角形的三种重要线段：
（1）三角形的角平分线：
定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角
形的角平分线。
性质：三角形的三条角平分线交于一点（内心）。交点在三角形的内部。
（2）三角形的中线：
定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
性质：三角形的三条中线交于一点（重心），交点在三角形的内部。
（3）三角形的高线：
定义：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线
（简称三角形的高）。
性质：三角形的三条高所在的直线交于一点（垂心）。锐角三角形的三条高线的交点在它的内部；
直角三角形的三条高线的交点是它的斜边的中点；钝角三角形的三条高所在的直线的交点在它的外
部；区别 相同
中线 平分对边 三条中线交于三角形内部
角平分线 平分内角 三条角平分线交于三角表内部 （1）都是线段
垂直于对 锐角三角形：三条高线都在三角形内部 （2）都从顶点画出
高线 边（或其 直角三角形：其中两条恰好是直角边 （3）所在直线相交于一点
延长线）
题型一：三角形的概念
1．（2022·全国·七年级）一位同学用三根木棒拼成如下图形，其中符合三角形概念的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏·七年级专题练习）如图，图中的三角形共有（ ）个．
A． B． C． D．
3．（2021·重庆南开中学七年级期中）如图，图①中有3个以 为高的三角形，图②中有10个以 为高的三
角形．图③中有 为高的三角形，…，以此类推．则图⑥中以 为高的三角形的个数为（ ）
A．55 B．78 C．96 D．105
题型二:三角形的分类
4．（2022·福建省诏安县第一实验中学七年级阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．有一个内角是直角的三角形是直角三角形
B．一个三角形只能有一个内角是钝角
C．对顶角相等D．有两个内角是锐角的三角形是锐角三角形
5．（2021·山东威海·七年级期中）在 中， ， ，那么 形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
6．（2022·全国·七年级）下图表示的是三角形的分类，则正确的表示是（ ）
A． 表示等腰三角形， 表示等边三角形， 表示三边均不相等的三角形
B． 表示等边三角形， 表示等腰三角形， 表示三边均不相等的三角形
C． 表示三边均不相等的三角形， 表示等腰三角形， 表示等边三角形
D． 表示三边均不相等的三角形， 表示等边三角形， 表示等腰三角形
题型三：三角形的稳定性
7．（2021·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校七年级期中）如图，下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·四川成都·七年级期末）如图所示，工人师傅在砌门时，通常用木条BD固定长方形门框ABCD，使其不
变形这样做的数学根据是（ ）
A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短C．对顶角相等 D．垂线段最短
9．（2021·全国·七年级课时练习）如图所示，具有稳定性的有（ ）
A．只有（1），（2）B．只有（3），（4）C．只有（2），（3）D．（1），（2），（3）
题型四：三角形的三边关系
10．（2022·重庆一中七年级期中）下列各组长度的线段能构成三角形的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
11．（2022·山东泰安·七年级期末）已知三角形的两边长分别为5和6，第三边长是奇数，则第三边长不可以是（
）
A．5 B．7 C．9 D．11
12．（2022·山东济南·七年级期末）已知三角形的三边长分别为2、x、8，则x的值可能是（ ）
A．4 B．6 C．9 D．10
题型五：三角形的高
13．（2022·江苏盐城·七年级期中）如图，用三角板作 的边 上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是
（ ）
A． B． C． D．
14．（2022·江苏·宜兴市树人中学七年级阶段练习）画△ABC中AC边上的高，下列四个画法中正确的是（ ）
A． B． C． D．
15．（2022·江苏·洪泽新区中学七年级阶段练习）要求画 的边AB上的高．下列画法中，正确的是（ ）A． B． C． D．
题型六：三角形的中线
16．（2021·辽宁·沈阳市第四十三中学七年级期中）如图， 中， 是 边上的中线， ，
，那么 和 的周长的差是（ ）
A．3cm B．6cm C．12cm D．无法确定
17．（2021·重庆市第九十五初级中学校七年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD为中线，求
△ABD与△ACD的周长之差（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
18．（2021·江苏南京·七年级期末）如图，已知D、E分别为△ABC的边BC、AC的中点，连接AD、DE，AF为
△ADE的中线．若四边形ABDF的面积为10，则△ABC的面积为（ ）A．12 B．16 C．18 D．20
题型七：三角形的角平分线
19．（2022·四川·成都市第十八中学校七年级阶段练习）如图，∠AOB是平角，OD平分∠BOC，OE平分
∠AOC，那么∠AOE的余角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
20．（2022·全国·七年级）下列说法正确的是（ ）
①三角形的角平分线是射线；
②三角形的三条角平分线都在三角形内部；
③三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分；
④三角形的三条高都在三角形内部．
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
21．（2021·山东泰安·七年级期中）如图所示，已知 是 的角平分线， 于点 ， ，
， ，则 的长为（ ）．
A．3 B．6 C．9 D．12
一、单选题
22．（2022·山东泰安·七年级期末）若长度分别是a、6、10的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（
）A．16 B．8 C．4 D．2
23．（2022·江苏南通·七年级阶段练习）小刚同学把一个含有45°角的直角三角板放在如图所示的两条平行线m，n
上，测得∠α＝110°，则∠β的度数是（ ）
A．75° B．65° C．55° D．45°
24．（2022·海南海口·七年级期末）如图， ， ，则 （ ）
A．65° B．60° C．45° D．110°
25．（2022·重庆市第十一中学校七年级期中）将一副三角板按不同位置摆放，下图中 与 互余的是（ ）
A． B． C． D．
26．（2021·上海市风华初级中学七年级期中）用下列长度的三根木棒首尾顺次联结，能做成三角形框架的是（
）
A．1dm、2dm、3dm B．2dm、2dm、4dm
C．3dm、2dm、3dm D．2dm、6dm、3dm
27．（2022·全国·七年级）如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小欣在池塘的一侧选取点O，测得 米，米，则点A、B间的距离不可能是（ ）
A．22米 B．18米 C．16米 D．12米
28．（2022·全国·七年级）如图所示，在 中，D、E、F分别为 、 、 的中点，且 ，则
的面积等于（ ）
A． B． C． D．
29．（2022·山东·东平县实验中学七年级阶段练习）如图，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
30．（2021·山东烟台·七年级期中）一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B，∠D应分别是20°和
30°．当∠BCD是下列哪个度数时，这个零件才有可能是合格的（ ）A．150° B．140° C．130 ° D．120°
31．（2022·全国·七年级）已知 的三边长分别为a，b，c．若a，b，c满足 ，试判断
的形状．
32．（2021·全国·七年级课时练习）已知：如图，O是 的内角 和外角 的平分线的交点．
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，用n的代数式表示 的度数．
一：选择题
33．（2021·吉林·长春外国语学校七年级阶段练习）如图，用三角板作△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆
放位置正确的是（ ）
A． B．
C． D．
34．（2022·全国·七年级）已知a，b，c为三角形的三边，化简|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|的结果是（ ）
A．0 B．2a C．2a+2c D．2b﹣2c
35．（2021·全国·七年级课时练习）如图 中，D、E分别为BC边上的两点，且 ，则图中面积
相同的三角形有几对（ ）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
36．（2021·江苏·泰州中学附属初中七年级期末）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平
分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120°
37．（2021·河北唐山·七年级期末）如图，在 中， ， 分别是边 上的中线和高， ，
，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
38．（2021·浙江台州·七年级期末）在螳螂的示意图中，AB∥DE，∠ABC＝126°，∠CDE＝70°，则∠BCD＝（
）
A．14° B．16° C．18° D．20°
39．（2021·山东烟台·七年级期末）如图， 是 的一个外角，E是边AB上一点，下列结论不正确的是
（ ）A． B． C． D．
40．（2021·河南郑州·七年级期末）如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥AC，垂足分别为C，D，E，则下列说法正确的
是（ ）
A．BC是△BCD的高 B．DE＝ BC
C．∠CEB＝∠ABC D．DE是△ACD的高
二、填空题
41．（2022·江苏·滨海县第一初级中学七年级阶段练习）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周
长比△ABD的周长多2cm，已知AB＝4cm，则AC的长为__cm．
42．（2022·河南·漯河市实验中学七年级阶段练习）如图，直线 ，一块含 角的直角三角板ABC（
）按如图所示放置．若 ，则 的度数为______．
43．（2022·江苏泰州·七年级期末）下面每组里面3条线段可以围成三角形的是：①8、4、5；②5、4、9；③4、
4、8；④5、12、13__________．（填序号）
44．（2022·吉林白城·七年级期末）我们将一副三角尺按如图所示的位置摆放，则 _______°．45．（2021·河南南阳·七年级期末）将一副三角板如图放置，使点A落在 上，若 ，则 的度数为
_______．
46．（2021·上海市川沙中学南校七年级期末）如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝56°，
∠2＝29°，则∠A的度数为______度．
47．（2022·全国·七年级）如图，已知 是 的边 上的中线，若 ， 的周长比 的周长
多 ，则 __________ ．
三、解答题
48．（2021·上海普陀·七年级期末）如图，已知 中， ，根据下列要求画图并回答问题
(1)画 边上的高 ，过点A画直线 ．（不要求写画法和结论）
(2)在（1）的图形中，如果 ，点B到直线 的距离是3，点C到直线 的距离是4，那么直线 与
间的距离等于____________．（用含a的代数式表示）
49．（2021·上海民办建平远翔学校七年级期末）如图，已知 ，D为△ABC的边BC上的一点，且， ．求∠B的度数．
50．（2021·河北廊坊·七年级）如图，已知AC∥EH，BD∥AF，∠1＝40°．
(1)求∠DBC的度数；
(2)若ED平分∠BDG，交HG于E，且∠E＝10°，求∠DGH的度数．
51．（2022·江苏·泰兴市洋思中学七年级阶段练习）如图，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的
中点，E点在边AB上．
（1）若三角形BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，求线段AE的长．
（2）若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2，求线段AE的长．
52．（2021·全国·七年级课时练习）已知：如图，点E在AC上，点F在AB上，BE、CF交于点O，且
， ，求 的度数．
53．（2021·陕西商洛·七年级期末）如图， ， ．
（1）如图①，求证： ；
（2）如图②，若点 、 在 上，且满足 ，并且 平分 ．①求 的度数；
②求 的比值；
（3）在（2）的条件下，若 ，如图③，求出此时 的度数．1．B
【详解】
解：根据三角形的定义，
A选项不符合三角形的定义；
B选项符合三角形的定义；
C选项不符合三角形的定义；
D选项不符合三角形的定义；
故选B.
2．C
【详解】
根据图形依次查找可得：△ABE、△ABC、△BCE、△BCD、△DCE，共5个三角形，
故选：C．
3．B
【详解】
解：第①个图形中有1+2=3个三角形；
第②个图形中有1+2+3+4=10个三角形；
第③个图形中有1+2+3+4+5+6=21个三角形；
…
第n个图形中由1+2+3+4+5+2n=n(2n+1)个三角形
∴第⑥个图形三角形个数为1+2+3+…+12=6×13=78个，
故选：B．
4．D
【详解】
解：A、有一个内角是直角的三角形是直角三角形，选项正确，不符合题意；
B、一个三角形只能有一个内角是钝角,选项正确，不符合题意；
C、两直线相交，对顶角相等，选项正确，不符合题意；
D、有两个内角是锐角的三角形不一定是锐角三角形，可能是直角或钝角三角形，选项错误，符合题意；
故选：D．
5．C
【详解】
解：∵ 中， ， ，
∴∠C=180°-∠A-∠B=100°，
∴ 是钝角三角形．故选C．
6．D
【详解】
解：三角形按边分类可以分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，其中等腰三角形分为腰与底相等的等腰三角
形（等边三角形）和腰与底不相等的等腰三角形两类．
故选：D
7．D
【详解】
所给的四个图形中，只有选项D的三角形具有稳定性，其它选项的图形均不具有稳定性，故符合题意的选项为
D；
故选：D．
8．A
【详解】
解：常用木条固定长方形门框ABCD，使其不变形，
这种做法的根据是三角形具有稳定性．
故选：A．
【点睛】
本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因
此要使一些图形具有稳定的结构．
9．C
【解析】
【分析】
根据三角形具有稳定性而四边形不具有稳定性判断即可．
【详解】
由于四边形不具有稳定性，故（1）不具有稳定性；根据三角形的稳定性，图中具有稳定性的有（2），（3），而
（4）虽然含有三角形，但右侧的四边形不具稳定性，所以整体也就不具稳定性．
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的稳定性性质，四边形的不稳定性，无论是三角形的稳定性还是四边形的不稳定性，它们在生
产生活中都有着广泛的应用．
10．C
【解析】
【分析】
根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、∵1+2=3，∴不能组成三角形，故本选项错误；
B、∵10-4＞5，∴不能组成三角形，故本选项错误；
C、∵10-6＜8＜10+6，∴能组成三角形，故本选项正确；
D、∵5+5=10，∴不能组成三角形，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的
关键．
11．D
【解析】
【分析】
根据三角形三边的关系确定第三边长的取值范围即可得到答案．
【详解】
解：由题意得6-5＜第三边长＜6+5，
∴1＜第三边长＜11，
∵第三边长是奇数，
∴第三边长可以是3、5、7、9，不可以是11，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了三角形三边的关系，熟知三角形三边中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
12．C
【解析】
【分析】
根据三角形任意两边的和大于第三边，进而得出答案．
【详解】
解： 三角形三边长分别为2，8， ，
，
即： ，
只有9符合，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了三角形三边关系，解题的关键是正确把握三角形三边关系定理．
13．A
【解析】
【分析】根据三角形高线定义解答．
【详解】
解：B、C、D选项都不是 的边 上的高线，
故选：B．
【点睛】
本题考查作图—基本作图，熟知三角形高线的定义是解题关键．
14．C
【解析】
【分析】
结合题意，根据三角形高的定义逐一分析，即可得到答案．
【详解】
选项A是 中BC边上的高，故不符合题意；
选项B不是 的高，故不符合题意；
选项C是 中AC边上的高，故符合题意；
选项D为 中 边上的高，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形高的定义，从而完成求解．
15．C
【解析】
【分析】
根据三角形高的定义判断即可；
【详解】
A中AD是边BC上面的高，故不符合题意；
B中不符合三角形高的作图，故不符合题意；
C中CD是AB边上的高，故符合题意；
D中BD是AC边上的高，故不符合题意；
故选C．
【点睛】
本题主要考查了三角形高的画法，准确分析是解题的关键．
16．B
【解析】
【分析】
由CD是AB边上的中线，即可知 ，再根据三角形周长的求法即可得出答案．
【详解】∵CD是AB边上的中线，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
故选B．
【点睛】
本题考查三角形中线．掌握三角形中线的定义是解题关键．
17．B
【解析】
【分析】
根据题意，AD是△ABC的边BC上的中线，可得BD=CD，进而得出△ABD的周长=AB+BD+AD，△ACD的周长
=AC+CD+AD，相减即可得到周长差．
【详解】
解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∴△ABD与△ACD的周长之差为：（AB+BD+AD）-（AC+CD+AD）=AB+BD+AD-AC-CD-AD=AB-AC=5-3=2；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了三角形的中线、高和三角形周长的求法，熟练掌握三角形周长公式是解题的关键．
18．B
【解析】
【分析】
根据三角形的中线平分三角形的面积即可得到结论．
【详解】
设 ，
∵AF为△ADE的中线．
∴
∵E分别为△ABC的边AC的中点，
∴
∵D分别为△ABC的边BC的中点，
∴∴四边形ABDF的面积=
解得
∴
故选：B
【点睛】
本题考查了三角形的面积，熟练三角形的中线平分三角形的面积是解题的关键．
19．B
【解析】
【分析】
利用角平分线的定义得到相等的角，由平角的定义，可知∠EOC与∠COD互余，∠AOE与∠BOD互余．而
∠AOE＝∠EOC，故可知∠AOE的余角有两个．
【详解】
解：∵OD平分 ，OE平分
又 是平角
即
．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了平角的定义，平分线的定义，余角的定义，解题关键是理解“如果两个角的和等于 ，那么这两
个角互为余角”，只与和有关，与位置无关．
20．B
【解析】
【分析】
根据三角形的角平分线的定义与性质判断①与②；根据三角形的高的定义及性质判断④；根据三角形的中线的定
义及性质判断③即可．
【详解】
解：①三角形的角平分线是线段，故①说法错误；
②三角形的三条角平分线都在三角形内部，故②说法正确；
③因为三角形的一条中线把该三角形分成的两个三角形等底同高，所以这两部分的面积相等，故③说法正确；
④锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角
形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．故④说法错误．
故正确的有②③．
故选：B．【点睛】
本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线、中线和高的定义及性质，是基础题．
21．C
【解析】
【分析】
根据已知条件可得 ， ，在根据勾股定理计算即可；
【详解】
∵ 是 的角平分线， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ;
故选B．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用，角平分线的性质，直角三角形的性质，准确计算是解题的关键．
22．B
【解析】
【分析】
根据三角形三边关系定理得出10−6＜a＜10＋6，求出即可．
【详解】
解：由三角形三边关系定理得：10−6＜a＜10＋6，
即4＜a＜16，
即符合的只有8，
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形三边关系定理，能根据定理得出10−6＜a＜10＋6是解此题的关键，注意：三角形的两边之和大
于第三边，三角形的两边之差小于第三边．
23．B
【解析】
【分析】根据平行线的性质得∠1＝∠ADE，根据三角形外角性质有∠α＝∠ADE＋∠A，可计算出∠ADE＝110°−45°＝65°，
则∠1＝65°，根据对顶角相等即可得到∠β的度数．
【详解】
解：如图，
∵m n，
∴∠1＝∠ADE，∠ADE=∠β，
∵∠α＝∠ADE＋∠A，
而∠A＝45°，∠α＝110°，
∴∠ADE＝110°−45°＝65°，
∴∠1＝65°，
∴∠β＝65°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等．也考查了三角形外角性质以及对顶角的性质，解题关键是
掌握平行线的性质，三角形外角性质以及对顶角的性质．
24．D
【解析】
【分析】
根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】
解：∵ ， ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
25．A
【解析】
【分析】
根据平角的定义可判断A，D，根据同角的余角相等可判断B，根据三角形的外角的性质可判断C，从而可得答案.
【详解】解：选项A：根据平角的定义得：∠α+90°+∠β=180°，
∴∠α+∠β=90°， 即∠α与∠β互余；故A符合题意；
选项B：如图，
故B不符合题意；
选项C：如图，
故C不符合题意；
选项D：
故D不符合题意；
故选A
【点睛】
本题考查的是平角的定义，互余的含义，同角的余角相等，三角形的外角的性质，掌握“与直角三角形有关的角
度的计算”是解本题的关键.
26．C
【解析】
【分析】
根据三角形的三边关系，逐项判断即可求解．
【详解】
解：A、 ，不符合三角形的三边规则，两边之和大于第三边，不能组成三角形，所以本选项不符合题意，
故A错误；
B、 ，不符合三角形的三边规则，两边之和大于第三边，不能组成三角形，所以本选项不符合题意，故B
错误；
C、 ，符合三角形的三边规则，两边之和大于第三边，能组成三角形，所以本选项符合题意，故C正确；
D、 ，不符合三角形的三边规则，两边之和大于第三边，不能组成三角形，所以本选项不符合题意，故D
错误．故选：C
【点睛】
本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．
27．A
【解析】
【分析】
连接AB，根据三角形三边关系的性质，得点A、B间的距离的范围，即可得到答案．
【详解】
连接AB，如下图：
∵OA=12米，OB=9米
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴点A、B间的距离不可能是22米，
故选A．
【点睛】
本题考查了三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形三边关系的性质，从而完成求解．
28．A
【解析】
【分析】
三角形的一条中线分三角形为两个三角形，这两个三角形的面积相等，根据以上内容求出每个三角形的面积，即
可求出答案．
【详解】
解：∵S ABC=16cm2，D为BC中点，
△
∴S ADB=S ADC= S ABC=8cm2，
△ △ △
∵E为AD的中点，
∴S CED= S ADC=4cm2，
△ △
∵F为CE的中点，∴S DEF= S DEC=2cm2；
△ △
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形的面积，能灵活运用等底等高的三角形的面积相等进行求解是解此题的关键．
29．D
【解析】
【分析】
延长BE交AC于点G，根据三角形外角性质和内角和定理计算即可；
【详解】
延长BE交AC于点G，
∵ 是 的外角， 是 的外角，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ；
故选D．
【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理和外角定理，准确计算是解题的关键．
30．B
【解析】
【分析】
延长BC，交AD于点E，根据三角形外角的性质，可得∠1＝∠B＋∠A＝110°，再根据三角形外角的性质，可
得∠BCD＝∠1＋∠D＝140°．
【详解】
如图，延长BC，交AD于点E，∵∠1是ΔABE的外角，∠A＝90°，∠B=20°，
∴∠1=∠B+∠A=20°+90°=110°，
∵∠BCD是ΔDEC的外角，∠D＝30°，
∴∠BCD=∠1+∠D=110°+30° =140°；
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质：三角形的一个外角，等于与它不相邻
的两个内角的和．
31． 的形状是等边三角形．
【解析】
【分析】
利用平方数的非负性，求解a，b，c的关系，进而判断 ．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴a=b=c，
∴ 是等边三角形．
【点睛】
本题主要是考查了三角形的分类，熟练掌握各类三角形的特点，例如三边相等为等边三角形，含 的三角形为直
角三角形等，这是解决此类题的关键．
32．（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的定义可得∠ABC＝2∠CBO，∠ACE＝2∠ECO，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个
内角的和可得∠ACE＝∠A＋∠ABC，∠ECO＝∠BOC＋∠CBO，然后整理即可得到∠A＝2∠BOC，再求解即可；
（2）与（1）的求解方法相同．【详解】
解：（1）∵O是△ABC的内角∠ABC和外角∠ACE的平分线的交点，
∴∠ABC＝2∠CBO，∠ACE＝2∠ECO，
由三角形的外角性质得，∠ACE＝∠A＋∠ABC，∠ECO＝∠BOC＋∠CBO，
∴∠A＋∠ABC＝2（∠BOC＋∠CBO），
∴然后整理即可得到∠A＝2∠BOC，
∵∠A＝48°，
∴∠BOC＝24°；
（2））∵O是△ABC的内角∠ABC和外角∠ACE的平分线的交点，
∴∠ABC＝2∠CBO，∠ACE＝2∠ECO，
由三角形的外角性质得，∠ACE＝∠A＋∠ABC，∠ECO＝∠BOC＋∠CBO，
∴∠A＋∠ABC＝2（∠BOC＋∠CBO），
∴然后整理即可得到∠A＝2∠BOC，
∵∠A＝n°，
∴∠BOC＝ ．
【点睛】
本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图是
解题的关键．
33．B
【解析】
【分析】
从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据高线的定义即可得出结论．
【详解】
解：A．作出的是△ABC中BC边上的高线，故本选项错误；
B．作出的是△ABC中AB边上的高线，故本选项正确；
C．不能作出△ABC中AB边上的高线，故本选项错误；
D．作出的是△ABC中AC边上的高线，故本选项错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查的是作图-基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．
34．D
【解析】
【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，得出a＋b−c＞0，b−a−c＜0，进而去绝对值，化简即可．
【详解】
解：∵a，b，c为三角形的三边，
∴a＋b−c＞0，b−a−c＜0，
∴|a＋b−c|−|b−a−c|
＝a＋b−c−[−（b−a−c）]
＝a＋b−c＋b−a−c
＝2b﹣2c．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了三角形三边关系，注意只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段
能构成一个三角形．
35．C
【解析】
【分析】
根据三角形的面积公式，只要同底等高，则两个三角形的面积相等，据此可得面积相等的三角形．
【详解】
由已知条件△ABD，△ADE，△ACE是3个面积都相等的三角形，组成了3对，
还有△ABE和△ACD的面积相等，共4对．
故选C．
【点睛】
本题考查了三角形的面积问题，解题的关键是熟练的掌握三角形面积公式与运用．
36．D
【解析】
【分析】
连接A'A，先求出∠BAC，再证明∠1+∠2=2∠BAC即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接AA'，
∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，
∴∠A'BC= ∠ABC，∠A'CB= ∠ACB，
∵∠BA'C=120°，
∴∠A'BC+∠A'CB=180°-120°=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∴∠BAC=180°-120°=60°，∵沿DE折叠，
∴∠DAA'=∠DA'A，∠EAA'=∠EA'A，
∵∠1=∠DAA'+∠DA'A=2∠DAA'，∠2=∠EAA'+∠EA'A=2∠EAA'，
∴∠1+∠2=2∠DAA'+2∠EAA'=2∠BAC=2×60°=120°，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角的性质、折叠变换等知识，解题的关键是正确添加辅
助线，灵活应用所学知识，属于中考常考题型．
37．C
【解析】
【分析】
先根据 求出BD的长，然后根据中线的定义求出BC的长即可．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
∵AD是中线，
∴BC=2BD=8cm
故选C．
【点睛】
本题主要考查了三角形中线的定义，三角形的面积，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
38．B【解析】
【分析】
如图，延长CD交AB于点M．由平角的定义可得∠EDM=180°-∠CDE=110°．由AB//DE，可得
∠BMC=∠EDM=110°．由三角形外角的性质，可得∠BCD=∠ABC-∠BMC=16°．
【详解】
解：如图，延长CD交AB于点M．
∵∠CDE+∠EDM=180°，∠CDE=70°，
∴∠EDM=180°-∠CDE=110°．
∵AB//DE，
∴∠AMD=∠EDM=110°．
又∵∠ABC=∠BMC+∠BCD，
∴∠BCD=∠ABC-∠BMC=126°-110°=16°．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质以及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质以及三角形外角的性质是解决本题的
关键．
39．B
【解析】
【分析】
三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，根据以上知识点逐个判断即可．
【详解】
解：A、∠BCD是△ABC的一个外角，则∠BCD＞∠A，不符合题意．
B、∠BCD是△ABC的一个外角，则∠1是△BEC的一个外角，∠BCD与∠1无法比较大小，符合题意．
C、∠2是△AEC的一个外角，则∠2＞∠3，不符合题意．
D、∠BCD是△ABC的一个外角，则∠BCD＝∠A＋∠B，不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形的外角的性质的应用，能熟记知识点是解此题的关键，注意：三角形的一个外角大于任何一个
不相邻的内角．
40．D【解析】
【分析】
根据三角形的高的定义，三角形内角和定理等逐项分析即可
【详解】
A．△BCD中BC是斜边，故A错误，不符合题意；
B．DE∥BC，但DE≠ ，故B错误，不符合题意；
C．∵∠CEB＝∠A+∠ABE，∠ABC＝∠CBE+∠ABE，
AC⊥BC，CD⊥AB，
∠A＝∠BCD，∠BCD≠∠CBE，
∴∠CEB≠∠ABC，故C错误，不符合题意；
D．DE是△ACD的高，故D正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形的高的定义，三角形内角和定理，掌握以上性质定理是解题的关键．
41．6
【解析】
【分析】
利用三角形的中线定义可得CD= BD，再根据 ADC的周长比 ABD的周长多2cm可得AC - AB = 2cm，进而可
得AC的长． △ △
【详解】
AD是BC边上的中线
CD= BD
ADC的周长比 ABD的周长多2cm
△ (AC+ CD+ AD)-△(AD+ DB+ AB)= 2cm
AC - AB = 2cm
AB = 4cm
AC = 6cm
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
42．103°##103度
【解析】
【分析】根据三角形外角和内角的关系，先求出∠3的度数，再利用平行线的性质，求出∠2．
【详解】
解：如图所示，∵∠1＝∠ADE＝43°，
∠3＝∠A+∠ADE
＝60°+43°
＝103°．
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝103°．
故答案为：103°．
【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理、外角定理和平行线的性质，准确计算是解题的关键．
43．①④##④①
【解析】
【分析】
根据三角形两边之和大于第三边对各组进行判断即可．
【详解】
解：① ，可以围成三角形；② ，不可以围成三角形；③ ，不可以围成三角形；④
，可以围成三角形；
故答案为：①④．
【点睛】
此题考查了三角形三边关系的问题，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边．
44．45
【解析】
【分析】
利用三角形的外角性质分别求得∠α和∠β的值，代入求解即可．
【详解】
解：根据题意，∠A=60°，∠C=30°，∠D=∠DBG=45°，∠ABC=∠DGB=∠DGC=90°，∴∠β=∠DBG+∠C=75°，∠α=∠DGC+∠C=120°，
∴∠α−∠β=120°-75°=45°，
故答案为：45．
【点睛】
本题考查了三角形的外角性质，解答本题的关键是明确题意，找到三角板中隐含的角的度数，利用数形结合的思
想解答．
45．75°
【解析】
【分析】
先根据BC∥DE及三角板的度数求出∠EAB的度数，再根据三角形内角与外角的性质即可求出∠EFB的度数在．
【详解】
解：∵BC∥DE，△ABC为等腰直角三角形，
∴∠FBC＝∠EAB （180°﹣90°）＝45°，
∵∠EFB是△AEF的外角，
∴∠EFB＝∠FAE+∠E＝45°+30°＝75°．
故答案为：75°．
【点睛】
本题考查的是平行线的性质及三角形内角与外角的关系，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
46．27
【解析】
【分析】
如图，∠3＝∠1，由∠3＝∠2+∠A计算求解即可．
【详解】
解：如图
∵a∥b，∠1＝56°∴∠3＝∠1＝56°
∵∠3＝∠2+∠A，∠2＝29°
∴∠A＝∠3﹣∠2＝56°﹣29°＝27°
故答案为：27．
【点睛】
本题考查了平行线性质中的同位角，三角形的外角等知识．解题的关键在于正确的表示角的数量关系．
47．7
【解析】
【分析】
先根据三角形中线的定义可得 ，再根据三角形的周长公式即可得．
【详解】
解： 是 的边 上的中线，
，
的周长比 的周长多 ，且 ，
，即 ，
解得 ，
故答案为：7．
【点睛】
本题考查了三角形的中线，掌握理解三角形中线的定义是解题关键．
48．(1)画图见解析：
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据题意画出图形即可；
（2）根据等面积法求解即可．
(1)
按照题意画图如下图所示：
(2)
中 ，即 ，又点B到直线 的距离是3，即 ；
点C到直线 的距离是4，即
又 的面积 ，
所以 ，
因为 ，
所以直线 与 之间的距离等于
故答案为：
【点睛】
本题考查了三角形的高，点到直线的距离，等面积法求三角形的高，掌握三角形的高的意义是解题的关键．
49．80°
【解析】
【分析】
根据三角形外角的性质解得 ，再利用三角形内角和180°解题．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴
故∠B的度数为80°．
【点睛】
本题考查三角形外角性质、三角形内角和定理，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
50．(1)∠DBC＝40°
(2)∠DGH＝60°
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质即可求解；
（2）根据三角形外角的性质∠2＝∠1+∠E＝50°，由BD∥AF得∠BDE＝∠2＝50°，根据角平分线的定义∠EDG＝
∠BDE＝50°，再根据三角形外角的性质即可求解．
(1)
解：∵AC∥EH，
∴∠A＝∠1＝40°，∵BD∥AF，
∴∠DBC＝∠A＝40°；
(2)
解：如图：
∵∠2＝∠1+∠E＝50°，BD∥AF，
∴∠BDE＝∠2＝50°，
∵ED平分∠BDG，
∴∠EDG＝∠BDE＝50°，
∴∠DGH＝∠EDG+∠E＝50°+10°＝60°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及三角形外角的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．
51．（1） ；（2） 或 ．
【解析】
【分析】
（1）由图可知三角形 的周长 ，四边形 的周长 ， ，所以
，则可解得 ；
（2）由三角形 的周长被 分成的两部分的差是2，可得方程① 或② ．解得
或 ．
【详解】
解：（1）由图可知三角形 的周长 ，四边形 的周长 ，
又三角形 的周长与四边形 的周长相等， 为 中点，
， ，
即 ，
又 ， ， ，
，
．
（2）由三角形 的周长被 分成的两部分的差是2，可得方程
①当 时，即： ，解得： ，
②当 时．即： ，解得 ．
故 长为 或 ．【点睛】
本题考查了三角形中线性质，三角形周长的计算，关键是要学会分类讨论的思想思考问题．
52．45°
【解析】
【分析】
先根据三角形外角的性质得到∠BFC=∠A+∠C，∠EOF=∠B+∠BFC，从而推出∠EOF-∠A=∠C+∠B，再由∠EOF-
∠A=70°，即可得到∠C=70°-∠B，再根据∠C-∠B=20°，进行求解即可．
【详解】
解：∵∠BFC=∠A+∠C，∠EOF=∠B+∠BFC，
∴∠EOF=∠A+∠C+∠B，即∠EOF-∠A=∠C+∠B
∵∠EOF-∠A=70°，
∴∠C+∠B=70°，即∠C=70°-∠B，
∵∠C-∠B=20°，
∴70°-2∠B=20°，
∴∠B=25°，
∴∠C=45°．
【点睛】
本题主要考查了三角形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握三角形外角的性质．
53．（1）见解析；（2）① ；② ；（3） ．
【解析】
【分析】
（1）由根据平行线的性质与判定证明即可；．
（2）①由 ，并且 平分 得到 ，进而可
出结果；②先得出 ，即可得到 ．
（3）设 ， ，依据 ，即可得到 ，根据 ，可得 ，进而得出 ．
【详解】
（1）证明： ，
，
，
，
．
（2）解：① ，
∴由（1）得 ；
，并且 平分 ，
， ，
，
∴ 的度数为 ．
② ，
，
又 ，
，
，
．
（3） ，
，
设 ， ，
，
，
，
，
，
，
，，
，
．
∴ 的度数为 ．
