文档内容
专题 17 圆锥曲线的综合应用
（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）
知识点1 直线与椭圆的位置关系
1、直线与椭圆的位置判断
设直线方程为 ，椭圆方程为
联立 消去y得一个关于x的一元二次方程
① 直线和椭圆相交 直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；
② 直线和椭圆相切 直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；
③ 直线和椭圆相离 直线和椭圆无公共点．
2、直线与椭圆相交的弦长公式
（1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．
（2）求弦长的方法
①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．
②根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x，y)，(x，y)，
1 1 2 2
则弦长公式为：
知识点2 直线与双曲线的位置关系
1、直线与双曲线的位置关系判断将双曲线方程 与直线方程 联立消去 得到关于 的一元二次方程
，
（1）当 ，即 ，直线 与双曲线的渐近线平行，直线 与双曲线只有一个交点；
（2）当 ，即 ，设该一元二次方程的判别式为 ，
若 ，直线与双曲线相交，有两个公共点；
若 ，直线与双曲线相切，有一个公共点；
若 ，直线与双曲线相离，没有公共点；
注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切.
2、直线与双曲线弦长求法
若直线 与双曲线 （ ， ）交于 ， 两点，
则 或 （ ）．（具体同椭圆相同）
知识点3 直线与抛物线的位置关系
1、直线与抛物线的位置关系有三种情况
相交（有两个公共点或一个公共点）；
相切（有一个公共点）；
相离（没有公共点）.
2、以抛物线 与直线的位置关系为例：
（1）直线的斜率 不存在，设直线方程为 ，
若 ，直线与抛物线有两个交点；
若 ，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点；
若 ，直线与抛物线没有交点.
（2）直线的斜率 存在.
设直线 ，抛物线 ，
直线与抛物线的交点的个数等于方程组 ，的解的个数，
即二次方程 （或 ）解的个数.
①若 ，
则当 时，直线与抛物线相交，有两个公共点；
当 时，直线与抛物线相切，有个公共点；当 时，直线与抛物线相离，无公共点.
②若 ，则直线 与抛物线 相交，有一个公共点.
3、直线与抛物线相交弦长问题
（1）一般弦长
设 为抛物线 的弦， ， ，弦AB的中点为 .
①弦长公式： （ 为直线 的斜率，且 ）.
② ,
推导：由题意，知 ，① ②
由①-②，得 ，故 ，即 .
③直线 的方程为 .
（2）焦点弦长
如图， 是抛物线 过焦点 的一条弦，
设 ， ， 的中点 ，
过点 ， ， 分别向抛物线的准线 作垂线，垂足分别为点 ， ， ，
根据抛物线的定义有 ， ，
故 .
又因为 是梯形 的中位线，所以 ，
从而有下列结论；
①以 为直径的圆必与准线 相切.
② (焦点弦长与中点关系)
③ .
④若直线 的倾斜角为 ，则 .
⑤ ， 两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即 ， .
⑥ 为定值 .重难点01 求解圆锥曲线中的定点问题的两种方法
1、特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关．
2、直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的
常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的
常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组③以②中
方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决．
【典例1】（24-25高三上·甘肃白银·月考）已知离心率为 的椭圆 的右焦点为 ，
点 为椭圆上第一象限内的一点，满足 垂直于 轴，且 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)直线 的斜率存在，交椭圆 于 两点， 三点不共线，且直线 和直线 关于直线 对称，
证明：直线 过定点.
【典例2】（23-24高三下·江西九江·二模）已知双曲线 的离心率为 ，点
在 上．
(1)求双曲线 的方程；
(2)直线 与双曲线 交于不同的两点 ， ，若直线 ， 的斜率互为倒数，证明：直线 过定点．
【典例3】（24-25高三上·湖北·开学考试）已知平面内一动圆过点 ，且在y轴上截得弦长为4，动
圆圆心的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)若过点 的直线l与曲线C交于点M，N，问：以MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这
个定点；若不过定点，请说明理由.重难点02 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
1、求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；
2、求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简变形求
得；
3、求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简变形即可求得．
【典例1】（24-25高二上·江苏南通·月考）已知椭圆 的右焦点为 ，斜率不为0的直线 与
交于 两点.
(1)若 是线段 的中点，求直线 的方程；
(2)若直线 经过点 （点 在点 之间），直线 与直线 的斜率分别为 ，求证：
为定值.
【典例2】（23-24高三下·河南郑州·月考）已知双曲线 的右焦点为 ，双曲线
的上焦点为 ，直线 ，且 既是 的渐近线也是 的渐近线．
(1)求 的方程；
(2)过 作与 轴不垂直的直线与 的右支交于点 ，若点 在 轴上，且 ，求证： 为定
值，并求出该定值．【典例3】（23-24高三下·重庆·模拟预测）已知抛物线 ： 与双曲线 ： 相交于点
．
(1)若 ，求抛物线 的准线方程；
(2)记直线l： 与 、 分别切于点M、N，当p变化时，求证： 的面积为定值，并求出该
定值．
重难点03 圆锥曲线中的定直线问题
一般需要根据题中条件，设出所需直线方程，联立直线与圆锥曲线方程，根据根与系数的关系以及题中条
件，求出动点的坐标满足的关系，从而可确定结果(一般得到动点横坐标或纵坐标为定值)．
【典例1】（23-24高三下·河北衡水·模拟预测）已知椭圆 的左､右焦点分别为
是 上一点，且点 到点 的距离之和为 .
(1)求 的方程；
(2)斜率为 的直线 与 交于 两点，则 的外心是否在一条定直线上？若在，求出该直线的方程；
若不在，请说明理由.
【典例2】（24-25高三上·江西南昌·开学考试）已知双曲线 的焦距为4，过右焦
点 且垂直 轴的直线交曲线 的右支于 两点（ 在 轴上方）， ，过右焦点 的动直线交
的左支于点 ，交 的右支于点 ，直线 和 的交点为 .
(1)求双曲线 的标准方程；(2)证明点 在定直线上，并求出该定直线的方程.
【典例3】（23-24高三下·河北保定·二模）已知抛物线 的焦点为 ，过 作互相垂直的
直线 ，分别与 交于 和 两点（A，D在第一象限），当直线 的倾斜角等于 时，四边形
的面积为 ．
(1)求C的方程；
(2)设直线AD与BE交于点Q，证明：点 在定直线上．
重难点04 圆锥曲线中的范围、最值问题的解题方法
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
【典例1】（23-24高三下·湖南郴州·模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，椭圆 上一点 到左焦点的距
离的最小值为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知直线 与椭圆 交于 、 两点，且 ，求△OMN面积的取值范围.
【典例2】（23-24高三下·江西·一模）已知双曲线 （ ， ）的一条渐近线的倾斜角
为 ，C的右焦点F到该渐近线的距离为 .
(1)求C的方程；(2)若过F的直线与C的左、右支分别交于点A，B，与圆 交于与A，B不重合的M，N两点.
（ⅰ）求直线AB斜率的取值范围；
（ⅱ）求 的取值范围.
【典例3】（23-24高三下·江西宜春·模拟预测）已知双曲线 的焦距为 ，过点
的直线 与 交于A，B两点，且当 与 轴平行时， ．
(1)求 的方程；
(2)记 的右顶点为 ，若点A，B均在 的左支上，直线AT，BT分别与 轴交于点M，N，且 ，
，求 的取值范围．
重难点05 圆锥曲线中的证明问题
圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如
存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直
接法证明，但有时也会用到反证法．
【典例1】（24-25高三上·北京海淀·开学考试）已知椭圆 的离心率为 ．
(1)求椭圆E的方程和短轴长；
(2)设直线 与椭圆E相切于第一象限内的点P，不过原点O且平行于 的直线 与椭圆E交于不
同的两点A，B，点A关于原点O的对称点为C，证明： ．
【典例2】（24-25高三上·浙江·月考）已知双曲线 与过点 ，的直线有且只有一个公共点 ，且双曲线 的离心率 ．
(1)求直线 和双曲线 的方程；
(2)设 ， 为双曲线 的左、右焦点， 为线段 的中点，求证： ．
【典例3】（23-24高三下·广西来宾·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知F为抛物线C：
的焦点，O为坐标原点，M为C的准线l上一点，直线MF的斜率为 ， 的面积为
4．
(1)求C的方程；
(2)过点F的直线交C于A，B两点，过点B作y轴的垂线交直线AO于点D，过点A作直线DF的垂线与C
的另一交点为E，AE的中点为G，证明：G，B，D三点纵坐标相等．
重难点06 圆锥曲线中的探索性问题
存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．
（1）当条件和结论不唯一时，要分类讨论；
（2）当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；
（3）当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意．
【典例1】（24-25高三上·云南昆明·月考）动点 到直线 与直线 的距离之积等
于 ，且 ．记点M的轨迹方程为 ．
(1)求 的方程；
(2)过 上的点P作圆 的切线PT，T为切点，求 的最小值；
(3)已知点 ，直线 交 于点A，B， 上是否存在点C满足 ？若存
在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．【典例2】（23-24高三下·河南·月考）已知椭圆 与双曲线 的焦点
与 的焦点间的距离为 .
(1)求 与 的方程；
(2)过坐标轴上的点 可以作两条 与 的公切线.
（i）求点 的坐标.
（ii）当点 在 轴上时，是否存在过点 的直线 ，使 与 均有两个交点？若存在，请求出 的方程；
若不存在，请说明理由.
一、直线与圆锥曲线位置关系判断
1、直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立方程消元后得到
一元二次方程，其中 ；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直
线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到．
2、直线与圆锥曲线只有一个公共点则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，
或直线与圆锥曲线相切．
【典例1】（24-25高三上·广东·开学考试）已知直线 与椭圆 相交，则C的长轴长
的取值范围是 ．
【典例2】（23-24高三下·福建漳州·三模）写出过点 且与抛物线 有唯一公共点的一条直
线方程 .
【典例3】（23-24高三下·四川绵阳·月考）过双曲线 ： 左焦点为 和点 直线 与双
曲线 的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、直线与圆锥曲线的弦长问题设 ， 根据两点距离公式 ．
（1）若 在直线 上，代入化简，得
；
所在直线方程为 ，代入化简，得
（2）若
（3）构造直角三角形求解弦长， ．其中 为直线 斜率， 为直线倾斜角．
【典例1】（23-24高三下·安徽芜湖·模拟预测）已知椭圆 ，一组斜率 的平行直线与椭圆相交，
则这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（23-24高三下·陕西宝鸡·模拟预测）已知直线 与双曲线 交
于 两点，点 是弦 的中点，则双曲线 的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．3
【典例3】（23-24高三下·贵州黔南·二模）已知抛物线 ： （ ）的焦点为 ，过焦点 作直
线 交抛物线 于 两点， 为抛物线 上的动点，且 的最小值为1.
(1)抛物线 的方程；
(2)若直线 交抛物线 的准线于点 ，求线段 的中点的坐标.
三、圆锥曲线的中点弦问题
1、解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路
（1）根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系
数的关系及中点坐标公式求解．
（2）点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为 ， ，将这两点坐标分别代入
圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和直线AB斜率有关的式子，可以大大减
少计算量．
2、点差法常用结论
已知 ， 为圆锥曲线 上的两点， 的中点为 ，直线 的斜率为 ．若 的方程为 ，则 ；
若 的方程为 ，则 ；
若 的方程为 ，则 ．
【典例1】（24-25高三上·云南·月考）动圆 经过原点，且与直线 相切，记圆心 的轨迹为 ，
直线 与 交于 两点，则 .
【典例2】（23-24高三下·安徽·一模）已知双曲线C： 的离心率为2.且经过点 .
(1)求C的方程；
(2)若直线l与C交于A，B两点，且 （点O为坐标原点），求 的取值范围.
【典例3】（23-24高三下·河南·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，
点 为椭圆 上一点，且 的面积为 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若倾斜角为 的直线l与C相交于两个不同的点 ，求 的最大值．
四、圆锥曲线中三角形的面积问题
利用三角形面积公式求解
（1） (一般选弦长做底，点到直线的距离为高)；
（2） ．
【典例1】（23-24高三下·湖南郴州·模拟预测）已知抛物线 ，从抛物线内一点 发出平行于轴的光线经过扡物线上点 反射后交抛物线于点 ，则 的面积为 .
【典例2】（24-25高三上·山东泰安·开学考试）设椭圆 的左右焦点分别为 ， ，
点 在C上，且 轴．
(1)求C的方程．
(2)过左焦点 作倾斜角为60°的直线l．直线l与C相交于A，B两点，求 的周长和面积．
【典例3】（24-25高三上·江西南昌·月考）已知双曲线 的右顶点 ，点 到
双曲线 一条渐近线的距离为 .若过双曲线 上一点 作直线 与两条渐近线相交，交点为 ，且分
别在第一象限和第四象限
(1)求双曲线 的方程；
(2)若 ，求 的面积.
五、圆锥曲线中四边形的面积问题
四边形或多个图形面积的关系的转化：分析图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点(尤其是有
平行条件的时候)，可将面积的关系转化，降低计算量，特殊的，对角线互相垂直的四边形，面积=对角线
长度乘积的一半．
【典例1】（24-25高三上·安徽亳州·开学考试）已知椭圆 的左、右焦点为 ，
离心率为 ，点 为椭圆 上任意一点，且 的周长为 ．(1)求椭圆 的方程；
(2)直线 与直线 分别交椭圆 于 和 两点，求四边形 的面积．
【典例2】（24-25高三上·湖南·月考）已知双曲线 的焦点在 轴上，离心率为 ，点 在双曲线
上，点 分别为双曲线的左､右焦点.
(1)求 的方程；
(2)过 作两条相互垂直的直线 和 ，与双曲线的右支分别交于 ， 两点和 两点，求四边形
面积的最小值.
【典例3】（23-24高三下·广东·二模）已知抛物线C： ，焦点为F，准线为l，点Q在准线
l上.倾斜角为 的直线经过点F与抛物线C交于A，B两点，且点A在第一象限.
(1)若Q在x轴上，证明：直线 的斜率等于 ；
(2)已知 ，线段 的垂直平分线经过点Q，并与x轴交于点M，四边形 的面积为 ，求p.
易错点1 忽视直线与双曲线相交的特殊性
点拨：直线与双曲线的位置关系分为：相交、相离、相切三种。其判定方法有两种
一是将直线方程与双曲线的方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程 ，（1）若 ，直线与双曲线相交，有两个交点；若 ，直线与渐进线平行，有一个交点
（2）若 ，直线与双曲线相切，有且只有一个公共点；
（3）若 ，直线与双曲线相离，没有公共点；
二是可以利用数形结合的思想
【典例1】（23-24高三下·浙江绍兴·模拟预测）双曲线 ，过点 作直线 ，与双曲线只
有一个交点M，则 的斜率为 .
【典例2】（24-25高三上·江苏镇江·月考）已知直线 的方程为 ，双曲线 的方程为 若
直线 与双曲线 的右支交于不同的两点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（23-24高三上·重庆南岸·月考）已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为√2，且过
点 .
(1)求双曲线的方程；
(2)直线 与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围.
易错点2 忽视特殊性误判直线与抛物线的位置关系
点拨：在直线与抛物线的位置关系中存在特殊情况，即直线与抛物线对称轴平行时只有一个交点。在解题
时要注意，不要忘记其特殊性．
【典例1】（24-25高三上·湖南衡阳·开学考试）（多选）已知抛物线 过点 ，则（ ）
A．拋物线 的标准方程可能为
B．挞物线 的标准方程可能为
C．过点 与抛物线只有一个公共点的直线有一条
D．过点 与抛物线只有一个公共点的直线有两条
【典例2】（24-25高三上·广东·月考）已知抛物线 的焦点为 ，以 和 的准线上的两
点为顶点可以构成边长为 的等边三角形．
(1)求 的方程；
(2)讨论过点 的直线 与 的交点个数．易错点3 解决直线与圆锥曲线位置关系时忽视对直线斜率不存在的讨论
点拨：解决直线与圆锥曲线位置关系时，常规的方法是设出直线方程，然后与圆锥曲线方程联立，转化为
方程的根与系数间的关系问题求解，因此应注意以下几个问题①所设直线的斜率是否存在，②消元后的方
程是否为一元二次方程，③一元二次方程是否有实根。
【典例1】（23-24高三下·广东·模拟预测）已知 ，直线 交于点 ，且直线
的斜率之积为 ，点 的轨迹记为曲线 ．
(1)求 的方程．
(2)不过点 的直线 与 交于 两点，且直线 与 的斜率之和为 ，试问直线 是否过定点？
若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
【典例2】（24-25高三上·广西南宁·月考）已知双曲线 的两条渐近线方程为
为 上一点．
(1)求双曲线 的方程；
(2)若过点 的直线 与 仅有1个公共点，求 的方程；
(3)过双曲线 的右焦点 作两条互相垂直的直线 ， ，且 与 交于 两点，记 的中点 与
交于 两点，记 的中点为 ．若 ，求点 到直线 的距离的最大值．
