文档内容
七年级数学下学期期末精选易错 60 题（提升版）（北师大版）
一．选择题（共25小题）
1．（2021•饶平县校级模拟）如图，矩形ABCD的周长是10cm，以AB，AD为边向外作正方形
ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm2，那么矩形ABCD的面
积是（ ）
A．3cm2 B．4cm2 C．5cm2 D．6cm2
【分析】设AB＝x，AD＝y，根据题意列出方程x2+y2＝17，2（x+y）＝10，利用完全平方公
式即可求出xy的值．
【解答】解：设AB＝x，AD＝y，
∵正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm2
∴x2+y2＝17，
∵矩形ABCD的周长是10cm
∴2（x+y）＝10，
∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，
∴25＝17+2xy，
∴xy＝4，
∴矩形ABCD的面积为：xy＝4cm2，
故选：B．
【点评】本题考查正方形与矩形的性质，解题的关键是设AB＝x，AD＝y，利用完全平方公式
求出xy的值．
2．（2021春•奉化区校级期末）下列有四个结论，其中正确的是（ ）
①若（x﹣1）x+1＝1，则x只能是2；
②若（x﹣1）（x2+ax+1）的运算结果中不含x2项，则a＝1
③若a+b＝10，ab＝2，则a﹣b＝2
④若4x＝a，8y＝b，则22x﹣3y可表示为
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②④
【分析】①根据不等于1的数的零次幂也为1，可判断是否正确；再用排除法判断A和C错误，然后只需判断③是否正确即可．
【解答】解：①若（x﹣1）x+1＝1，则x可以为﹣1，此时（﹣2）0＝1，故①错误，从而排除
选项A和C；
由于选项B和D均含有②④，故只需考查③
∵（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝102﹣4×2＝92
∴a﹣b＝± ，故③错误．
故选：D．
【点评】本题综合考查了零次幂、多项式乘法、完全平方公式等基本内容，选择题恰当选用
排除法，可使得问题简化．
3．（2019秋•辛集市期末）下列等式中正确的个数是（ ）
①a5+a5＝a10；②（﹣a）6•（﹣a）3•a＝a10；③﹣a4•（﹣a）5＝a20；④25+25＝26．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】①和④利用合并同类项来做；②③都是利用同底数幂的乘法运算法则做（注意一
个负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数）．
【解答】解：①∵a5+a5＝2a5，故①的答案不正确；
②∵（﹣a）6•（﹣a）3•a＝﹣a10 故②的答案不正确；
③∵﹣a4•（﹣a）5＝a9，故③的答案不正确；
④25+25＝2×25＝26．故④的答案正确；
所以正确的个数是1，
故选：B．
【点评】本题主要利用了合并同类项、同底数幂的乘法的知识，注意指数的变化．
4．（2021秋•嵩县期末）如图，在长方形ABCD纸片中，AD∥BC，AB∥CD，把纸片沿EF折叠
后，点C、D分别落在C'、D'的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED'等于（ ）
A．70° B．65° C．50° D．25°
【分析】由平行可求得∠DEF，又由折叠的性质可得∠DEF＝∠D′EF，结合平角可求得
∠AED′．
【解答】解：∵四边形ABCD为长方形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB＝65°，
又由折叠的性质可得∠D′EF＝∠DEF＝65°，∴∠AED′＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
故选：C．
【点评】本题主要考查平行线的性质及折叠的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的
关键．
5．（2021春•高青县期末）在同一平面内，若∠A与∠B的两边分别平行，且∠A比∠B的3倍
少40°，则∠A的度数为（ ）
A．20° B．55° C．20°或125° D．20°或55°
【分析】根据平行线的性质即可求解．
【解答】解：∵两个角的两边分别平行，
∴这两个角大小相等或互补，
①这两个角大小相等，如下图所示：
由题意得，∠A＝∠B，∠A＝3∠B﹣40°，
∴∠A＝∠B＝20°，
②这两个角互补，如下图所示：
由题意得，∠A+∠B＝180°，∠A＝3∠B﹣40°，
∴∠B＝55°，∠A＝125°，
综上所述，∠A的度数为20°或125°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关
系．
6．（2021春•环江县期末）如图，a∥b，∠1＝60°，则∠2的大小是（ ）
A．60° B．80° C．100° D．120°【分析】根据同位角相等，两直线平行即可求解．
【解答】解：如图：
因为a∥b，∠1＝60°，
所以∠3＝∠1＝60°．
因为∠2+∠3＝180°，
所以∠2＝180°﹣60°＝120°．
故选：D．
【点评】本题考查的是平行线的判定定理，掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键．
7．（2021春•海口期末）将45°的直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式折叠放在一起，若∠1
＝31°，则∠2的度数为（ ）
A．10° B．14° C．20° D．31°
【分析】根据平行线的性质，即可得出∠ADC＝∠1＝31°，再根据等腰直角三角形ADE中，
∠ADE＝45°，即可得到∠1＝45°﹣31°＝14°．
【解答】解：如图：
∵AB∥CD，
∴∠ADC＝∠1＝31°，
在等腰直角三角形ADE中，∠ADE＝45°，
∴∠2＝45°﹣31°＝14°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
8．（2021春•海口期末）如图，直线a∥b，∠1＝74°，∠2＝34°，则∠3的度数是（ ）A．75° B．55° C．40° D．35°
【分析】根据平行线的性质得出∠4＝∠1＝74°，然后根据三角形外角的性质即可求得∠3的
度数．
【解答】解：如图：
∵直线a∥b，∠1＝74°，
∴∠4＝∠1＝74°，
∵∠2+∠3＝∠4，∠2＝34°，
∴∠3＝∠4﹣∠2＝74°﹣34°＝40°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质和三角形外
角的性质是解题的关键．
9．（2021春•招远市期末）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D、C分别在M、N
的位置上，EM与BC的交点为G，若∠EFG＝55°，则∠1＝（ ）
A．35° B．55° C．65° D．70°
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠DEF＝∠EFG，再根据翻折的性质和平角的定
义列式计算即可求出∠1．
【解答】解：∵长方形对边AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFG＝55°，
由翻折的性质得∠DEF＝∠MEF，
∴∠1＝180°﹣∠DEF×2＝180°﹣55°×2＝70°．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
10．（2021春•沂源县期末）在如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两
条边a，b互相平行的是（ ）A．如图1，展开后测得∠1＝∠2
B．如图3，测得∠1＝∠2
C．如图2，展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4
D．在图4，展开后测得∠1+∠2＝180°
【分析】根据平行线的判定定理，进行分析，即可解答．
【解答】解：A、当∠1＝∠2时，a∥b，故此选项不符合题意；
B、∠1＝∠2不能判定a，b互相平行，故此选项符合题意；
C、由∠1＝∠2且∠3＝∠4可得∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝90°，∴a∥b，故此选项不符合题意；
D、由∠1+∠2＝180°可知a∥b，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是关键．
11．（2021春•鞍山期末）如图，平行线AB，CD被直线AE所截，∠1＝110°，则下列结论正确
的是（ ）
A．∠2＝110° B．∠3＝70° C．∠4＝70° D．∠5＝70°
【分析】利用平行线的性质，可以分别求出∠2，∠3，∠4，∠5的度数，由此可以判断哪个
选项是错误的．
【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝110°，
∴∠5＝∠3＝110°，∠1+∠2＝180°
∴∠4＝∠2＝70°，
即只有选项C答案正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意对顶角相等以及邻补角互补的灵活运用．
12．（2021春•长沙期末）如图，a∥b，c与a、b相交，若∠1＝60°，则∠2的度数是（ ）A．60° B．120° C．150° D．100°
【分析】由a∥b，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠3的度数，再结合∠2，∠3互
补可求出∠2的度数．
【解答】解：如图：
∵a∥b，∠1＝60°，
∴∠3＝∠1＝60°．
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝120°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
13．（2021春•威宁县期末）如图，AB∥CD，EF交AB于点G，EM平分∠CEF，∠FGB＝80°，
则∠GME的度数为（ ）
A．60° B．55° C．50° D．45°
【分析】由平行线的性质得出∠FED＝∠FGB＝70°，由角平分线的定义得出∠CEF＝110°，
再由平行线的性质得出即可得出∠GME的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠FED＝∠FGB＝80°，
∴∠CEF＝180°﹣∠FED＝100°，
∵EM平分∠CEF，
∴∠CEM＝ ∠CEF＝50°，∵AB∥CD，
∴∠GME＝∠CEM＝50°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义；熟练掌握平行线的性质，并能进行推
理计算是解决问题的关键．
14．（2021•孝南区二模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝4cm，点P从点A出
发，以1cm/s的速度沿A→C向点C运动，同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C
向点C运动，直到它们都到达点C为止．若△APQ的面积为S（cm2），点P的运动时间为t
（s），则S与t的函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分两种情况讨论：当0≤t≤2.5时，过Q作QD⊥AC交AC于点D，S△APQ ＝
×AP×QD；当2.5＜t≤4时，S△APQ ＝S△ABC ﹣S△CPQ﹣S△ABQ ．
【解答】解：①当0≤t≤2.5时，点Q在AB上，
∴AQ＝2t，AP＝t，
过Q作QD⊥AC交AC于点D，
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝4cm，
∴BC＝3cm，
∴ ＝ ，
∴QD＝ t，
S△APQ ＝ ×AP×QD＝ ×t× t＝ t2，②当2.5＜t≤4时，点Q在BC上，
S△APQ ＝S△ABC ﹣S△CPQ﹣S△ABQ
＝ ×3×4﹣ ×（4﹣t）×（8﹣2t）﹣ ×4×（2t﹣5）
＝﹣t2+4t
＝﹣（t﹣2）2+4，
综上所述，正确的图象是C．
故选：C．
【点评】本题考查动点运动，三角形面积．B点是Q点运动的分界点，将运动过程分两种情
况进行讨论是解题的关键．
15．（2021春•固始县期末）已知：如图①，长方形ABCD中，E是边AD上一点，且AE＝6cm，
点P从B出发，沿折线BE﹣ED﹣DC匀速运动，运动到点C停止．P的运动速度为2cm/s，运
动时间为t（s），△BPC的面积为y（cm2），y与t的函数关系图象如图②，则下列结论正确
的有（ ）
①a＝7 ②AB＝8cm③b＝10 ④当t＝10s时，y＝12cm2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】先通过t＝5，y＝40计算出AB长度和BC长度，则DE长度可求，根据BE+DE长计
算a的值，b的值是整个运动路程除以速度即可，当t＝10时找到P点位置计算△BPC面积即
可判断y值．
【解答】解：当P点运动到E点时，△BPC面积最大，结合函数图象可知当t＝5s时，△BPC
面积最大为40，
∴BE＝5×2＝10（cm）．
在Rt△ABE中，利用勾股定理可得AB＝8（cm）．
又 •BC•AB＝40，所以BC＝10（cm）．
则ED＝10﹣6＝4．当P点从E点到D点时，所用时间为4÷2＝2s，∴a＝5+2＝7．故①和②都正确；
P点运动完整个过程需要时间t＝（10+4+8）÷2＝11s，即b＝11，③错误；
当t＝10时，P点运动的路程为10×2＝20cm，此时PC＝22﹣20＝2（cm），
△BPC面积为 ×10×2＝10cm2，④错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查动点问题的函数问题，解题的关键是熟悉整个运动过程，找到关键点
（一般是函数图象的折点），对应数据转化为图形中的线段长度．
16．（2021春•迁安市期末）定理：三角形的内角和等于180°．
已知：△ABC的三个内角为∠A、∠B、∠C．
求证：∠A+∠B+∠C＝180°．
证法1：如图．
∵∠A＝100°，∠B＝30°，∠C＝50°，
（量角器测量）
∵100°+30°+50°＝180°，（计算所得）
∴∠A+∠B+∠C＝180°．（等量代换）
证法2：如图，延长BC到D，过点C作CE∥AB．
∴∠A＝∠2（两直线平行，内错角相等），
∠B＝∠3（两直线平行，同位角相等）．
∵∠1+∠2+∠3＝180°（平角定义），
∴∠1+∠A+∠B＝180°（等量代换），
即∠A+∠B+∠ACB＝180°．
下列说法正确的是（ ）
A．证法1采用了从特殊到一般的方法证明了该定理
B．证法1还需要测量一百个进行验证，就能证明该定理
C．证法2还需证明其它形状的三角形，该定理的证明过程才完整
D．证法2用严谨的推理证明了该定理
【分析】利用理论与实践结合可以判断C与D，根据三角形的平行的性质与平角的定义可以
判断C与D，【解答】解：A．证法1用量角器量三个内角和为180°，只能验证该定理的正确性，用特殊到
一般法证明该定理缺少理论证明过程，故选项A不符合题意；
B．证法1只要测量一百个三角形进行验证，验证的正确性更高，就能证明该定理还需要理论
证明，故选项B不符合题意；
C．证法2给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故C不符合题意；
D．证法2给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查三角形内角和的证明问题，命题的正确性需要严谨推理证明．
17．（2021春•太原期末）如图，点P是∠AOB内的一点，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，
连接OP，CD．若PC＝PD，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠AOP＝∠BOP B．∠OPC＝∠OPD
C．PO垂直平分CD D．PD＝CD
【分析】依据角平分线的性质、三角形内角和定理以及线段垂直平分线的性质，即可得出结
论．
【解答】解：∵PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，PC＝PD，
∴点P在∠AOB的平分线上，即OP平分∠AOB，
∴∠AOP＝∠BOP，故A选项正确；
∵∠PCO＝∠PDO＝90°，∠AOP＝∠BOP，
∴∠OPC＝∠OPD，故B选项正确；
∵∠OPC＝∠OPD，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，
∴OC＝OD，
∴点O在CD的垂直平分线上，
又∵PC＝PD，
∴点P在CD的垂直平分线上，
∴PO垂直平分CD，故C选项正确；
∵∠PDC的度数不一定是60°，
∴△CDP不一定是等边三角形，
∴PD＝CD不一定成立，故D选项错误；
故选：D．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质，关键是掌握角的平分
线上的点到角的两边的距离相等，线段垂直平分线上任意一点到线段两端的距离相等．
18．（2020秋•丛台区校级期末）A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（ ）
A． （BM垂直于a） B． （AM不平行
BN）
C． （AN垂直于b）D． （AM平行BN）
【分析】过A作河的垂线AH，要使最短，MN⊥直线a，AI＝MN，连接BI即可得出N，作出
AM、MN、BN即可．
【解答】解：根据垂线段最短，得出MN是河的宽时，MN最短，即MN⊥直线a（或直线b），
只要AM+BN最短即可，
即过A作河岸a的垂线AH，垂足为H，在直线AH上取点I，使AI等于河宽．
连接IB交河的b边岸于N，作MN垂直于河岸交a边的岸于M点，所得MN即为所求．
故选：D．
【点评】本题考查了最短路线问题，垂线段最短，三角形的三边关系定理的应用，关键是如
何找出M、N点的位置．
19．（2021春•项城市期末）如图，将一个棱长为3的正方体表面涂色，再把它分割成棱长为1
的正方体，从中任取一个小正方体，则取得小正方体恰好有两个面涂色的概率为（ ）A． B． C． D．
【分析】将一个棱长为3的正方体分割成棱长为1的小正方体，一共可得到27个小立方体，
其中两个面涂色的有12块，可求出相应的概率．
【解答】解：将一个棱长为3的正方体分割成棱长为1的小正方体，一共可得到3×3×3＝27
（个），
在每条棱上只有1个两面涂色的小立方体，由于正方体有12条棱，因此，有12个两面涂色的
小立方体，
所以，从27个小正方体中任意取1个，则取得的小正方体恰有两个面涂色的概率为 ，
故选：B．
【点评】本题考查了概率公式，列举出所有等可能出现的结果数和符合条件的结果数是解决
问题的关键．
20．（2020秋•广安期末）“彩缕碧筠粽，香粳白玉团”．端午佳节，小明妈妈准备了豆沙粽5
个、红枣粽3个、腊肉粽3个、鲜肉粽4个，其中豆沙粽和红枣粽是甜粽．小明任意选取一个，
选到甜粽的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】用甜粽的数量除以粽子的总数量即可．
【解答】解：小明任意选取一个共有15种等可能结果，其中选到甜粽的有8种结果，
所以选到甜粽的概率为 ，
故选：B．
【点评】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（2022•咸宁模拟）如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形
CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时
停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（ ）A． B．
C． D．
【分析】分析动点P在每段路径上的运动的过程中的面积增大、减小或不变的趋势即可．
【解答】解：由点P的运动可知，当点P在GF、ED边上时△ABP的面积不变，则对应图象
为平行于t轴的线段，则B、C错误．点P在AD、EF、GB上运动时，△ABP的面积分别处于
增、减变化过程．故D排除
故选：A．
【点评】本题为动点问题的函数图象判断题，考查学生对于动点运动过程中函数图象的变化
趋势的判断．解答关键是注意动点到达临界点前后的图象变化．
22．（2021•肥东县二模）如图1，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点E，动
点P从点A出发，沿A→B→C→D向点D运动，设点P的运动路程为x，△AEP的面积为y，
y与x的函数关系图象如图2所示，则下列结论错误的是（ ）
A．四边形ABCD的面积为12
B．AD边的长为4
C．当x＝2.5时，△AEP是等边三角形
D．△AEP的面积为3时，x的值为3或10
【分析】注意图象2中的y表示的是△AEP的面积，而图1的△AEP的底边AE是一个不变量，
△AEP的面积与点P到AE边的距离有关，寻找点P的特殊位置，对应y的函数图象，这样可
以解题．
【解答】解：（1）∵函数图象（图2）的y最大值是3，就是对应点P运动到距直线AC最远
的时刻位置，点B、D两个时刻，
∴△ABE的面积是3，
∴矩形的面积＝4×S△ABE ＝12．选项A正确；
（2）∵函数图象（图2）的y最小值是0，就是对应点P运动到距直线AC最近的时刻位置，点A、C两个位置，
所以x＝7时，即是AB+BC＝7，
而第（1）结论矩形面积＝12，得到BC×AB＝12，
由这两个方程，可以得到BC＝4，AB＝3，（条件AB＜BC）．选项B正确；
（3）∵△ABE的面积是3，
根据图形（2），可以知道这个面积是点P运动到距直线AC最远的时刻位置，即点B、D两
个时刻．
∴x＝3，或者x＝10．选项D正确；
（4）在△ABC中，
当x＝2.5时，即x＜3，点P在AB边上，
此时∠BAC≠60°，（因为在Rt△ABC中，三边分别是3，4，5），
当然△AEP绝不可能是等边三角形．选项C是错误的．
故选：C．
【点评】此题考查几何的线段长度与图象2中的x的关系，同时△的面积与函数图象中y的关
系，根据几何图形特点，发现△的面积y只与点P到AE边的距离有关，寻找点P的特殊位置，
结合对应y的函数图象，这样可以解题．
23．（2021春•高州市期末）如图，小明从一张三角形纸片ABC的AC边上选取一点N，将纸片
沿着BN对折一次使得点A落在A′处后，再将纸片沿着BA′对折一次，使得点C落在BN上
的C′处，已知∠CMB＝68°，∠A＝18°，则原三角形的∠C的度数为（ ）
A．87° B．84° C．75° D．72°
【分析】已知∠A＝18°，欲求∠C，需求∠ABC．如图，由题意得：△ABN≌△A′BN，
△C′BN≌△CBM，得∠1＝∠2＝∠3，∠CMB＝∠C′MB＝68°，则需求∠3．根据三角形内
角和定理，得∠3+∠C＝112°，∠ABC+∠C+18°＝180°，即3∠3+∠C＝162°，故求得∠3＝25°．
【解答】解：如图，由题意得：△ABN≌△A′BN，△C′BN≌△CBM．
∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CMB＝∠C′MB＝68°．
∴∠1＝∠2＝∠3．
∴∠ABC＝3∠3．
又∵∠3+∠C+∠CMB＝180°，
∴∠3+∠C＝180°﹣∠CMB＝180°﹣68°＝112°．
又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴18°+2∠3+（∠3+∠C）＝180°．
∴18°+2∠3+112°＝180°．
∴∠3＝25°．
∴∠C＝112°﹣∠3＝112°﹣25°＝87°．
故选：A．
【点评】本题主要考查折叠的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解
决本题的关键．
24．（2021春•海淀区校级期末）如图，射线BD，AE分别是△ABC的外角∠ABF，∠CAG的角
平分线，射线BD与直线AC交于点D，射线AE与直线BC交于点E，若∠BAC＝∠ABC+102°，
∠D＝∠E+27°，则∠ACB的度数为（ ）
A．39° B．40° C．41° D．42°
【分析】设∠ABC＝x，∠E＝y，则∠BAC＝x+102°，∠D＝y+27°．由∠BAC+∠ABC+∠ACB
＝180°，得∠ACB＝78°﹣2x°．由AE平分∠CAG，得∠GAE＝39°﹣ ．同理可得：∠DBF
＝90°﹣ ．由∠GAE＝∠ABC+∠E，∠DBF＝∠D+∠ACB，得39°﹣ ＝x+y，90°﹣
＝y+27°+78°﹣2x，得x＝18°．那么，∠ACB＝78°﹣2x＝78°﹣2×18°＝42°．【解答】解：设∠ABC＝x，∠E＝y，则∠BAC＝x+102°，∠D＝y+27°．
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠BAC）＝78°﹣2x°．
∵AE平分∠CAG，
∴∠GAE＝ ＝ ＝39°﹣ ．
同理可得：∠DBF＝90°﹣ ．
∵∠GAE＝∠ABC+∠E，
∴39°﹣ ＝x+y．
∵∠DBF＝∠D+∠ACB，
∴90°﹣ ＝y+27°+78°﹣2x．
∴x＝18°．
∴∠ACB＝78°﹣2x＝78°﹣2×18°＝42°．
故选：D．
【点评】本题主要考查三角形外角的性质以及角平分线的定义，熟练掌握三角形外角的性质
是解决本题的关键．
25．（2021春•乾县期末）如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB、AC边交于点D、
E两点，BC边的中垂线FG，分别与BC、AC边交于点F、G两点，连接BE、BG．若△BEG
的周长为16，GE＝1．则AC的长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【分析】利用线段的垂直平分线的性质以及线段的和差关系即可解决问题．
【解答】解：∵DE是线段AB的中垂线，GF是线段BC的中垂线，
∴EB＝EA，GB＝GC，
∵△BEG周长为16，
∴EB+GB+EG＝16，
∴EA+GC+EG＝16，
∴GA+EG+EG+EG+EC＝16，
∴AC+2EG＝16，
∵EG＝1，∴AC＝14，
故选：B．
【点评】本题考查线段的垂直平分线，三角形的周长等知识，解决问题的关键掌握线段垂直
平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
二．填空题（共16小题）
26．（2020•高青县二模）若am＝8，an＝2，则am﹣2n的值是 2 ．
【分析】同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．逆用同底数幂的除法法则以及积的乘
方法则，即可得到结果．
【解答】解：∵am＝8，an＝2，
∴am﹣2n＝am÷a2n＝am÷（an）2＝8÷22＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了同底数幂的除法法则以及积的乘方法则，解决问题的关键是逆用这
两个法则．
27．（2018•平度市一模）如图所示，图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方
形，图2是一个边长为（a﹣1）的正方形．记图1，图2中阴影部分的面积分别为S ，S ，则
1 2
可化简为 ．
【分析】首先表示S ＝a2﹣1，S ＝（a﹣1）2，再约分化简即可．
1 2
【解答】解：∵S ＝a2﹣1，S ＝（a﹣1）2，
1 2
∴ ＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了平方公式的几何背景和分式的化简，关键是正确表示出阴影部分面
积．
28．（2021•常州模拟）某市出租车白天的收费起步价为7元，即路程不超过3千米时收费7元，
超过部分每千米收费1.2元，如果乘客白天乘坐出租车的路程为x（x＞3）千米，乘车费为y
元，那么y与x之间的关系为 y ＝ 1. 2 x +3. 4 ．
【分析】根据乘车费用＝起步价+超过3千米的费用即可得出．
【解答】解：依据题意得：y＝7+1.2（x﹣3）＝1.2x+3.4，故答案为：y＝1.2x+3.4，
【点评】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式．理解题意，找到等量关系是本题关键．
29．（2021春•前郭县期末）某地出租车行驶里程x（km）与所需费用y（元）的关系如图．若某
乘客一次乘坐出租车里程12km，则该乘客需支付车费 2 0 元．
【分析】根据函数图象，设y与x的函数关系式为y＝kx+b，运用待定系数法即可得到函数解
析式，再将x＝12代入解析式就可以求出y的值．
【解答】解：由图象知，y与x的函数关系为一次函数，并且经过点（2，5）、（4，8），
设该一次函数的解析式为y＝kx+b，
则有： ，
解得： ，
∴y＝ x+2．
将x＝12代入一次函数解析式，
得y＝18+2＝20，
故出租车费为20元．
故答案为：20．
【点评】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，
解答时理解函数图象是重点，求出函数的解析式是关键．
30．（2021春•罗湖区校级期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝11cm．点M
从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点；点N从B点出发沿B→C→A路径向终
点运动，终点为A点．点M和N分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，两点都要
到达相应的终点时才能停止运动，分别过M和N作ME⊥l于E，NF⊥l于F．设运动时间为t
秒，则当t＝ 2 或 或 1 4 秒时，以点M，E，C为顶点的三角形与以点N，F，C为顶点的
三角形全等．【分析】易证∠MEC＝∠CFN，∠MCE＝∠CNF．只需MC＝NC，就可得到△MEC与△CFN
全等，然后只需根据点M和点N不同位置进行分类讨论即可解决问题．
【解答】解：①当0≤t＜ 时，点M在AC上，点N在BC上，如图①，
此时有AM＝t，BN＝3t，AC＝7，BC＝11．
当MC＝NC即7﹣t＝11﹣3t，也即t＝2时，
∵ME⊥l，NF⊥l，∠ACB＝90°，
∴∠MEC＝∠CFN＝∠ACB＝90°．
∴∠MCE＝90°﹣∠FCN＝∠CNF．
在△MEC和△CFN中，
．
∴△MEC≌△CFN（AAS）．
②当 ≤t≤6时，3t﹣11＝7﹣t
t＝ ，
③6＜t≤7时，不存在，
④当7＜t＜18时，点N停在点A处，点M在BC上，如图②，
当MC＝NC即t﹣7＝7，也即t＝14时，
同理可得：△MEC≌△CFN．
综上所述：当t等于2或14秒时，以点M，E，C为顶点的三角形与以点N，F，C为顶点的三
角形全等．
故答案为：2或 或14．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定以及分类讨论的思想，可能会因考虑不全面而出
错，是一道易错题．
31．（2021春•崂山区期末）如图，已知AB＝AC，D为∠BAC的角平分线上面一点，连接BD，
CD；如图2，已知AB＝AC，D、E为∠BAC的角平分线上面两点，连接BD，CD，BE，CE；
如图3，已知AB＝AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上面三点，连接BD，CD，BE，CE，
BF，CF；…，依次规律，第n个图形中有全等三角形的对数是 ．
【分析】根据图形得出当有1点D时，有1对全等三角形；当有2点D、E时，有3对全等三
角形；当有3点D、E、F时，有6对全等三角形；根据以上结果得出当有n个点时，图中有
个全等三角形即可．
【解答】解：当有1点D时，有1对全等三角形；
当有2点D、E时，有3对全等三角形；
当有3点D、E、F时，有6对全等三角形；
当有4点时，有10个全等三角形；
…
当有n个点时，图中有 个全等三角形．
故答案为： ．
【点评】本题考查了对全等三角形的应用，关键是根据已知图形得出规律，题目比较典型，
但有一定的难度．
32．（2021秋•江油市期末）如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为30，40，50．其三条角
平分线交于点O，则S△ABO ：S△BCO ：S△CAO ＝ 3 ： 4 ： 5 ．【分析】作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，根据角平分线的性质得到OD＝OE
＝OF，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，
∵三条角平分线交于点O，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，
∴OD＝OE＝OF，
∴S△ABO ：S△BCO ：S△CAO ＝AB：BC：CA＝3：4：5，
故答案为：3：4：5．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解
题的关键．
33．（2020秋•鄞州区期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD
的高．若AB+AC＝8 ，S△ABC ＝24，∠EDF＝120°，则AD的长为 4 ．
【分析】先证明△ADE≌△ADF，再利用面积法求出DE的值，最后根据直角三角形30度角
的性质即可解决问题．
【解答】解：∵DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAE＝∠DAF，
∵AD＝AD，
∴△ADE≌△ADF（AAS），
∴DE＝DF，∠ADE＝∠ADF，
∴S△ABC ＝ •AB•DE+ •AC•DF＝ •DE（AB+AC）＝24，
∵AB+AC＝8 ，
∴DE＝2 ，
∵∠EDF＝120°，
∴∠ADE＝∠ADF＝ ∠EDF＝ ×120°＝60°，∴∠DAE＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝30°，
∴AD＝2DE＝4 ．
故答案为：4 ．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线等知识，解题的
关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型．
34．（2012•鞍山一模）已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为 40 ° 或
100° ．
【分析】首先知有两种情况（顶角是40°和底角是40°时），由等边对等角求出底角的度数，
用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数．
【解答】解：△ABC，AB＝AC．
有两种情况：
（1）顶角∠A＝40°，
（2）当底角是40°时，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴这个等腰三角形的顶角为40°和100°．
故答案为：40°或100°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理的理解和掌握，能对有的问题
正确地进行分类讨论．
35．（2020秋•普陀区期末）一个布袋中装有8个大小质地相同的小球，小球上分别标有数字
1～8，从布袋任意摸取一个小球，那么摸到标有数字是合数的小球的可能性的大小为 ．
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的
总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．
【解答】解：∵小球上分别标有数字1～8，其中标有数字是合数的小球的有3种，
∴摸到标有数字是合数的小球的可能性的大小为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率＝ ．
36．（2020秋•渝中区校级期末）四张背面相同的卡片，分别为 ，1，2，3，洗匀后背面朝上，
先从中抽取一张，把抽到的点数记为a，再在剩余的卡片中抽取一张点数记为b，则点（a，
b）恰好落在一次函数y＝﹣2x+4与坐标轴所围成的三角形区域内（含边界）的概率为
．
【分析】首先画出树状图即可求得所有等可能的结果与点（a，b）恰好落在一次函数y＝﹣
2x+4与坐标轴所围成的三角形区域内（含边界）的情况，然后利用概率公式求解即可求得答
案．
【解答】解：画树状图得：
由树形图可知：一共有12种等可能的结果，其中点（a，b）恰好落在一次函数y＝﹣2x+4与
坐标轴所围成的三角形区域内（含边界）的有（1，2），（1， ），（ ，1），（ ，2），
（ ，3），一共5种结果，
所以点（a，b）恰好落在一次函数y＝﹣2x+4与坐标轴所围成的三角形区域内（含边界）的
概率为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗
漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完
成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
37．（2020秋•永城市期末）如图所示的是边长为4的正方形镖盘ABCD，分别以正方形镖盘
ABCD的三边为直径在正方形内部作半圆，三个半圆交于点O，乐乐随机地将一枚飞镖投掷到
该镖盘上，飞镖落在阴影区域的概率为 ．
【分析】根据正方形被均分成4等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，由此计算出阴影区域的面积，利用几何概率的计算方法解答即可．
【解答】解：如图，连接AC，BD，
∵正方形被均分成4等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，其中阴影区域的面积占了
其中的2等份，
∴P（飞镖落在阴影区域） ＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影
区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件
（A）发生的概率．
38．（2021春•天桥区期末）已知在（x+a）（x+b）＝x2+mx﹣16中，a、b为整数，则m的值一
共有 5 种可能．
【分析】根据多项式乘多项式运算法则，由（x+a）（x+b）＝x2+mx﹣16得x2+（a+b）x+ab＝
x2+mx﹣16..那么，a+b＝m且ab＝﹣16．另外，a、b为整数，则可以推断出a、b的值，故m
的值有5种可能．
【解答】解：∵（x+a）（x+b）＝x2+mx﹣16，
∴x2+bx+ax+ab＝x2+mx﹣16．
∴x2+（a+b）x+ab＝x2+mx﹣16．
∴a+b＝m，ab＝﹣16．
又∵a、b为整数，
∴a＝±1或a＝±2或a＝±4或a＝±8或a＝±16．
当a＝1时，b＝﹣16，则a+b＝﹣15．
当a＝﹣1时，b＝16，则a+b＝15．
当a＝2时，b＝﹣8，则a+b＝﹣6．
当a＝﹣2时，b＝8，则a+b＝6．
当a＝4时，b＝﹣4，则a+b＝0．
当a＝﹣4时，b＝4，则a+b＝0．
当a＝8时，b＝﹣2，则a+b＝6．
当a＝﹣8时，b＝2，则a+b＝﹣6．
当a＝16时，b＝﹣1，则a+b＝15．
当a＝﹣16时，b＝1，则a+b＝﹣15．
综上：a+b＝﹣15或15或﹣6或6或0．故答案为：5．
【点评】本题主要考查整式的运算中多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式是解题关键．
39．（2021春•泰兴市期末）如图，已知四边形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，CD＝12
厘米，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C
点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 3 厘米 / 秒或
厘米 / 秒 时，能够使△BPE与△CQP全等．
【分析】分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度．
【解答】解：设点P运动的时间为t秒，则BP＝3t，CP＝8﹣3t，
∵∠B＝∠C，
∴①当BE＝CP＝5，BP＝CQ时，△BPE与△CQP全等，
此时，5＝8﹣3t，
解得t＝1，
∴BP＝CQ＝3，
此时，点Q的运动速度为3÷1＝3厘米/秒；
②当BE＝CQ＝5，BP＝CP时，△BPE与△CQP全等，
此时，3t＝8﹣3t，
解得t＝ ，
∴点Q的运动速度为5÷ ＝ 厘米/秒；
故答案为：3厘米/秒或 厘米/秒．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的
对应边相等．
40．（2020秋•九龙坡区校级期末）如图，△ABC是等边三角形，分别过点A，C作AD⊥AB，
AC⊥CD，AD与CD交于点D，且CD＝3，作AD的中垂线l，点E为直线l上任一点，连接
CE，作点D关于直线CE的对称点D′，连接AD′，DD′，点M是线段AD′的中点，连接BM，则AB+BM的最大值为 3 +6 ．
【分析】如图，连接CD'，取AC的中点N，连接BN，MN，根据轴对称的性质得CD＝CD'＝
3，根据直角三角形含30°角的性质得AC和BN的长，根据三角形中位线定理可得MN的长，
确定点M的运动路径为：点M在以N为圆心，半径为 的圆上移动，最后根据三角形的三边
关系可得BN﹣MN≤BM≤BN+MN，从而得结论．
【解答】解：如图，连接CD'，取AC的中点N，连接BN，MN，
∵D与D'关于CE对称，
∴CE是DD'的垂直平分线，
∴CD＝CD'＝3，
∵AB⊥AD，AC⊥CD，
∴∠BAD＝∠ACD＝90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠CAD＝90°﹣60°＝30°，
Rt△ACD中，CD＝3，
∴AC＝3 ，∵N是AC的中点，△ABC是等边三角形，
∴AN＝ AC＝ ，BN⊥AC，∠ABN＝30°，
∴BN＝ AN＝ ，
∵M是AD'的中点，N是AC的中点，
∴MN是△ACD'的中位线，
∴MN＝ CD'＝ CD＝ ，
∴点M在以N为圆心，半径为 的圆上移动，
∵BN﹣MN≤BM≤BN+MN，
∴当且仅当B、N、M三点共线时，BM的最大值是 + ＝6，
∴AB+BM的最大值是3 +6．
故答案为：3 +6．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，三角形的中位线定理，三角形的三边关系，轴对称
的性质，动点运动轨迹问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造△BMN并确定
点M的运动轨迹是解题的关键．
41．（2021春•青羊区期末）如图，△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，AB＝4，D为BC上一动点，
过D作DE⊥AC于点E，作DF⊥AB于点F，连接EF，则EF的最小值为 ．
【分析】连接AD，取AD中点G，连接EG、FG，过点A作AH⊥BC于H，先由直角三角形
斜边上的中线等于斜边一半得∠EGF＝2∠EAF，再由∠B＝45°，∠C＝75°得∠EGF＝120°，
即有EF＝ EG，使EF最小，即要使EG最小，即要使EG+GF＝AD最小，故求出AH即可
解决问题．
【解答】解：如图，连接AD，取AD中点G，连接EG、FG，过点A作AH⊥BC于H，
∵DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，∴∠DEA＝∠DFA＝90°，
∴EG＝GF＝0.5AD＝AG＝GD，
∴∠EAG＝∠AEG，∠GAF＝∠AFG，
∴∠EGF＝2∠EAF，
∵∠B＝45°，∠C＝75°，
∴∠BCA＝60°，
∴∠EGF＝120°，
∴EF＝ EG，
要使EF最小，即要使EG最小，即要使EG+GF＝AD最小，
∵点到直线垂线段最短，
∴AD最小为AH，
∵∠B＝45°，
∴AB＝ ，
∴AH＝2 ，
∴EG最小值为 ，
∴EF最小值为 ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了轴对称的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、点到直线垂线段最
短的性质，解本题的关键是连接AD，取AD中点G，分析出要使EF最小，即要使EG最小，
即要使EG+GF＝AD最小．
三．解答题（共19小题）
42．（2021春•盐湖区校级期末）阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平
面几何图形的面积来表示，实际上还有一些等式也可以用这种方式表示，例如：（2a+b）
（a+b）＝2a2+3ab+b2就可以用图1或图2来表示．
（1）上述的方法体现了一种数学思想方法，这种数学思想方法是 C ．
A、转化思想
B、方程思想
C、数形结合思想
D、分类讨论
（2）请写出图3中所表示的整式乘法的等式 （ 2 a + b ）（ a + 2 b ）＝ 2 a 2 + 5 a b + 2 b 2 ．（3）试画出一个几何图形，使它的面积能够表示：（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2．
（4）请仿照上述方法写出另一个含有a、b的等式，并画出与之对应的几何图形．
【分析】（1）数形结合的思想；
（2）根据图3表示的图形的面积，写出图3所表示的等式即可；
（3）画一个长为a+3b，宽为a+b的矩形即可；
（4）类比图1、图2、图3表示图形的方法，画图并表示等式：（a+b）（a+2b）＝
a2+3ab+2b2．
【解答】解析：（1）上述的方法体现了数形结合的数学思想方法；
故答案为：C；
（2）（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2；
故答案为：（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2；
（3）如图（答案不唯一），
（4）如图，等式是（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2（答案不唯一）；
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，以及作图的能力，要熟练掌握，解答此题的关键
是要明确多项式乘多项式的法则．
43．（2021春•东平县期末）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，如
图2所示是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图1中阴影部分面积为S ，图2中阴影部分面积为S ．请直接用含a，b的代数式表示
1 2
S ，S ；
1 2
（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式；
（3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1．【分析】（1）根据两个图形的面积相等，即可写出公式；
（2）根据面积相等可得（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（3）从左到右依次利用平方差公式即可求解．
【解答】解：（1） ，S ＝（a+b）（a﹣b）；
2
（2）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（3）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）+1
＝（28﹣1）（28+1）+1
＝（216﹣1）+1
＝216．
【点评】本题考查了平方差的几何背景以及平方差公式的应用，正确理解平方差公式的结构
是关键．
44．（2021春•莱州市期末）利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：
a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝ [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]，请你检验这个等式的正确性．
【分析】利用完全平方公式将等式的右边展开，即可解答．
【解答】解：右边＝ （a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+c2﹣2ac+a2）
＝ （2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）
＝a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac
＝左边．
【点评】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．
45．（2020•常州）先化简，再求值：（x+1）2﹣x（x+1），其中x＝2．
【分析】先根据完全平方公式和单项式乘以多项式法则算乘法，再合并同类项，最后代入求
出即可．
【解答】解：（x+1）2﹣x（x+1）
＝x2+2x+1﹣x2﹣x＝x+1，
当x＝2时，原式＝2+1＝3．
【点评】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题
的关键．
46．（2021春•渠县期末）如图， 是大众汽车的标志图案，其中蕴涵着许多几何知识．
（1）已知BC∥AD，BE∥AF，求证：∠A＝∠B；
（2）若∠DOB＝135°，求∠A的度数．
【分析】（1）由平行线的性质（两直线平行，同位角相等）可得∠A＝∠B；
（2）由平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）可得∠A＝180°﹣∠DOE．
【解答】（1）证明：∵BC∥AD，
∴∠B＝∠DOE，
又∵BE∥AF，
∴∠DOE＝∠A，
∴∠A＝∠B．
（2）解：∵BE∥AF，
∴∠EOA+∠A＝180°，
∵∠EOA＝∠DOB＝135°，
∴∠A＝180°﹣∠EOA＝180°﹣135°＝45°．
【点评】本题考查了平行线的性质．解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同旁内
角互补；两直线平行，同位角相等．
47．（2021春•临潼区期末）如图，FG、ED分别交BC于点M、N．∠ENC+∠CMG＝180°，
AB∥CD．
（1）∠2＝∠3吗？为什么？
（2）若∠A＝∠1+70°，∠ACB＝42°，求∠B的度数．
【分析】（1）由对顶角相等得到∠CMG＝∠FMN，等量代换得到∠ENC+∠FMN＝180°，即可判定FG∥ED，再根据平行线的性质即可求解；
（2）由平行线的性质得到∠A+∠ACD＝180°，再根据已知条件得出∠1＝34°，最后根据平行
线的性质即可得解．
【解答】解：（1）∠2＝∠3，理由如下：
∵∠ENC+∠CMG＝180°，∠CMG＝∠FMN，
∴∠ENC+∠FMN＝180°，
∴FG∥ED，
∴∠2＝∠D，
∵AB∥CD，
∴∠3＝∠D，
∴∠2＝∠3；
（2）∵AB∥CD，
∴∠A+∠ACD＝180°，
∵∠A＝∠1+70°，∠ACB＝42°，
∴（∠1+70°）+（∠1+42°）＝180°，
∴∠1＝34°，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠1＝34°．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”、“两直线平行，内
错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”时解题的关键．
48．（2021春•无棣县期末）爱国同学在完成七年级下册数学的学习后，遇到了一些问题，聪明
的你，帮他解决一下．
（1）如图1，已知AB∥CD，则∠AMC＝∠BAM+∠DCM成立吗？请你帮他说明理由；
（2）如图2，已知AB∥CD，BM平分∠ABC，DM平分∠ADC．BM、DM所在直线交于点M，
若∠NAD＝64°，∠ABC＝44°，请你帮他求∠BMD的度数；
（3）将图2中的点B移到点A的右侧，得到图3，其他条件不变，若∠NAD＝ °，∠ABC＝
°，请你帮他求出∠BMD的度数（用含 ， 的式子表示）．
α
β α β
【分析】（1）作MN∥AB，则有MN∥CD，根据平行线的性质可得结论；
（2）过点M作MH∥AB，由平行线性质得∠ADC的度数，由角平分线的定义得∠MDC、
∠ABM的度数，再根据平行线的性质可得答案；
（3）过点M作MG∥AB，过程同（2）．
【解答】解：（1）成立，理由：如图1中，作MN∥AB，则有MN∥CD，
∴∠1＝∠BAM，∠2＝∠DCM，
∴∠AMC＝∠1+∠2＝∠BAM+∠DCM．
（2）如图2，过点M作MH∥AB，
∵AB∥CD，∠NAD＝64°，
∴∠NAD＝∠ADC＝64°，
∵DM平分∠ADC，∠ADC＝64°，
∴∠MDC＝ ∠ADC＝32°，
∵BM平分∠ABC，∠ABC＝44°，
∴∠ABM＝ ∠ABC＝22°，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥MH，
∴∠ABM＝∠BMH＝22°，∠CDM＝∠DMH＝32°，
∴∠BMD＝∠BMH+∠DMH＝54°．
（3）如图3，过点M作MG∥AB，
∵BM平分∠ABC，DM平分∠ADC，∠ABC＝ °，∠ADC＝∠BAD＝ °，
β α
∴∠ABM＝ ∠ABC＝ °，∠CDM＝ ∠ADC＝ °，
∵AB∥CD，
β α
∴AB∥CD∥MG，∴∠BMG＝180°﹣∠ABM＝180°﹣ °，∠CDM＝∠DMG＝ °，
β α
∴∠BMD＝∠BMG+∠DMG＝180°﹣ °+ °．
【点评】此题考查的是平行线的性质、角平分线的定义，掌握两直线平行同旁内角互补是解
β α
决此题关键．
49．（2021春•永城市期末）点D，E，F分别是图中线段BC，CA，AB上的点，DE∥BA，
DF∥CA．
（1）请你补全图形；
（2）求证：∠A＝∠EDF；
（3）在（2）的基础上证明：∠A+∠B+∠C＝180°．
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）根据平行线的性质证明即可；
（3）先根据平行线的性质得出∠A＝∠EDF，再由平角的定义即可得出结论．
【解答】解：（1）画出图形，如图：
（2）证明：∵DE∥BA，
∴∠EDF＝∠BFD；
∵DF∥CA，
∴∠A＝∠BFD，
∴∠A＝∠EDF；
（3）∠A+∠B+∠C＝180°，证明如下：
∵DE∥BA，
∴∠EDF＝∠BFD（两直线平行，内错角相等），
∴∠B＝∠CDE（两直线平行，同位角相等）．
∵DF∥CA，
∴∠A＝∠BFD，∠C＝∠BDF（两直线平行，同位角相等），
∴∠A＝∠EDF．∵∠EDF+∠CDE+∠BDF＝180°（平角的定义），
∴∠A+∠B+∠C＝180°（等量代换）．
【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
50．（2021春•平原县期末）已知：如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥CD于O．
（1）若∠AOC＝36°，求∠BOE的度数；
（2）若∠BOD：∠BOC＝1：5，求∠AOE的度数；
（3）在（2）的条件下，请你过点O画直线MN⊥AB，并在直线MN上取一点F（点F与O
不重合），然后直接写出∠EOF的度数．
【分析】（1）依据垂线的定义以及对顶角相等，即可得∠BOE的度数；
（2）依据平角的定义以及垂线的定义，即可得到∠AOE的度数；
（3）分两种情况：若F在射线OM上，则∠EOF＝∠BOD＝30°；若F'在射线ON上，则
∠EOF'＝∠DOE+∠BON﹣∠BOD＝150°．
【解答】解：（1）∵EO⊥CD，
∴∠DOE＝90°，
又∵∠BOD＝∠AOC＝36°，
∴∠BOE＝90°﹣36°＝54°；
（2）∵∠BOD：∠BOC＝1：5，
∴∠BOD＝ ∠COD＝30°，
∴∠AOC＝30°，
又∵EO⊥CD，
∴∠COE＝90°，
∴∠AOE＝90°+30°＝120°；
（3）分两种情况：
若F在射线OM上，则∠EOF＝∠BOD＝30°；
若F'在射线ON上，则∠EOF'＝∠DOE+∠BON﹣∠BOD＝150°；综上所述，∠EOF的度数为30°或150°．
【点评】本题考查了角的计算，对顶角，垂线等知识点的应用，关键是分类讨论思想的运用．
51．（2021春•红谷滩区校级期末）如图，已知CD⊥AB于点D，DE∥AC交BC点E，EF⊥AB
于点F，DG∥BC交AC于点G，且∠DEF＝∠BEF，求证：∠GDC＝∠GCD．
【分析】依据CD⊥AB，EF⊥AB，即可得出CD∥EF，进而得到∠1＝∠DEF，∠2＝∠BEF，
再根据∠DEF＝∠BEF，即可得出∠1＝∠2，依据平行线的性质，即可得到∠1＝∠GCD，
∠2＝∠GDC，等量代换可得∠GDC＝∠GCD．
【解答】证明：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD∥EF，
∴∠1＝∠DEF，∠2＝∠BEF，
又∵∠DEF＝∠BEF，
∴∠1＝∠2，
∵DE∥AC，DG∥BC，
∴∠1＝∠GCD，∠2＝∠GDC，
∴∠GDC＝∠GCD．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平
行，内错角相等．
52．（2018•恩施州）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD，AD
交BE于O．求证：AD与BE互相平分．
【分析】先判定△ABC≌△DEF（ASA），可得AC＝DF，进一步得出△AOC≌△DOF，AO＝
DO，FO＝CO，进而得到AD与BE互相平分．【解答】证明：∵FB＝CE，
∴BC＝EF，
又∵AB∥ED，AC∥FD，
∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AC＝DF，
在△AOC和△DOF中，
，
∴△AOC≌△DOF（AAS）
∴AO＝DO，FO＝CO，
∵BF＝CE，
∴BO＝EO，
∴AD与BE互相平分．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是依据全等三角形的对
应边相等得出结论．
53．（2017秋•林州市期末）如图，已知：AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC
＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数．
【分析】根据AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，得出∠BAD＝30°，再利用CE是
△ABC的高，∠BCE＝40°，得出∠B的度数，进而得出∠ADB的度数．
【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，
∴∠DAC＝∠BAD＝30°，
∵CE是△ABC的高，∠BCE＝40°，
∴∠B＝50°，
∴∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝180°﹣30°﹣50°＝100°．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及高线的性质和三角形内角和定理，根据已知得
出∠B的度数是解题关键．54．（2021春•槐荫区期末）如图，在等边△ABC中，已知点E在直线AB上（不与点A、B重
合），点D在直线BC上，且ED＝EC．
（1）若点E为线段AB的中点时，试说明DB＝AE的理由；
（2）若△ABC的边长为2，AE＝1，求CD的长．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠BCE＝30°，BE＝AE，等腰三角形的判定和性质；
（2）如图1，E在线段AB上时，由（1）知，BD＝AE＝1，则CD＝BC+BD＝3；如图2，E
在线段AB的反向延长线上时，过E作AC的平行线与BC交于点H，构造等边△BEH，通过
证得△EBD≌△EHC，得到BD＝HC＝AE＝1，从而求得CD．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，E为AB的中点，
∴∠BCE＝30°，BE＝AE，
∵ED＝EC，
∴∠EDB＝∠BCE＝30°，
∵∠ABD＝120°，
∴∠DEB＝30°，
∴DB＝EB，
∴AE＝DB；
（2）如图1，E在线段AB上时，
∵AB＝2，AE＝1，
∴点E是AB的中点，
由（1）知，BD＝AE＝1，
∴CD＝BC+BD＝3；
如图2，E在线段AB的反向延长线上时，
∵AE＝1，AB＝2，
∴BE＝3，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝AC＝2，
过E作EH∥AC交BC的延长线于H，
∴∠BEH＝∠BHE＝60°，
∴△BEH是等边三角形，
∴BE＝EH＝BH＝3，∠B＝∠H＝60°，∵ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴∠B+∠BED＝∠H+∠HEC，
∴∠BED＝∠HEC，
在△BDE和△HCE中，
，
∴△BDE≌△HCE（SAS），
∴BD＝HC＝BH﹣BC＝3﹣2＝1，
∴CD＝BH﹣BD﹣HC＝3﹣1﹣1＝1．
综上所述，CD的长为1或3．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定和性
质，正确的作出辅助线是解题的关键．
55．（2021春•奉化区校级期末）（1）已知a2+b2＝10，a+b＝4，求a﹣b的值．
（2）关于x的代数式（ax﹣3）（2x+1）﹣2x2+m化简后不含x2项与常数项，且an2+mn＝1，
求2n3+5n2﹣5n+2022的值．
【分析】（1）通过完全平方公式求值．
（2）先求a和m，再求值．
【解答】解：（1）∵a2+b2＝10，a+b＝4．
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab．
∴2ab＝16﹣10＝6．
∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝4．
∴a﹣b＝±2．
（2）∵（ax﹣3）（2x+1）﹣2x2+m
＝2ax2+ax﹣6x﹣3﹣2x2+m
＝（2a﹣2）x2+（a﹣6）x+m﹣3．
∵不含x2项与常数项．∴2a﹣2＝0，m﹣3＝0．
∴a＝1，m＝3．
∵an2+mn＝1．
∴n2+3n＝1．
∴2n3+5n2﹣5n+2022＝2n3+6n2﹣n2﹣5n+2022．
＝2n（n2+3n）﹣n2﹣5n+2022
＝2n﹣n2﹣5n+2022
＝﹣（n2+3n）+2022
＝﹣1+2022
＝2021．
【点评】本题考查完全平方公式及其变形式的应用，整体代换求值，灵活运用完全平方公式
是求解本题的关键．
56．（2021春•祁阳县期末）已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
（1）如图1，如果∠A＝40°，那么∠C等于 5 0 度；
（2）如图2，探究∠DAB与∠C之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，过点B作BD⊥AM于点D，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分
∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数．
【分析】（1）利用平行线和垂线性质求解．
（2）作辅助线，利用平行线和三角形内角和定理求解．
（3）作辅助线，利用平行线的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理求解．
【解答】解：（1）如图1，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°．∴∠AOB＝90°﹣∠A＝50°．
又∵AM∥CN，
∴∠C＝∠AOB＝50°．
故答案为：50．
（2）∠DAB+∠C＝90°，理由如下：
如图2，过点B作BG∥AM．
∵AM∥CN，
∴BG∥CN．
∴∠DAB＝∠ABG，∠C＝∠CBG．
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°．
∴∠ABG+∠CBG＝90°．
∴∠DAB+∠C＝90°．
（3）如图3，作BG∥AM．
又∵AM∥CN，
∴BG∥CN．
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴设∠DBE＝∠ABE＝x，∠ABF＝y，
则∠DBF＝∠FBC＝2x+y．∠ABD＝∠CBG＝2x，∠GBF＝∠AFB＝y，∠BFC＝3∠DBE＝3x．
∴∠AFC＝3x+y．
∵∠AFC+∠NCF＝180°，∠FCB+∠NCF＝180°．
∴∠FCB＝∠AFC＝3x+y．
在△BCF中，∠CBF+∠FCB+∠BFC＝180°．∴2x+y+3x+3x+y＝180°①．
∵AB⊥BC．
∴y+y+2x＝90°②．
由①、②得：x＝15°．
∴∠EBC＝15°+90°＝105°．
【点评】本题考查平行线，角平分线以及三角形内角和定理，作辅助线理清角之间的关系是
求解本题的关键．
57．（2021春•仪征市期末）已知：DE∥PQ，点A在直线DE上，点B、C都在PQ上（点B在
点C的左侧），连接AB，AC，AB平分∠CAD．
（1）如图1，求证：∠ABC＝∠BAC；
（2）如图2，点K为AB上一点，连接CK，若CK⊥AB，判断∠EAC与∠ACK之间的数量关
系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，在直线DE上取一点F，连接FK，使得∠AKF＝30°．若∠DAB＝
∠AFK+∠KCB，求∠ACB的度数．（要求：在备用图中画出图形后，再计算）
【分析】（1）利用平行线和角平分线性质即可证明．
（2）利用平行线和等腰三角形的性质即可求．
（3）利用题中等量关系建立方程，分类求解即可．
【解答】解：（1）证明：∵AB平分∠CAD．
∴∠CAB＝∠DAB．
∵DE∥PQ．
∴∠DAB＝∠ABC．
∴∠ABC＝∠CAB．
（2）∠EAC＝2∠ACK，理由如下：
∵DE∥PQ．
∴∠EAC＝∠ACB．
由（1）知∠ABC＝∠CAB．∴CA＝CB．
∵CK⊥AB．
∴∠ACB＝2∠ACK．
∴∠EAC＝2∠ACK．
（3）如图：
如备用图1，设∠ACK＝∠BCK＝x，则∠ACB＝2x，在△ABC中，根据内角和定理得：
∠ABC＝∠BAC＝90°﹣x．
∵DE∥PQ．
∴∠DAB＝∠ABC＝90°﹣x．
在△AFK中，∠AKF+∠AFK+∠DAB＝180°．
∴∠AFK＝150°﹣（90°﹣x）＝60°+x．
∵∠DAB＝∠AFK+∠KCB．
∴90°﹣x＝60°+x+x．
∴x＝10°．
∴∠ACB＝2x＝20°．
如备用图2，设∠ACK＝∠BCK＝x，
∵DE∥PQ．
∠FAC＝∠ACB＝2x，∠DAB＝∠ABC＝90°﹣x．
∵∠AKF＝30°，∠AKC＝90°．
∴∠FKC＝60°．
∵∠CAF+∠AFK＝∠ACK+∠FKC
∴2x+∠AFK＝60°+x．
∴∠AFK＝60°﹣x．
∵∠DAB＝∠AFK+∠KCB．
∴90°﹣x＝60°﹣x+x．
x＝30°．
∴∠ACB＝60°∠ACB＝20°或60°．
【点评】本题考查平行线，等腰三角形，角平分线的性质，抓住角之间的关系是求解本题的
关键．
58．（2021春•光明区期末）如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G．∠BCD＝90°．
（1）试说明：∠BAG＝∠BGA；
（2）如图2，∠BCD的平分线交AD于点E交射线GA于点F，
①写出∠AFC，∠BAG的数量关系，并说明理由．
②若∠ABG＝55°，则∠AFC＝ 17.5 ° ．
（3）如图3，线段AG上有点P，满足∠ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG．若在直线AG上
取一点M，使∠PBM＝∠DCH，则 的值是 5 或 ．
【分析】（1）根据平行线的性质与角平分线即可证明；
（2）①由（1）和角平分线的定义可求解；
②先根据直角的平分线得：∠GCF＝45°，由平行线的性质得：∠AEF＝∠GCF＝45°，
∠DAB＝180°﹣55°＝125°，最后根据外角的性质可得∠AFC的度数；
（3）有两种情况：
①当M在BP的下方时，如图5，设∠ABC＝4x，先根据已知计算∠ABP＝3x，∠PBG＝x，
根据平行线的性质得：∠BCH＝∠AGB＝ ＝90°﹣2x，根据角的和与差计算∠ABM，
∠GBM的度数，可得结论；
②当M在BP的上方时，如图6，同理可得结论．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠GAD＝∠BGA（两直线平行，内错角相等），
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG＝∠GAD（角平分线的定义），
∴∠BAG＝∠BGA；
（2）解：①∠BAG＝∠AFC+45°，理由如下：
∵CF平分∠BCD，∠BCD＝90°，
∴∠GCF＝45°，
∵∠BGA＝∠AFC+∠GCF，
∴∠BGA＝∠AFC+45°，由（1）知，∠BAG＝∠BGA，
∴∠BAG＝∠AFC+45°；
②∵CF平分∠BCD，∠BCD＝90°，
∴∠GCF＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝∠GCF＝45°，
∵∠ABG＝55°，
∴∠DAB＝180°﹣55°＝125°，
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG＝∠GAD＝62.5°，
∵∠GAD＝∠AFC+∠AEF，
∴∠AFC＝62.5°﹣45°＝17.5°；
故答案为：17.5°．
（3）解：有两种情况：
①当M在BP的下方时，如图5，
设∠ABC＝4x，
∵∠ABP＝3∠PBG，
∴∠ABP＝3x，∠PBG＝x，
∵AG∥CH，
∴∠BCH＝∠AGB＝ ＝90°﹣2x，
∵∠BCD＝90°，
∴∠DCH＝∠PBM＝90°﹣（90°﹣2x）＝2x，
∴∠ABM＝∠ABP+∠PBM＝3x+2x＝5x，
∠GBM＝2x﹣x＝x，
∴∠ABM：∠GBM＝5x：x＝5；
②当M在BP的上方时，如图6，
同理得：∠ABM＝∠ABP﹣∠PBM＝3x﹣2x＝x，
∠GBM＝2x+x＝3x，
∴∠ABM：∠GBM＝x：3x＝ ．
综上， 的值是5或 ．
故答案为：5或 ．【点评】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形外角的性质及角的和与差，
注意分类讨论思想的运用，本题容易丢解，要注意审题．
59．已知：∠MON＝36°，OE平分∠MON，点A，B分别是射线OM，OE，上的动点（A，B不
与点O重合），点D是线段OB上的动点，连接AD并延长交射线ON于点C，设∠OAC＝x，
（1）如图1，若AB∥ON，则
①∠ABO的度数是 18 ° ；
②当∠BAD＝∠ABD时，x＝ 126 ° ；
当∠BAD＝∠BDA时，x＝ 63 ° ；
（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ABD中有两个相等的角？若存
在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）运用平行线的性质以及角平分线的定义，可得∠ABO的度数；根据∠ABO、
∠BAD的度数以及△AOB的内角和，可得x的值；
（2）根据三角形内角和定理以及直角的度数，可得x的值．
【解答】解：（1）如图1，①∵∠MON＝36°，OE平分∠MON，
∴∠AOB＝∠BON＝18°，
∵AB∥ON，
∴∠ABO＝18°；
②当∠BAD＝∠ABD时，∠BAD＝18°，
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB＝180°，
∴∠OAC＝180°﹣18°×3＝126°；
③当∠BAD＝∠BDA时，∵∠ABO＝18°，
∴∠BAD＝81°，∠AOB＝18°，
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB＝180°，
∴∠OAC＝180°﹣18°﹣18°﹣81°＝63°，故答案为：①18°；②126°；③63°；
（2）如图2，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角．
∵AB⊥OM，∠MON＝36°，OE平分∠MON，
∴∠AOB＝18°，∠ABO＝72°，
若∠BAD＝∠ABD＝72°，则∠OAC＝90°﹣72°＝18°；
若∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣72°）÷2＝54°，则∠OAC＝90°﹣54°＝36°；
若∠ADB＝∠ABD＝72°，则∠BAD＝36°，故∠OAC＝90°﹣36°＝54°；
综上所述，当x＝18、36、54时，△ADB中有两个相等的角．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，三角形的内角和等于
180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．利用角平分线的性质求出∠ABO
的度数是关键，注意分类讨论思想的运用．
60．（2021春•海阳市期末）数学理解
（1）如图1，在等边△ABC内，作DB＝DC，且∠BDC＝80°，E是△DBC内一点，且∠CBE
＝10°，BE＝BD，求∠BCE的度数；
联系拓广（联系图1特点，解决下列问题）
（2）如图2，在△DBC中，DB＝DC，∠BDC＝80°，E是△DBC内一点，且∠CBE＝10°，
∠BCE＝30°，连接DE，求∠CDE的度数．
【分析】（1）连接AD，依据直线AD是线段BC的垂直平分线，即可得到AD平分∠BAC，
进而得出∠BAD的度数；再判定△ABD≌△CBE（SAS），即可得到∠BCE＝∠BAD＝30°；
（2）作等边三角形ABC，连接AD，判定△ABD≌△CBE（SAS），即可得到BD＝BE，进而
得出∠BDE＝70°，再根据∠CDE＝∠BDC﹣∠BDE进行计算即可．
【解答】解：（1）如图1，连接AD，
∵AB＝AC，DB＝DC，∴直线AD是线段BC的垂直平分线，
∴AD平分∠BAC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∵∠BDC＝80°，
∴∠DBC＝50°，
∴∠ABD＝60°﹣50°＝10°＝∠CBE，
又∵AB＝BC，BE＝BD，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠BCE＝∠BAD＝30°；
（2）如图2，作等边三角形ABC，连接AD，
由（1）解答知，∠BAD＝∠BCE＝30°，∠ABD＝∠CBE＝10°，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴BD＝BE，
∵∠DBE＝60°﹣10°﹣10°＝40°，
∴∠BDE＝70°，
∴∠CDE＝∠BDC﹣∠BDE＝80°﹣70°＝10°．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，关键是掌握等边三角形
的三个内角都相等，且都等于60°．
