文档内容
专题 17 圆锥曲线常考压轴小题全归类
【目录】
..............................................................................................................................................2
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..............................................................................................................................................4
..............................................................................................................................................5
..............................................................................................................................................6
考点一：阿波罗尼斯圆与圆锥曲线.........................................................................................................................6
考点二：蒙日圆.......................................................................................................................................................7
考点三：阿基米德三角形........................................................................................................................................8
考点四：仿射变换问题............................................................................................................................................9
考点五：圆锥曲线第二定义....................................................................................................................................9
考点六：焦半径问题..............................................................................................................................................10
考点七：圆锥曲线第三定义..................................................................................................................................10
考点八：定比点差法与点差法..............................................................................................................................11
考点九：切线问题.................................................................................................................................................11
考点十：焦点三角形问题......................................................................................................................................12
考点十一：焦点弦问题..........................................................................................................................................12
考点十二：圆锥曲线与张角问题...........................................................................................................................13
考点十三：圆锥曲线与角平分线问题...................................................................................................................13
考点十四：圆锥曲线与通径问题...........................................................................................................................14
考点十五：圆锥曲线的光学性质问题...................................................................................................................14
考点十六：圆锥曲线与四心问题...........................................................................................................................15圆锥曲线的定义、方程与几何性质是每年高考必考的内容．一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆
或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题；三是抛物线的性质及应用问题．多以选择、填空题的
形式考查，难度中等．
考点要求 考题统计 考情分析
2023年北京卷第6题，4分 【命题预测】
圆锥曲线的定义 2022年I卷第11题，5分 预测2024年高考，多以小题
2021年I卷第5题，5分 形式出现，也有可能会将其
渗透在解答题的表达之中，
2023年I卷第6题，5分
相对独立．具体估计为：
圆问题 2023年乙卷第12题，5分
（1）以选择题或填空题形式
2023年乙卷第11题，5分
出现，考查数学抽象、数学
2023年甲卷第12题，5分 建模、逻辑推理与数学运算
四大核心素养．
焦点三角形 2023年甲卷第7题，5分
（2）热点是圆锥曲线的三定
2021年I卷第5题，5分
义与性质.
1、在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据定义判定轨迹
曲线并写出方程．有时还要注意轨迹是不是完整的曲线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量 或
进行限制．
2、应用圆锥曲线的定义时，要注意定义中的限制条件．在椭圆的定义中，要求 ；在双曲线的定
义中，要求 ；在抛物线的定义中，定直线不经过定点．此外，通过到定点和到定直线的距离之
比为定值可将三种曲线统一在一起，称为圆锥曲线．
3、圆锥曲线定义的应用主要有：求标准方程，将定义和余弦定理等结合使用，研究焦点三角形的周长、面积，求弦长、最值和离心率等．
4、用解析法研究圆锥曲线的几何性质是通过方程进行讨论的，再通过方程来研究圆锥曲线的几何性质．
不仅要能由方程研究曲线的几何性质，还要能运用儿何性质解决有关问题，如利用坐标范围构造函数或不
等关系等．
x2 y2
+ =1(a>b>0)
5、椭圆a2 b2
焦点为
F
1，
F
2，P为椭圆上的点，
∠F
1
PF
2
=θ
，则
sinθ θ
S =b2 ¿ =b2tan
ΔF 1 PF 2 1+cosθ 2
x2 y2
− =1(a>0，b>0)
a2 b2 的焦点为F、F，B为双曲线上的点， ∠F 1 BF 2 =α ，则
1 2
6、双曲线
sinα b2
S =b2 ¿ =
△F 1 BF 2 1−cosa tan α
2．
7、椭圆焦半径
椭圆上的点到焦点的距离；设 为椭圆上的一点，
①焦点在 轴：焦半径 (左加右减)；② 焦点在 轴：焦半径 (上加下减)．
8、双曲线焦半径
设 为双曲线上的一点，
①焦点在 轴： 在左支 ， 在右支 ；
②焦点在 轴： 在下支 ， 在上支 ．
9、设 、 是椭圆 的两个焦点，O 是椭圆的中心，P 是椭圆上任意一点，
∠F PF =θ
1 2 ，则 ．
10、设 、 是双曲线 的两个焦点，O是双曲线的中心，P是双曲线上任意一点，
∠F PF =θ
1 2 ，则 ．
11、等轴双曲线满足： ；
12、若椭圆（双曲线）与直线 交于 两点，其中 ， ， ，为 中点，
（椭圆）； （双曲线）1．（2023•北京）已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上，若 到直线 的距离为5，则
A．7 B．6 C．5 D．4
2．（2023•新高考Ⅰ）过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则
A．1 B． C． D．
3．（2023•甲卷）已知椭圆 ， ， 为两个焦点， 为原点， 为椭圆上一点，
，则
A． B． C． D．
4．（2023•乙卷）已知 的半径为1，直线 与 相切于点 ，直线 与 交于 ， 两点，
为 的中点，若 ，则 的最大值为
A． B． C． D．
5．（2023•乙卷）已知实数 ， 满足 ，则 的最大值是
A． B．4 C． D．7
6．（2023•新高考Ⅱ）已知椭圆 的左焦点和右焦点分别为 和 ，直线 与 交于
点 ， 两点，若△ 面积是△ 面积的两倍，则
A． B． C． D．
7．（2023•甲卷）设 ， 为椭圆 的两个焦点，点 在 上，若 ，则
A．1 B．2 C．4 D．5
8．（2021•新高考Ⅰ）已知 ， 是椭圆 的两个焦点，点 在 上，则 的最
大值为
A．13 B．12 C．9 D．69．（多选题）（2022•新高考Ⅰ）已知 为坐标原点，点 在抛物线 上，过点
的直线交 于 ， 两点，则
A． 的准线为 B．直线 与 相切
C． D．
10．（2022•全国）已知 为坐标原点，点 在圆 上，则 的最小值为 ．
11．（2021•新高考Ⅰ）已知 为坐标原点，抛物线 的焦点为 ， 为 上一点，
与 轴垂直， 为 轴上一点，且 ．若 ，则 的准线方程为 ．
考点一：阿波罗尼斯圆与圆锥曲线
【例1】（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知平面上两定点A，B，则所有满足 （
且 ）的点P的轨迹是一个圆心在直线AB上，半径为 的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿
波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知动点P在棱长为6的正方体 的一个侧面 上运动，
且满足 ，则点P的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2024·新疆乌鲁木齐·统考）希腊著名数学家阿波罗尼斯发现“平面内到两个定点 的距离
之比为定值 的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿
氏圆.已知在平面直角坐标系 中，点 ， ，若点 是满足 的阿氏圆上的任意一
点，点 为抛物线 上的动点， 在直线 上的射影为 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2024·陕西·统考模拟预测）阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：在平
面内到两定点距离之比为常数 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点
A，B间的距离为2，动点P满足 ，则 面积的最大值是（ ）A． B．2 C． D．4
【变式1-3】（2024·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为
亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲
线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点 与两定点 ， 的距离之比为
，那么点 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点 与两定点 ， 的距离之比为
时的阿波罗尼斯圆为 ．下面，我们来研究与此相关的一个问题：已知圆 上的动
点 和定点 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
考点二：蒙日圆
【例2】（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，离心
率为 ，其蒙日圆方程为 ，M为蒙日圆上的一个动点，过点 作椭圆 的两条切线，与蒙
日圆分别交于P，Q两点，若 面积的最大值为36，则椭圆 的长轴长为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2024·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考）19世纪法国著名数学家加斯帕尔•蒙日，
创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，
则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆 的蒙日圆方程为
.若圆 与椭圆 的蒙日圆有且仅有一个公共点，则b的值为
（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2024·贵州毕节·校考模拟预测）加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他
在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，
这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形 的四边均与椭圆 相切，则下列说法错误的是（ ）A．椭圆 的离心率为 B．椭圆 的蒙日圆方程为
C．若 为正方形，则 的边长为 D．长方形 的面积的最大值为18
考点三：阿基米德三角形
【例3】（多选题）（2024·湖南长沙·高三周南中学校考阶段练习） 为抛物线 的弦，
， 分别过 作的抛物线的切线交于点 ，称 为阿基米德三角形，弦
为阿基米德三角形的底边.若弦 过焦点 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．底边 的直线方程为 ；
C． 是直角三角形；
D． 面积的最小值为 .
【变式3-1】（多选题）（2024·湖南长沙·长沙市实验中学校考）过抛物线C： （ ）的焦点F
的直线与抛物线C相交于A，B两点，以A，B为切点作抛物线C的两条切线 ， ，设 ， 的交点为
M，称 AMB为阿基米德三角形.则关于阿基米德三角形AMB，下列说法正确的有（ ）
A． AMB是直角三角形
△
B．顶点M的轨迹是抛物线C的准线
△
C．MF是 AMB的高线
D． AMB△面积的最小值为
【变式3△-2】（多选题）（2024·山东·模拟预测）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为
阿基米德三角形.设抛物线 ，弦 过焦点 为其阿基米德三角形，则下列结论一定
成立的是（ ）
A．存在点 ，使得
B．
C．对于任意的点 ，必有向量 与向量 共线D． 面积的最小值为
考点四：仿射变换问题
【例4】（2024·全国·高三专题练习）过椭圆 的右焦点F的直线与椭圆交于A，B两点，则
面积最大值为 .
【变式4-1】（2024·全国·高三专题练习）已知直线l与椭圆 交于M，N两点，当
， 面积最大，并且最大值为 .记 ，当 面积最大时， ﹐
.Р是椭圆上一点， ，当 面积最大时， .
【变式4-2】（2024·全国·高三专题练习）已知A，B，C分别是椭圆 上的三个动点，则 面
积最大值为 .
考点五：圆锥曲线第二定义
【例5】（2024·黑龙江齐齐哈尔·统考）已知椭圆 ： 的短轴长为2，上顶点为 ，左
顶点为 ， ， 分别是 的左、右焦点，且 的面积为 ，点 为 上的任意一点，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2024·广东广州·统考）已知F为抛物线C： 的焦点，过点F的直线l与C相交于A，
B两点，且 ，则
A．6 B．8 C．10 D．12
【变式5-2】（2024·福建漳州·高二福建省华安县第一中学校考阶段练习）过椭圆 的左焦点F
作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A、B两点，则 （ ）A． B． C． D．
考点六：焦半径问题
【例6】（2024·全国·高三专题练习）已知点 是双曲线 上的动点， ， 为该双曲线的左右焦
点， 为坐标原点，则 的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
【变式6-1】（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线 的右支上的点 ， 满足
， 分别是双曲线的左右焦点），则 为双曲线 的半焦距）的取值范围是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【变式6-2】（2024·江苏·高二专题练习）已知 为抛物线 的焦点，过 作两条互相垂直的直线
， ，直线 与 交于 ， 两点，直线 与 交于 ， 两点，则当 取得最小值时，四边
形 的面积为（ ）
A．32 B．16 C．24 D．8
考点七：圆锥曲线第三定义
【例7】（江苏省南京市中华中学2023-2024学年高二下学期初数学试题）椭圆 ： 的左、右顶
点分别为 ， ，点 在 上且直线 的斜率的取值范围是 ，那么直线 斜率的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2024·全国·高三专题练习）椭圆 的左、右顶点分别为 、 ，点 在 上，
且直线 的斜率为 ，则直线 斜率为（ ）
A． B．3 C． D．【变式7-2】（2024·安徽六安·高三六安一中阶段练习）已知 为双曲线 上不同三点，且满
足 （ 为坐标原点），直线 的斜率记为 ，则 的最小值为
A．8 B．4 C．2 D．1
考点八：定比点差法与点差法
【例8】已知点P(0，1)，椭圆 (m>1)上两点A，B满足 ，则当m= 时，点
B横坐标的绝对值最大．
【变式8-1】（2024·全国·高三校联考阶段练习）已知椭圆 ，点 为椭圆外一点，
斜率为 的直线与椭圆交于 ， 两点，过点 作直线 ， 分别交椭圆于 ， 两点．当直线 的
斜率为 时，此椭圆的离心率为 ．
【变式8-2】（2024·浙江·校联考）过点 的直线 与椭圆 交于点 和 ，且 .点
满足 ，若 为坐标原点，则 的最小值为 ．
考点九：切线问题
【例9】（2024·山东济南·高三山东省实验中学校考阶段练习）已知椭圆 ，过C中
心的直线交C于M，N两点，点P在x轴上其横坐标是点M横坐标的3倍，直线NP交C于点Q，若直线
QM恰好是以MN为直径的圆的切线，则C的离心率为 ．
【变式9-1】（2024·浙江台州·统考）抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反
射后，反射光线平行于抛物线的轴．过抛物线 ： 上的点 （不为原点）作 的切线 ，过坐标原
点 作 ，垂足为 ，直线 （ 为抛物线的焦点）与直线 交于点 ，点 ，则 的取
值范围是 ．
【变式9-2】（2024·全国·高三专题练习）设抛物线 ，M为直线 上任意一点，过M
引抛物线的切线，切点分别为A，B，记A，B，M的横坐标分别为 ，则下列关系：①
；② ；③ .其中正确的是 (填序号)．考点十：焦点三角形问题
【例10】（2024·全国·高三专题练习）已知 、 是椭圆 的两个焦点， 是椭圆
上的一点，若 ，且 的面积为 ，则
A．2 B．3 C．6 D．9
【变式10-1】（2024·云南·高二云南省下关第一中学校考期末）已知 ， 是椭圆
的两个焦点，P为椭圆C上一点，且 ，若 的面积为 ，则 （ ）
A．9 B．3 C．4 D．8
【变式10-2】（2024·江西赣州·高二校联考期末）已知椭圆 上一动点P到两个焦点F，F 的距离
1 2
之积为q，则q取最大值时， 的面积为（ ）
A．1 B． C．2 D．
考点十一：焦点弦问题
【例11】（2024·安徽安庆·高三校联考阶段练习）已知双曲线 的左、右焦点分别为
， ，过 的直线与双曲线的左、右两支分别交于 ， 两点，若 为边长为4的等边三角形，
则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式11-1】（2024·高二课时练习）已知双曲线 的右焦点为 ， 是双曲线 的左支上一点，
，则 的周长的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【变式11-2】（2024·四川遂宁·统考）过抛物线 的焦点 作直线交抛物线于 ， 两点（
， 的横坐标不相等），弦 的垂直平分线交 轴于点 ，若 ，则 （ ）
A．14 B．16 C．18 D．20考点十二：圆锥曲线与张角问题
【例12】（2024·湖南·高三校联考期末）设 是椭圆 的两个焦点，若 上存在点 满足
，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式12-1】（2024·河北衡水·河北衡水中学校考）已知 ， 为椭圆 ： 的两个焦点，
若 上存在点 满足 ，则实数 取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式12-2】（2024·湖南常德·统考）定义：点 为曲线 外的一点， 为 上的两个动点，则
取最大值时， 叫点 对曲线 的张角.已知点 为抛物线 上的动点，设 对圆
的张角为 ，则 的最小值为 .
考点十三：圆锥曲线与角平分线问题
【例13】（2024·河北·石家庄一中校联考模拟预测）已知双曲线 ： 的左、右焦点
分别为 ， ，其右支上有一点 满足 ，过点 向 的平分线引垂线交于点 ，若
，则双曲线 的离心率 .
【变式13-1】（2024·江苏苏州·校联考模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，
是 上异于顶点的一点， 为坐标原点， 为线段 的中点， 的平分线与直线 交于点 ，当
四边形 的面积为 时， ．
【变式13-2】（2024·福建龙岩·统考）已知抛物线 ，直线 过点 且与 相交于 ， 两
点，若 的平分线过点 ，则直线 的斜率为 ．考点十四：圆锥曲线与通径问题
【例14】（2024·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）过抛物线 的焦点 的直线与 交
于 两点，且 ， 的准线 与 轴交于 ， 的面积为 ，则 的通径长为 .
【变式14-1】（2024·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考阶段练习）已知椭圆 的左、右焦点
分别为 过 的通径 （过焦点垂直于长轴的弦叫做通径），则 的内切圆方程为
.
【变式14-2】已知 ， 是椭圆C的焦点，过F 且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，
2
且 ，则C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
考点十五：圆锥曲线的光学性质问题
【例15】（2024·河南郑州·高三河南省新郑市第一中学校考阶段练习）双曲线的光学性质为：从双曲线的
一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．如图： 为双
曲线 的左，右焦点，若从右焦点 发出的光线在 上的点 处反射后射出（
共线），且 ，则 的离心率为 .
【变式15-1】（2024·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，
经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上．已知椭圆C： ， 为其
左、右焦点．M是C上的动点，点 ，若 的最大值为6.动直线l为此椭圆C的切线，右焦点 关于直线l的对称点 ， ，则椭圆C的离心率为 ；S的取值范围为
．
【变式15-2】（2024·广西玉林·高三校联考开学考试）双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点
发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点 . 我国首先研制成功的“双曲线新闻
灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为
， 为其左右焦点，若从右焦点 发出的光线经双曲线上的点A和点 反射后，满足
， ，则该双曲线的离心率为 .
考点十六：圆锥曲线与四心问题
【例16】（2024·四川成都·模拟预测）已知 、 分别为双曲线 的左、右焦点，且
，点 为双曲线右支上一点， 为 内心，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式16-1】（2024·广西·统考）已知点A，B在抛物线 上，O为坐标原点，若 ，且
的垂心恰好是此抛物线的焦点F，则直线AB的方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式16-2】（2024·浙江台州·高三台州一中校考开学考试）已知 是双曲线 的左､
右焦点，过点 且垂直于实轴的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于A，B两点，则坐标原点O可能为
的（ ）
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
