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2021-2022学年七年级数学下册期中期末综合复习专题提优训练（北师大版）
专题10 线段垂直平分线、角平分线应用类型
【题型一 应用线段垂直平分线的性质求周长】
例题：（2022·贵州铜仁·八年级期末）如图，在 中， ，AD，BE分别是BC和AC边上的
高，AD与BE相交于点F，连接CF．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的周长．
【答案】(1)证明见解析
(2) 周长
【解析】
【分析】
（1）结合题意，根据直角三角形两锐角互余的性质，得 ；再根据等腰三角形和全等三角形
的性质分析，即可完成证明；
（2）根据全等三角形的性质，得 ， ；根据垂直平分线的性质，得 ， ，
通过计算即可得到答案．
(1)
根据题意，得： ，
∴ ，
∴ ，即
∵ ，
∴
∴
∴
在 和 中∴ ；
(2)
根据（1）的结论，得：
∴ ，
∵
∴
∴
∴
∴ ，
∴ 周长
∵
∴ 周长 ．
【点睛】
本题考查了全等三角形、垂直平分线、直角三角形两锐角互余、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌
握垂直平分线、全等三角形、等腰三角形的性质，从而完成求解．
【变式训练1】（2022·山西晋中·八年级期中）如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，垂足为点D，
DE交AC于点E，且 ，△BEC的周长为11，则BC的长为________．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，从而求出BE+EC=AE+EC=AC=7，然后根据三角形的周长公式计
算即可．
【详解】
解∶∵DE是AB的垂直平分线，∴BE=AE，
又AC=7，
∴BE+EC=AE+EC=AC=7，
又△BEC的周长为11，
∴BE+EC+BC=11，
∴BC=4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的
关键．
【变式训练2】（2022·黑龙江牡丹江·八年级期末）如图，将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在AC边上
的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上一动点，若AD=1，AC=3，△OCD周长的最小值是___________．
【答案】5
【解析】
【分析】
如图，连接BD，OB，由折叠的性质可得EF是BD的对称轴，可得OB=OD，当点B，点O，点C共线时，
△OCD周长最小值=2+BC=5．
【详解】
解：如图，连接BD，OB，
∵将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在AC边上的点D处，
∴EF是BD的对称轴，∴OB=OD，
∵AD=1，AC=3，
∴CD=2，
∵△OCD周长=CD+OD+OC=2+BO+OC，
∴当点B、O、C共线时，△OCD周长最小值=2+BC=5，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了翻折变换，考查了折叠的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练运用折叠的
性质是本题的关键．
【变式训练3】（2022·河北·阜城县教育科学研究室八年级期末）如图，在 中，DE是AC的垂直平分
线， ， 的周长为14，求 的周长．
【答案】 的周长＝8．
【解析】
【分析】
由垂直平分线的性质可知 ， ，由 的周长可知 的值，再根据
计算 的周长即可．
【详解】
解：∵DE是AC的垂直平分线， ，
∴ ， ，
∵ 的周长为14，
∴ ，
∴ 的周长 ．
【点睛】
本题考查的是垂直平分线的性质，能够熟知垂直平分线的性质是解题的关键．
【变式训练4】（2022·河北石家庄·八年级期末）如图，在 中， ，D是 的中点， 垂直平分 ，交 于点E，交 于点F，M是直线 上的动点．
(1)当 时．
①若 ，则点 到 的距离为________
②若 ， ，求 的周长；
(2)若 ，且 的面积为40，则 的周长的最小值为________．
【答案】(1)①1；②18
(2)14
【解析】
【分析】
（1）①如图1，作 于 ，根据垂直平分线的性质，等腰三角形的性质可得 ，证
明 ，进而可知 ；②根据垂直平分线的性质， ，可得
，有 是等边三角形，进而求解周长即可；
（2）如图2，连接 ，由 ， ，可得 的值，根据 关于直线 的对称
点为 与两点之间线段最短，可知 与直线 的交点即为 ，有 的周长的最小值为
，计算求解即可．
(1)
①解：如图1，作 于∵ ，D是BC的中点
∴ 是 的垂直平分线
∴ ，
∵
∴
∵ ，
∴
在 和 中
∵
∴
∴
故答案为：1．
②解：∵D是 的中点， ，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴
∴ 的周长为
故答案为：18．
(2)
解：如图2，连接∵ ，
解得
∵ 垂直平分
∴ 关于直线 的对称点为
∴由两点之间线段最短可知 与直线 的交点即为
∴ 的周长的最小值为
∴ 的周长的最小值为14．
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定与性质．
解题的关键在于对知识的灵活运用．
【题型二 应用线段垂直平分线、角平分线的性质解决实际问题】
例题：（2022·山西晋中·八年级期中）近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如
图，A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地．但是，国资委为了使A，B，C三地的民众都能享
受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在（ ）
A．AB，BC两边垂直平分线的交点处 B．AB，BC两边高线的交点处
C．AB，BC两边中线的交点处 D．∠B，∠C两内角的平分线的交点处
【答案】A【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线的性质可直接进行求解．
【详解】
解：因为决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，所以高铁站应建在AB，BC两边垂直平
分线的交点处，
理由是线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
故选A．
【点睛】
本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【变式训练1】（2022·山东青岛·八年级期中）某公园的A，B，C处分别有海资船、摩天轮、旋转木马三
个娱乐项目，现要在公园内一个售票中心，使三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，则售票中心
应建立在（ ）
A．△ABC三边高线的交点处 B．△ABC三角角平分线的交点处
C．△ABC三边中线的交点处 D．△ABC三边垂直平分线的交点处
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，即可得到答案．
【详解】
要使三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等
售票中心应建立在三个娱乐项目组成的三角形的三边的垂直平分线的交点处
故选：D．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质定理，即线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，熟练掌握
知识点是解题的关键．
【变式训练2】（2022·山西晋中·八年级期中）2022年左权县将倾力打造泽城村“中国北方国际写生基地”，实现“山水-写生-消费-产业“的全链条发展，为方便百姓利用直播带货，助推家乡产业发展，中国移动通
信公司已经资助建设5G直播仓。目前，政府为更好地服务农民，将在村庄A、B、C之间的空地上新建一
座仓库P．已知A、B、C恰好在三条公路的交点处，要求仓库Р到村庄A、B、C的距离相等，则仓库P应
选在（ ）
A． 三条角平分线的交点 B． 三边的垂直平分线的交点
C． 三条中线的交点 D． 三条高所在直线的交点
【答案】B
【解析】
【分析】
根据垂直平分线的性质进行解答即可．
【详解】
解：∵仓库Р到村庄A、B、C的距离相等，
∴仓库P应选在 三边的垂直平分线的交点．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等，是解题的关键．
【变式训练3】（2021·河南·金明中小学八年级期中）如图，某小区绿化带 ABC内部有两个喷水臂P、
Q，现欲在 ABC内部建一个水泵O，使得水泵O到BA，BC的距离相等，△且到两个嘈水管P、Q的距离也
相等，请你△在图中标出水泵O的位置（保留作图痕迹）．【答案】见详解．
【解析】
【分析】
运用角平分线定理和线段的垂直平分线作图．
【详解】
解：如图
以B点为圆心任意长为半径作圆交BC于D，交BA于E；分别以D，E为圆心大于 为半径作圆，两圆
交于F；连接BF，则BF为∠ABC的角平分线；以P为圆心PQ为半径作圆，以Q为圆心QP为半径作圆，
两圆交于点H、G，连接GH交BF于点O，O即为水泵位置．
【点睛】
本题考查尺规作图，利用角平分线的性质，角平分线上的点到这个角夹边的距离相等；线段垂直平分线的
性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；掌握其性质是解题的关键．【题型三 应用角平分线的性质求面积和周长】
例题：（2022·山东·滕州市鲍沟镇鲍沟中学一模）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点
O，过点O作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，AB=5，BC=7，AC=3．
(1)求△AEF的周长；
(2)若DO=1，试求△ABC的面积．
【答案】(1)8
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据 与 的平分线相交于点O，然后在根据 的性质，可以推出 与 是
等腰三角形，后将△AEF的周长转化为 与 的和，即可完成求解．
（2）先作出辅助线 于点 ，连接 ，作 于点 ，然后根据 和 的平分线
相交于点 ，容易得到 为 的三个内角的平分线的交点，然后可以得出 和 的关系，可以推出
≌ ，进而根据条件也可得到 ≌ ，最终得到 ，然
后将 的面积转化为 ，根据三角形面积公式，此题得解．
(1)
解：∵ 与 的平分线相交于点O，
∴ 平分 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ 与 是等腰三角形，
∴ ，
∴ 的周长为 ，
即 的周长为8．(2)
解：作 于点 ，连接 ，作 于点 ，
∵ 和 的平分线相交于点 ，
∴ 为 的三个内角平分线的交点，
∴ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ≌ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ≌ ，
∴ ，
又
∴∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了全等三角形以及三角形面积的计算，能正确作出辅助线是解决问题的关键．
【变式训练1】（2020·贵州遵义·八年级期末）如图，在Rt△ABC中， ，AD平分∠BAC，交BC
于点D，若 ，△ABD的面积为60，则CD长( )
A．12 B．10 C．6 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质可得DE=CD，再由△ABD的面积为60，可得DE=6，即可
求解．
【详解】
解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵ ，AD平分∠BAC，
∴DE=CD，
∵ ，△ABD的面积为60，
∴ ，解得：DE=6，
∴CD=6．
故选：C
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离相等是解题的关键．
【变式训练2】（2022·黑龙江·大庆市万宝学校七年级期末）如图，在 中， 是 边上的高，
平分 ，交 于点 ，若 ， ，则 的面积等于（ ）
A．36 B．48 C．60 D．72
【答案】B
【解析】
【分析】
作 交 于点 ，然后根据角平分线的性质，可以得到 ，再根据三角形的面积公式，即
可求得 的面积．
【详解】
解：作 交 于点 ，
∵ 是 边上的高，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴
∵ ， ，
∴ ．
故选：B．【点睛】
本题考查了三角形的面积和角平分线性质．理解和掌握角的平分线的性质定理是解题的关键．
【变式训练3】（2022·山西晋中·八年级期中）图，在 中， 平分 ， 平分 ，过点
作 的平行线与 ， 分别相交于点 ， ．若 ， ，求 的周长．
【答案】
【解析】
【分析】
由 ， 平分 得 ，从而得到 ；同理可得 ，即
，进而得到 ，代入即可得出答案．
【详解】
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质及角平分线的定义，解题的关键是熟记性质并准确识图，将未知线段转换为已知线段求解．
【变式训练4】（2022·福建泉州·八年级期末）如图，在 中， 垂直平分 ，交 于点F，
于点D， ，连接 ．
(1)若 平分 ，求 的度数；
(2)若 的周长为 ， ，求 的长．
【答案】(1)36°；
(2)4cm．
【解析】
【分析】
（1）根据垂直平分线和等腰三角形的性质可知 ， ， ，再根据外角
的性质可知 ，设 ，根据三角形内角和定理列方程求解即可；
（2）根据已知条件推导 cm，即可得到答案．
(1)
解：∵ ，且 ， 垂直平分 ，
∴ ， ， ，
设 ，则 ， ，
又∵ 平分 ，
∴ ，
∵
即 ，解得 ，
∴ 的度数为36°；
(2)
解：∵ 的周长为 ， ，
∴ cm，
∴ cm，
∵ ， ，∴ cm，
即 cm，
∴ cm．
【点睛】
本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理及三角形外角性质等知识，解
题关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等、等腰三角形等边对等角和三线合一．
【题型四 应用角平分线的性质证明线段数量关系】
例题：（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）已知，点C在 的平分线 上，点B、D分别在 、
上，连接 、 ．
(1)如图1，若 ，请直接写出线段 与 的数量关系；
(2)如图2， ，郑么（1）中探究的结论是否成立？若成立，请给出证明：若不成立，请
说明理由．
【答案】(1)BC＝DC
(2)成立，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DC=BC；
（2）过点C作CE⊥AB于E，作CF⊥AD于F，根据同角的补角相等求出∠ABC=∠CDF，根据角平分线上
的点到角的两边距离相等可得CE=CF，然后利用“角角边”证明△BCE和△DCF全等，根据全等三角形
对应边相等可得DC=BC．
(1)
∵AC平分∠MAN，∠ABC=∠ADC=90°，∴DC=BC；
(2)
（1）中的结论仍然成立．
理由如下：如图，过点C作CE⊥AB于E，作CF⊥AD于F，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∠CDF+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠CDF，
∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=CF，
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（AAS），
∴DC=BC．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟练掌握三角形全等
的判定方法是解题的关键，难点在于（2）作辅助线构造出全等三角形．
【变式训练1】（2022·广西百色·八年级期末）已知：如图，∠BAC＝30°，G为∠BAC平分线上一点，
EG∥AC，EG交AB于点E；GD⊥AC，垂足为点D．求证： ．【答案】见解析
【解析】
【分析】
作GF⊥AB于点F，则根据角平分线性质和直角三角形性质可以得到解答．
【详解】
证明：如下图所示：作GF⊥AB于点F，
∵AG为∠BAC平分线，GF⊥AB，GD⊥AC，
∴GF＝GD
∵EG∥AC，
∴∠BEG＝∠BAC＝30°，
∴GE＝2GF
又∵GF＝GD，
∴GE＝2GD．
即
【点睛】
本题考查角平分线和直角三角形的综合应用，熟练掌握角平分线的性质定理、含30°角的直角三角形性质
是解题关键 ．
【变式训练2】（2022·山东青岛·八年级期中）在Rt△ABC中， ，AE是斜边BC上的高，角平分线BD交AE于点G，交AC于点D， 于点F．
(1)求证： ；
(2)试判断AD与AG有怎样的数量关系？请说明理由．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)相等，理由见详解
【解析】
【分析】
（1）根据BD平分∠ABC，得到∠ABD=∠DBF，再根据DF⊥BC，得到∠DFB=∠BAD=90°，即可得到
，即可证得AB=BF；
（2）先证明 ，即可得到∠BGE=∠BDF，再根据∠BGE=∠AGD，∠ADB=∠BDF，得到
∠AGD=∠ADB，即有AG=AD．
(1)
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBF，
∵DF⊥BC，
∴∠DFB=∠BAD=90°，
又∵BD=BD，
∴ ，
∴∠ADB=∠BDF，AB=BF；
(2)
AD=AG，理由如下：
∵AE是斜边BC上的高，
∴AE⊥BC，
又∵DF⊥BC，
∴ ，
∴∠BGE=∠BDF，又∵∠BGE=∠AGD，∠ADB=∠BDF，
∴∠AGD=∠ADB，
∴AG=AD．
【点睛】
本题主要考查了角平分线性质、全等三角形的判定和性质、平行的判定和性质、等角对等边等知识，得到
是解答本题的关键．
【变式训练3】（2022·上海松江·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC>CD，AC平分
∠BCD，过点A作AE⊥BC，垂足为点E．
(1)求证：CE=CD BE；
(2)如果CE=3BE，求 的值．
【答案】(1)证明见详解；
(2) = ．
【解析】
【分析】
（1）过点A作AF⊥CD交CD延长线于F，先根据AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，得出AE=AF，
∠AEB=∠AFD=90°，再证Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），得出BE=DF，然后证明Rt△ACE≌Rt△ACF（HL）即
可；
（2）先求出BC= 4BE， CD= 2BE,，然后S ABC= ，S ADC=
△
△
即可．
(1)
证明：过点A作AF⊥CD交CD延长线于F，
∵AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，
∴AE=AF，∠AEB=∠AFD=90°，
在Rt ABE和Rt ADF中，
△ △，
∴Rt ABE≌Rt ADF（HL），
∴BE△=DF， △
在Rt ACE和Rt ACF中，
△ △
，
∴Rt ACE≌Rt ACF（HL），
∴CE△=CF， △
∴CE=CF=CD+DF=CD+BE；
(2)
解：BC=BE+EC=BE+3BE=4BE，
∴S ABC= ，
△
∴CD=CF-FD=CE-BE=3BE-BE=2BE，
∴S ADC= ，
△
∴ = ．
【点睛】
本题考查角平分线性质，三角形全等判定与性质，三角形面积，线段和差倍分，掌握角平分线性质，三角
形全等判定与性质，三角形面积，线段和差倍分是解题关键．
【变式训练4】（2020·广东·珠海市九洲中学八年级阶段练习）已知OM是∠AOB的平分线，点P是射线
OM上一点，点C、D分别在射线OA、OB上，连接PC、PD．(1)如图①，当PC⊥OA，PD⊥OB时，则PC与PD的数量关系是 ．
(2)如图②，点C、D在射线OA、OB上滑动，且∠AOB＝90°，当PC⊥PD时，PC与PD在（1）中的数量
关系还成立吗？说明理由．
【答案】(1)PC＝PD
(2)成立，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线性质可知PC＝PD；
（2）过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，根据垂直的定义得到∠PEC＝∠PFD＝90°，由OM是∠AOB
的平分线，根据角平分线的性质得到PE＝PF，利用四边形内角和定理可得到∠PCE+∠PDO＝360°﹣90°﹣
90°＝180°，而∠PDO+∠PDF＝180°，则∠PCE＝∠PDF，然后根据“AAS”可判断△PCE≌△PDF，根据全等
的性质即可得到PC＝PD．
(1)
解：PC＝PD，
理由：∵OM是∠AOB的平分线，
∴PC＝PD（角平分线上点到角两边的距离相等），
故答案为：PC＝PD；
(2)
证明：过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，如图，
∴∠PEC＝∠PFD＝90°，
∵OM是∠AOB的平分线，
∴PE＝PF，
∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，
∴∠PCE+∠PDO＝360°﹣90°﹣90°＝180°，而∠PDO+∠PDF＝180°，
∴∠PCE＝∠PDF，
在△PCE和△PDF中， ，
∴△PCE≌△PDF（AAS），
∴PC＝PD．
【点睛】
本题考查角平分线的性质，全等三角形的证明，能够在图中构造适合的辅助线是解决本题的关键．
