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4.3 三角函数的图象与性质
思维导图
知识点总结
1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C ：
(α－β)
cos(α－β)＝ ；
(2)公式C ：
(α＋β)
cos(α＋β)＝ ；
(3)公式S ：
(α－β)
sin(α－β)＝ ；
(4)公式S ：
(α＋β)
sin(α＋β)＝ ；
(5)公式T ：tan(α－β)＝ ；
(α－β)
(6)公式T ：tan(α＋β)＝ .
(α＋β)
2.辅助角公式
asin α＋bcos α＝ ，其中sin φ＝，cos φ＝.
[常用结论]
两角和与差的公式的常用变形：
(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β；(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β；
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)，
tan αtan β＝1－＝－1.
3.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S ：sin 2α＝ .
2α
(2)公式C ：cos 2α＝ ＝ ＝ .
2α
(3)公式T ：tan 2α＝ .
2α
[常用结论]
1.降幂公式：cos2α＝，sin2α＝，tan2α＝.
2.升幂公式：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
1±sin 2α＝(sin α±cos α)2.
4.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)， ，
(2π，0).
(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，， ，，(2π，1).
5.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
值域 [ － 1 ， 1]
最小正周期 π
奇偶性 奇函数 奇函数
递增区间
递减区间 无
对称中心
对称轴方程 无
[常用结论]
1.对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称
中心与对称轴之间的距离是个周期.
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
2.若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z).
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z).
3.对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增函数.
典型例题分析
考向一 公式的基本应用
例1 (1)若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin＝( )
A. B.－
C.－ D.
答案 B
解析 ∵α是第三象限角，∴sin α＜0，
且sin α＝－＝－＝－，
因此，sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝×＋×＝－.
(2)已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为( )
A.－ B.
C. D.－
答案 A
解析 ∵α∈，
∴cos α＝－，tan α＝－，
又tan(π－β)＝，∴tan β＝－，
∴tan(α－β)＝＝＝－.
感悟提升 1.使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.
2.使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.考向二 给值求值
例2 (1)(2023·淄博模拟)已知α∈，且cos 2α＝sin，则sin 2α＝( )
A.－ B.
C.－1 D.1
答案 C
解析 ∵cos 2α＝sin＝(sin α＋cos α)，
∴cos2α－sin2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝(cos α＋sin α)，
∴(cos α＋sin α)＝0，
∴cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝，
由cos α＋sin α＝0平方可得1＋sin 2α＝0，
即sin 2α＝－1，
由cos α－sin α＝平方可得1－sin 2α＝，
即sin 2α＝，
因为α∈，
所以2α∈(－π，0)，sin 2α＜0，
综上，sin 2α＝－1.
(2)(2021·全国甲卷)若α∈，tan 2α＝，则tan α＝( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 因为tan 2α＝＝，
且tan 2α＝，
所以＝，解得sin α＝.
因为α∈，
所以cos α＝，tan α＝＝.
感悟提升 给值求值问题，要注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；
(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.
基础题型训练
一、单选题
1．已知x∈[0，2π]，如果y = cosx是增函数，且y = sinx是减函数，那么（ ）
A． B．
C． D．
2．下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是 （ ）
A． B．y=tan x
C．y=lnx D．y=x|x|
3．已知函数y＝f（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式最可能是（ ）
A．y＝xcosx B．y＝sinx－x2 C． D．y＝sinx＋x
4．如果函数 的相邻两个零点之间的距离为 ，则 的值为（ ）
A．3 B．6 C．12 D．24
5．在下面给出的函数中,哪一个函数既是区间 上的增函数又是以 为周期的偶函数( )
A． B．C． D．
6．已知函数 ，下列结论错误的是（ ）
A．函数 是偶函数
B．函数 的最小正周期为
C．函数 在区间 上单调递增
D．函数 的图象关于直线 对称
二、多选题
7．若函数 的最小正周期为 ，则 的值可能是（ ）
A．2 B． C． D．-2
8．关于函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．该函数的其中一个周期为
B．该函数的图象关于直线 对称
C．将该函数的图象向左平移 个单位长度得到 的图象
D．该函数在区间 上单调递减
三、填空题
9．函数 的最小正周期为 ，则 ______.10．函数 的最小正周期是 ，则 ______.
11．若函数 的图象关于直线 对称，则常数 的一个取值为______.
12．函数 的局部图象如图所示，则该函数的解析式为________.
四、解答题
13．求下列函数的最小正周期．
（1）f(x)＝cos ；
（2）y＝4sin (a≠0)．
14．利用“五点法”作出函数 ， 的简图．
15．函数 的一个零点为 ，其图象距离该零点最近的一条对称轴为
．
（1）求函数 的解析式及函数 的对称中心；
（2）若关于x的方程 在区间 上总有两个不同的实数解，求实数k的取值范围．
16．已知函数 .（1）求 的最小正周期；
（2）当 时，求 的最值.
提升题型训练
一、单选题
1．下列函数不是偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图是函数 的部分图像，则 （ ）．A． B．
C． D．
4．设函数 在区间 上恰好有 条对称轴，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数f(x)＝sin(2x＋α)在x＝ 时有极大值，且f(x－β)为奇函数，则α，β的一组可能值依次为(
)
A． B．
C． D．
6．函数 的部分图象大致是（ ）
A． B．C． D．
二、多选题
7．已知函数 的最小正周期为π，则（ ）
A．
B．函数 为奇函数
C．函数 在 上单调递减
D．直线 是 图象的一条对称轴
8．设 ，函数 在区间 上有零点，则 的值可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9． 为偶函数，则 ___________.（写出一个值即可）
10．设点 是 的图像 的一个对称中心，若 到图像 的对称轴的距离的最小值是 ，则
的最小正周期是_________.
11．给出下列四个结论：① ；② ；③ ；④.其中正确结论的序号是________.
12．已知函数 ，设方程 的根从小到大依次为 ，且
，则 ___________.
四、解答题
13．已知 是以 为周期的偶函数，且 时， ，当 时，求 的解析
式．
14．已知函数 （其中 ， ， , ）的部分图象如图所示．
(1)求 ， ， 的值；
(2)求 的单调增区间.
15．已知向量 ， ，函数 .
（1）求 图象的对称中心；
（2）若动直线 与函数 和函数 的图象分别交于 、 两点，求线
段 的长度的取值范围.
16．已知函数 的最小值为 .最大值为4，求a和b的值．
