文档内容
2020-2021 学年八年级数学下册期末突破易错挑战满分（北师大版）
易错01 等腰三角形因分类讨论漏解产生易错
【典型例题】
1．（2021·重庆江津区·八年级期末）已知等腰三角形其中一个内角为70°，则这个等腰三角形的顶角度数为________．
【答案】70°或40°
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质及三角形的内角和，解题的关键是根据等腰三角形的性质分情况讨论.
2．（2020·全国八年级课时练习）已知，如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐
标分别为A(10,0)、C(0,4)，点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是等腰三角形时，点Р的坐标为
_______________．
【答案】(2,4)，(3,4)，(2.5,4)，(8,4)；
【分析】
题中没指明△ODP的腰长与底分别是哪个边,故应该分情况进行分析,从而求得点P的坐标.
【详解】
（1）OD是等腰三角形的底边时,此时P（2.5,4）；
（2）OD是等腰三角形的一条腰时:①若点O是顶角顶点时,P点就是以点O为圆心,以5为半径的弧与CB的交点，在直角∆OPC中，CP= =
=3，则P的坐标是(3,4)；②若D是顶角顶点时,P点就是以点D为圆心,以5为半径的弧与CB的交点，过D作
DM⊥BC于点M，在直角∆PDM中,PM= =3，当P在M的左边时，CP=5-3=2，则P的坐标是(2,4);当P在M
的右侧时，CP=5+3=8,则P的坐标是(8,4)；故P的坐标为: （2.5,4）；(3,4)； (2,4)或(8,4).
故答案为: （2.5,4）；(3,4)；(2,4)或(8,4)
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理的运用解答,注意正确地进行分类，考虑到所有可能的情况是解题的关键.
【专题训练】
一、选择题
1．（2021·福建泉州市·八年级期末）在等腰△ABC中， ，则 的度数不可能是（ ）
A．80° B．60° C．50° D．20°
【答案】B
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质，掌握分类讨论思想方法，是解题的关键．2．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学八年级期末）等腰三角形的两边长分别为4cm，7cm，则其周长为（ ）
A．15cm B．18cm C．15cm或18cm D．11cm
【答案】C
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系的运用,关键是要结合三角形任意两边之和大于第三边对等腰三角形的边长
分情况进行讨论．
3．（2020·江阴市长寿中学八年级月考）等腰三角形的周长为17cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边为( )
A．7cm B．5cm或7cm C．6cm或5cm D．5cm
【答案】B
【点睛】
此题考查了等腰三角形的两腰相等，以及三角形的三边关系，分类讨论是解答本题的关键．
4．（2021·湖南娄底市·八年级期末）若a，b为等腰△ABC的两边，且满足 ，则△ABC的周长为（
）
A．11 B．13 C．11或13 D．9或15
【答案】C
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意
利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形作出判断．
5．（2020·浙江金华市·八年级期末）等腰三角形的一个内角是50度，它的一腰上的高与底边的夹角是（ ）度
A．25或60 B．40或60 C．25或40 D．40
【答案】C
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形中两个底角相等．同时考查了分类讨论的思想．6．（2020·吉林吉林市·八年级期末）平面直角坐标系中，已知A（1,1），B（2,0）．若在x轴上取点C，使△ABC为等腰三
角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【点睛】
此题考查等腰三角形的性质，直角坐标系中作等腰三角形的方法，熟记等腰三角形的性质并利用其作图是解题的关键．
二、填空题
7．（2021·贵州铜仁市·八年级期末）已知等腰三角形的两边长是5cm和6cm，则它的周长是______．
【答案】16cm或17cm
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质定理，本题重点是要分两种情况解答．
8．（2020·江阴市长寿中学八年级月考）△ABC中，∠A=50°，当∠B=____________时，△ABC是等腰三角形．
【答案】50°或80°或65°
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定及三角形的内角和定理；分情况讨论是正确解答本题的关键．
9．（2021·北京东城区·八年级期末）小明同学用一根铁丝恰好围成一个等腰三角形，若其中两条边的长分别为15cm和
20cm，则这根铁丝的长为_________cm．
【答案】50或55
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定及三角形的三边关系，熟练掌握相关性质及定理并分类讨论是解题的关键.
10．（2020·浙江金华市·八年级期末）如图：已知在△ABC中， ， ，在直线AC上找点P，使
是等腰三角形，则 的度数为________．【答案】72°或18°或108°或36°
【点睛】
此题主要考查了等腰三角形的性质，分类讨论思想的运用是解题关键．
11．（2020·山东青岛市·八年级期中）已知O为平面直角坐标系的坐标原点，等腰三角形△AOB中，A(2，4)，点B是x轴上
的点，则△AOB的面积为_____．
【答案】8或4 或10
【点睛】
此题主要考查了三角形面积以及坐标与图形的性质，利用等腰三角形的性质求得OB的长是解题关键．
12．（2021·安徽合肥市·八年级期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（1,1），在 轴上确定一点P，使△AOP为
等腰三角形，则符合条件的等腰三角形的顶角度数为______．
【答案】90°，45°，135°
【点睛】
此题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是
腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
13．（2020·浙江绍兴市·八年级其他模拟）定义：等腰三角形的一个底角与其顶角的度数的比值k称为这个等腰三角形的
“特征值”，若等腰三角形有一个内角为80°，则它的特征值 _________．
【答案】 或
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知∠A的度数，要分∠A是顶
角和底角两种情况，以免造成答案的遗漏．
14．（2020·河南省鹤壁市湘江中学八年级月考）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，D为BC的中点，点E
在AB上，∠AED＝70°，若点P是等腰三角形ABC的腰上的一点，则当 是以∠EDP为顶角的等腰三角形时，∠EDP
的度数是_____．
【答案】40°或100°或140°
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论画出符合条件的图形是解题的关键．
15．（2021·北京丰台区·八年级期末）右图是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且边长为1，点A,B均在
格点上，在网格中建立平面直角坐标系．如果点C也在此 的正方形网格的格点上，且△ABC是等腰三角形，请写出一
个满足条件的点C的坐标_______；满足条件的点C一共有_______个．
【答案】 （答案不唯一，符合题意即可） 8
【点睛】本题考查在网格中作等腰三角形，根据已知边可作为底边或者腰进行分类讨论，熟练掌握尺规作图方法是解题关键．
三、解答题
16．（2019·全国八年级课时练习）若等腰三角形一条腰上的高等于腰长的一半,求此三角形的底角.
【答案】
①当等腰三角形是锐角三角形时,腰上的高在三角形的内部,如图1.
∵BD= AB,∴∠A=30°,
∴∠C=75°.
②当等腰三角形是钝角三角形时,腰上的高在三角形的外部,如图2.
∵BD= AB,∴∠BAD=30°,
∴∠ABC=∠C=15°.
综上,此三角形的底角为15°或75°.【点睛】
本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理；熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题关键，本题易出现的
错误是只是求出75°一种情况，把三角形简单的化成锐角三角形．
17．（2019·全国八年级课时练习）等腰三角形一条腰上的中线将三角形的周长分成15和21两部分,求该三角形的腰长和底
边的长.
【答案】
如图,设AD=CD=x,则AB=2x,
∴AB+AD=3x,BC+CD=BC+x.
若AB+AD=15,则BC+CD=21,可得x=5,
∴腰长AB=10,底边BC=16;
若AB+AD=21,则BC+CD=15,可得x=7,
∴腰长AB=14,底边BC=8.
∴该三角形的腰长和底边的长分别为10,16或14,8.
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系判定是否能组成三角形．
18．（2019·上海八年级课时练习）在△ABC中，AB=AC，AC上的中线BD把三角形的周长分为24㎝和30㎝的两个部分，求
三角形的三边长．
【答案】
解：如图所示设三角形的腰AB=AC=x cm，分两种情况讨论：
（1）若AB+AD=24cm，则
x+ x=24
∴x=16
∵三角形的周长为24+30=54cm
所以三边长分别为16cm，16 cm，22 cm
（2）若AB+AD=30cm ，则
x+ x=30
∴x=20
∵三角形的周长为24+30=54cm
∴三边长分别为20 cm，20 cm，14 cm
因此，三角形的三边长为16 cm，16 cm，22 cm或20 cm，20 cm，14 cm．
【点睛】
主要考查了等腰三角形的性质.注意要分类讨论，解题的关键是利用等腰三角形的两腰相等和中线的性质列方程求出腰长，
再利用周长的条件求得边长
19．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）（1）已知等腰三角形的两边长分别为9cm和15cm，则周长为多少？
（2）已知等腰三角形的两边长分别为6cm和15cm，则周长为多少？【答案】
（1）已知等腰三角形的两边长分别为9cm和15cm，
那么三边的长可能是9cm、9cm、15cm或9cm、15cm、15cm。
故其周长是9+9+15=33cm或9+15+15=39cm；
（2）已知等腰三角形的两边长分别为6cm和15cm，
那么三边的长可能是6cm、6cm、15cm或6cm、15cm、15cm．
其中6cm、6cm、15cm不能组成一个三角形，
故其周长是6+15+15=36cm．
【点睛】
此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，
分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
20．（2020·全国八年级课时练习）等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分为13.5 cm和11.5 cm两部分，求这个等腰
三角形各边的长．莉莉的解答过程如下：
设在△ABC中，AB=AC，BD是中线．
∵中线将三角形的周长分为13.5cm和11.5 cm，如图所示， ， ，∴
，解得 ，
，
∴三角形三边的长为9cm，9cm，7cm．
请问莉莉的解法正确吗？如果不正确，请给出理由．【答案】
解：莉莉的解法不正确，理由如下：
假设在△ABC中，AB=AC，BD是中线．
当 时，
，
∴
．
解得 ，
．
当 时，
∴ ，
∴
．
解得．
综上，这个三角形三边的长分别为9 cm，9 cm，7 cm或 ．
【点睛】
这道题是用文字叙述的形式给出的，没有图形，也没有字母，因此，可以先根据文字叙述画出图形，标注字母，利用图形减
小题目难度，由于腰和底边不相等造成一腰上的中线把三角形的周长分成两个不相等的部分，解题关键是既要考虑到腰比底
边长，又要考虑到底边比腰长．
