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微专题 04 将军饮马问题求最值
题型 1 两定一动
【基本模型】已知直线l同侧的两定点A和B，在直线l上找一动点P，使得 最短.
如上图所示，作点 A关于直线l的对称点 ，则 ，根据两点之间线段最短，连接点
。此时 最短， 。
1．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从
军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题．(1)线段 于点 且 于点 且 ，点 为线段 上任意一点，则图1
中 最小值为______；图2中 最小值为______：
(2)如图3， 中， ，点 是 边的中点，点 是 边上任意一点，则
的最小值是______；
(3)如图4， 中， 且 ，作 于点 ，过 点的射线 始终平行
于 ，点 是高 上任意一点，点 是射线 上一点，点 是线段 上一点，且始终保持
，则 的最小值为______；则 的最小值为______．
【答案】(1)5；5
(2)
(3) ；
【分析】本题考查了勾股定理解三角形，图形对称的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的
判定与性质，解决本题的关键是作点关于直线的对称点转化边的关系，以及作辅助线构造全等三角形．
（1）连接 交 于点P，由点D，点P，点C三点共线时， 最小，结合勾股定理即可求解；
作点C关于 的对称点 ，连接 交 于点P，连接 ，根据图形的对称性可知，当点 ，点
P，点D三点共线时， 最小，由此求解即可；
（2）作点C关于 的对称点 ，连接 交 于点P，连接 ，根据图形的对称性可得 ，
即当点 ，点P，点D三点共线时， 最小，由此求解即可；
（3）先由边角边的证明方法证明 与 全等，即可得 ，再由由图形的对称性可知，
当点 ，点F，点C三点共线时， 最小，结合勾股定理求解即可；做辅助线构造全等三角形，
由此可得 ，再由点K，点 ，点D三点共线时， 最小，结合勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：连接 交 于点P，过点C作 交 的延长线于点H，如图，∵ ，
∴当点D，点P，点C三点共线时， 最小，
∵ ， ，
由勾股定理可得， ，
∴ 最小值为5；
作点C关于 的对称点 ，连接 交 于点P，连接 ，如图，
由图形的对称性可知， ，
∵ ，
∴当点 ，点P，点D三点共线时， 最小，
同理可求 ，
∴ 最小值为5；
故答案为：5；5；
（2）解：作点C关于 的对称点 ，连接 交 于点P，连接 ，
过点D作 交 于点H，连接 ，如图，由图形的对称性可知， ， ，
∴当点 ，点P，点D三点共线时， 最小，
即 ，
∵在 中， ，
有勾股定理可得 ，
∵点 是 边的中点，
∴ ，
∴ 为等腰三角形，且 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
在 中， ，
∴则 的最小值是 ；
故答案为： ；
（3）解：连接 ，作点D关于射线 的对称点 ，
连接 交射线 于点 ，连接 ，如图，∵ 中， 且 ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
且 ，
∵ ，
∴ 为 的角平分线，即 ，
∵射线 ，
∴ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
由图形的对称性可知， ， ，
∴当点 ，点F，点C三点共线时， 最小，
即 ，
∴ ，
又 ，
∴ ，在 中， ，
∴ 最小值为 ；
作 ，使 ，连接 ，连接 交 于点 ，如图，
∵ ，
∴ ，
又 ， ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴当点K，点 ，点D三点共线时， 最小，
即 ，
∵ ， ，
由 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ 的最小值为 ．
故答案为： ； ．
2．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）如图1，已知直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，以 为直角顶点在第一象限内作等腰 ，其中 ．
(1)求直线 的解析式和点 的坐标；
(2)如图2，点 是 的中点，点 是直线 上一动点，连接 、 ，求 的最小值，并求
出当 取最小值时点 的坐标；
(3)在（2）的条件下，当 取最小值时．直线 上存在一点 ，使 ，求 点
坐标．（直接写出答案）
【答案】(1) ；
(2)5；
(3) 或
【分析】（1）利用待定系数法求出直线 的解析式，过点 作 轴，则
，证明 ，得到 ，则 ，
即可得到点 的坐标；
（2）延长 至 ，使得 ，即点 为 的中点，当点 在直线 上时，即直线 与直线
相交，联立解析式即可求出答案；
（3）分三种情况进行解答即可．
【详解】（1） ，
，设直线 的解析式为 ，
将 ， ，代入 得，
，
解得： ，
，
过点 作 轴，则 ，
，
，
又 ，
，
，
，
则点 的坐标为 ；
（2）由（1）可知，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
点 是 的中点，
点 的坐标为 ，即： ，
延长 至 ，使得 ，即点 为 的中点，
点 的坐标为 ，即 ，
，
垂直平分 ，连接 ，则 ，
，当点 在直线 上时取等号，
由勾股定理可得： ，
设直线 的解析式为： ，
则 ，
解得： ，
直线 的解析式为： ，
当点 在直线 上时，即直线 与直线 相交，
得 ，解得： ，
即此时点 的坐标为 ，
综上， 的最小值为5，此时点 的坐标为 ；
（3） ，
则 ，
过点 作 轴交直线 于 ，此时 ，则 ，即 ，
，则 ，
当点 在点 右侧时， ，
，
解得： ，
当 时， ，
即此时点 的坐标为 ；
当点 在点 、点 之间时， ，不符合题意；
当点 在点 左侧时， ，
解得： ，
当 时， ，即此时点 的坐标为 ；
综上，存在点 的坐标为 或 时， ．
【点睛】此题主要考查了一次函数的图象，一次函数的交点坐标，待定系数法求一次函数的表达式，
利用轴对称的性质求短路线，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，理解一次函数的图象，熟
练掌握待定系数法求一次函数的表达式，利用轴对称的性质求短路线的方法，全等三角形的判定与性
质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．
3．（24-25八年级下·重庆开州·开学考试）如图，点 在等边三角形 的边 上， ， ，
射线 ，垂足为点 ，点 是射线 上一动点，点 是线段 上一动点，当 取得最小值
时，此时 的长为______；当 取最小值时，则此时 的长为______．
【答案】 5 7
【分析】当 取得最小值时，则点 与点 重合时，记为 ，过点 作 ，连接 ，结合
等边三角形的性质以及30度所对的直角边是斜边的一半，得出当 取得最小值时，此时 的长为
5，作 点关于 的对称点 ，连接 ，则当 ， ， 三点共线，且 时，此时
的值最小，由题意可得 ，则 ，再设 ， ，可得 ，然后
结合 ，解得 ，即可作答．
【详解】解：依题意，点 是射线 上一动点，点 是线段 上一动点，
∴当 取得最小值时，则点 与点 重合时，记为 ，过点 作 ，连接 ，
如图所示，∵等边三角形 的边 上， ，
∴ ，
∴在 中， ，
即当 取得最小值时，此时 的长为 ；
如图，作 点关于 的对称点 ，连接 ，
，
，
当 ， ， 三点共线，且 时，此时 的值最小，即 的值最小，
是等边三角形，
，
，
，
，
设 ，
，
， ，
，
∵ ，
∴解得： ，
，∴
故答案为： ，7．
【点睛】本题主要考查了轴对称中的光线反射问题（最短路线问题），根据成轴对称图形的特征进行
求解，垂线段最短，等边三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，含 度角的直角三角形的性质，
线段的和与差，解一元一次方程等知识点，熟练掌握轴对称中的光线反射问题（最短路线问题）是解
题的关键．
4．（23-24八年级上·天津河西·期末）如图，在 中， ， ．点 在 边上，且
，射线 于点 ，点 是射线 上一动点，点 是线段 上一动点．
（1）线段 是否存在最小值？__________．（用“是”或“否”填空）
（2）如果线段 存在最小值，请直接写出 的长，如果不存在，请说明理由__________．
【答案】 是
【分析】本题考查了对称的性质，含 的直角三角形，垂线段最短．解题的关键在于对知识的灵活运
用．
（1）如图，作 关于直线 的对称点 ，过 作 于 ，交 于 ，连接 ，由对
称的性质，垂线段最短可知 最小，即 存在最小值；
（2）由（1）可得 时， 存在最小值， ， ，
，进而可求 的值．
【详解】解：（1）如图，作 关于直线 的对称点 ，过 作 于 ，交 于 ，连
接由对称的性质可知 ，
∵
∴ 的长度最小
∴ 最小，即 存在最小值
故答案为：是．
（2）由（1）可得 时， 存在最小值
∵ ，
∴
∴
∵
∴
∴ 的长为 ．
故答案为：
5．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）【课题回顾】
在学习《13．4课题学习最短路径问题》时，根据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”探究了
“将军饮马”和“造桥选址”两个问题，并初步运用探究经验解决线段和最小值的数学问题．
【问题探究】
如图 ，在等边 中，点 为 中点，点 ， 分别为 ， 上的点， ， ，
点 是线段 上的动点，连接 ， ，求 的最小值．（1）小明提出的探究思路如下：如图 ，作点 关于直线 的对称点 ，连接 交 于点 ，
连接 ，根据“两点之间，线段最短”，可知此时 的值最小．
①请你运用小明的探究思路，证明此时 的值最小；
②求 的最小值．
【类比探究】
（2）如图 ，在平面直角坐标系中，点 坐标为 ，点 为 轴正半轴上一点，连接 ，
，点 为 中点， 平分 交边 于点 ，点 为边 上的一个动点．若点
在线段 上，连接 ， ，当 的值最小时，请直接写出点 的坐标______．
【答案】（1）①证明见解析；②最小值为 ；（ ）
【分析】（1）①在 上另取一点 ，作点 关于直线 的对称点为 ， 在 上，点 ，
在 上，连接 ， ， ，则 ， ， 在 中，根据三角形的三边
关系即可得证； ②先证 ， ，再证 是等边三角形，利
用等边三角形的性质即可得解；
（2）作点 关于 的对称点 ，由 平分 知点 在 上，连接 ，由两点之间线段最
短及垂线段最短得当 、 、 三点共线，且 时， 最小，证 和 都是
等腰直角三角形，得 ，再证 ，得 ，进而求得
，从而得 ，即可得解．
【详解】解：（1）①证明∶∵ 是等边三角形，∴ ，
∵点 为 中点，
∴ 垂直平分 ，
如图，在 上另取一点 ，作点 关于直线 的对称点为 ， 在 上，点 ， 在 上，
连接 ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ 即是 的最小值；
②解∶∵ 是等边三角形，点 为 中点，
∴ ， ， ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵点 关于直线 的对称点为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ 的最小值为 ；
（2）作点 关于 的对称点 ，由 平分 知点 在 上，连接 ，由两点之间线段最
短及垂线段最短得当 、 、 三点共线，且 时， 最小，∴ ， ，
∴ ，
由题意可得 ，
∵ 平分
∴ ，
∴ 和 都是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 坐标为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了垂线段最短，两点之间，线段最短，坐标与图形，轴对称的性质，30度直角
三角形的性质，等边对等角，角平分线的定义，熟练掌握两点之间，线段最短，坐标与图形，轴对称
的性质，30度直角三角形的性质是解题的关键．
6．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，已知直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于
点 ，直线 与直线 交于点 ．
(1)求四边形 的面积；
(2)若动点 在 轴上，当 为最小值时，求这个最小值及直线 的表达式；
(3)在平面内直线 的右侧是否存在点 ，使得以点 、 、 为顶点的三角形是以 为腰的等腰直
角三角形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 的最小值为 ，直线 的表达式
(3)存在，点 的坐标为 或
【分析】一次函数与几何的综合应用，勾股定理、等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质；
（1）先求得点 ，连接 ，根据 ，即可求解；
（2）先求得点 关于 轴的对称点 ，根据轴对称的性质可得 的最小值为 的长，进而得
出 的坐标，根据 ， 的坐标，待定系数法求解析式，即可求解；
（3）分两种情况讨论当 时，当 时，根据全等三角形的性质，
求得点 的坐标．【详解】（1）直线 与 轴交于点 ，
当 时，
∴
连接 ，如图，
∵ ， ，
∴四边形 的面积
（2）把点 ， 代入 得：
解得：
∴
当 时， ，
设直线 交 轴于点 ，则∴ 关于 轴对称的点为 ，
∴ ，当 在 上且在 轴上，则 重合，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
设直线 的表达式为 ，代入 ，
∴
解得：
∴直线 的表达式为
（3）解：如图，当 时，过点 作 轴， ，垂足分别为 ，
∴
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴点P的坐标为 ；
如图，当 时，过点 作 轴， 轴，垂足分别为 ，
同理点P的坐标为 ；
综上所述，点P的坐标为 或 ．
7．（2025八年级上·全国·专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，已知直线l与y轴交于点 ，与x
轴交于点 ，以B为直角顶点在第一象限内作等腰直角三角形 ，其中 ， ．
(1)直线l对应的函数表达式是______，点C的坐标是______；
(2)如图2，点D是 的中点，点M是直线l上的一个动点，连接 ，求 的最小值，
并求出 取最小值时点M的坐标；
(3)点H在直线l上，x轴上是否存在点P，使得 是等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点H的个数；并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2) ，
(3)存在，有6个满足条件的点H， 或 或
【分析】（1）利用待定系数法求出直线 解析式，再构造一线三垂直全等可得点 坐标；
（2）作点 关于直线 对称点 ，再求出直线 的解析式，进而可得点 的坐标和点 的长度；
（3）根据点 和点 的位置关系，分类讨论画出图形，利用一线三垂直全等求解即可．
【详解】（1）解：设直线 解析式为 ，将点 ，点 代入得，
，
解得 ，
直线 的解析式为 ；
如图，过 作 轴于点 ，
则 ，
，
，
，
， ，
；故答案为： ； ；
（2）解： 点 是 的中点，
，
作点 关于直线 对称的点 ，
则 ，
设直线 解析式为 ，
可得 ，解得 ，
由点 和点 坐标可知直线 解析式： ，
联立直线 与 的解析式得 ，
解得： ，
即 时， 取最小值，
此时 的最小值为 ；
（3）解：存在，有6个满足条件的点 ， 或 或 ，理由如下，
由题可知 ，直线 的解析式： ；
若以 为直角顶点， ， ，有以下①②两种情况：①如图，
则△ △ ，
， ， ，
，
；
②如图，①情况下 不动， 点移动到 下方，与①情况中的 关于 对称的位置，也符合
题意；
若以 为直角顶点，即 ， ，有以下③④两种情况：
③如右所示， 在直线左侧，设 ， ，
则△ △ ，
， ， ，
，
代入 得： ，解得： ，
；
④如图所示， 在直线右侧，设 ， ，
则△ △ ，
， ， ，
，
代入 得： ，
解得： ，
；
若以 为直角顶点，即 ， ，有两种情况：
⑤即情况③的 点位置不动，过 作 ，此时 点坐标同③，
⑥即情况④的 点位置不动，过 作 ，此时 点坐标同④，
综上所述，有6个满足条件的点 ，3个满足条件的点 ，分别是 或 或 ．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、一次函数解析式、直线交点问题、全等三角形的判
定和性质等内容，分类讨论及构造三垂直全等是解题的关键．
题型 2 一定两动
【基本模型】已知在 的内侧有一定点M，在射线 上有两动点 ，在射线 上
各确定一点 ，使得 最短.
如 上 图 所 示 ， 分 别 作 点 M 关 于 的 两 条 边 射 线 的 对 称 点 ， 则
，根据两点之间线段最短，连接点 ，分别交射线 于点 。
此时 最短， .
1．（23-24八年级上·天津滨海新·期末）如图， 内部有一定点 ， ，若点 ， 分别是射线
， 上异于点 的动点．（1）在射线 ， 上______（填“是”或“否”）存在点 ，使
的周长有最小值；（2）当 周长的最小值是2时，则 的度数是______ ．
【答案】 是 30
【分析】本题考查了轴对称最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路
径最短问题．（1）作 点分别关于 、 的对称点 、 ，连接 分别交 、 于 、 ，利用轴对称的
性质得 ，利用两点之间线段最短判断此时 周长最小为 ；
（2）由（1）可得 是等边三角形，进而可得 的度数．
【详解】解：（1）在射线 上存在点 ， ，使 的周长有最小值；作 点分别关于 、
的对称点 、 ，连接 分别交 、 于 、 ，连接 ， ，此时 周长最小为
．
故答案为：是；
（2）如图，∵ 周长最小为 ，
根据轴对称的性质，得 ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
，
故答案为：30．
2．（24-25八年级上·重庆九龙坡·期末）问题：如图1， ，点P是 内的一定点，点P、
M、N不在同一直线上，当 的周长最小时，此问题是轴对称求最值问题的典型应用，已知点P关
于直线 的对称点C， 交 于点R．请按以下要求依次完成（1）（2）问：
(1)尺规作图：请在图2中作出点P关于直线 的对称点D，连接 交 、 分别于点M、N，连
接 交 于点T(2)综合（1）的作图，将下列解答过程补充完整．
∵点P关于 、 的对称点分别为点C、D，
∴ 垂直平分 ， 垂直平分 ，
∴ ，①_______，
∴ ．
∵②_______，
∴当点C、M、N、D在同一直线上时， 的值最小．
即 的周长最小，
∵ ， ，
∴ ，③_______，
由作图得 ， ，
∴在四边形 中， ，
∵ ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ ④_______°．
∴ ⑤_______°．
【答案】(1)见解析；
(2) ；②点M、N分别在 、 上移动；③ ；④50；⑤80．
【分析】（1）过点P作 的垂线，交 于点T，以点T为圆心， 的长为半径画弧，交垂线于点
D，连接 ，交 、 分别于点M、N，连接 、 即可．
（2）根据线段垂直平分线的性质、轴对称的性质填空即可．
【详解】（1）解：如图所示．（2）解：∵点P关于 、 的对称点分别为点C、D，
∴ 垂直平分 ， 垂直平分 ，
∴ ，① ，
∴ ．
∵②点M、N分别在 、 上移动，
∴当点C、M、N、D在同一直线上时， 的值最小．
即 的周长最小，
∵ ， ，
∴ ，③ ，
由作图得 ， ，
∴在四边形 中， ，
∵ ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ ④ ．
∴ ⑤ ．
【点睛】本题考查作图﹣轴对称变换、线段垂直平分线的性质、轴对称﹣最短路线问题，四边形的内
角和定理的应用，熟练掌握轴对称的性质、线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．
3．（25-26八年级上·全国·期末）【几何模型】
条件：如图①，A、B是直线l同旁的两个定点．
问题：在直线l上确定一点P，使 的值最小．
方法：作点A关于直线l的对称点A'，连结 交l于点P，则 的值最小（不必证明）．
【模型应用】
(1)如图②，角是大家喜爱的一种轴对称图形，它的角平分线所在的直线就是对称轴．现在有
， ， ，P为 的平分线上一动点，请求出 的最小值；(2)①如图③， ，P是 内一点， ，Q、R分别是 、 上的动点，请直接写
出 周长的最小值___________；
②如图④， ，点M、N分别在边 、 上，且 ，点P、Q分别在 、
上，则 的最小值是___________．
【答案】(1)5
(2)①10，②2
【分析】本题考查了几何变换综合题：熟练掌握轴对称的性质和等边三角形的性质；会利用两点之间
线段最短解决最短路径问题．
（1） 为 的平分线，作 交 于点 ，连结 交 于点 ，连结 ，利用题
中模型得到 ，最短，此时 ，利用对称的性质得到 ，然后利用勾股定
理计算出 即可；
（2）①作点 关于 的对称点 ，点 关于 的对称点 ，连结 交 于点 ，交 于点 ，
连结 ，利用对称的性质得到 周长为 的长，根据两点之间线段最短可判断此时
周长最小，最小值为 的长，再证明 为等边三角形，得到 ，从而获解；
②作点 关于 的对称点 ，点 关于 的对称点 ，连结 交 于点 ，交 于点 ，
连结 ，同样方法判断此时 的值最小，最小值为 ，再证明 为等边
三角形，得到 ，从而得到 的值最小值．
【详解】（1）解：如答图①， 为 的平分线，作 交 于点 ，连结 交 于
点 ，连结 ，如答图①，则 最短，此时 ．
平分 ，
．
在 中， ，即 的最小值为5．
（2）解：①作点 关于 的对称点 ，点 关于 的对称点 ，连结 交 于点 ，交 于
点 ，连结 ，如答图②，
则 ，
周长 ，
此时 周长最小，最小值为 的长．
，
，
，
为等边三角形，
，
即 周长的最小值为10，
故答案为：10．
②作点 关于 的对称点 ，点 关于 的对称点 ，连结 交 于点 ，交 于点 ，
连结 ，如答图③，
则 ，
，
此时 的值最小，最小值为 ．
，
，
，
，
，为等边三角形，
，
即 的值最小为2，
故答案为：2．
4．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）【问题初探】
（1）如图1，在等边三角形 中，若 是 的中点， 为高 上一点， ，连接 、 ，
求 的最小值；
【变式探究】
（2）如图2，在等边三角形 中，若 为高 上一点，高 ，求 的最小值．
【拓展延伸】
（3）如图3， ， 是 内一定点， ， 分别是 ， 上的动点，当 周长的
最小值为5时，求 的长．
【答案】（1）3；（2）3；（3）5
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，
熟知等边三角形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）可证明 垂直平分 ， ，则 ，据此可证明当C、P、E三点共线时
有最小值，即此时 有最小值，最小值为线段 的长，求出线段 的长即可得到答案；
（2）过点P作 于H，由三线合一定理得到 ，则 ，即可得到，则当B、P、H三点共线时， 有最小值，即此时 有最小值，
最小值为线段 的长，据此可得答案；
（3）分别作点P关于射线 的对称点G和H，连接 ，可证明当G、
R、Q、H四点共线时， 有最小值，即此时 的周长有最小值，最小值为线段 的
长，则 ；证明 是等边三角形，可得 ．
【详解】（1）解：如图所示，连接 ，
∵在等边三角形 中， 是 的高， 是 的中点，
∴ 垂直平分 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当C、P、E三点共线时 有最小值，即此时 有最小值，最小值为线段 的长，
∵ 都是等边三角形 的高，
∴ ，
∴ 的最小值为3；
（2）解：如图所示，过点P作 于H，
∵ 是 的高，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴当B、P、H三点共线时， 有最小值，即此时 有最小值，最小值为线段 的长，
∵此时 ，
∴ 为 的高，
∴ ，
∴ 的最小值为3；
（3）如图所示，分别作点P关于射线 的对称点G和H，连接 ，
由轴对称的性质可得 ，
，
∴ 的周长 ，
∴当G、R、Q、H四点共线时， 有最小值，即此时 的周长有最小值，最小值为线
段 的长，
∵ 周长的最小值为5，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ．5．（25-26八年级上·山东青岛·月考）几何模型：
条件：如图，A、B是直线l同旁的两个定点．
问题：在直线l上确定一点P，使 的值最小．
方法：作点A关于直线l的对称点 ，连接 交l于点P，则 的值最小（不必证明）．
模型应用：
(1)如图1，正方形 的边长为2，E为 的中点，P是 上一动点．连接 ，由正方形对称性
可知，B与D关于直线 对称．连接 交 于P，则 的最小值是_；
(2)在等边三角形 中， ，点E是 的中点， 是高，在 AD上找一点P，使 的
最小值为_
(3)如图2， ，P是 内一点， ，Q、R分别是 上的动点，求 周
长的最小值．
（提示：分别作点P关于 和 的对称点 ，连接 ）
【答案】(1)
(2)
(3)【分析】本题主要考查了轴对称的性质，勾股定理，等边三角形的性质，正确作出辅助线和熟知轴对
称的性质是解题的关键．
（1）由轴对称的性质可得 ，则可推出当 三点共线时， 有最小值，即此时
有最小值，最小值为 的长；利用勾股定理求出 的长即可得到答案；
（2）连接 ，可证明 垂直平分 ，得到 ，则当 三点共线时， 有最小
值，即此时 有最小值，最小值为 的长；利用勾股定理求出 的长即可得到答案；
（3）分别作点P关于 和 的对称点 ，连接 ， ，可推出当
四点共线时， 有最小值，即此时 的周长有最小值，最小值为线段
的长；证明 ，再利用勾股定理求出 的长即可得到答案．
【详解】（1）解：∵B与D关于直线 对称，
∴ ，
∴ ，
∴当 三点共线时， 有最小值，即此时 有最小值，最小值为 的长；
∵ 为 的中点，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ；
（2）解：如图所示，连接 ，
∵ 是等边三角形， 是高，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴当 三点共线时， 有最小值，即此时 有最小值，最小值为 的长；
∵点E是 的中点，
∴ ，∴ ，
∴ 的最小值为 ；
（3）解：如图所示，分别作点P关于 和 的对称点 ，连接 ， ，
∴ ， ，
，
∴ 的周长 ，
∴当 四点共线时， 有最小值，即此时 的周长有最小值，最小值为线
段 的长；
∵ ，
∴ ，
∴ 的周长的最小值为 ．
6．（24-25八年级上·山东滨州·期中）“如图， ，点 为 内一点， ，点 分
别是射线 上的动点，求 周长的最小值？”根据图中作图方法可以求得： 周长的最小值为______．
【答案】8
【分析】作点 关于 、 的对称点 、 ，连接 ，根据轴对称的性
质可得 ，从而可得 周长
，再根据两点之间线段最短可得当点 四点共线时，
的值最小，最小值为 的长，然后根据等腰三角形的三线合一可得 ，
，从而可得 ，最后根据等边三角形的判定与性质可得 ，由
此即可得．
【详解】解：作点 关于 、 的对称点 、 ，连接 ，
则 垂直平分 ， 垂直平分 ，
，
周长为 ，
由两点之间线段最短可知，当点 四点共线时， 的值最小，最小值为 的
长，
，
（等腰三角形的三线合一），
同理可得： ，
，
，，
又 ，
是等边三角形，
，
的最小值是8，
周长的最小值是8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，轴对称的性质等知识点，正确找出使得 的周长
最小时，点 的位置是解题关键．
题型 3 一定两动（垂线段最短）
【基本模型】已知在 的内侧有一定点M，在射线 上有两动点 ，在射线 上
各确定一点 ，使得 最短.
如上图所示，作点M关于射线 的对称点 ，则 ，根据点到之间距离垂线段最
短，过 作 ，垂线段交射线 于点 ，在射线 上的垂足为 。此时 最
短， .
1．（24-25八年级上·天津西青·期末）如图，在 中， ，
点 是边 上一个动点，连接 ．（Ⅰ）是否存在长度等于 的线段？______．（填“存在”或“不存在”）。
（Ⅱ）若存在，求出 的最小值；若不存在，请说明理由．______
【答案】 存在
【分析】此题考查了垂直平分线的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，
（1）依题意过点 作 于D，，根据含 度角的直角三角形的性质得出 ，即存在长
度等于 的线段
（2）如图所示作辅助线，先证明 ，然后得 ，当 与 共线时，
为最小值，再由勾股定理求 即可．
【详解】解：（1）存在长度等于 的线段；
如图所示，过P点作 于D，
∵在 中，
∴
故答案为：存在．
（2）如图所示，在 中， ，
过P点作 于D，延长 至E，使 ，连接 ，∴
垂直平分线段 ，
，
，
，
，
当 与 共线时， 为最小值，
此时， ，
，
，
故 的最小值为 ；
故答案为： ．
2．（25-26七年级上·山东东营·期中）如图，在等边 中， 边上的高 是高 上的一个
动点，F是边 的中点，在点E运动的过程中， 存在最小值，则这个最小值是________．
【答案】10【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，轴对称性质等知识，熟练掌握和运用等边三角形的性质
以及轴对称的性质是解决本题的关键．解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂
线段最短等结论．先连接 ，再根据 ，则 ，最后根据两点之间线段最短，
求得 的长，即为 的最小值．
【详解】解：如图，连接 ， ，
∵等边 中， 是 边上的中线，F是 边的中点，
∴ 垂直平分 ， 垂直平分 ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴当C、F、E三点共线时， ，
即 的最小值为 ．
故答案为： ．
3．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在 中， ， 的垂直平分线分别交 、 于点
M，N，D是 的中点，P是 上任意一点，连接 ， ，若 ， ，则 的
周长的最小值是____________；若 ，当 的周长取最小值时， ______（用含 的
代数式表示）
【答案】 7【分析】本题考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及最短路径问题，解题的关键是利用
线段垂直平分线的性质将 转化为 ，进而结合等腰三角形的性质求解．
（1）连接 ，利用线段垂直平分线的性质将 转化为 ，结合等腰三角形三线合一求出 和
的长度，进而在当 、 、 在同一直线上时，求出 周长的最小值；
（2）根据等腰三角形的性质和直角三角形两个锐角互余，结合角的关系求出 的度数．
【详解】解：如图，连接 ，
∵点D是 的中点， ，
， ，
∵ ，
，
，
∵ 垂直平分 ，
，
，
当 、 、 在同一直线上时，
最小，最小值为 ，
∴ 周长最小值 ；
∵ ，点 是边 的中点，
，
，
，
∵ ，
，在 中， ，
故答案为：7； ．
4．（24-25七年级下·山东青岛·期末）转化是数学的重要策略，线段最值问题中“线段和最小”与“线段
差（绝对值）最大”经常借助轴对称进行转化，再根据“两点之间，线段最短”予以解决．
【模型建立】
（1）如图①，点 、 在直线 同侧，请在直线 上作一点 ，使得 最小；（请用直尺和圆规
作出点 ）
（2）如图②，在网格中，点 、 在直线 异侧，请在直线 上作一点 ，使得 最大；（请用
直尺作出点 ）
【模型应用】
（3）如图③，在 中， ，射线 在 内部， ，点 是
射线 上一点，连接 和 ，则 的最大值为_____．
（4）如图④，在 中， ， ， ，点 为 中点，点 为 上一点，
连接 和 ，求 的最小值．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）4（4）3
【分析】本题考查的是轴对称的应用，根据轴对称的性质解决问题是解题关键，
（1）作点A关于直线 的对称点 ，连接 交直线 于点P，则点P即为所求作；
（2）作点A关于直线 的对称点 ，连接 并延长交直线 于点P，则 ，则
点P即为所求作；（3）作点A关于射线 的对称点 ，连接 并延长交射线 于点P，则 ，
则点P即为所求，求出最大值即可；
（4）作点B关于 的对称点 ，连接 交 于点P，则点P即为所求，求出 的最小值即
可．
【详解】解：（1）如下图点 即为所求作；
（2）如下图点 即为所求作；
（3）作点A关于射线 的对称点 ，连接 并延长交射线 于点P，则点P即为所求；
在 中， ， ，
由对称性可知， ，
则 ，
是等边三角形，
；
则 的最大值为4；
（4）作点B关于 的对称点 ，连接 交 于点P，则点P即为所求，
连接 ，在 中， ， ， ，
是等边三角形， ，
，
，
点 为 中点，
，
，
则 的最小值为3．
5．（25-26八年级上·江西南昌·期中）综合与实践
材料一：将军饮马问题是一个经典的几何最值问题，源于古希腊时期，数学家海伦利用轴对称的知识
成功的解决了这个问题，体现了早期数学家对路径优化的探索．
材料二：如图1，已知直线 上方 ， 两个定点，在直线 上找一个点 ，使得 最小．小军同
学给出以下解答：如图2，作点 关于直线 的对称点 ，连结 与直线 交于点 ，此时 最
小．证明过程如图3，在直线 上另取任意一点 （与点C不重合），连接 ， ， ．
∵点 与点 关于直线 对称，∴直线 是 的垂直平分线，
∴ ___________， ________，
∴ _=_；
∵在 中， ，
∴ ，即 最小．
任务一：完成材料二的填空．
任务二：如图4，在 中，直线 是 边的垂直平分线，点 是直线 上的动点．若 ，
， ，求 周长的最小值．任务三：如图5，在（2）的条件下，已知点 ， ， 分别是 ， ， 上的点，若 ，
则 周长的最小值为___________．
【答案】任务一： ， ， ， ；任务二： ；任务三：
【分析】本题主要考查最短路径问题，轴对称的性质以及等边三角形的判定和性质，解决此题的关键
熟练运用将军饮马问题的模型；
（1）根据三边关系即可证明；
（2）变成将军饮马的模型解决问题；
（3）运用两次对称，得到等边三角形，进而得到答案
【详解】解：（1）有对称性可知： ， ， ，
（2）如图4，当点 运动到直线 与 的交点时， 周长最小，
周长 ，
∵ ， ，
∴ 的周长为 ．
（3）如图5，过点 作 ，垂足为点 ，过点 分别作 ， 的对称点 ， ，连接 ，
交 于点 ，交 于点 ，则 的周长最小，
有对称性可知： , ,
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形,
∴ ,
∴ 的周长 ，
如图6，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴ 周长的最小值为 ．
6．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如果四边形的某条对角线垂直平分另一条对角线，那么我们可把这
条对角线叫“对称线”，该四边形叫做“对称四边形”．
【问题发现】（1）如图①，四边形 是“对称四边形”，对角线 ， 交于点O， 是“对
称线”，若 ， ，则四边形 的面积是______．
【问题探究】（2）如图②，四边形 是“对称四边形”． 是“对称线”， ，
， ，P，Q分别为线段 ， 上的动点．求 的最小值．
【问题解决】（3）如图③，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点 ，过A作射线轴，交y轴于点P，E为射线 上的动点（不与点A重合），G、F分别为线段 和x轴正半
轴上的动点，连接 ， ，点M是线段 与 的交点，并且四边形 为“对称四边形”，其
中 是“对称线”．请问 的面积是否存在最小值？若存在，请求出面积的最小值以及此时
所在直线的表达式；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）60；（2） ；（3）存在； ； ；
【分析】（1）由“对称线”的定义可知 ，再根据 求解即可．
（2）在 上取一点 ，使得 ，过点B作 于点H，连接 交 于点O，由线段
垂直平分线的性质设 ，由含30度直角三角形的性质可得出 ， ，
由 ，进而可求出m，由勾股定理进一步得出 ，证明 ，由全
等三角形的性质得出 ，最后根据 求解即可．
（3）过点E作 轴于点H， 由线段垂直平分线的性质可得出 ， ， ，
由 可知当 时，点H和点F重合， 的值最小，最小值为 ，
进而可求出 的面积的最小值，再求出点E的坐标，最后利用待定系数法求出 所在直线的表达
式即可．
【详解】解：∵ 是“对称线”，
∴ 垂直平分线段 ，
∴ ，
∴（2）如图，在 上取一点 ，使得 ，过点B作 于点H，连接 交 于点O，
∵ 是“对称线”，
∴ 垂直平分线段 ，
∴ ， ， ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
则 ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ；
(3)存在，理由∶过点E作 轴于点H，
∵ ， ，
∴ ，
∵四边形 为“对称四边形”，其中 是“对称线”，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴当 时，点H和点F重合， 的值最小，最小值为 ，
∴ 的面积的最小值为 ，
此时 ，
设 所在直线的表达式为： ，
把 代入： ，
解得： ，
故 所在直线的表达式为： ．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形综合，
勾股定理等知识，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．题型 4 两定两动
【基本模型】已知在 的内侧有两定点 ，在射线 上有两动点 ，在射线
上各确定一点 ，使得 最短.
如上图所示，作点M关于射线 的对称点 ，则 ；作点N关于射线 的对称点
。由于 为定点，所以线段 为定值。因此，若使 最短，只需令
最短即可。根据点到之间距离垂线段最短，连接点 ，线段 分别交射线
于 点 。 此 时 ， 四 点 共 线 ， 能 够 使 得 最 短 ，
1．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在 中， ， ， ， ，若
点M、N分别在边 ， 上，当四边形 的周长最小时，则这个最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作点P关于 的对称点 ，点Q关于 的对称点 ，连接 交 于M，交 于N，此时四边形 的周长最小，过点P作 于H，由勾股定理求出 ，推出 ，
得出 ，再求出 ，过点 作 于K，在 中，求出 可得结
论．
【详解】解：如图，作点P关于 的对称点 ，点Q关于 的对称点 ，连接 交 于M，交
于N，此时四边形 的周长最小，过点P作 于H，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
过点 作 于K，
在 中， ， ， ，
∴ ，在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 的周长的最小值为 ．
故选：A．
【点睛】本题考查轴对称最短问题、勾股定理、含 角的直角三角形的性质、轴对称的性质等知识，
解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会添加常用辅助线，由直角三角形解决问题．
2．（22-23八年级下·重庆北碚·开学考试）如图，凸四边形 中，若点M、N分别为边 上的
动点， ， ， ， ， ，则 的周长最小值为（ ）
A． B． C．6 D．3
【答案】C
【分析】如图，连接 ，由勾股定理得， ，由 ，可得 ，
，由角平分线的性质定理得， ，如图，作 关于 的对称点为 ，作 关
于 的对称点为 ，连接 ，交 与 ，交 于 ，交 于 ，连接 ， ，则
， ， ， ，则 是 的垂直平分线， ，
， ，则 ，由勾股定理得， ，则 ，由 的周长为 ，可知当 四点共线时，
的周长最小，为 ，然后作答即可．
【详解】解：如图，连接 ，
由勾股定理得， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
如图，作 关于 的对称点为 ，作 关于 的对称点为 ，连接 ，交 与 ，交 于 ，
交 于 ，连接 ， ，则 ， ， ， ，
∵ ， ，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
由勾股定理得， ，
∴ ， ，
∵ 的周长为 ，
∴当 四点共线时， 的周长最小，为 ，即为6，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，含 的直角三角形，折叠的性质，角平分线的性质，垂直平分线的判
定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
3．（23-24八年级上·湖南株洲·月考）早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，
名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营
A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答
案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．
大数学家海伦是用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．
如下图，作B关于直线l的对称点 ，连接AB与直线l交于点C，点C就是所求的位置．
证明：如下图，在直线l上另取任一点 ，连接 ， ， ，∵直线l是点B， 的对称轴，点C， 在l上，
∴ ， ，
∴ ______=______．
在 中，∵ ，
∴ 即 最小．
本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用
“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在 与l的交点
上，即A、C、 三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小
值”的问题的数学模型．
【简单应用】
（1）如下图，在等边 中， ， ，E是AC的中点，M是 上的一点，求
的最小值；
（2）如下图，在四边形 中， ， ，在 上分别找一点M、N当
周长最小时，求 的值．
【拓展应用】如下图，是一个港湾，港湾两岸有A、B两个码头， ， 千米， 千米，现有一艘
货船从码头A出发，根据计划，货船应先停靠 岸C处装货，再停靠 岸D处装货，最后到达码头
B．怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程．（注：在直
角三角形中有直角边的平方和等于斜边的平方，如图即在直角 中，有
）
【答案】简单应用：（1）6；（2） ；拓展应用： 千米
【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，勾股定理，等边三角形的性质等等，正确理解题意利
用轴对称的性质构造最短路径是解题的关键．
简单应用：（1）根据等边三角形的性质可得 垂直平分线 ，则 ，故当 三点
共线且 时， 最小，即此时 最小，则此时 都是等边 的高，
即 ，故 的最小值为6；
（2）如图5所示，作A关于 和 的对称点 ，连接 ，连接 ，由轴对称的性
质可得 ，故当 四点共线时， 的值最小，即此时
的周长的周长最小，由三角形内角和定理得到 ，再由等边对等角和三角形外角
的性质可得 ；
拓展应用：如图6所示，分别作点A关于 的对称点 ，点B关于 的对称点 ，连接
，由轴对称的性质可得 ，当 四点共线时，
的值最小，即此时货船行驶的水路长最小，
由轴对称的性质可得 ，
则 ，利用勾股定理即可求出答案．
【详解】解：简单应用：（1）∵ 是等边三角形， ，
∴ 垂直平分线 ，∴ ，
∴ ，
∴当 三点共线且 时， 最小，即此时 最小，
∵ ，
∴ 都是等边 的高，
∴ ，
∴ 的最小值为6；
（2）如图5所示，作A关于 和 的对称点 ，连接 ，连接 ，
由轴对称的性质可得 ，
∴ 的周长 ，
∴当 四点共线时， 的值最小，即此时 的周长的周长最小，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
拓展应用：如图6所示，分别作点A关于 的对称点 ，点B关于 的对称点 ，连接
，由轴对称的性质可得 ，
∴货船行驶的水路长 ，
∴当 四点共线时， 的值最小，即此时货船行驶的水路长最小，
由轴对称的性质可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴货船行驶的水路最短路程为 千米．
4．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）【问题发现】（1）如图1所示，将军每天从军营A出发，先到河边
l饮马，再去河岸同侧的军营B开会，为了方便，将军给自己制定了方案，找到了饮马的最佳位置点C
（1）请在图1中找出将军饮马的最佳位置点C
【问题探究】（2）如图2，在正方形 中， ，E是 边上的一点，且 ，F是 上
的一个动点，求 周长的最小值．
【问题解决】（3）如图3，在长方形 中， ， ，P是 边上一点，且
，点E是线段 上的任一点，连接 ，以 为直角边在 上方作等腰直角三角形 ，
为斜边．连接 ， 边上存在一个点M，且 ，连接 ， 的周长是否存在最
小值？若存在，请求出周长最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）12；（3）
【分析】（1）作 关于直线的对称点 ，连接 与直线交于 ，点 就是所求位置；由轴对称的性
质可得 ．则 ，根据两点之间线段最短可得 的最小值是 ；
（2）连接 ， ，利用正方形的性质、勾股定理可得出A、C关于 对称， ， ，
则 周长= ，当E、F、C三点共线时， 周长最小，即
可求解；
（3）如图，过点F作 于G，交 于K，过点P作 于H，交 于O，过M作
于N，交 于 ，根据矩形的性质和勾股定理可求出 ， ，证明四边形
是矩形，得出 ， ，结合 是等腰直角三角形，可证明 ，
得出 ，可求出 ，证明 是等腰直角三角形，得出 ，根据勾股
定理可求出 ，则可判断 垂直平分 ，得出 ，则 ，当P、
F、N三点共线时， 最小，最小值为 ，然后利用三角形的周长公式
求解即可．
【详解】解：（1）作 关于直线的对称点 ，连接 与直线交于 ，点 就是所求位置；
（2）如图所示，连接 ， ，
∵在正方形 中， ，
∴ ， ，A、C关于 对称，∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴在 中，由勾股定理得 ，
∵ 周长 ，
∴当E、F、C三点共线时， 的周长最小，最小值为 ；
（3）如图，过点F作 于G，延长 交 于K，过点P作 于H，延长 交 于
O，过点M作 于N，交 于 ，
在长方形 中， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ；
∵ 是以 为斜边的等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴当P、F、N三点共线时， 最小，最小值为 的长，
在 中，由勾股定理得 ，
又∵ 的周长为 ，
∴ 的周长最小值为 ．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，二次根式的化简，全
等三角形的性质与判定等知识，作出合适的辅助线是解本题的关键．
5．（24-25八年级下·重庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴、y轴相交于A、B
两点，动点C在线段 上，将线段 绕着点C顺时针旋转 得到 ，此时点D恰好落在直线
上时，过点D作 轴于点E．(1)求证： ；
(2)求点D的坐标；
(3)如图，直线 与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是 的中点，D、E分别是直线 ，y
轴上的动点，请直接写出 周长的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3) ．
【分析】（1）根据 可证明 ；
（2）先求出 ，根据 可得 ，设 ，则点D
的坐标为 ，再由点D在直线 上，可得 ，即可求解；
（3）求出点 ，点 ，作点 关于 轴的对称点为 ，作点
关于直线 轴的对称点为 ， 交 于点H，连接 交直线 于点 ，交 轴于点
，则 周长最小值 ，设点N的坐标为 ，则点H的坐标为 ，点H在直线
上得到 ，则点N的坐标为 ，求出点N的坐标，即可求出答案．
【详解】（1）证明：∵将线段 绕着点C顺时针旋转 得到 ， 轴，
，
， ，
，在 与 中，
，
；
（2）解：直线 ，
令 ， ；
令 ， ，
此时 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则点D的坐标为 ，
∵点D在直线 上，
∴ ，
∴ ，
∴点D的坐标为 ；
（3）解：对于直线 ，
当 时，
当 时， ，解得 ，
∴点 ，
∵点C是 的中点，
∴点 ；作点 关于 轴的对称点为 ，作点 关于直线 轴的对称点为 ，连接
交 于点H，
连接 交直线 于点 ，交 轴于点 ，
则此时 周长最小值 ，
过点N作 轴于点G，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ；
设点N的坐标为 ，则点H的坐标为 ，
∵点H在直线 上，
∴ ，
整理得到， ，
∴点N的坐标为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得， ，
∴点N的坐标为 ，∴ ，
∴ 的最小值为 ，
即 周长的最小值为 ．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征、三角形全等的判定与
性质，勾股定理、轴对称求最值等知识，熟练掌握一次函数的性质和勾股定理是解题的关键．
题型 5 将军遛马
【基本模型】已知直线l同侧的两定点A和B，在直线l上有一条线段 。试确定线段 在直线l上
的位置，使得 最短.
如上图所示，作点A关于直线l的对称点 ，则 。过点 作一条平行线，并在点
的右侧在平行线上作一点 使得 。此时，由于四边形 为 ，因此
。由于线段 为定值，因此若要使 最短，只需令 最短
即 可 。 根 据 两 点 之 间 线 段 最 短 ， 连 接 点 交 直 线 l 为 点 。 此 时 最 短 ，
。
1．（24-25七年级下·全国·单元测试）按照下列要求作图．（保留作图痕迹）
(1)【“两定一动”型（同侧）】如图，已知点 ， 在直线 同侧，在直线 上求作一点 ，使
最短；
(2)【“一定两动”型】如图， 内有一点 ，分别在 ， 边上各取一点 ，使 的周
长最小；(3)【“两定两动”型（异侧）】如图， ， 是两个村庄，中间有一条河，现准备在河上造一座桥
，使得通过桥到两村的距离和最短；（假定河的两岸是平行线，桥要与河岸垂直）
(4)【“两定两动”型（同侧）】如图， 的长度为定值，在直线 上分别取点 ， ，使 ，
连接 ， ，当 最小时，求点 ， 的位置．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】本题主要考查了轴对称性质、最短路径问题；
（1）作点 关于 的对称点 ，连接 ，交 与点 ，则点 即为所求；
（2）点 即为所求分别作点 关于射线 ， 的对称点 ， ，连接 分别交 ， 于点
，此时 的周长 ，为最小．
（3）过 作河的垂线 ，要使最短， 直线 ， ，连接 即可得出 ，作出
即可．
（4）过 作 使得 ，作点 关于 的对称点 ，连接 与 的交点即为 ，过 作
交 为 ，点 ， 即为所求．
【详解】（1）解：点 位置如图①②所示．（任选一种即可）（2）如图③所示，点 即为所求分别作点 关于射线 ， 的对称点 ， ，连接 分别交
， 于点 ，此时 的周长 ，为最小．
（3）如图④， 即为所求的桥．
根据垂线段最短，得出 是河的宽时， 最短，即 直线a（或直线b），
只要 最短就行，
即过B作河岸b的垂线 ，垂足为H，在直线 上取点 ，使 等于河宽．连接 交河的a边
岸于M，作 垂直于河岸交b边的岸于N点，所以， 即为所求的桥．
（4）解：过A作 使得 ，作点C关于l的对称点D，连接 与l的交点即为F，过A作
交l为E，点E，F即为所求．点 ， 的位置如图⑤所示．∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵点C关于l的对称点D，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ 为定值，
∴要求 的最小值，只需求 ，
∴点B、F、D共线时， 最小．
2．（23-24八年级上·重庆渝中·月考）如图所示，在直角坐标系中， ， ，线段 在 轴上
平移，且满足 ，连接 、 、 ．
(1)当 时， __________；
(2)当四边形 的周长取得最小值时，求出此时点 的坐标及四边形的最小周长；
【答案】(1)12
(2)点 的坐标为 ，四边形的最小周长为 ；
【分析】（1）根据直角三角形的性质，即可求解；
（2）作点C关于y轴的对称点E，连接 ，将 沿y轴平移至点B交 于点F，连接 ，则点， ， ，根据平移的性质可得当点E，B，F三点共线时，四边形 的周长
取得最小值，再求出直线 的解析式，即可求解；
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
故答案为：12
（2）解：如图，作点C关于y轴的对称点E，连接 ，将 沿y轴平移至点B交 于点F，连接
，则点 ， ， ，
∵ ， ，
∴ 轴， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即当点E，B，F三点共线时，四边形 的周长取得最小值，
∵ ， ，
∴ ，
∴点F的坐标为 ，
∴ ，
∴四边形 的周长的最小值为 ；设直线 的解析式为 ，
把点 ， 代入得：
，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，
∴点B的坐标为 ；
3．（25-26八年级上·陕西西安·月考）问题发现：
(1)在平面直角坐标系中，已知点 和点 ，则线段AB的长为_____；
(2)问题探究：为迎接国庆节，西安市园林绿化部门准备在一块正方形的空地OABC上用鲜花摆放一个
四边形的图案．设计员小华将其置于如图所示的平面直角坐标系中，已知点 ，点 ， 在坐
标轴上，绿化部门计划在正方形 内围成一个如图所示的四边形AMNP，在其内部摆放花卉图案，
其余地方种植草坪．要求 在边 上， 在 上，且 ．请问是否存在点 ，使
得四边形 的周长最小？若存在，请求出最小值？如不存在，请说明理由．
【答案】(1)5
(2)存在，四边形 周长最小为
【分析】本题考查了两点之间的距离公式，利用轴对称求周长最小，遇到动线段问题需要先平移变换
再进行对称求解．
（1）根据两点之间距离公式计算即可；
（2）将 向上平移 个单位长度，点 与点 重合，点 到点 ，四边形 周长为，其中 ， ，故 最小时周长最小，作 关于 对
称点 ，连接 ，则 ，故当 三点共线时， 最小，计算即可解答．
【详解】（1） ；
（2）存在；如图 ，将 向上平移 个单位长度，点 与点 重合，点 到点 ，
∵ ，四边形 是正方形，
∴ ， ， ．
∵ ，
∴ ， ，
四边形 周长为 ，其中 ， ，故 最小时周长最小，
作 关于 对称点 即点 ，连接 ，则 ，
故当 三点共线时， 最小，
∴ 最小值为 ；
则四边形 周长最小为 ．
4．（24-25八年级下·重庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式为 ，与x轴交于点C，直线l上有一点B的横坐标为 ，点A是 的中点．
(1)求直线 的函数表达式；
(2)在射线 上有两动点P，Q（P点在Q点下方），且 ，当四边形 的周长最小时，求四
边形 周长的最小值；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据直线 的解析式为 ，与x轴交于点C．直线 上有一点B的横坐标为 ，
点A是 的中点，得到 ，运用待定系数法解答即可．
（2）过点A作点A关于直线 的对称点 ，将点 沿 方向平移4个单位得到点 ，连接 交
于点Q，将点Q沿 方向平移4个单位得到 ，再连接 ，此时四边形 的
周长最小，先证明 为等边三角形，则 ，找出 ， ，证明四边形
为平行四边形，故 此时四边形 的周长
为最小，再运用勾股定理算出 ，即
可作答．
【详解】（1）解：∵直线 的解析式为 ，与x轴交于点C．令 ，则 ，解得 ，
∴
∴
∵点A是 的中点，
∴ ，
∵直线 上有一点B的横坐标为 ，
把 代入 ，得
∴ ，
设直线 的函数表达式 ，
故 ，
解得 ，
故直线 的函数表达式 ．
（2）解：过点A作点A关于直线 的对称点 ，将点 沿 方向平移4个单位得到点 ，连接
交 于点Q，将点Q沿 方向平移4个单位得到 ，再连接 ，此时四边形
的周长最小，如图所示：
∵ ，
∴ ，∴ ，
故 为等边三角形，
∵ ，
∴令 时， ，则
即 ，
∵ ，
∴ ，
在直角 中，
即 ，
∵
则 ，
故 ，
∵轴对称性质，
∴ ，
故 为等边三角形，
则 ，
∵ ，
∴ 轴，
故点 ；
将点 沿 方向平移4个单位，相当于沿x轴负半轴方向平移 个单位，向上平移2个单位，故点
，
由点A的平移知， 且 ，
∴四边形 为平行四边形，故此时，四边形 的周长 为最小，
∵
∴
即 ．
5．（23-24八年级上·陕西西安·月考）(1)问题发现：
如图①，在平面直角坐标系中，已知点 和点 则线段 的长为______；
(2)问题探究：
如图②，在平面直角坐标系中，已知点 ， 为等边三角形，点A在第一象限，点 在
线段 上，点M，N分别是边 ， 上两点，求 周长的最小值．
（提示：在直角三角形中， 角所对的直角边是斜边的一半．）
(3)问题解决：
为迎接国庆节，西安市园林绿化部门准备在一块正方形的空地 上用鲜花摆放一个四边形的图案．
设计员小华将其置于如图③所示的平面直角坐标系中，已知点 ，点A，C在坐标轴上，绿化部
门计划在正方形 内围成一个如图所示的四边形 ，在其内部摆放花卉图案，其余地方种植
草坪．要求N，P在边 上，M在 上，且 ．请问是否存在点P，N，使得四边形
的周长最小？若存在，请求出最小值？如不存在，请说明理由．
【答案】(1)5
(2)(3)
【分析】（1）根据两点之间距离公式计算即可；
（2）作 分别关于 、 的对称点 和 ，根据对称的性质的，当 四点共线时，
周长最小，最小值为 的长，求出 的长即可；
（3）将 向上平移 个单位长度，点 与点 重合，点 到点 ，四边形 周长为
，其中 ， ，故 最小时周长最小，作 关于 对
称点 ，连接 ，则 ，故当 三点共线时， 最小，计算即可解答；
【详解】（1） ；
（2）如图1所示，求 分别关于 、 的对称点 和 ，
由对称性质得 ，
则 的周长为 ，
当 四点共线时， 周长最小，最小值为 的长，
∵在等边 中， ，过 作 ，
且 ，
在 中， ，如图 2 ，过点 作 ，则 ，
在 中， ，
则 ，
∴ 的周长最小为 ；
（3）存在；如图 3 ，将 向上平移 个单位长度，点 与点 重合，点 到点 ，
四边形 周长为 ，其中 ， ，故 最小时周长最小，
关于 对称点 ，连接 ，
则 ，故当 三点共线时， 最小，
∴ 最小值为 ；
则四边形 周长最小为 ．【点睛】本题考查了两点之间的距离公式，利用轴对称求周长最小，遇到动线段问题需要先平移变换
再进行对称求解．
题型 6 造桥选址
【基本模型】已知有两条平行直线 ，在直线 异侧有两定点 A 和 B，有一条线段 ，且
。试确定线段 在直线 上的位置，使得 最短.
如上图所示，过点A作直线l的垂线，在点 的下侧在垂线上作一点 使得 。此时，
由于四边形 为 ，因此 。由于线段 为定值，因此若要使
最短，只需令 最短即可。根据两点之间线段最短，连接点 交直线 为
点 。此时 最短， 。
1．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）如图，要在一条河上架一座桥 （河的两岸互相平行，桥与河岸
垂直），在如下四种方案中，使得 ， 两地的路程最短的是（ ）
A． 与河岸垂直 B． ， ， 共线
C． D． 与河岸垂直
【答案】C
【分析】本题考查最短路径中的造桥问题，熟练掌握平行四边形的判定与性质，以及两点之间线段最
短．根据 是河的宽最短，即 直线 （或直线 ），只要 最短即可．
【详解】解：如图，过点 作 ，且 等于河宽，连接 交直线 与 ，作 即可．∴四边形 是平行四边形，
∴ ， ．
∴ ，
∴ ， ， 三点共线， ，最短．
∴ ．
故选：C．
2．（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图，直线 、 表示一条河的两岸，且 ，现要在这条河上建
一座桥，使得村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案，下列说法正确
的是（ ）．
方案一
方案二
①将点A向上平移得到 ；
①连接 交 于点M；
②连接 交 于点M；
②过点M作 ，交 于点N，
③过点M作 ，交 于点
即桥的位置．
N， 即桥的位置．
A．唯方案一可行 B．唯方案二可行
C．方案一、二均可行 D．方案一、二均不可行
【答案】A
【分析】本题考查两点之间线段最短，平移的性质，因为河宽是确定的，要使村庄A经桥过河到村庄
B的路程最短，只要 最短即可，可利用平移解决问题．
【详解】解：河宽是确定的，要使村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，只要 最短即可．
垂直于河岸 ， ，连接 ，与另一条河岸相交于M，作 直线 ，
由平移的性质，知 ，且 ，
根据“两点之间线段最短”， 最短，即 最短．
故方案一符合题意，方案二 不是最短，
故选：A．
3．（24-25九年级上·重庆·开学考试）重庆是一座桥都，如图所示，嘉陵江在 处直角转弯，河宽相同，
都为0.5公里，从 处到达 处（ 到 的水平距离是4.5公里， 到 的竖直距离是3.5公里），须经
过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设嘉陵江以及两座桥都是东西、南北走向的，造的两座桥可使
从 到 的路程最短， 处到 处的最短路径长为________公里．
【答案】6
【分析】本题考查了轴对称 最短路径问题，平行四边形的性质，勾股定理等知识，
过A作 ，且 等于河宽，过B作 ，且 等于河宽，连接 ，与河岸相交于 、
．作 、 即为桥，根据平行四边形的性质得到 ， ，然后得到 处到 处的
最短路径长即为 的长度，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，过A作 ，且 等于河宽，过B作 ，且 等于河宽，连接 ，
与河岸相交于 、 ．作 、 即为桥．
由作图可知， ， ，
则四边形 为平行四边形，
，
同理， ，∴
∴ 处到 处的最短路径长即为 的长度
∵ 到 的水平距离是4.5公里， 到 的竖直距离是3.5公里，河宽相同，都为0.5公里
∴ （公里）
∴ （公里）
∴ （公里）
∴ 处到 处的最短路径长为6公里．
故答案为：6．
4．（23-24八年级下·福建漳州·期中）河的两岸成平行线，A，B是位于河两岸的两个车间（如图），要在
河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A，B间的路程最短．确定桥的位置的方案如下：作从A到河
岸的垂线，分别交河岸 ， 于F，G．在 上取 ，连接 ， 交 于D．在D处
作到对岸的垂线 ，那么 就是造桥的位置，请你对方案可行性给出证明．
【答案】见解析．
【分析】本题考查轴对称-最短问题，解题的关键是学会利用轴对称以及平行四边形的性质解决最短问
题． 证明四边形 为平行四边形得 ，可得 ，进而可说明方案可
行．
【详解】解： ， ，
．
，
，
四边形 为平行四边形，
．
根据两点之间线段最短可知，．
与河岸垂直，为定值，
当 时，路径 最短．
5．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图所示，从A地到B地要经过一条小河（河的两岸平行），现要
在河上建一座桥（桥垂直于河的两岸），应如何选择桥的位置，才能使从A地到B地的路程最短？
【答案】见解析
【分析】根据桥垂直于河的两岸可得桥的长度为定值，将点A向下平移至点C，使 的长等于河宽，
连接 ，与河岸 相交于点N，过点N作 于点M，连接 ．利用平行四边形的性质可
得 为所建桥的位置．
【详解】解：如图，将点A向下平移至点C，使 的长等于河宽；连接 ，与河岸 相交于点
N，过点N作 于点M，连接 ．则 为所建桥的位置．
∵桥垂直于河的两岸，
∴可得桥的长度为定值，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵点 与点 之间线段 最短， 为定值，
∴ 最短，即从A地到B地的路程最短，
∴ 为所建桥的位置．
【点睛】此题考查了平移及最短路径问题及平行四边形得判定与性质，主要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而
转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还
会学习一些线段转化的方法．
6．（2025·江苏南京·模拟预测）架桥通常会考虑多种因素，其中一个就是路线规划，确保桥两边A，B两
地间的路程尽量短，以减少通行时间和成本．
(1)如图①，河l的宽度忽略不计，即桥的宽度忽略不计，请你在l上画出表示桥的位置的点P，使从A
地经过桥到B地的路程最短．
(2)如图②，河岸m和n之间的宽度不可忽略不计，即桥的宽度不可忽略不计，请你在m和n之间画出
表示桥的位置的线段 ，使桥与河岸垂直，并且从A地经过桥到B地的路程最短．
(3)如图③，河岸m和n，p和q之间的宽度不可忽略不计，即桥的宽度不可忽略不计，请你在m和n之
间、p和q之间分别画出表示桥的位置的线段 和 ，使每座桥与相应的河岸垂直，并且从A地经
过2座桥到B地的路程最短．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，线段的性质：两点之间线段最短．
（1）连接 交直线l于点P，点P即为所求；
（2）作 直线m，使得 河宽，连接 交直线n于点C，作 直线m于点D，连接 ，
线段 即为所求；
（3）作 直线m，使得 河宽， 直线p，使得 河宽，连接 交直线n于点C，交直
线q于点E，作 直线m于点D，作 直线p于点F，连接 ， ，线段 ， 即为所求．
【详解】（1）解：如图①中，点P即为所求；（2）解：如图②中，线段 即为所求；
（3）解：如图③中，线段 ， 即为所求．
