专题5.1任意角和弧度制及任意角的三角函数2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（练）解析版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料

专题 5.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数 练基础 1．（2021·宁夏高三三模（文））已知角 终边经过点 则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 直接利用三角函数的定义即可. 【详解】 由三角函数定义， . 故选：D. 2.（2021·中牟县教育体育局教学研究室高一期中）已知角 的终边经过点 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由三角函数的定义即可求得 的值． 【详解】 角 的终边经过点 ， ． 故选： ． 3．（2020·全国高一课时练习）若α＝－2，则α的终边在（ ） A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】 根据角的弧度制与角度制之间的转化关系可得选项. 【详解】 因为1 rad≈57.30°，所以－2 rad≈－114.60°，故α的终边在第三象限． 故选：C. 4．（2021·江苏高一期中）下列命题：①钝角是第二象限的角；②小于 的角是锐角；③第一象限的角 一定不是负角；④第二象限的角一定大于第一象限的角；⑤手表时针走过2小时，时针转过的角度为 ； ⑥若 ，则 是第四象限角．其中正确的题的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】 结合象限角和任意角的概念逐个判断即可. 【详解】 对于①：钝角是大于 小于 的角，显然钝角是第二象限角. 故①正确； 对于②：锐角是大于 小于 的角，小于 的角也可能是负角. 故②错误； 对于③： 显然是第一象限角. 故③错误； 对于④： 是第二象限角， 是第一象限角，但是 . 故④错误； 对于⑤：时针转过的角是负角. 故⑤错误； 对于⑥：因为 ，所以 ，是第四象限角. 故⑥正确. 综上，①⑥正确. 故选：B. 5．（2021·辽宁高三其他模拟）装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为 ，并在扇形弧上正面 等距安装7个发彩光的小灯泡且在背面用导线将小灯泡串连（弧的两端各一个灯泡，导线接头忽略不计），已知扇形的半径为30厘米，则连接导线大致需要的长度约为（ ） A．55厘米 B．63厘米 C．69厘米 D．76厘米 【答案】B 【解析】 由于实际问题中扇形弧长较小，可将导线的长视为扇形弧长，利用弧长公式计算即可. 【详解】 因为在弧长比较短的情况下分成6等份，每部分的弦长和弧长相差很小， 所以可以用弧长近似代替弦长， 所以导线的长度为 (厘米）． 故选：B 6．（2021·上海格致中学高三三模）半径为2，中心角为 的扇形的面积等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 根据扇形的面积公式即可求解. 【详解】 解：因为扇形的半径 ，中心角 ， 所以扇形的面积 ， 故选：C. 7．（2021·辽宁高三其他模拟）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖， 扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中 OA＝20cm，∠AOB＝120°，M为OA的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是（ ）A． cm2 B． cm2 C． cm2 D． cm2 【答案】B 【解析】 根据扇形面积公式计算可得； 【详解】 解：扇环的面积为 ． 故选：B 8．（2021·重庆八中高三其他模拟）如图所示，扇环 的两条弧长分别是4和10，两条直边 与 的长都是3，则此扇环的面积为（ ） A．84 B．63 C．42 D．21 【答案】D 【解析】 设扇环的圆心角为 ，小圆弧的半径为 ，依题意可得 且 ，解得 、 ，进而可得结 果. 【详解】 设扇环的圆心角为 ，小圆弧的半径为 ，由题可得 且 ，解得 ， ，从而扇环面积 . 故选：D． 9．（2021·浙江高二期末）已知角 的终边过点 ，若 ，则 ___________． 【答案】 【解析】 利用三角函数的定义可求 . 【详解】 由三角函数的定义可得 ，故 . 故答案为： . 10．（2021·山东日照市·高三月考）已知函数 ，则 ______． 【答案】 【解析】 利用分段函数直接进行求值即可． 【详解】 ∵函数 ， ∴ ， ∴故答案为： . 练提升 TIDHNE 1．（2021·河南洛阳市·高一期中（文））点 为圆 与 轴正半轴的交点，将点 沿圆周逆时针 旋转至点 ，当转过的弧长为 时，点 的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 先求出旋转角，就可以计算点的坐标了. 【详解】 设旋转角为 ，则 ，得 ，从而可得 . 故选：B. 2．（2021·上海高二课时练习）若 是三角形的最小内角，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由给定条件结合三角形三内角和定理即可作答. 【详解】 设B，C是三角形的另外两个内角，则必有 ，又 ,则 ，即 ，当且仅当 ，即A是正三角形内角时取 “=”， 又 ，于是有 ， 所以 的取值范围是 . 故选：D 3．（2021·北京清华附中高三其他模拟）已知 ．则“ ”是“ ”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 求解出 成立的充要条件，再与 分析比对即可得解. 【详解】 ， ， 则 或 ， 由 得 ， 由 得 ， 显然 ， ， 所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.故选：A 4．（2021·安徽池州市·池州一中高三其他模拟（理））已知一个半径为3的扇形的圆心角为 ，面积为 ，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由扇形的面积公式得 ,进而根据正切的和角公式解方程得 . 【详解】 解:由扇形的面积公式 得 ,解得 , 所以 ,解得 故选:C 5．（2021·新蔡县第一高级中学高一月考）一个圆心角为 的扇形，它的弧长是 ，则扇形的内切圆 （与扇形的弧和半径的相切）的半径等于（ ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【解析】 设扇形内切圆的半径为 ，扇形所在圆的半径为 ，求得 ，结合弧长公式，列出方程，即可求解. 【详解】 如图所示，设扇形内切圆的半径为 ，扇形所在圆的半径为 ， 过点 作 ，在直角 中，可得 ， 所以扇形的半径为 ， 又由扇形的弧长公式，可得 ，解得 ， 即扇形的内切圆的半径等于 . 故选：B. 6．（2021·安徽合肥市·合肥一中高三其他模拟（文））已知顶点在原点的锐角 ，始边在x轴的非负半轴， 始终绕原点逆时针转过 后交单位圆于 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 根据任意角的三角函数的定义求出 ，然后凑角结合两角差的正弦公式求出 . 【详解】 由题意得 ( 为锐角) ∵ 为锐角，∴ ，∴故选：B 7．（2020·安徽高三其他模拟（文））已知角 的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的 终边经过点A(1，-3)，则 =（ ） A． B． C．1 D．-1 【答案】B 【解析】 根据终边上的点求出 ，再结合正切和公式求解即可． 【详解】 由题知 ，则 . 故选：B 8．（2021·合肥一六八中学高三其他模拟（理））已知顶点在原点，始边在x轴非负半轴的锐角 绕原点 逆时针转 后，终边交单位圆于 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设锐角 绕原点逆时针转 后得角 ，由 ，则 ，分 的值结合三角函数的定义，求 解即可，根据条件进行取舍. 【详解】 设锐角 绕原点逆时针转 后得角 ，则 ，由 为锐角， 根据题意角 终边交单位圆于 ，则 ，则 若 ，则 所以 ，与 为锐角不符合. 若 ，则 所以 ,满足条件. 故选：C 9．（2021·安徽宣城市·高三二模（文））刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法： 当n很大时，用圆内接正 边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率 ．在 《九章算术注》中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 的极限思想．运用此思想，当 取 时，可得 的近似值为（ ）A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由圆的垂径定理，求得 ，根据扇形对应的弦长之和近似于单位圆的周长，列出方程，即可求 解. 【详解】 将一个单位圆分成 个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为 由圆的垂径定理，可得每个圆心角所对的弦长 ， 因为这 个扇形对应的弦长之和近似于单位圆的周长， 所以 ， 所以 ． 故选：D． 10．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）某设计师为天文馆设计科普宣传图片，其中有一款设计图如图所 示. 是一个以点O为圆心､ 长为直径的半圆， . 的圆心为P， .与 所围的灰色区域 即为某天所见的月亮形状，则该月亮形状的面积为___________ . 【答案】 【解析】 连接 ，可得 ，求出 ，利用割补法即可求出月牙的面积. 【详解】 解：连接 ，可得 ， 因为 ， 所以 ， ， 所以月牙的面积为 .故答案为： . 练真题 TIDHNE 1．（全国高考真题）已知角α的终边经过点(−4,3)，则cosα=（ ） 4 3 3 4 A． B． C．− D．− 5 5 5 5 【答案】D x 4 【解析】由题意可知x=-4，y=3，r=5，所以cosα= =− .故选D. r 5 2．（2020·全国高考真题（理））若α为第四象限角，则（ ） A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0 【答案】D 【解析】 方法一：由α为第四象限角，可得 ， 所以 此时 的终边落在第三、四象限及 轴的非正半轴上，所以 故选：D. 方法二：当 时， ，选项B错误； 当 时， ，选项A错误； 由 在第四象限可得： ，则 ，选项C错误，选项D正确； 故选：D. 3.（2015·上海高考真题（文））已知点 的坐标为 ，将 绕坐标原点 逆时针旋转 至 ， 则点 的纵坐标为（ ）.A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意 ，设OA与x轴所成的角为 ，显然 ， ，故 ，故纵坐标为 4．（2018·全国高考真题（文））已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两 2 点A(1，a)，B(2，b)，且cos2α= ，则|a−b|= 3 1 √5 2√5 A． B． C． D．1 5 5 5 【答案】B 【解析】 由O,A,B三点共线，从而得到b=2a， 因为 cos2α=2cos2α−1=2⋅( 1 ) 2 −1= 2， √a2+1 3 1 √5 解得a2= ，即|a|= ， 5 5 √5 所以|a−b|=|a−2a|= ，故选B. 5 5.（2017·北京高考真题（理））在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关 1 sin cos 于y轴对称.若 3，则 =___________. 7  【答案】 91 sinsin 【解析】因为  和  关于 y 轴对称，所以 2k,kZ ，那么 3 ， 2 2 2 2 coscos coscos 3 （或 3 ）， 7 coscoscossinsincos2sin22sin21 所以 9 . 6．（2021·北京高考真题）若点 与点 关于 轴对称，写出一个符合题 意的 ___． 【答案】 （满足 即可） 【解析】 根据 在单位圆上，可得 关于 轴对称，得出 求解. 【详解】 与 关于 轴对称， 即 关于 轴对称， ， 则 ， 当 时，可取 的一个值为 .故答案为： （满足 即可）.