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5.2 平面向量的基本定理及坐标运算
思维导图
知识点总结
1.平面向量的基本定理
条件 e ，e 是同一平面内的两个不共线向量
1 2
结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ ，λ ，使a＝
1 2
基底 两个不共线的向量e ，e 叫作这个平面的一组基底
1 2
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个 的向量，称为向量作正交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，则
1 1 2 2
a＋b＝ ，a－b＝ ，λa＝ ，|a|＝ .
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x ，y )，B(x ，y )，则AB＝ ，|AB|＝
1 1 2 2
设a＝(x ，y )，b＝(x ，y )(a≠0)，则a∥b
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[常用结论]
⇔1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然.
2.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论
起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.
典型例题分析
考向一 平面向量基本定理的应用
例1 (1)(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记CA＝m，CD＝n，则
CB＝( )
A.3m－2n B.－2m＋3n
C.3m＋2n D.2m＋3n
(2)在△ABC中，点P是AB上一点，且CP＝CA＋CB，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为
M，又CM＝tCP，则t的值为________.
感悟提升 1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进
行向量的加、减或数乘运算.
2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结
论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同
的，但在每个基底下的分解都是唯一的.
考向二 平面向量的坐标运算
例2 (1)在平行四边形ABCD中，AD＝(3，7)，AB＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，则CO的坐标为( )
A. B.
C. D.
(2)(2023·北京人大附中统练)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，用基底{a，
b}表示c，则( )
A.c＝2a－3b B.c＝－2a－3b
C.c＝－3a＋2b D.c＝3a－2b
感悟提升 平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段
两端点的坐标，则应先求向量的坐标.
(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.
考向三 平面向量平行的坐标表示
角度1 利用向量平行求参数
例3 (1)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(m，－1)，若c∥(2a＋b)，则m等于( )
A.－2 B.－1
C.－ D.(2)已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且 A，B，C 三点共线，则 k＝
________.
角度2 利用向量平行求向量或点的坐标
例4 在△ABC中，已知点O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)，OC＝OA，OD＝OB，AD与BC交于
点M，则点M的坐标为________.
感悟提升 1.两平面向量平行的充要条件有两种形式：
(1)若a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，则a∥b的充要条件是x y －x y ＝0；
1 1 2 2 1 2 2 1
(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb.
2.向量平行的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零
时，也可以利用坐标对应成比例来求解.
基础题型训练
一、单选题
1．若 则 等于（ ）
A． B．
C． D． ＋
2．若向量 ， ，则 （ ）A． B． C． D．
3．已知向量 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．5
4．已知向量 ，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知向 ， ，若 与 垂直，则实数 的值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
6．已知点 不共线， 为实数， ，则“ ”是“点 在 内（不含
边界）”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
7．已知向量 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． 与 反向 D． 可作一组基底
8．已知向量 ， ， ，设 ， 的夹角为 ，则（ ）
A． B．
C． 在 上的投影向量为 D．
三、填空题
9．设向量 ， ，若 ，则 ________．10．假设 ， ，若 ，则 ________________.
11． 中， ，若 ，则 ___________．
12．已知点 ， ，向量 ，则 __________．
四、解答题
13．在平面直角坐标系xOy中已知四边形ABCD是平行四边形， ， .
(1)则 等于多少？
(2)求 的模？
14．已知 三个顶点的坐标分别为 .
(1)若 是 边上的高,求向量 的坐标;
(2)若点E在x轴上,使 为钝角三角形,且 为钝角,求点E的横坐标的取值范围.
15．如图，在平面直角坐标系 中， ， ， .
（1）求点 ，点 的坐标；
（2）求四边形 的面积.
16．已知向量 .
(1)若 ，求m，n的值：(2)若向量 满足 ，求 的坐标.
提升题型训练
一、单选题
1．已知 =(4，5)， =(－3，4)，则 －4 的坐标是（ ）
A．(16，11) B．(－16，－11) C．(－16，11) D．(16，－11)
2．已知 ， 为平面向量，且 ， ，则 ， 夹角的余弦值等于（ ）
A． B．－ C． D．－
3．正方形ABCD的边长为2，以AB为直径的圆M，若点P为圆M上一动点，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
4．在平面四边形 中， ， ， .若E、F为边BD上的动点，且
，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．把点 按向量 平移到点 ，则函数 的图像按向量 平移后的图象的函数表达式为（ ）．
A． B．
C． D．
6．在 中， ， ， ，M是 外接圆上一动点，若 ，则的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．2
二、多选题
7．设 、 、 是平面上任意三点，定义向量的运算： ，其中向量 由向量
以点 为旋转中心顺时针旋转 得到（若 为零向量，规定 也是零向量）.对平面向量 、 、 ，
下列说法正确的是（ ）
A．
B．对任意 ，
C．若 、 为不共线向量，满足 ，则 ，
D．
8．已知 的重心为 ，点 是边 上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若 ，则 的面积是 面积的
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则当 取得最小值时，
三、填空题
9．已知向量 ， 则 ______ ．10．向量 ，且 ，则 ___________.
11．已知平面向量 ，其中是 是单位向量且夹角为 ，向量 满足 ，则
的最大值与最小值之差为__________.
12．已知 ， ，则 的范围是________.
四、解答题
13．在下列各小题中，已知向量 ， 的坐标，分别求 的坐标：
（1） ， ；
（2） ， ；
（3） ， ；
（4） ， ．
14．已知点 、 、 及 ， 为何值时，点 在 轴上？点 在 轴上？点
在第二象限？
15．已知 ， ， 是同一平面内的三个向量，其中 ．
(1)若 ，且 ，求 的坐标；
(2)若 ，且 与 的夹角为 ，求 的值．
16．已知向量 ， ．设函数 ， ．
(1)求函数 的解析式及其单调增区间；(2)设 ，若方程 在 上有两个不同的解 ，求实数 的取值范围，并
求 的值.
(3)若将 的图像上的所有点向左平移 个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍
（纵坐标不变），得到函数 的图像．当 （其中 ）时，记函数 的最大值与
最小值分别为 与 ，设 ，求函数 的解析式.
