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2020-2021 学年八年级数学下册期末突破易错挑战满分（北师大版）
易错02 等腰三角形中的动点问题易错
【典型例题】
1．（2020·浙江绍兴市·八年级其他模拟）如图，在 中， ， ， 交
于点D．动点P从点C出发，按 的路径运动，且速度为 ，设出发时间为 ．
（1）求 的面积及 的长；
（2）当 时，求证： ；
（3）当点P在 边上运动时，若 是等腰三角形，求出所有满足条件的t的值．
【答案】
解：（1）如图，作AH⊥BC于H．
∵AB=AC，
∴BH=CH= BC=3，
∴AH= =4，∴S = =12，
△ABC
∵S = ，
△ABC
∴BD= = ；
（2）如图，当t=3.2时，3.2×2=6.4，
此时点P在AB边上，AP=6.4-5=1.4，
由（1）可知AD= = =1.4，
∴AP=AD，
∵AC=AB，∠A=∠A，
∴△APC≌△ADB（SAS），
∴∠APC=∠ADB=90°，
∴PC⊥AB．
（3）∵BD=4.8，CD=AC-AD=3.6，BD≠CD，∴BD≠DP，
当点P在BC上时，CP=16-2t，BP=2t-10，
当PD=BP时，
∠PBD=∠PDB，
∵∠BDC=90°，
∴∠PBD+∠C=90°，∠PDB+∠PDC=90°，
∴∠C=∠PDC，
∴PD=PC，
则2t-10=16-2t，
解得：t=6.5；
当BD=BP时，
BP=4.8，
则t=（4.8+5+5）÷2=7.4，
综上：当△BDP为等腰三角形时，t的值为6.5或7.4．
【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常
考题型．
【专题训练】
一、选择题
1．（2020·河南洛阳市·九年级期末）如图，在 中， ， ，AB的中点为D．以C
为原点，射线CB为x轴的正方向，射线CA为y轴的正方向建立平面直角坐标系．P是BC上的一个动点，连接AP、DP，
则 最小时，点P的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【点睛】
本题主要考查了最短路线问题以及等腰直角三角形的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴
对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
2．（2021·山东济宁市·八年级期末）如图，等边 中， 于 点 分别为上
的两个定点且 ，在 上有一动点 使 最短，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
3．（2020·河南郑州市·八年级月考）如图，在 中， ， ，点M从点A出发以每秒
的速度向点C运动，点N从点C出发以每秒 的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随
之停止运动，当 是以 为底的等腰三角形时，则这时等腰三角形的腰长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【点睛】
此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，有一定的拔高难度．
4．（2020·贵州省施秉县第二中学八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝20 cm，AC＝12 cm，点P从点B出发以每秒3 cm
的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2 cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停
止运动，当△APQ是以A为顶点的等腰三角形时，运动的时间是（ ）A．2.5秒 B．3秒 C．3.5秒 D．4秒
【答案】D
【点睛】
此题考查动点问题，等腰三角形的定义，根据点运动的速度和时间确定点运动路线的长是解题的关键．
二、填空题
5．（2021·江苏泰州市·八年级期末）已知△ABC中，AB=AC=5，BC=6，动点P在线段BC上从B点向C点运动，连接AP，
则AP的最小值为等于________．
【答案】4
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理，求出AP=4是解题的关键．
6．（2020·浙江嘉兴市·八年级期末）如图， 内有一定点P，且 ，在 上有一动点Q，
上有一动点R，若 周长最小，则最小周长是___________．【答案】
【点睛】
本题考查了轴对称确定最短路线问题，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于作辅助线
得到与 周长相等的线段．
7．（2020·安徽省安庆九一六学校八年级月考）如图，在 中， ， ，D为AC的
中点，动点P从点A出发，以每秒1 cm的速度沿 的方向运动，设运动时间为t，当过D，P两点的直线将
的周长分成两部分，当其中一部分是另一部分的2倍时， _________．
【答案】4或14秒．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及动点问题．解答此题时要分情况进行讨论，不要漏解．
8．（2021·全国八年级）如图，等边三角形 的周长为 ， 、 两点分别从 、 两点同时出发，点 以
的速度按顺时针方向在三角形的边上运动，点 以 的速度按逆时针方向在三角形的边上运动，设 、
两点第一次在三角形 的顶点处相遇的时间为 ，第二次在三角形 顶点处相遇的时间为 ，则 __．【答案】25s
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，相遇问题，解题的关键是得出 、 相遇次数与三角形边长的关系．
三、解答题
9．（2020·广东汕头市·八年级期末）如图，在 中， ，点 从点 出发沿线段 方向，在线段
上运动．在点 运动的过程中，连结 ，并以 为边在线段 上方，作等边 ，连结 ．
（1）当 时， ；
（2）请添加一个条件：_________，使得 为等边三角形；当 为等边三角形时，求证： ；
【答案】
（1）当∠BAM=30°时，
∴∠AMB=180°﹣60°﹣30°=90°，
∴AB=2BM；故答案为30；
（2）添加一个条件AB=AC，可得△ABC为等边三角形；
故答案为AB=AC；
①∵△ABC与△AMN是等边三角形，
∴BC＝AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，
∴∠BAC﹣∠MAC=∠MAN﹣∠MAC，
即∠BAM=∠CAN，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴BM=CN，
∴BM＋CM=CN＋CM
即BC＝AC＝CN＋CM．
【点睛】
本题考查等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握所学
知识．
10．（2021·四川宜宾市·八年级期末）如图，在 中， ， ， ．点 从点 出发，
在线段 上以每秒 个单位长度的速度向终点 运动，连结 ．设点 运动的时间为 秒．
（1）填空： ；
（2）当 为何值时， 平分 ；
（3）当 为何值时， 为等腰三角形．【答案】
解（1）∵在 中， ， ， ，
∴ ；
（2）过点 作 于 ， 于 ．
平分 ， ，
，
，
而 ，
设 ，，
解得： ，
， 平分 ， ，
，
，
在 中，由勾股定理得，
，
秒；
（3）①当 时， ， 秒．
②当 时，即 ，
而 ， ， ，
，即 ，
，秒；
③ 在线段 上移动，所以 ，此时无法构成等腰三角形；
综上所述， 秒或 秒．
【点睛】
本题主要考查了利用勾股定理解直角三角形，在直角三角形中与角平分线有关的动点问题及与等腰三角形有关的动点问题．
11．（2021·广西柳州市·八年级期末）如图，等边 的边长为 ，现有两点 分别从点 ，点 同时出发，
沿三角形的边顺时针运动，已知点 的速度为 ，点 的速度为 ．当点 第一次到达点 时，
同时停止运动．
（1）点 运动几秒后， 两点重合？
（2）点 运动几秒后， 为等边三角形？
（3）当点 在 边上运动时，能否得到以 为底边的等腰三角形 ？如存在，请求出此时 运动的
时间；若不存在，请说明理由．
【答案】设运动 秒， 两点重合，
根据题意得： ，
，
答：点 运动 秒后， 两点重合；
如图1，设点 运动 秒后， 为等边三角形，
，
由运动知， ， ，
解得： ，
点 运动 秒后， 是等边三角形；
假设存在，
如图2，设 运动 秒后，得到以 为底边的等腰三角形 ，，
是等边三角形，
，
，
，
由运动知， ， ，
，
，
故点 在 边上运动时，能得到以 为底边的等腰三角形 ，此时 运动的时间为 秒．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，用方程的思想解决问
题是解本题的关键．12．（2020·吉林吉林市·八年级期末）如图，已知四边形 中， ，边 ，动点 ，
同时从 ， 两点出发，分别沿 ， 方向匀速运动，其中点 运动的速度是每秒 ，点 运动的速度是每秒
，当点 到达点 时， ， 两点都停止运动，设运动时间为 秒．
解答下列问题：
（1） _______________， ______________， ______________．(用含 的式子表示)
（2）当点 到达点 时， 与 的位置关系如何．请说明理由．
（3）在点 与点 的运动过程中， 是否能成为等边三角形．若能，请求出 的值．若不能，请说明理由．
【答案】
解：（1） ， ，
故答案为：t；8-t；2t；
（2） ．
理由如下：连接∵ ， ，
∴ 是等边三角形．
∵ 的速度是每秒 ，故当 与 重合时，
又 的速度是每秒 ， ，
∴
又∵ ，
∴ ．
（3）能．
∵ ，
∴当 时， 为等边三角形，
∴ ．
∴ ．
∴当 为 时， 为等边三角形．【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的三线合一、等边三角形的判定定理和性质定
理是解题的关键．
13．（2021·吉林长春市·八年级期末）如图，△ABC是等边三角形，AB=4cm． 动点P,Q分别从点A、B同时出发，动点P以
1cm/s的速度沿AC向终点C运动．动点Q以2cm/s的速度沿射线BC运动．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．点P
出发后，过点P作PE∥AB交BC于点E，连结PQ，以PQ为边作等边三角形PQF，连结CF，设点 的运动时间为t(s)
(1)用含t的代数式表示CQ的长．
(2)求△PCE的周长(用含t的代数式表示)．
(3)求CF的长(用含t的代数式表示)．
(4)当△PQF的边与BC垂直时，直接写出t的值．
【答案】
解：（1）根据题意，
∵△ABC是等边三角形，
∴ ，
∵动点P以 的速度沿AC向终点C运动，
∴时间的最大值为： （秒），
∴ ；∵动点 以 的速度沿射线 运动，
∴ ，
当 时， ；
当 时， ；
（2）∵ ， 是等边三角形，
∴∠PEC=∠B=60°，∠EPC=∠A=60°，
∵∠ACB=60°，
∴△PCE是等边三角形，
∴PC=PE=CE，
∵ ，
∴△PCE的周长为： ；
（3）如图：
∵ 是等边三角形，∴ ，∠QPF=60°，
∵△PCE是等边三角形，
∴PC=PE，∠EPC=∠QPF=60°，
∴△PEQ≌△PCF，
∴CF=EQ，
∵ ，
∵ ， ，
∴ ；
（4）根据题意，
①当PQ⊥BC时，如图：
∵△PCE是等边三角形，
∴PQ是高，也是中线，
∴ ，
∵ ，∴ ，
解得： ；
②当FQ⊥BC时，如图：
∵∠FQC=90°，∠FQP=60°，
∴∠PQE=30°，
∵∠PCE=60°，
∴∠CPQ=30°=∠PQE，
∴PC=CQ，
∵ ， ，
∴ ，
解得： ；
综合上述，当 的边与 垂直时， 的值为 或 ．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解一元一次方程等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，注意运用分类讨论的思想进行解题．
14．（2020·浙江金华市·八年级期末）如图，在平面直角坐标系 ，点A的坐标是 ，点C是 轴上的一个动点，
当点C在 轴上移动时，始终保持△ACP是等边三角形（点A、C、P按逆时针方向排列）；当点C移动到点O时，得到等
边三角形AOB（此时点P与点B重合）．
初步探究
（1）写出点 的坐标________；
（2）点C在 轴上移动过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时，连接 ，求证： ；
深入探究
（3）当点 在 轴上移动时，点 也随之运动，探究点 在怎样的图形上运动，请直接写出结论；并求出这个图形所对
应的函数表达式；
拓展应用
（4）点 在 轴上移动过程中，当 为等腰三角形时，直接写出此时点 的坐标．
【答案】
解：（1）如图1中，作 于 ．是等边三角形， ，
∵ ，
∴ ，
∴在 中， ，
， ；
（2）如图2中,
与 都是等边三角形，
， ， ，
，
即 ，
在 与 中，
，
．（3）如图2中， ．
，
，
点 在过点 且与 垂直的直线上．
当点 在 轴上 时， ,
∴ , ,
∴ ．
， ．
设点 所在直线的函数表达式为： ．把点 、 的坐标分别代入
得 ，解得 ，
所以点 所在直线的函数表达式为： ；（4） ，
∴ ，
设 ，
∵ ，
则 ， ，
，
①当 时， ，此时 或 ；
②当 时， ，
即 ，
解得 （此时B、P重合舍去），
，
∵点 、 、 按逆时针方向排列，
∴ ；
③ 时， ，
即 ，解得 ，此时 ，
∵点 、 、 按逆时针方向排列，
∴ ；
综上所述C点坐标为： ， ， ， ．
【点睛】
本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、一次函数的应用等知识，
解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
