专题5.2同角三角函数的基本关系与诱导公式2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（练）解析版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料

专题 5.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式 练基础 1．（2021·北京二中高三其他模拟）在平面直角坐标系xOy中，角 以 为始边，终边与单位圆交于点 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由题意可得角的正弦和余弦值，由同角三角函数的基本关系可求出角的正切值，结合诱导公式即可选出正 确答案. 【详解】 解：由题意知， ，则 ，所以 ， 故选:C. 2．（2021·全国高三其他模拟（理））已知 则 =（ ） A．﹣ B． C．2 D．﹣2 【答案】C 【解析】 先用“奇变偶不变，符号看象限”将 化简为 ，结合同角三角函数的基本关系来求解. 【详解】因为 ， 所以 = = =2. 故选：C 3.（2021·全国高一专题练习）已知 则 （ ） A．2 B．-2 C． D．3 【答案】A 【解析】 用诱导公式化简，平方后求得 ，求值式切化弦后易得结论． 【详解】 即 ， 故选：A． 4．（2021·河南高三其他模拟（理））若 ，则 _______________________. 【答案】 【解析】 利用同角三角函数的基本关系式进行化简求值.【详解】 因为 ， 所以 . 故答案为： 5．（2021·宁夏银川市·银川一中高三其他模拟（文））若 ， ，则 ___________. 【答案】 【解析】 根据三角函数的诱导公式，求得 ，结合 ，进而求得 的值. 【详解】 由三角函数的诱导公式，可得 ，即 ， 又因为 ，所以 . 故答案为： . 6．（2021·上海格致中学高三三模）已知 是第二象限角，且 ， _________. 【答案】 【解析】根据角所在的象限，判断正切函数的正负，从而求得结果. 【详解】 由 是第二象限角，知 ， 则 故答案为： 7．（2021·上海高三二模）若 ，则 的值等于___________(用 表示). 【答案】 【解析】 由同角三角函数的关系得 ,进而根据 ,结合齐次式求解即可. 【详解】 因为 ，所以 ， 所以 ， 故答案为: 8．（2021·河北衡水市·高三其他模拟）函数 且a≠1)的图象过定点Q，且角a的终 边也过点Q，则 ___________. 【答案】 【解析】 首先可得点 的坐标，然后可得 ，然后可求出答案.【详解】 由题可知点Q(4，2)，所以 所以 故答案为： 9．（2021·上海高三其他模拟）已知 ， ，则cos(π﹣x)=___________. 【答案】 【解析】 根据 ， ，求出 ，再用“奇变偶不变，符号看象限”求出cos(π﹣x). 【详解】 解：因为 ， ， 可得cosx=﹣ =﹣ ， 所以cos(π﹣x)=﹣cosx= . 故答案为： . 10．（2020·全国高一课时练习）若 ，求 的值． 【答案】 .【解析】 利用诱导公式化简已知和结论，转化为给值求值的三角函数问题解决. 【详解】 原式= = = =- ， 因为 ， 所以 ，所以 为第一象限角或第四象限角． (1)当 为第一象限角时， = ， 所以 = ，所以原式=- . (2)当 为第四象限角时， =- ， 所以 =- ，所以原式= . 综上，原式= . 练提升 TIDHNE 1．（2021·全国高三其他模拟（理））若 ，则 ________（用含 的式子表示）．【答案】 【解析】 根据同角三角函数的相关公式，把根号下的式子变形为完全平方式， ， ，再由 ，开方即得 ，再由 即可得解. 【详解】 ，则 而 ， 又 ，故答案为： . 2.（2021·河北邯郸市·高三二模）当 时，函数 的最大值为______． 【答案】-4 【解析】 化简函数得 ，再换元 ，利用二次函数和复合函数求函数的最值. 【详解】 由题意得 所以 ， 当 时， ， 设 所以 ， 所以当 时，函数 取最大值 . 所以 的最大值为-4． 故答案为：3．（2021·浙江高三其他模拟）已知 ，则 ______， ______. 【答案】3 【解析】 由 可求，由和的正切公式求出 ，再建立齐次式即可求出. 【详解】 . 由 ，得 ， 故 . 故答案为：3； 4．（2021·全国高一专题练习）如图，单位圆与x轴正半轴的交点为A，M，N在单位圆上且分别在第一､ 第二象限内， .若四边形 的面积为 ，则 ___________；若三角形 的面 积为 ，则 ___________.【答案】 【解析】 根据四边形 的面积，列出关于 点纵坐标 的方程，求出 ；即可根据三角函数的定义求出 ，进而可得 ；根据三角形 的面积为 ，得到 与 之间关系，再结合三角 函数的定义，得到 ，利用同角三角函数基本关系，即可求出结果. 【详解】 若四边形 的面积为 ， 则 ，解得 ， 由三角函数的定义可得 ，因为M为第一象限内的点，所以 为锐角，因此 ；若三角形 的面积为 ， 则 ， 即 ， 由三角函数的定义可得， ， ， 又 ， 所以 ， 由 解得 或 ， 又 为锐角，所以 . 故答案为： ； . 5．（2021·河南高一期中（文））（1）已知角 的终边经过点 ，化简并求值： ； （2）计算 的值． 【答案】（1） （2）1．【解析】 （1）利用三角函数定义得到 ， ，化简三角函数表达式代入即可得到结果； （2）利用同角基本关系式化简即可. 【详解】 （1）由题意知， ， ． 原式 ； （2）原式 ． 6．（2021·河南高一期中（文））已知 ． （1）求 的值； （2）求 的值． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 （1）本题可根据 得出 ，然后根据同角三角函数关系即可得出结果； （2）本题可通过 求出 、 的值，然后通过同角三角函数关系即可得出结果. 【详解】 （1）因为 ，所以 ，则 . （2）联立 ，解得 ， 则 . 7．（2020·武汉市新洲区第一中学高一期末）在平面直角坐标系 中，以 轴非负半轴为始边作角 ， ，它们的终边分别与单位圆相交于A， 两点，已知点A， 的横坐标分别为 ， ． （1）求 的值； （2）化简并求 的值． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 （1）由已知条件可知求得 ， ，已知式变形为 ，代入可得答案； （2）由已知得 ， ，代入可得答案.【详解】 解：（1）由已知条件可知： ，又 ，所以 ， ， ， ， （2） ，又 ，所以 ，从而 ； . 8．（2021·全国高三专题练习（理））求函数 ( )的值域． 【答案】 【解析】 令 ，所以 ，根 据二次函数的性质可求得值域． 【详解】 令 ，所以 ， 所以当 ，即 ( )时， ；当 ，即 ( )时， ， 因此函数 的值域应为 ．9．（2021·江苏高一月考）如图，锐角 的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点 ， 将射线 按逆时针方向旋转 后与单位圆交于点 . （1）求 的取值范围； （2）若 ，求 的值. 【答案】（1） ；（2） 【解析】 （1）由三角函数的定义可得 ， ，化简 为 ．根据 ，利用余弦函数的定义域和值域求得 的范围． （2）根据 ，求得 ，再利用两角差的正弦余弦公式求出 的值， 从而得出结论． 【详解】（1）由图知， ，由三角函数的定义可得 ， ， ． 角 为锐角， ， ， ，即 的范围是 ． （2）因为 ， ， 所以 ， ， 10．（2021·河南省实验中学高一期中）（1）已知 ，求的值 （2）已知 ， ，求 的值． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 （1）利用诱导公式、同角三角函数基本关系化简 ，然后再代值计算即可. （2）利用同角三角函数间的关系，将 平方求出 的值，从而求出 的值，再由诱导公式将所求式子化简，即可得出答案. 【详解】 (1) 所以 （2）由 ，则 ，所以 由 ，则 设 ，则 由 ，所以练真题 TIDHNE 1．（2021·全国高考真题）若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母( )，进行齐次化处理，化 为正切的表达式，代入 即可得到结果． 【详解】 将式子进行齐次化处理得： ． 故选：C． 2.（2020·全国高考真题（理））已知 ，且 ，则 （ ） A． B． C． D．【答案】A 【解析】 ，得 ， 即 ，解得 或 （舍去）， 又 . 故选：A. 3.（2019·北京高考真题（文））如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，APB是 锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（ ） A．4β+4cosβ B．4β+4sinβ C．2β+2cosβ D．2β+2sinβ 【答案】B 【解析】 观察图象可知，当P为弧AB的中点时，阴影部分的面积S取最大值， 2 1 22 |OP‖OB|sin() 此时∠BOP=∠AOP=π-β, 面积S的最大值为 2+S + S =4β+2 △POB △POA1  |OP‖OA|sin() 2 42sin2sin44sin . 故选：B. xOy   Ox 4．（2017·北京高考真题（文））在平面直角坐标系 中,角 与角 均以 为始边，它们的终边关 1 sin 于 y 轴对称.若 3,则 sin _____. 1 【答案】3   y 2k,kZ 【解析】因为角 与角 的终边关于 轴对称，所以 ，所以 1 sinsin2ksin 3. π π 5．（2018·北京高考真题（理））设函数f（x）=cos(ωx− )(ω>0)，若f(x)≤f( )对任意的实数 6 4 x都成立，则ω的最小值为__________． 2 【答案】 3 【解析】 π π 因为f(x)≤f( )对任意的实数x都成立，所以f( )取最大值，所以 4 4 π π 2 2 ω− =2kπ(k∈Z)，∴ω=8k+ (k∈Z)，因为ω>0，所以当k=0时，ω取最小值为 . 4 6 3 3 6．（2017·全国高考真题（理））函数 3（ [ π]）的最大值是 f (x)=sin2x+√3cosx− x∈ 0, 4 2 __________． 【答案】1 【解析】化简三角函数的解析式，则 3 1 √3 2 ， f (x)=1−cos2x+√3cosx− =−cos2x+√3cosx+ = −(cosx− ) +1 4 4 2 π √3 由x∈[0, ]可得cosx∈[0,1]，当cosx= 时，函数f(x)取得最大值1． 2 2