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专题5.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数
1.了解角、角度制与弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算.
新课程考试要求
2. 理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义.
本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理（例1.5.6）、数学建模（例7.8）、直观想象
核心素养
（例7.8）、数学运算（多例）、数据分析等.
（1）三角函数的定义；
（2）扇形的面积、弧长及圆心角；
考向预测
（3）在大题中考查三角函数的定义，主要考查：一是直接利用任意角三角函数的定义
求其三角函数值；二是根据任意角三角函数的定义确定终边上一点的坐标．
【知识清单】
知识点1．象限角及终边相同的角
1．任意角、角的分类：
①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．
②按终边位置不同分为象限角和轴线角．
(2)终边相同的角：
终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．
2.弧度制：
①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝，l是以角α作为圆心角时
所对圆弧的长，r为半径．
③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．
3.弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．
若一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝()°，n°＝n· rad．
知识点2．三角函数的定义
1.任意角的三角函数定义：
设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
（1）点P的纵坐标叫角α的正弦函数，记作sin α＝y；
（2）点P的横坐标叫角α的余弦函数，记作cos α＝x；
（3）点P的纵坐标与横坐标之比叫角α的正切函数，记作tan α＝.它们都是以角为自变量，以单位圆上点
的坐标或坐标的比值为函数值的函数．
将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数y＝sinx，x∈R； 余弦函
数 y＝cosx，x∈R； 正切函数 y＝tanx，x≠＋kπ（k∈Z）．
2．三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦
知识点3．扇形的弧长及面积公式(1)弧长公式
在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角大小为α，则|α|＝，变形可得l＝|α|r，此公式称为弧长公式，
其中α的单位是弧度．
(2)扇形面积公式
由圆心角为1 rad的扇形面积为＝r2，而弧长为l的扇形的圆心角大小为 rad，故其面积为S＝×＝lr，将l
＝|α|r代入上式可得S＝lr＝|α|r2，此公式称为扇形面积公式．
(3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示
名称 角度制 弧度制
弧长公式 l＝ l＝__ | α | r __
扇形面积公式 S＝ S＝ r 2 ＝ l r
r是扇形的半径，n是圆心角的角度 r是扇形的半径，α是圆心角的弧度
注意事项
数 数，l是弧长
【考点分类剖析】
考点一 象限角及终边相同的角
【典例1】（2021·赤峰二中高三月考（理））若角 的终边与240°角的终边相同，则角 的终边所在象
限是（ ）
A．第二或第四象限 B．第二或第三象限
C．第一或第四象限 D．第三或第四象限
【答案】A
【解析】
写出 的表达式，计算 后可确定其终边所在象限．
【详解】
由题意 ，所以 ， ，
当 为偶数时， 在第二象限，当 为奇数时， 在第四象限．
故选：A．
【规律方法】
象限角的两种判断方法(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．
(2)转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的
角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．
【变式探究】
（2021·上海高一课时练习）设与 终边相同的角的集合为M，则① ；
②M中最小正角是 ；③M中最大负角是 ，其中正确的有____________.（选填序号）
【答案】①②③
【解析】
先将角化为 的结构即可判断①是否正确，再适当地取k的值可以判断②和③是否正确.
【详解】
因为 ，所以①正确，
令k=0，可得②正确；
令k=-1，可得③正确.
故答案为：①②③.
【总结提升】
象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示
(1)象限角：
象限角 集合表示
第一象限角 {α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}
第二象限角 {α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}
第三象限角 {α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}
第四象限角 {α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z}
(2)轴线角：
角的终边的位置 集合表示
终边落在x轴的非负半轴上 {α|α＝k·360°，k∈Z}
终边落在x轴的非正半轴上 {α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
终边落在y轴的非负半轴上 {α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}
终边落在y轴的非正半轴上 {α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}终边落在y轴上 {α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
终边落在x轴上 {α|α＝k·180°，k∈Z}
终边落在坐标轴上 {α|α＝k·90°，k∈Z}
考点二 三角函数的定义
【典例2】（2021·西安市经开第一中学高三其他模拟（理））若点 在角 的终边上，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
本题首先可根据题意得出 ，然后根据二倍角公式得出结果.
【详解】
因为点 在角 的终边上，
所以 ，
则 ，
故选：B.
【典例3】（2021·重庆市长寿中学校高三其他模拟）角 终边上有一点 ，则“ ”是“
”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C【解析】
结合三角函数的定义确定正确选项.
【详解】
角 终边上有一点 ，
，解得 ，
所以“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C
【典例4】（江西高考真题）已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若
p4,y
是角终边上
2 5
一点，且sin ，则y=_______.
5
【答案】-8
【解析】
根据正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该 角为第四象限角.
=
【规律方法】
1.已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解．
2.已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三
角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值．
【变式探究】
1. （2021·黑龙江高三其他模拟（理））已知点 是角 的终边与单位圆的交点，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意可得 ， ，进而由二倍角公式可得 .
【详解】
依题意，由任意角三角函数的定义可得 ， ，
所以 .
故选：C.
4
2. 已知角α的终边过点P(−3,−8m),且sinα=− ，则m的值为( )
5
1 1 √3 √3
A. − B. C. − D.
2 2 2 2
【答案】B
【解析】
由题意可知， ，
OP=√(−8m) 2+(−3) 2=√9+64m2
4
∵cosα=− ,P(−8m,−3)，∴α是第三象限角，
5
8m 4
可得− =− ，
9+64m2 5
1
即100m2=9+64m2，解得m= ，故选B.
2
3．已知角α的终边在射线y=−3x(x≥0)上，则sinαcosα等于（ ）
3 √10 3 √10
A. − B. C. D. −
10 10 10 10
【答案】A
【解析】
由题得α在第四象限,且tanα=−3，
3 1 3 1 3
所以sinα=− ,cosα= .∴sinαcosα=− ⋅ =− .
√10 √10 √10 √10 10
故答案为：A.
【总结提升】
(1)已知角α的终边在直线上的问题时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
②注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上任意一点坐标(a，b)，则对应角的正弦值
sinα＝，余弦值cosα＝，正切值tanα＝．
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
考点三：三角函数值的符号判定
【典例5】（2021·全国高一专题练习）若 ，则角 是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】D
【解析】
根据已知直接判断即可.
【详解】
由 可得 是第三象限或第四象限角，
由 可得 是第二象限或第四象限角，
故角 是第四象限角.
故选：D.
【典例6】（2021·吉林吉林市·高三其他模拟（理））已知 是第二象限角，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由已知结合三角函数的定义及象限角的范围，及正弦的二倍角公式判断即可.
【详解】
由 是第二象限角，可得 ， ，
故选：C
【总结提升】
判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的
符号确定值的符号．如果角不能确定所在象限，那就要进行分类讨论求解．
【变式探究】
1.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是(
)A．(－2,3] B．(－2,3)
C．[－2,3) D．[－2,3]
【答案】A
cos 0，sin 0
【解析】 ∵ ，∴角 的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．
3a 9 0
∴ a 2 0 ∴ －2 a 3.故选A.
2. 已知sinθ>0且cosθ<0，则角θ的终边所在的象限是
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】依据题设及三角函数的定义可知角θ终边上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，所以终边在第
二象限，应选答案B.
考点四：扇形的弧长及面积公式
【典例7】（2021·江苏南通市·高三其他模拟）《掷铁饼者》取材于希腊现实生活中的体育竞技活动，刻画
的是一名强健的男子在挪铁饼的过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满
弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为 ，掷铁饼者双手之间的距离约为 ，“弓”所在圆的半径
约为 ，则挪铁饼者的肩宽约为___________ .(精确到 )
【答案】
【解析】
由求出圆弧所对圆心角的大小，再由弧长公式即可求得.
【详解】如图， ， ，△AOB中，过O作OM⊥AB于M，
则M是弦AB中点， ， ， ，
则 ，“弓”所在的弧长 ，
所以其肩宽为 .
故答案为：
【典例8】（2021·广东佛山市·高三其他模拟）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方
田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝ （弦 矢＋ ），弧田（如图）由圆弧和
其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角
为 ，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约为___________平方米（精确到1平
方米，参考数据
【答案】9
【解析】读懂题意，理解“弦”、“矢”的含义，求出圆心角为 ，半径等于4米的“弦”、“矢”，根据题中
的公式弧田面积＝ （弦 矢＋ ）计算即可得出答案.
【详解】
根据题意 , ，
则 ， ，
则弦为 ，矢为 ,
所以弧田面积约为 .
故答案为：9
【典例9】（2021·浙江高一期末）已知一扇形的周长为 ，当这个扇形的面积最大时，半径 的值为
_________________．
【答案】
【解析】
根据题意得到面积关于半径 的函数关系式，利用二次函数知识可求得结果.
【详解】
因为扇形的周长为 ，所以扇形的弧长 ，
由 得 ，所以扇形的面积 ，
所以当 时， 取得最大值 .
故答案为：
【总结提升】
1 1 α
1.(1) 弧度制下l＝|α|·r，S＝lr，此时α为弧度．扇形面积公式 lr= αr2，扇形中弦长公式2rsin ，扇
2 2 2
形弧长公式l=αr.在角度制下，弧长l＝，扇形面积S＝，此时n为角度，它们之间有着必然的联系．
(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形．
2.当扇形周长一定时，其面积有最大值，最大值的求法是把面积S转化为r的函数，函数思想、转化为方程
的思想是解决数学问题的常用思想．
【变式探究】
1.（2021·全国高三其他模拟（理））中国传统扇文化有着深厚的底蕴，一般情况下，折扇可以看做是从一
个圆形中前下的扇形制作而成的，当折扇所在扇形的弧长与折扇所在扇形的周长的比值为 时，折扇
的外观看上去是比较美观的，则此时折扇所在扇形的圆心角的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
设扇形的弧长为 ，半径为 ，圆心角的弧度数为 ，由扇形的弧长与折扇所在扇形的周长的比得出 ，
即得出所求.
【详解】
设扇形的弧长为 ，半径为 ，圆心角的弧度数为 ，由题意得 ，变形可得 ，
因为 ，
所以折扇所在扇形的圆心角的弧度数为 ．
故选：A.
2．（2021·安徽合肥市·高三三模（理））在平面直角坐标系中，已知点 ， ，当t由
变化到 时，线段 扫过形成图形的面积等于（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】
根据圆的性质，结合扇形的面积公式、平行线的性质进行求解即可.
【详解】
当 时，设点 在 处，当 时，设点 在 处，如下图所示：线段 扫过形成图形为坐标系中的阴影部分，
因为 轴，所以 ，
所以线段 扫过形成图形的面积为扇形 的面积： .
故选：C.
3.一个扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形
的最大面积．
【答案】圆心角α等于2弧度时，这个扇形的最大面积是25 cm2．
【解析】
设扇形的半径为r cm，则弧长为l＝(20－2r) cm．
由0<l<2πr，得0<20－2r<2πr，∴<r<10．
于是扇形的面积为S＝(20－2r)r＝－(r－5)2＋25(<r<10)．
当r＝5时，l＝10，α＝2，S取到最大值，此时最大值为25 cm2．
故当扇形的圆心角α等于2弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积是25 cm2．
【特别提醒】
应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决；
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
