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第 4 章 三角形（易错 30 题专练）
一．选择题（共12小题）
1．（2021春•东坡区校级月考）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（ ）
A．1cm、5cm、7cm B．4cm、5cm、10cm
C．3cm、5cm、8cm D．7cm、10cm、15cm
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、∵5+1＝6＜7，∴不能组成三角形，故本选项不符合题意；
B、∵4+5＝9＜10，∴不能组成三角形，故本选项不符合题意；
C、∵3+5＝8，∴不能组成三角形，故本选项不符合题意；
D、∵7+10＝17＞15，∴能组成三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．在运用三角形三边
关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度
之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
2．（2020秋•巴南区期末）在△ABC与△DEF中，∠B＝∠E，AB＝DE，添加下列条件，不能
判定两个三角形全等的是（ ）
A．BC＝EF B．AC＝DF C．∠A＝∠D D．∠C＝∠F
【分析】A：添加BC＝EF，可根据SAS判断两个三角形全等；
B：添加AC＝DF，不能根据SSA判断两个三角形全等；
C：添加∠A＝∠D，可根据ASA判断两个三角形全等；
D：添加∠C＝∠F，可根据AAS判断两个三角形全等；
【解答】解：在△ABC与△DEF中，∠B＝∠E，AB＝DE，
添加BC＝EF，可根据SAS判断两个三角形全等；
添加AC＝DF，不能根据SSA判断两个三角形全等；
添加∠A＝∠D，可根据ASA判断两个三角形全等；
添加∠C＝∠F，可根据AAS判断两个三角形全等；
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
3．（2018秋•柯城区期末）如图，已知BE＝CF，AC∥DF，添加下列条件后，仍无法判定
△ABC≌△DEF的是（ ）A．AB＝DE B．∠B＝∠DEC C．AC＝DF D．∠A＝∠D
【分析】A：根据BE＝CF，得BE+EC＝CF+CE，再根据平行推∠F＝∠ACB，加上A的条件
无法满足三角形全等的条件；
B：根据证的条件加B条件证△ABC≌△DEF（AAS）；
C：根据证的条件加C条件证△ABC≌△DEF（SAS），；
D：根据证的条件加D条件证△ABC≌△DEF（AAS），；
【解答】解：B：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+CE，
∴BC＝EF，
∵AC∥DF，
∴∠A＝∠D，
∵∠B＝∠DEC，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴不符合题意；
C：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+CE，
∴BC＝EF，
∵AC∥DF，
∴∠F＝∠ACB，
∵AC＝DF，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴不符合题意；
D：：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+CE，
∴BC＝EF，
∵AC∥DF，
∴∠F＝∠ACB，
∵∠A＝∠D，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴不符合题意；
A：无法判定△ABC≌△DEF，
∴符合题意；
故选：A．【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
4．（2020秋•永城市期末）如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，连接EN，
作图痕迹中，△ODM≌△CEN根据的是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
【分析】由尺规作图可知OM＝OD＝CN＝CE，MD＝NB，用（SSS）证明两个三角形全等，
推∠O＝∠NCB，推CN∥OA．
【解答】解：由尺规作图可知OM＝OD＝CN＝CE，MD＝NB，
在△OMD与△CEN中
，
∴△OMD≌△CEN（SSS）；
∴∠O＝∠NCB，
∴CN∥OA．
故选：B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，掌握用（SSS）证明两个三角形全等，看懂尺规作
图的方法是解题关键．
5．（2021秋•博兴县期中）在△ABC中，若∠A＝45°，∠B＝50°，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
【分析】根据三角形的内角和等于180°，求出第三个内角的度数，从而确定三角形的形状．
【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝45°，∠B＝50°，
∴∠C＝180°﹣45°﹣50°＝85°，
∴这个三角形是锐角三角形．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理．解题时，要注意求角的度数常常要用到“三角形
的内角和是180°”这一隐含的条件．
6．（2021秋•惠民县月考）已知，△ABC，△DEF，△MNP的相关数据如图所示，则下列选项
正确的是（ ）A．△ABC≌△PNM B．△DEF≌△PNM C．PN＝EF D．∠F＝∠A
【分析】通过三角形中边角的对应关系判定．
【解答】解：根据三角形内角和等于180°得：∠C＝180°﹣30°﹣70°＝80°，
∠F＝180°﹣30°﹣80°＝70°，∠M＝180°﹣70°﹣30°＝80°．
∵AB≠PN，
∴△ABC≌△PNM不成立，
∴A错误．
∵∠D≠∠P．
∴△DEF≌△PNM不成立．
∴B错误．
∵EF＝MN．
∴C错误．
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的判定，求出三角形的未知角，根据边角间的对应关系判定是
求解本题的关键．
7．（2019秋•宁乡市期末）如图，AD是△ABC中BC边上的中线，则△ABD与△ACD的关系是
（ ）
A．全等 B．周长相等 C．面积相等 D．无法确定
【分析】根据BD＝DC，推导出△ABD与△ACD的面积相等，即可解答．
【解答】解：作AE⊥BC，
∵AD是△ABC中BC边上的中线，
∴BD＝DC，
∴ BD×AE＝ DC×AE，
∴△ABD与△ACD面积相等．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的面积，掌握三角形的中线分成的两个三角形的面积相等是
解题的关键．
8．（2021秋•秦都区月考）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC边上中线AD＝2，点E在
AD的延长线上，且DE＝AD，连接BE，则BC的长为（ ）A． B．7 C．2 D．8
【分析】先证明△ADC≌△EDB，推得BE＝AC＝3，再根据勾股定理逆定理证明∠E＝90°，
根据勾股定理得BC的长．
【解答】解：∵AD是BC边上中线，
∴BD＝DC，
∵∠ADC＝∠BDE，DE＝AD，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC＝3，
∵DE＝AD，
∴AE＝4，
∴AE2+BE2＝25，AB2＝25，
∴AE2+BE2＝AB2，
∴∠E＝90°，
∴根据勾股定理得BD＝ ，
∴BC＝2 ；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法，勾股定理逆定
理的应用是解题关键．
9．（2021秋•铜官区校级期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平
分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠1+∠2＝120°，则∠BA'C的度数为（ ）
A．120° B．110° C．100° D．90°【分析】由∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角知∠BDE＝∠A+∠AED、∠CED＝
∠A+∠ADE，据此得∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，推出∠1+∠2＝2∠A得到
∠A＝60°，根据BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB知∠A'BC+∠A'CB＝ （∠ABC+∠ACB）＝
90°﹣ ∠A．利用∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB）可得答案．
【解答】解：∵∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角，
∴∠BDE＝∠A+∠AED，∠CED＝∠A+∠ADE，
∴∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，
∴∠1+∠ADE+∠2+∠AED＝2∠A+∠AED+∠ADE，
即∠1+∠2＝2∠A，
∵∠1+∠2＝120°，
∴∠A＝60°，
∵BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，
∴∠A'BC+∠A'CB＝ （∠ABC+∠ACB）
＝ （180°﹣∠A）
＝90°﹣ ∠A．
∴∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB），
＝180°﹣（90°﹣ ∠A）
＝90°+ ∠A
＝90°+ ×60°
＝120°．
故选：A．
【点评】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解
题的关键是灵活运用所学知识，属于中考常考题型．
10．（2021秋•黄陂区期中）如图，在△ABC中，∠C＝50°，∠BAC＝60°，AD⊥BC于D，AE
平分∠BAC，则∠EAD的度数为（ ）A．10° B．15° C．20° D．25°
【分析】先由∠BAC和∠C求出∠B，然后由AE平分∠BAC求∠BAE，再结合AD⊥BC求
∠BAD，最后求得∠EAD．
【解答】解：∵∠C＝50°，∠BAC＝60°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝70°．
∵AE平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴∠BAE＝ ∠BAC＝ ×60°＝30°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝20°，
∴∠EAD＝∠BAE﹣∠BAD＝30°﹣20°＝10°．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的内角和、角平分线的定义和高线的定义，通过角平分线和高线
的定义求得∠BAE和∠BAD的度数是解题的关键．
11．如图，AB＝BC，BD＝BE，欲证△ABE≌△CBD，需要增加的条件是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠A＝∠C C．∠E＝∠C D．∠E＝∠D
【分析】根据∠1＝∠2求出∠ABE＝∠DBC，再根据全等三角形的判定定理SAS即可推出
△ABE≌△CBD，即可判断选项A；根据全等三角形的判定定理即可判断选项B、选项C、选
项D．
【解答】解：A．∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠DBE＝∠2+∠DBE，
即∠ABE＝∠DBC，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS），故本选项符合题意；
B．AB＝BC，BD＝BE，∠A＝∠C，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABE≌△CBD，
故本选项不符合题意；
C．AB＝BC，BD＝BE，∠E＝∠C，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABE≌△CBD，
故本选项不符合题意；
D．AB＝BC，BD＝BE，∠A＝∠D，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABE≌△CBD，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，
注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
12．（2021秋•长沙期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足
AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，2∠BAE＝∠CAD，连接DE，下列结论中正确的有（
）
①AC⊥DE；②∠ADE＝∠ACB；③若CD∥AB，则AE⊥AD；④DE＝CE+2BE．
A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①②④
【分析】因为∠BAE＝ ∠DAC，且∠ABC＝90°，所以需要构造2倍的∠BAC，故延长EB至
G，使BE＝BG，从而得到∠GAE＝∠CAD，进一步证明∠GAC＝∠EDA，且AE＝AG，接着
证明△GAC≌△EAD，则∠ADE＝∠ACG，DE＝CG，所以②是正确的，也可以通过线段的
等量代换运算推导出④是正确的，设∠BAE＝x，则∠DAC＝2x，因为CD∥AB，所以∠BAC
＝∠ACD＝90°﹣x，接着用x表示出∠EAC，再计算出∠DAE＝90°，故③是正确的，当
∠CAE＝∠BAE时，可以推导出AC⊥DE，否则AC不垂直于DE，故①是错误的．
【解答】解：如图，延长EB至G，使BE＝BG，设AC与DE交于点M，
∵∠ABC＝90°，
∴AB⊥GE，
∴AB垂直平分GE，
∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE＝ ∠DAC，
∵∠BAE＝ ∠GAE，
∴∠GAE＝∠CAD，
∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，
∴∠GAC＝∠EAD，
在△GAC与△EAD中，
，
∴△GAC≌△EAD（SAS），∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，
∴②是正确的；
∵AG＝AE，
∴∠G＝∠AEG＝∠AED，
∴AE平分∠BED，
当∠BAE＝∠EAC时，∠AME＝∠ABE＝90°，则AC⊥DE，
当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE，
∴①是不正确的；
设∠BAE＝x，则∠CAD＝2x，
∴∠ACD＝∠ADC＝ ＝90°﹣x，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°﹣x，
∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝90°﹣x﹣x＝90°﹣2x，
∴∠DAE＝∠CAE+∠DAC＝90°﹣2x+2x＝90°，
∴AE⊥AD，
∴③是正确的；
∵△GAC≌△EAD，
∴CG＝DE，
∵CG＝CE+GE＝CE+2BE，
∴DE＝CE+2BE，
∴④是正确的，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，通过二倍角这一条件，构造两倍的∠BAE，是
本题的突破口，也是常用方法，同时，要注意本题设参数导角，对学生分析数据的能力有一
定要求．
二．填空题（共9小题）
13．（2021春•武侯区校级月考）在△ABC中，a＝4cm，b＝2cm，若第三边c的长是偶数，则该
三角形周长是 1 0 cm．【分析】先根据已知两边求得第三边的范围，再根据第三边为偶数求得第三边的长，最后计
算三角形的周长．
【解答】解：∵△ABC中，a＝4cm，b＝2cm，
∴4﹣2＜c＜4+2，即2＜c＜6，
又∵第三边c的长是偶数，
∴c＝4cm，
∴△ABC的周长为2+4+4＝10（cm）．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三
角形的两边之差小于第三边，这是判断第三边范围的主要依据．
14．（2021秋•龙凤区校级期末）如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、CE的
中点，且S△ABC ＝16，则三角形S△CDF ＝ 2 ．
【分析】根据中点的定义知△ABD与△ADC，△ACE与△DCE，△EFD与△CFD是三对等底
同高的三角形，等底同高的三角形的面积相等．
【解答】解：∵点D是边BC的中点，
∴BD＝CD，
∴S△ABD ＝S△ADC ，
∴S△ADC ＝ S△ABC ．
同理，得S△DCE ＝ S△ADC ，S△CFD ＝ S△CFD ．
∴S△CFD ＝ S△ABC ＝2．
故答案是：2．
【点评】本题考查了三角形的面积．注意：等底同高的两个三角形的面积相等，同底等高的
两个三角形的面积相等，等地等高的两个三角形的面积相等．
15．（2021秋•肥西县期末）当三角形中一个内角 是另外一个内角 的 时，我们称此三角形
为“友好三角形”， 为友好角．如果一个“友好三角形”中有一个内角为42°，那么这个
β α
“友好三角形”的“友好角 ”的度数为 42 ° 或 84 ° 或 92 ° ．
α
【分析】分42°角是 、 和既不是 也不是 三种情况，根据希望角的定义以及三角形的内
α
角和定理列式计算即可得解．
α β α β【解答】解：①42°角是 ，则友好角度数为42°；
②42°角是 ，则 ＝2 ＝84°，
α
∴友好角 ＝84°；
β α β
③42°角既不是 也不是 ，
α
则 + +54°＝180°，
α β
α β
所以， + +42°＝180°，
解得 ＝92°，
α α
综上所述，友好角度数为42°或84°或92°．
α
故答案为：42°或84°或92°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，读懂题目信息，理解希望角的定义是解题的关键，
难点在于分情况讨论．
16．（2021秋•昆明期末）如图，一把直尺的一边缘经过直角三角形ABC的直角顶点C，交斜边
AB于点D；直尺的另一边缘分别交AB、AC于点E、F，若∠B＝30°，∠AEF＝50°，则
∠DCB＝ 2 0 度．
【分析】先利用平行线的性质求出∠EDC，再利用平角的定义求出∠BDC，最后根据三角形
内角和定理求出∠DCB即可．
【解答】解：∵EF∥CD，∠AEF＝50°，
∴∠EDC＝∠AEF＝50°，
∵∠BDC+∠EDC＝180°，
∴∠BDC＝180°﹣50°＝130°，
∵∠B＝30°，
∴∠DCB＝180°﹣∠B﹣∠BDC＝180°﹣30°﹣130°＝20°．
故答案为：20．
【点评】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知
识，属于中考常考题型．
17．（2021秋•铜官区校级期中）△ABC中，BD平分∠ABC，E为BD上一点，EF⊥AC于F，
∠A＝38°，∠C＝80°，则∠DEF的度数为 21 ° ．【分析】根据三角形的内角和等于180°列式求出∠ABC，再根据角平分线的定义求出∠ABD，
然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠BDC，然后根据直角
三角形两锐角互余列式求解即可．
【解答】解：∵∠A＝38°，∠C＝80°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣38°﹣80°＝62°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝ ∠ABC＝ ×62°＝31°，
由三角形的外角性质得：∠BDC＝∠ABD+∠A＝31°+38°＝69°，
∵EF⊥AC，
∴∠DEF＝90°﹣∠BDC＝90°﹣69°＝21°．
故答案为：21°．
【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形
两锐角互余的性质，角平分线的定义，熟记各性质是解题的关键．
18．（2021秋•龙沙区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ACD沿CD折叠，使点A恰
好落在BC边上的点E处．若∠B＝26°，则∠BDE＝ 38 ° ．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠A的度数，根据翻折变换的性质求出∠CED的度数，
根据三角形内角和定理求出∠∠BDE．
【解答】解：∵将△ACD沿CD折叠，使点A恰好落在BC边上的点E处，
∴∠CED＝∠A，
∵∠ACB＝90°，∠B＝26°，
∴∠A＝180°﹣90°﹣26°＝64°，
∴∠CED＝64°，
∴∠BDE＝64°﹣26°＝38°．
故答案为：38°．
【点评】本题考查的是翻折变换和三角形内角和定理，理解翻折变换的性质、熟记三角形内
角和等于180°是解题的关键．19．（2019秋•鄞州区校级期中）如图，△ABC的面积为16，∠PBC与∠PAB互余，AP⊥BP，
则△PBC的面积 8 ．
【分析】首先延长AP与BC交于点H，根据∠PBC与∠PAB互余，AP⊥BP，推出∠ABP＝
∠PBC，进一步证明△ABP≌△HBP，推出AP＝PH，得P点是AH的中点，进一步推S△ABP ＝
S△BPH ，S△APC ＝S△CPH ，从而得S△BPC ＝S△BPH +S△PHC ＝ S△ABC ．
【解答】解：延长AP与BC交于点H，
∵AP⊥BP，
∴∠APB＝∠BPH＝90°，
∴∠ABP+∠BAP＝90°，
∵∠PBC+∠PAB＝90°，
∴∠ABP＝∠PBC，
∵BP＝BP，
∴△ABP≌△HBP（ASA），
∴AP＝PH，
∴S△ABP ＝S△BPH ，S△APC ＝S△CPH ，
∴S△BPC ＝S△BPH +S△PHC ＝ S△ABC ＝8，
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了三角形的面积、余角和补角，掌握三角形的中线将三角形分成面积
相等的两部分这个知识点，全等的证明是解题的关键．
20．（2020秋•江津区期末）如图，点D在△ABC的边BA的延长线上，点E在BC边上，连接
DE交AC于点F，若∠DFC＝3∠B＝117°，∠C＝∠D，则∠BED＝ 102 ° ．【分析】首先根据∠DFC＝3∠B＝117°，可以算出∠B＝39°，然后设∠C＝∠D＝x°，根据外
角与内角的关系可得38+x+x＝117，再解方程即可得到x＝39，再根据三角形内角和定理求出
∠BED的度数．
【解答】解：∵∠DFC＝3∠B＝117°，
∴∠B＝39°，
设∠C＝∠D＝x°，
则39+x+x＝117，
解得：x＝39，
∴∠D＝39°，
∴∠BED＝180°﹣39°﹣39°＝102°．
故答案为：102°．
【点评】此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻
的两个内角的和．
21．（2021秋•武侯区期末）定义：由无数个小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点即为
格点，顶点都在格点上的三角形叫做格点三角形．在格点三角形中，其内部（包含边界）的
完整小正方形的个数与这个格点三角形的面积的比叫做这个格点三角形的“方正系数”．如
图，在4×6的网格中，格点△ABC的面积为9，其内部有4个完整的小正方形，所以格点
△ABC的“方正系数”是 ．若该4×6网格中另有一格点P，连接PA，PB，则格点△ABP的
“方正系数”的最大值为 ．
【分析】若“方正系数”越大，相同面积下保留的完整正方形越多，则点A为直角顶点或点B
为直角顶点更可能，再具体分析即可．
【解答】解：若“方正系数”越大，相同面积下保留的完整正方形越多，则点A为直角顶点
或点B为直角顶点更可能，
点A和点B位置对称，不妨设点B为直角顶点，
当面积为3时，“方正系数”为：0；
当面积为6时，“方正系数”为： ＝ ；当面积为9时，“方正系数”为： ＝ ；
当面积为12时，“方正系数”为： ＝ ；
∴“方正系数”最大值为： ；
故答案为： ．
【点评】本题属于新定义类问题，关键是了解在格点中那种情况最有可能产生最大值．
三．解答题（共9小题）
22．（2020秋•娄底期末）在横线上添加一个条件，并完成证明过程：
如图，已知∠AOC＝∠BOC， AO ＝ BO ，求证：△AOC≌△BOC．
【分析】根据（SAS）证明两个三角形全等．
【解答】证明：在△AOC与△BOC中
，
∴△AOC≌△BOC（SAS）．
故答案为：AO＝BO．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，熟练掌握用边角边证三角形全等是解题关键．
23．（2021秋•瑞安市月考）已知：如图，在△ADF和△BCE中，点B，F，E，D依次在一条直
线上，若AF∥CE，∠B＝∠D，BF＝DE，求证：AF＝CE．
【分析】根据AF∥CE推∠AFD＝∠CEB，再根据BF＝DE，推BE＝DF，再加已知条件∠B＝
∠D，根据（ASA）证明△ADF≌△CBE，得出AF＝CE．
【解答】证明：∵AF∥CE
∴∠AFD＝∠CEB，
∵BF＝DE，
∴EF+BF＝DE+EF，即BE＝DF，
∵∠B＝∠D，∴△ADF≌△CBE（ASA），
∴AF＝CE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质的应用，
平行线的性质的应用是解题关键．
24．（2021秋•锡山区校级期中）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF．
（1）求证：△ADE≌△ADF；
（2）已知AC＝18，AB＝12，求BE的长．
【分析】（1）先用（HL）证明Rt△EBD≌Rt△EBD，推DE＝DF，再用（HL）证明
Rt△AED≌Rt△AFD；
（2）由全等推AE＝AF，把AC长转化为AC＝AB+BE+FC，代入数值求解即可．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E＝∠DFC＝∠DFA＝90°，
在Rt△EBD与Rt△EBD中
，
∴Rt△EBD≌Rt△EBD（HL）；
∴DE＝DF，
在Rt△AED与Rt△AFD中
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）；
（2）解：∵Rt△AED≌Rt△AFD，
∴AE＝AF，
∴AF＝12+BE，
∵AC＝AF+FC
∴AC＝AB+BE+FC，
∴18＝12+BE+CF，∵BE＝CF．
∴18＝12+2BE，
∴BE＝3．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法，用（HL）证明
全等三角形是解题关键．
25．（2021秋•永吉县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E两点都在BC上，且BD＝CE．
（1）求证：AD＝AE；
（2）若AD＝DE，∠B＝35°，求∠CAE的度数．
【分析】（1）根据AB＝AC推∠B＝∠C，再根据边角边全等判定定理证明三角形全等，推
AD＝AE；
（2）根据AD＝DE，AD＝AE，证明△ADE是等边三角形，推∠AED＝60°，再根据角的差求
出∠CAE的度数．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE；
（2）解：∵AD＝DE，AD＝AE，
∴AD＝DE＝AE，
即△ADE是等边三角形，
∴∠AED＝60°，
∵∠C＝∠B＝35°，
∴∠CAE＝∠AED﹣∠C＝60°﹣35°＝25°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形、全等三角形的判定方
法及性质是解题关键．
26．（2021秋•西城区校级期中）已知：在△ABC中，∠ACB＜60°，BD平分∠ABC，交AC于点
D，点E在线段BD上（点E不与点B，D重合），且∠EAB＝2∠ECB．求证：AE+AB＝BC．
【分析】在BC上截取BF＝AB，连接EF，证明△ABE≌△FBE，推AE＝EF，∠EAB＝∠EFB，
再根据三角形的外角等于不相邻的连个内角的和这一定理，写出∠EFB＝∠FEC+∠ECB，通
过等量代换推∠ECB＝∠FEC，进一步证明EF＝FC，再通过等量代换，证明AE+AB＝BC．
【解答】证明：在BC上截取BF＝AB，连接EF，
∵BD平分∠ABC，
在△ABE与△FBE中，
，
∴△ABE≌△FBE（SAS），
∴AE＝EF，∠EAB＝∠EFB，
∵∠EAB＝2∠ECB，
∠EFB＝∠FEC+∠ECB，
∴2∠ECB＝∠FEC+∠ECB，
∴∠ECB＝∠FEC，
∴EF＝FC，
∵BC＝BF+FC，
∴AE+AB＝BC．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质的综合应用，在BC上截
取BF＝AB，连接EF，证明△ABE≌△FBE是解题的关键．
27．（2021秋•永春县期末）在直角三角板ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝∠B＝45°，将三角板的
顶点A放置在直线DE上．
（1）如图，在AB边上任取一点P（不同于点A，B），过点P作直线l∥DE，当∠1＝8∠2
时，求∠2的度数；
（2）将三角板绕顶点A转动，并保持点B在直线DE的上方．过点B作FH∥DE（F在H的
左侧），求∠DAC与∠FBC之间的数量关系．
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠2＝∠BAE，然后根据平角是180°列出关于∠1与∠2
的关系式进行计算即可；
（2）分三种情况，点C在直线FH的上方，点C在直线FH与直线DE之间，点C在直线DE
的下方．
【解答】解：分三种情况：
当点C在直线FH的上方，如图：
设AC与FH交于点G，
∵FH∥DE，
∴∠DAC＝∠FGC，
∵∠FGC＝∠C+∠FBC，∠C＝90°，
∴∠DAC＝90°+∠FBC，
当点C在直线FH与直线DE之间，如图：
延长AC交FH于点M，∵FH∥DE，
∴∠DAC＝∠HMC，
∵∠BCA＝∠HMC+∠FBC，∠BCA＝90°，
∴∠DAC+∠FBC＝90°，
当点C在直线DE的下方，如图：
设BC与DE交于点N，
∵FH∥DE，
∴∠FBC＝∠DNC，
∵∠DNC＝∠C+∠DAC，∠C＝90°，
∴∠FBC＝90°+∠DAC，
综上所述：当点C在直线FH的上方，∠DAC＝90°+∠FBC，
当点C在直线FH与直线DE之间，∠DAC+∠FBC＝90°，
当点C在直线DE的下方，∠FBC＝90°+∠DAC．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形分
析是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．
28．（2019•岳麓区校级开学）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC．
（1）若∠C＝70°，∠B＝30°，求∠DAE的度数；
（2）若∠C﹣∠B＝20°，求∠DAE的度数．
【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求出
∠BAE的度数即可；根据AD⊥BC及三角形内角和定理可求出∠BAD的度数，再由（1）中求
出的∠BAE的度数即可求出∠DAE的度数；
（2）先根据三角形内角和定理及角平分线的性质用∠B、∠C表示出∠BAE的度数，再根据
直角三角形的性质用∠B表示出∠BAD的度数，∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE，化简即可求出
∠DAE的度数．
【解答】解：（1）∵在△ABC中∠C＝70°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠B＝180°﹣70°﹣30°＝80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝ ∠BAC＝ ×80°＝40°；∵AD⊥BC，∠C＝70°，
∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°，
∵∠CAE＝40°，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝40°﹣20°＝20°；
（2）∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝ （180°﹣∠C﹣∠B），
∵AD⊥BC，
∴∠CAD＝90°﹣∠C，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝ （180°﹣∠C﹣∠B）﹣（90°﹣∠C）＝ （∠C﹣∠B）＝10°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质及直角三角形的性质，涉及面较广，
难度适中．
29．（2021秋•江岸区校级月考）如图，D、E在△ABC的边AB上，且∠ACD＝∠ABC．若
∠BAC的平分线AF交CD于F，BE+AC＝AB，求证：EF∥BC．
【分析】先根据BE+AC＝AB，BE+AE＝AB，证明AE＝AC，再根据∠BAC的平分线AF交CD
于F，证明∠EAF＝∠ACF，这样全等三角形的条件满足，通过全等证明∠AEF＝∠ACD，再
根据已知的等角，等量代换得同位角相等，证明两直线平行．
【解答】证明：∵BE+AC＝AB，BE+AE＝AB，
∴AE＝AC，
∵∠BAC的平分线AF交CD于F，
∴∠EAF＝∠ACF，
在△AEF与△ACF中
，
∴△AEF≌△ACF（SAS），
∴∠AEF＝∠ACD，
∵∠ACD＝∠ABC，
∴∠ABC＝∠AEF，
∴EF∥BC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，全等三角
形性质的应用是解题关键．
30．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E．求证：DE＝AD﹣
BE．【分析】先根据AAS即可证明△BEC≌△CDA，再利用全等三角形的性质即可解决问题．
【解答】证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC＝∠E＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠CBE＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CD＝BE，AD＝CE，
∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE．
即DE＝AD﹣BE．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，
属于中考常考题型．
